गणनीय रूप से सघन समिष्ट

गणित में टोपोलॉजिकल स्पेस को गणनीय रूप से कॉम्पैक्ट कहा जाता है यदि प्रत्येक गणनीय खुले आवरण में परिमित उपकवर होता है।

समतुल्य परिभाषाएँ

एक टोपोलॉजिकल स्पेस

(1) एक्स के प्रत्येक गणनीय खुले कवर में सीमित उपकवर होता है।

(2) एक्स में प्रत्येक अनंत सेट ए में एक्स में ω-संचय बिंदु है।

(3) एक्स में प्रत्येक अनुक्रम में एक्स में संचय बिंदु (अनुक्रम) होता है।

(4) खाली चौराहे के साथ एक्स के बंद उपसमुच्चय के प्रत्येक गणनीय परिवार में खाली चौराहे के साथ परिमित उपपरिवार होता है।

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(1) $\Rightarrow$ (2): मान लीजिए (1) धारण करता है और ए बिना एक्स का एक अनंत उपसमुच्चय है $\omega$-संचय बिंदु. यदि आवश्यक हो तो A का उपसमुच्चय लेकर, हम मान सकते हैं कि A गणनीय है। प्रत्येक $x\in X$ एक खुला पड़ोस है $O_{x}$ ऐसा है कि $O_{x}\cap A$ परिमित (संभवतः खाली) है, क्योंकि x एक ω-संचय बिंदु नहीं है। A के प्रत्येक परिमित उपसमुच्चय F के लिए परिभाषित करें $O_{F}=\cup \{O_{x}:O_{x}\cap A=F\}$. प्रत्येक $O_{x}$ में से एक का उपसमुच्चय है $O_{F}$, इतना $O_{F}$ कवर एक्स। चूंकि उनमें से बहुत सारे हैं, इसलिए $O_{F}$ X का एक गणनीय खुला आवरण बनाएँ। लेकिन प्रत्येक $O_{F}$ A को एक परिमित उपसमुच्चय (अर्थात् F) में प्रतिच्छेद करता है, इसलिए उनमें से बहुत से A को कवर नहीं कर सकते, X को तो छोड़ ही दें। यह विरोधाभास साबित होता है (2)। '(2) $\Rightarrow$ (3): मान लीजिए (2) रखता है, और रहने देता है $(x_{n})_{n}$ X में एक अनुक्रम हो। यदि अनुक्रम का मान x है जो अनंत बार आता है, तो वह मान अनुक्रम का एक संचय बिंदु (अनुक्रम) है। अन्यथा, अनुक्रम में प्रत्येक मान केवल सीमित रूप से कई बार और सेट में होता है $A=\{x_{n}:n\in \mathbb {N} \}$ अनंत है और इसलिए इसका एक ω-संचय बिंदु x भी है। वह x तब अनुक्रम का एक संचय बिंदु है, जैसा कि आसानी से जांचा जा सकता है। '(3) $\Rightarrow$ (1): मान लीजिए (3) धारण करता है और $\{O_{n}:n\in \mathbb {N} \}$ एक परिमित उपकवर के बिना एक गणनीय खुला आवरण है। फिर प्रत्येक के लिए $n$ हम एक बिंदु चुन सकते हैं $x_{n}\in X$ वह अंदर नहीं है $\cup _{i=1}^{n}O_{i}$. क्रम $(x_{n})_{n}$ एक संचय बिंदु x है और वह x कुछ में है $O_{k}$. परन्तु फिर $O_{k}$ x का एक पड़ोस है जिसमें इनमें से कुछ भी शामिल नहीं है $x_{n}$ साथ $n>k$, तो आख़िरकार x अनुक्रम का संचय बिंदु नहीं है। यह विरोधाभास (1) सिद्ध करता है। '(4) $\Leftrightarrow$ (1): पूरक लेने पर स्थितियाँ (1) और (4) आसानी से समतुल्य दिखाई देती हैं।

उदाहरण

• पहला बेशुमार ऑर्डिनल (ऑर्डर टोपोलॉजी के साथ) गणनीय कॉम्पैक्ट स्पेस का उदाहरण है जो कॉम्पैक्ट नहीं है।

गुण

• प्रत्येक कॉम्पैक्ट स्थान काफी कॉम्पैक्ट होता है।
• एक गणनीय रूप से सघन स्थान सघन होता है यदि और केवल तभी जब वह लिंडेलॉफ स्थान|लिंडेलोफ हो।
• प्रत्येक गणनीय रूप से सघन स्थान सीमा बिंदु सघन है।
• T1 रिक्त स्थान के लिए, गणनीय सघनता और सीमा बिंदु सघनता समतुल्य हैं।
• प्रत्येक क्रमिक रूप से सघन स्थान गणनीय रूप से सघन होता है। बातचीत कायम नहीं है. उदाहरण के लिए, सातत्य की कार्डिनैलिटी का गुणनफल-कई बंद अंतराल $[0,1]$ उत्पाद टोपोलॉजी के साथ कॉम्पैक्ट है और इसलिए काफी कॉम्पैक्ट है; लेकिन यह क्रमिक रूप से सघन नहीं है.
• प्रथम-गणनीय रिक्त स्थान के लिए, गणनीय सघनता और अनुक्रमिक सघनता समतुल्य हैं।
• मेट्रिज़ेबल स्थानों के लिए, गणनीय सघनता, अनुक्रमिक सघनता, सीमा बिंदु सघनता और सघनता सभी समतुल्य हैं।
• मानक टोपोलॉजी के साथ सभी वास्तविक संख्याओं के सेट का उदाहरण दिखाता है कि न तो स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्पेस और न स्थानीय रूप से सघन स्थान|σ-कॉम्पैक्टनेस और न ही पैराकॉम्पैक्ट स्पेस गणनीय कॉम्पैक्टनेस का संकेत देता है।
• एक गणनीय रूप से सघन स्थान के बंद उपस्थान गणनीय रूप से सघन होते हैं।
• एक गणनीय रूप से सघन स्थान की सतत छवि गणनीय रूप से सघन होती है।
• प्रत्येक गणनीय रूप से सघन स्थान छद्मकॉम्पैक्ट है।
• एक गणनीय सघन स्थान में, गैर-रिक्त उपसमुच्चय का प्रत्येक स्थानीय परिमित परिवार परिमित होता है।*प्रत्येक गणनीय रूप से कॉम्पैक्ट पैराकॉम्पैक्ट स्पेस कॉम्पैक्ट है।
• प्रत्येक गणनीय रूप से सघन हॉसडॉर्फ स्थान प्रथम-गणनीय स्थान नियमित स्थान है।
• प्रत्येक सामान्य गणनीय रूप से सघन स्थान संग्रहवार सामान्य है।
• एक सघन स्थान और गणनीय रूप से सघन स्थान का उत्पाद गणनीय रूप से सघन होता है।
• दो गणनीय रूप से सघन स्थानों के उत्पाद को गणनीय रूप से सघन होने की आवश्यकता नहीं है।

यह भी देखें

• क्रमिक रूप से संकुचित स्थान
• संक्षिप्त स्थान
• सीमा बिंदु सघन
• लिंडेलोफ़ स्थान

संदर्भ

• Engelking, Ryszard (1989). General Topology. Heldermann Verlag, Berlin. ISBN 3-88538-006-4.
• James Munkres (1999). Topology (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Counterexamples in Topology (Dover reprint of 1978 ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-486-68735-3.
• Willard, Stephen (2004) [1970], General Topology (Dover reprint of 1970 ed.), Addison-Wesley