विपरीत समूह: Difference between revisions

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[[File:Opposite_group_nature.svg|thumbnail|यह बाइनरी ऑपरेशन का एक समूह से इसके विपरीत में एक [[प्राकृतिक परिवर्तन]] है। {{angbr|''g''<sub>1</sub>, ''g''<sub>2</sub>}} दो समूह तत्वों की क्रमित जोड़ी को दर्शाता है। *' को + के स्वाभाविक रूप से प्रेरित जोड़ के रूप में देखा जा सकता है।]][[समूह सिद्धांत]] में, गणित की एक शाखा, एक विपरीत समूह दूसरे समूह से एक [[समूह (गणित)|समूह]] बनाने का एक प्रकार है जो [[समूह क्रिया (गणित)]] को समूह क्रिया (गणित) के एक विशेष मामले के रूप में परिभाषित करने की अनुमति देता है।
[[File:Opposite_group_nature.svg|thumbnail|यह एक समूह से उसके विपरीत तक बाइनरी संचालन का  एक [[प्राकृतिक परिवर्तन]] है। {{angbr|''g''<sub>1</sub>, ''g''<sub>2</sub>}} दो समूह अवयव की क्रमित युग्म को दर्शाता है। *' को + के स्वाभाविक रूप से प्रेरित जोड़ के रूप में देखा जा सकता है।]][[समूह सिद्धांत]] में, गणित की एक शाखा, एक विपरीत समूह दूसरे समूह से एक [[समूह (गणित)|समूह]] बनाने का एक प्रकार है जो किसी को [[समूह क्रिया (गणित)|बाईं क्रिया (गणित)]] के विशेष प्रकरण के रूप में दाहिनी क्रिया को परिभाषित करने की अनुमति देता है।


[[मोनोइड]], समूह, वलय (गणित), और एक वलय के ऊपर बीजगणित को एक ही वस्तु के साथ [[श्रेणी (गणित)]] के रूप में देखा जा सकता है। [[विपरीत श्रेणी]] का निर्माण विपरीत समूह, विपरीत रिंग आदि का सामान्यीकरण करता है।
[[मोनोइड|एकाभ]], समूह, रिंग, और बीजगणित को एक ही वस्तु वाली [[श्रेणी (गणित)|श्रेणियों (गणित)]] के रूप में देखा जा सकता है। [[विपरीत श्रेणी]] का निर्माण विपरीत समूह, विपरीत रिंग आदि का सामान्यीकरण करता है।


== परिभाषा ==
== परिभाषा ==
होने देना <math>G</math> ऑपरेशन के तहत एक समूह बनें <math>*</math>. के विपरीत समूह <math>G</math>, निरूपित <math>G^{\mathrm{op}}</math>, के समान अंतर्निहित सेट है <math>G</math>, और इसका समूह संचालन <math>\mathbin{\ast'}</math> द्वारा परिभाषित किया गया है <math>g_1 \mathbin{\ast'} g_2 = g_2 * g_1</math>.
मान लीजिए <math>G</math> संचालन <math>*</math> के अंतर्गत एक समूह है। <math>G</math> के विपरीत समूह, जिसे <math>G^{\mathrm{op}}</math> कहा जाता है, <math>G</math> के समान अंतर्निहित समुच्चय है, और इसके समूह संचालन <math>\mathbin{\ast}</math> को <math>g_1 \mathbin{\ast'} g_2 = g_2 * g_1</math> द्वारा परिभाषित किया गया है।


अगर <math>G</math> आबेली समूह है, तो यह अपने विपरीत समूह के बराबर है। साथ ही, हर समूह <math>G</math> (आवश्यक रूप से एबेलियन नहीं) अपने विपरीत समूह के लिए [[स्वाभाविक रूप से आइसोमोर्फिक]] है: एक आइसोमोर्फिज्म <math>\varphi: G \to G^{\mathrm{op}}</math> द्वारा दिया गया है <math>\varphi(x) = x^{-1}</math>. अधिक आम तौर पर, कोई भी [[antiautomorphism]] <math>\psi: G \to G</math> संगत समरूपता को जन्म देता है <math>\psi': G \to G^{\mathrm{op}}</math> के जरिए <math>\psi'(g)=\psi(g)</math>, तब से
अगर <math>G</math> एबेलियन है, तो यह इसके विपरीत समूह के समान है। साथ ही, प्रत्येक समूह <math>G</math> (आवश्यक रूप से एबेलियन नहीं) अपने विपरीत समूह के लिए स्वाभाविक रूप से अपने विपरीत समूह के समरूपी है: एक समरूपता <math>\varphi: G \to G^{\mathrm{op}}</math> <math>\varphi(x) = x^{-1}</math> द्वारा दी जाती है। अधिक सामान्यतः, कोई भी [[antiautomorphism|एंटीऑटोमोर्फिज्म]] <math>\psi: G \to G</math> एक संगत समरूपता <math>\psi': G \to G^{\mathrm{op}}</math> को <math>\psi'(g)=\psi(g)</math> के माध्यम से उन्नति देता है, क्योंकि
: <math>\psi'(g * h) = \psi(g * h) = \psi(h) * \psi(g) = \psi(g) \mathbin{\ast'} \psi(h)=\psi'(g) \mathbin{\ast'} \psi'(h).</math>
: <math>\psi'(g * h) = \psi(g * h) = \psi(h) * \psi(g) = \psi(g) \mathbin{\ast'} \psi(h)=\psi'(g) \mathbin{\ast'} \psi'(h).</math>
== ग्रुप एक्शन ==
== समूह क्रिया ==
होने देना <math>X</math> किसी श्रेणी में एक वस्तु हो, और <math>\rho: G \to \mathrm{Aut}(X)</math> एक समूह क्रिया (गणित) हो। तब <math>\rho^{\mathrm{op}}: G^{\mathrm{op}} \to \mathrm{Aut}(X)</math> द्वारा परिभाषित एक वाम क्रिया है <math>\rho^{\mathrm{op}}(g)x = x\rho(g)</math>, या <math>g^{\mathrm{op}}x = xg</math>.
मान लीजिए कि <math>X</math> किसी श्रेणी में एक वस्तु है, और <math>\rho: G \to \mathrm{Aut}(X)</math> एक सही क्रिया है। तब <math>\rho^{\mathrm{op}}: G^{\mathrm{op}} \to \mathrm{Aut}(X)</math> एक बाईं क्रिया है जिसे <math>\rho^{\mathrm{op}}(g)x = x\rho(g)</math>, या <math>g^{\mathrm{op}}x = xg</math> द्वारा परिभाषित किया गया है।


== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==
* विपरीत अंगूठी
* विपरीत रिंग
* विपरीत श्रेणी
* विपरीत वर्ग


== बाहरी संबंध ==
== बाहरी संबंध ==

Revision as of 11:27, 14 July 2023

यह एक समूह से उसके विपरीत तक बाइनरी संचालन का एक प्राकृतिक परिवर्तन है। ⟨g1, g2⟩ दो समूह अवयव की क्रमित युग्म को दर्शाता है। *' को + के स्वाभाविक रूप से प्रेरित जोड़ के रूप में देखा जा सकता है।

समूह सिद्धांत में, गणित की एक शाखा, एक विपरीत समूह दूसरे समूह से एक समूह बनाने का एक प्रकार है जो किसी को बाईं क्रिया (गणित) के विशेष प्रकरण के रूप में दाहिनी क्रिया को परिभाषित करने की अनुमति देता है।

एकाभ, समूह, रिंग, और बीजगणित को एक ही वस्तु वाली श्रेणियों (गणित) के रूप में देखा जा सकता है। विपरीत श्रेणी का निर्माण विपरीत समूह, विपरीत रिंग आदि का सामान्यीकरण करता है।

परिभाषा

मान लीजिए संचालन के अंतर्गत एक समूह है। के विपरीत समूह, जिसे कहा जाता है, के समान अंतर्निहित समुच्चय है, और इसके समूह संचालन को द्वारा परिभाषित किया गया है।

अगर एबेलियन है, तो यह इसके विपरीत समूह के समान है। साथ ही, प्रत्येक समूह (आवश्यक रूप से एबेलियन नहीं) अपने विपरीत समूह के लिए स्वाभाविक रूप से अपने विपरीत समूह के समरूपी है: एक समरूपता द्वारा दी जाती है। अधिक सामान्यतः, कोई भी एंटीऑटोमोर्फिज्म एक संगत समरूपता को के माध्यम से उन्नति देता है, क्योंकि

समूह क्रिया

मान लीजिए कि किसी श्रेणी में एक वस्तु है, और एक सही क्रिया है। तब एक बाईं क्रिया है जिसे , या द्वारा परिभाषित किया गया है।

यह भी देखें

  • विपरीत रिंग
  • विपरीत वर्ग

बाहरी संबंध

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