रुइन सिद्धांत: Difference between revisions

Revision as of 23:44, 17 July 2023

बीमांकिक विज्ञान और व्यावहारिक संभाव्यता में, विनष्ट सिद्धांत (कभी-कभी संकट सिद्धांत^[1] या सामूहिक संकट सिद्धांत) किसी बीमाकर्ता की दिवालियेपन/विनष्ट होने की संभावना का वर्णन करने के लिए गणितीय मॉडल का उपयोग करता है। ऐसे मॉडलों में ब्याज की मुख्य बातें हैं विनाश की संभावना, विनाश से ठीक पहले अधिशेष का वितरण और विनाश के समय घाटा।

मौलिक मॉडल

File:Samplepathcompoundpoisson.JPG

यौगिक पॉइसन संकट प्रक्रिया का नमूना पथ

विनष्ट सिद्धांत का सैद्धांतिक आधार, जिसे क्रैमर-लुंडबर्ग मॉडल (या मौलिक यौगिक-पॉइसन संकट मॉडल, मौलिक संकट प्रक्रिया) के रूप में जाना जाता है,^[2] 1903 में स्वीडिश एक्चुअरी फिलिप लुंडबर्ग द्वारा प्रस्तुत किया गया था।^[3] लुंडबर्ग का कार्य 1930 के दशक में हेराल्ड क्रैमर द्वारा पुनः प्रकाशित किया गया था।^[4]

मॉडल बीमा कंपनी का वर्णन करता है, जो दो विपरीत नकदी प्रवाह का अनुभव करती है: आने वाले नकद प्रीमियम और आउटगोइंग प्रमाण। प्रीमियम ग्राहकों से स्थिर दर c > 0 पर आते हैं और प्रमाण पॉइसन प्रक्रिया $N_{t}$ के अनुसार तीव्रता λ के साथ आते हैं और स्वतंत्र और समान रूप से वितरित गैर-नकारात्मक यादृच्छिक चर $\xi _{i}$ वितरण F और माध्य μ के साथ वितरित होते हैं (वे यौगिक पॉइसन प्रक्रिया बनाते हैं)। तो बीमाकर्ता के लिए जो प्रारंभिक अधिशेष x से प्रारंभ होता है, कुल संपत्ति $X_{t}$ इस प्रकार दी जाती है:^[5]

X_{t}=x+ct-\sum _{i=1}^{N_{t}}\xi _{i}\quad {\text{ for t}}\geq 0.

मॉडल का केंद्रीय उद्देश्य इस संभावना की जांच करना है कि बीमाकर्ता का अधिशेष स्तर अंततः शून्य से नीचे चला जाता है (फर्म को दिवालिया बना देता है)। यह मात्रा, जिसे अंतिम विनाश की संभावना कहा जाता है, निम्न रूप में परिभाषित किया गया है;

\psi (x)=\mathbb {P} ^{x}\{\tau <\infty \}

जहां विनाश का समय $\tau =\inf\{t>0\,:\,X(t)<0\}$ इस परिपाटी के साथ है कि $\inf \varnothing =\infty$ । इसकी गणना स्पष्ट रूप से पोलाकज़ेक-खिंचाइन सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है^[6] (यहां विनष्ट फलन M/G/1 कतार में प्रतीक्षा समय के स्थिर वितरण के टेल फलन के बराबर है^[7])

\psi (x)=\left(1-{\frac {\lambda \mu }{c}}\right)\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {\lambda \mu }{c}}\right)^{n}(1-F_{l}^{\ast n}(x))

जहाँ $F_{l}$ , $F$ के पुच्छ वितरण का रूपान्तरण है,

F_{l}(x)={\frac {1}{\mu }}\int _{0}^{x}\left(1-F(u)\right){\text{d}}u

और $\cdot ^{\ast n}$ , $n$ -गुना कनवल्शन को दर्शाता है। ऐसी स्थिति में जहां सत्यापन आकार तीव्रता से वितरित किया जाता है, यह सरल हो जाता है^[7]:

$\psi (x)={\frac {\lambda \mu }{c}}e^{-\left({\frac {1}{\mu }}-{\frac {\lambda }{c}}\right)x}.$

स्पैरे एंडरसन मॉडल

ई. स्पैरे एंडरसन ने 1957 में मौलिक मॉडल का विस्तार किया,^[8] प्रमाण के अंतर-आगमन समय को इच्छानुसार ढंग से वितरण फलनों की अनुमति देकर।^[9]

X_{t}=x+ct-\sum _{i=1}^{N_{t}}\xi _{i}\quad {\text{ for }}t\geq 0,

जहां क्लेम नंबर की नवीनीकरण प्रक्रिया $(N_{t})_{t\geq 0}$ होती है, और $(\xi _{i})_{i\in \mathbb {N} }$ स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर हैं।

मॉडल इसके अतिरिक्त मानता है कि $\xi _{i}>0$ लगभग निश्चित रूप से और वह $(N_{t})_{t\geq 0}$ और $(\xi _{i})_{i\in \mathbb {N} }$ स्वतंत्र हैं। इस मॉडल को नवीकरण संकट मॉडल के रूप में भी जाना जाता है।

अपेक्षित रियायती दंड फलन

माइकल आर पॉवर्स^[10] और गेरबर और शिउ^[11] अपेक्षित रियायती दंड फलन के माध्यम से बीमाकर्ता के अधिशेष के व्यवहार का विश्लेषण किया गया, जिसे सामान्यतः विनष्ट साहित्य में गेरबर-शिउ फलन के रूप में जाना जाता है और बीमांकिक वैज्ञानिकों एलियास एस.डब्ल्यू के नाम पर रखा गया है। शिउ और हंस-उलरिच गेरबर, यह बहस का विषय है कि क्या पॉवर्स के योगदान के कारण फलन को पॉवर्स-गेरबर-शिउ फलन कहा जाना चाहिए था।^[10]

माइकल आर. पॉवर्स के संकेतन में, इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है;

m(x)=\mathbb {E} ^{x}[e^{-\delta \tau }K_{\tau }]

,

जहाँ $\delta$ ब्याज की छूट देने वाली शक्ति है, $K_{\tau }$ सामान्य दंड फलन है, जो विनाश के समय बीमाकर्ता की आर्थिक व्यय को दर्शाता है और अपेक्षा $\mathbb {E} ^{x}$ संभाव्यता माप $\mathbb {P} ^{x}$ के अनुरूप है। फलन को पॉवर्स द्वारा दिवालियापन की अपेक्षित रियायती व्यय कहा जाता है।^[10]

गेरबर और शिउ के अंकन में, इसे इस प्रकार दिया गया है

m(x)=\mathbb {E} ^{x}[e^{-\delta \tau }w(X_{\tau -},X_{\tau })\mathbb {I} (\tau <\infty )]

,

जहाँ $\delta$ ब्याज की छूट देने वाली शक्ति है और $w(X_{\tau -},X_{\tau })$ दंड फलन है, जो विनाश के समय बीमाकर्ता की आर्थिक व्यय को कवर करता है (यह विनाश से पहले अधिशेष पर निर्भर माना जाता है) $X_{\tau -}$ और $X_{\tau }$ घाटा विनाश की ओर है), और अपेक्षा $\mathbb {E} ^{x}$ संभाव्यता माप $\mathbb {P} ^{x}$ के अनुरूप है। यहां सूचक फलन $\mathbb {I} (\tau <\infty )$ इस बात पर ध्यान देता है कि जुर्माना तभी लगाया जाता है जब विनाश होता है।

अपेक्षित छूट वाले दंड फलन की व्याख्या करना अत्यधिक सहज है। चूंकि फलन $\tau$ पर होने वाले दंड के बीमांकिक वर्तमान मूल्य को मापता है, इसलिए दंड फलन को डिस्काउंटिंग कारक $e^{-\delta \tau }$ से गुणा किया जाता है, और फिर प्रतीक्षा समय $\tau$ की संभाव्यता वितरण पर औसत निकाला जाता है। जबकि गेरबर और शिउ^[11] इस फलन को मौलिक यौगिक-पॉइसन मॉडल पर प्रयुक्त किया,^[10] पॉवर्स ने तर्क दिया गया कि बीमाकर्ता का अधिशेष प्रसार प्रक्रियाओं के परिवार द्वारा उत्तम ढंग से तैयार किया गया है।

विनाश से संबंधित मात्राओं की विशाल विविधता है, जो अपेक्षित छूट वाले दंड फलन की श्रेणी में आती है।

विशेष स्थिति	गणितीय प्रतिनिधित्व	दंड फलन का चयन
अंतिम विनाश की संभावना	$\mathbb {P} ^{x}\{\tau <\infty \}$	$\delta =0,w(x_{1},x_{2})=1$
अधिशेष और घाटे का संयुक्त (दोषपूर्ण) वितरण	$\mathbb {P} ^{x}\{X_{\tau -}<x,X_{\tau }<y\}$	$\delta =0,w(x_{1},x_{2})=\mathbb {I} (x_{1}<x,x_{2}<y)$
क्लेम का दोषपूर्ण वितरण विनाश का कारण बन रहा है	$\mathbb {P} ^{x}\{X_{\tau -}-X_{\tau }<z\}$	$\delta =0,w(x_{1},x_{2})=\mathbb {I} (x_{1}+x_{2}<z)$
समय, अधिशेष और घाटे का त्रिवेरिएट लाप्लास परिवर्तन	$\mathbb {E} ^{x}[e^{-\delta \tau -sX_{\tau -}-zX_{\tau }}]$	$w(x_{1},x_{2})=e^{-sx_{1}-zx_{2}}$
अधिशेष और घाटे के संयुक्त क्षण	$\mathbb {E} ^{x}[X_{\tau -}^{j}X_{\tau }^{k}]$	$\delta =0,w(x_{1},x_{2})=x_{1}^{j}x_{2}^{k}$

अपेक्षित रियायती दंड फलन के वर्ग से संबंधित अन्य वित्त-संबंधित मात्राओं में स्थायी अमेरिकी पुट विकल्प सम्मिलित है,^[12] इष्टतम व्यायाम समय पर आकस्मिक प्रमाण, और भी बहुत कुछ।

हाल के घटनाक्रम

निरंतर रुचि के साथ कंपाउंड-पॉइसन संकट मॉडल
स्टोकेस्टिक रुचि के साथ कंपाउंड-पॉइसन संकट मॉडल
ब्राउनियन-मोशन संकट मॉडल
सामान्य प्रसार-प्रक्रिया मॉडल
मार्कोव-संग्राहक संकट मॉडल
दुर्घटना संभाव्यता कारक (एपीएफ) कैलकुलेटर - संकट विश्लेषण मॉडल (@एसबीएच)

यह भी देखें

वित्तीय संकट
वोल्टेरा इंटीग्रल समीकरण अनुप्रयोग: रुइन सिद्धांत

संदर्भ

↑ Embrechts, P.; Klüppelberg, C.; Mikosch, T. (1997). "1 Risk Theory". चरम घटनाओं की मॉडलिंग. Stochastic Modelling and Applied Probability. Vol. 33. p. 21. doi:10.1007/978-3-642-33483-2_2. ISBN 978-3-540-60931-5.
↑ Delbaen, F.; Haezendonck, J. (1987). "आर्थिक माहौल में शास्त्रीय जोखिम सिद्धांत". Insurance: Mathematics and Economics. 6 (2): 85. doi:10.1016/0167-6687(87)90019-9.
↑ Lundberg, F. (1903) Approximerad Framställning av Sannolikehetsfunktionen, Återförsäkering av Kollektivrisker, Almqvist & Wiksell, Uppsala.
↑ Blom, G. (1987). "Harald Cramer 1893-1985". The Annals of Statistics. 15 (4): 1335–1350. doi:10.1214/aos/1176350596. JSTOR 2241677.
↑ Kyprianou, A. E. (2006). "Lévy Processes and Applications". Introductory Lectures on Fluctuations of Lévy Processes with Applications. Springer Berlin Heidelberg. pp. 1–32. doi:10.1007/978-3-540-31343-4_1. ISBN 978-3-540-31342-7.
↑ Huzak, Miljenko; Perman, Mihael; Šikić, Hrvoje; Vondraček, Zoran (2004). "प्रतिस्पर्धात्मक दावा प्रक्रियाओं की संभावनाओं को नष्ट करें". Journal of Applied Probability. Applied Probability Trust. 41 (3): 679–690. doi:10.1239/jap/1091543418. JSTOR 4141346. S2CID 14499808.
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↑ Gerber, H.U.; Shiu, E.S.W. (1997). "बर्बादी के सिद्धांत से लेकर विकल्प मूल्य निर्धारण तक" (PDF). AFIR Colloquium, Cairns, Australia 1997.

अग्रिम पठन

Gerber, H.U. (1979). An Introduction to Mathematical Risk Theory. Philadelphia: S.S. Heubner Foundation Monograph Series 8.
Asmussen S., Albrecher H. (2010). Ruin Probabilities, 2nd Edition. Singapore: World Scientific Publishing Co.

[1] Embrechts, P.; Klüppelberg, C.; Mikosch, T. (1997). "1 Risk Theory". चरम घटनाओं की मॉडलिंग. Stochastic Modelling and Applied Probability. Vol. 33. p. 21. doi:10.1007/978-3-642-33483-2_2. ISBN 978-3-540-60931-5.

[2] Delbaen, F.; Haezendonck, J. (1987). "आर्थिक माहौल में शास्त्रीय जोखिम सिद्धांत". Insurance: Mathematics and Economics. 6 (2): 85. doi:10.1016/0167-6687(87)90019-9.

[3] Lundberg, F. (1903) Approximerad Framställning av Sannolikehetsfunktionen, Återförsäkering av Kollektivrisker, Almqvist & Wiksell, Uppsala.

[4] Blom, G. (1987). "Harald Cramer 1893-1985". The Annals of Statistics. 15 (4): 1335–1350. doi:10.1214/aos/1176350596. JSTOR 2241677.

[5] Kyprianou, A. E. (2006). "Lévy Processes and Applications". Introductory Lectures on Fluctuations of Lévy Processes with Applications. Springer Berlin Heidelberg. pp. 1–32. doi:10.1007/978-3-540-31343-4_1. ISBN 978-3-540-31342-7.

[6] Huzak, Miljenko; Perman, Mihael; Šikić, Hrvoje; Vondraček, Zoran (2004). "प्रतिस्पर्धात्मक दावा प्रक्रियाओं की संभावनाओं को नष्ट करें". Journal of Applied Probability. Applied Probability Trust. 41 (3): 679–690. doi:10.1239/jap/1091543418. JSTOR 4141346. S2CID 14499808.

[rolski-7] 7.0 ^7.1 Rolski, Tomasz; Schmidli, Hanspeter; Schmidt, Volker; Teugels, Jozef (2008). "Risk Processes". बीमा और वित्त के लिए स्टोकेस्टिक प्रक्रियाएं. Wiley Series in Probability and Statistics. pp. 147–204. doi:10.1002/9780470317044.ch5. ISBN 9780470317044.

[8] Andersen, E. Sparre. "On the collective theory of risk in case of contagion between claims." Transactions of the XVth International Congress of Actuaries. Vol. 2. No. 6. 1957.

[9] Thorin, Olof. "Some comments on the Sparre Andersen model in the risk theory" The ASTIN bulletin: international journal for actuarial studies in non-life insurance and risk theory (1974): 104.

[powers-10] 10.0 ^10.1 ^10.2 ^10.3 Powers, M. R. (1995). "जोखिम, रिटर्न और सॉल्वेंसी का एक सिद्धांत". Insurance: Mathematics and Economics. 17 (2): 101–118. doi:10.1016/0167-6687(95)00006-E.

[gerber-shiu-11] 11.0 ^11.1 Gerber, H. U.; Shiu, E. S. W. (1998). "बर्बादी के समय मूल्य पर". North American Actuarial Journal. 2: 48–72. doi:10.1080/10920277.1998.10595671. S2CID 59054002.

[12] Gerber, H.U.; Shiu, E.S.W. (1997). "बर्बादी के सिद्धांत से लेकर विकल्प मूल्य निर्धारण तक" (PDF). AFIR Colloquium, Cairns, Australia 1997.

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 ==मौलिक मॉडल==
-[[Image:Samplepathcompoundpoisson.JPG|thumb|right|350px|यौगिक पॉइसन संकट प्रक्रिया का एक नमूना पथ]]विनष्ट सिद्धांत का सैद्धांतिक आधार, जिसे क्रैमर-लुंडबर्ग मॉडल (या मौलिक यौगिक-पॉइसन संकट मॉडल, मौलिक संकट प्रक्रिया) के रूप में जाना जाता है,<ref>{{Cite journal | last1 = Delbaen | first1 = F. | last2 = Haezendonck | first2 = J. | doi = 10.1016/0167-6687(87)90019-9 | title = आर्थिक माहौल में शास्त्रीय जोखिम सिद्धांत| journal = Insurance: Mathematics and Economics | volume = 6 | issue = 2 | pages = 85 | year = 1987 }}</ref> 1903 में स्वीडिश एक्चुअरी [[फिलिप लुंडबर्ग]] द्वारा प्रस्तुत किया गया था।<ref>Lundberg, F. (1903) Approximerad Framställning av Sannolikehetsfunktionen, Återförsäkering av Kollektivrisker, Almqvist & Wiksell, Uppsala.</ref> लुंडबर्ग का कार्य 1930 के दशक में हेराल्ड क्रैमर द्वारा पुनः प्रकाशित किया गया था।<ref>{{Cite journal | last1 = Blom | first1 = G. | title = Harald Cramer 1893-1985 | doi = 10.1214/aos/1176350596 | journal = [[The Annals of Statistics]]| volume = 15 | issue = 4 | pages = 1335–1350 | year = 1987 | jstor = 2241677| doi-access = free }}</ref>
+[[Image:Samplepathcompoundpoisson.JPG|thumb|right|350px|यौगिक पॉइसन संकट प्रक्रिया का नमूना पथ]]विनष्ट सिद्धांत का सैद्धांतिक आधार, जिसे क्रैमर-लुंडबर्ग मॉडल (या मौलिक यौगिक-पॉइसन संकट मॉडल, मौलिक संकट प्रक्रिया) के रूप में जाना जाता है,<ref>{{Cite journal | last1 = Delbaen | first1 = F. | last2 = Haezendonck | first2 = J. | doi = 10.1016/0167-6687(87)90019-9 | title = आर्थिक माहौल में शास्त्रीय जोखिम सिद्धांत| journal = Insurance: Mathematics and Economics | volume = 6 | issue = 2 | pages = 85 | year = 1987 }}</ref> 1903 में स्वीडिश एक्चुअरी [[फिलिप लुंडबर्ग]] द्वारा प्रस्तुत किया गया था।<ref>Lundberg, F. (1903) Approximerad Framställning av Sannolikehetsfunktionen, Återförsäkering av Kollektivrisker, Almqvist & Wiksell, Uppsala.</ref> लुंडबर्ग का कार्य 1930 के दशक में हेराल्ड क्रैमर द्वारा पुनः प्रकाशित किया गया था।<ref>{{Cite journal | last1 = Blom | first1 = G. | title = Harald Cramer 1893-1985 | doi = 10.1214/aos/1176350596 | journal = [[The Annals of Statistics]]| volume = 15 | issue = 4 | pages = 1335–1350 | year = 1987 | jstor = 2241677| doi-access = free }}</ref>
-मॉडल एक बीमा कंपनी का वर्णन करता है, जो दो विपरीत नकदी प्रवाह का अनुभव करती है: आने वाले नकद प्रीमियम और आउटगोइंग प्रमाण। प्रीमियम ग्राहकों से एक स्थिर दर c > 0 पर आते हैं और प्रमाण [[पॉइसन प्रक्रिया]] <math>N_t</math> के अनुसार  तीव्रता λ के साथ आते हैं और [[स्वतंत्र और समान रूप से वितरित]] गैर-नकारात्मक यादृच्छिक चर <math>\xi_i</math>  वितरण F और माध्य μ के साथ वितरित होते हैं (वे एक [[यौगिक पॉइसन प्रक्रिया]] बनाते हैं)। तो एक बीमाकर्ता के लिए जो प्रारंभिक अधिशेष x से प्रारंभ होता है, कुल संपत्ति <math>X_t</math> इस प्रकार दी जाती है:<ref>{{Cite book | first = A. E. | last= Kyprianou| doi = 10.1007/978-3-540-31343-4_1 | chapter = Lévy Processes and Applications | title = Introductory Lectures on Fluctuations of Lévy Processes with Applications | pages = 1–32 | year = 2006 | publisher = Springer Berlin Heidelberg| isbn = 978-3-540-31342-7 }}</ref>
+मॉडल बीमा कंपनी का वर्णन करता है, जो दो विपरीत नकदी प्रवाह का अनुभव करती है: आने वाले नकद प्रीमियम और आउटगोइंग प्रमाण। प्रीमियम ग्राहकों से स्थिर दर c > 0 पर आते हैं और प्रमाण [[पॉइसन प्रक्रिया]] <math>N_t</math> के अनुसार तीव्रता λ के साथ आते हैं और [[स्वतंत्र और समान रूप से वितरित]] गैर-नकारात्मक यादृच्छिक चर <math>\xi_i</math> वितरण F और माध्य μ के साथ वितरित होते हैं (वे [[यौगिक पॉइसन प्रक्रिया]] बनाते हैं)। तो बीमाकर्ता के लिए जो प्रारंभिक अधिशेष x से प्रारंभ होता है, कुल संपत्ति <math>X_t</math> इस प्रकार दी जाती है:<ref>{{Cite book | first = A. E. | last= Kyprianou| doi = 10.1007/978-3-540-31343-4_1 | chapter = Lévy Processes and Applications | title = Introductory Lectures on Fluctuations of Lévy Processes with Applications | pages = 1–32 | year = 2006 | publisher = Springer Berlin Heidelberg| isbn = 978-3-540-31342-7 }}</ref>
 :<math>X_t = x + ct - \sum_{i=1}^{N_t} \xi_i \quad \text{ for t} \geq 0.</math>
 मॉडल का केंद्रीय उद्देश्य इस संभावना की जांच करना है कि बीमाकर्ता का अधिशेष स्तर अंततः शून्य से नीचे चला जाता है (फर्म को दिवालिया बना देता है)। यह मात्रा, जिसे अंतिम विनाश की संभावना कहा जाता है, निम्न रूप में परिभाषित किया गया है;
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 ई. स्पैरे एंडरसन ने 1957 में मौलिक मॉडल का विस्तार किया,<ref>Andersen, E. Sparre. "On the collective theory of risk in case of contagion between claims." ''Transactions of the XVth International Congress of Actuaries''. Vol. 2. No. 6. 1957.</ref> प्रमाण के अंतर-आगमन समय को इच्छानुसार ढंग से वितरण फलनों की अनुमति देकर।<ref>Thorin, Olof. "[http://casact.net/library/astin/vol8no1/104.pdf Some comments on the Sparre Andersen model in the risk theory]" ''The ASTIN bulletin: international journal for actuarial studies in non-life insurance and risk theory'' (1974): 104.</ref>
 ::<math>X_t = x + ct - \sum_{i=1}^{N_t} \xi_i \quad \text{ for }t \geq 0,</math>
-जहां क्लेम नंबर की प्रक्रिया <math> (N_t)_{t\geq 0} </math> होती है, एक नवीनीकरण प्रक्रिया है और <math>(\xi_i)_{i\in\mathbb{N}}</math> स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर हैं।
+जहां क्लेम नंबर की नवीनीकरण प्रक्रिया <math> (N_t)_{t\geq 0} </math> होती है, और <math>(\xi_i)_{i\in\mathbb{N}}</math> स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर हैं।
-मॉडल इसके अतिरिक्त मानता है कि <math> \xi_i > 0 </math> लगभग निश्चित रूप से और वह <math> (N_t)_{t\geq 0} </math> और  <math>(\xi_i)_{i\in\mathbb{N}}</math> स्वतंत्र हैं। इस मॉडल को नवीकरण संकट मॉडल के रूप में भी जाना जाता है।
+मॉडल इसके अतिरिक्त मानता है कि <math> \xi_i > 0 </math> लगभग निश्चित रूप से और वह <math> (N_t)_{t\geq 0} </math> और <math>(\xi_i)_{i\in\mathbb{N}}</math> स्वतंत्र हैं। इस मॉडल को नवीकरण संकट मॉडल के रूप में भी जाना जाता है।
 ==अपेक्षित रियायती दंड फलन==
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 :<math>m(x)=\mathbb{E}^x[e^{-\delta\tau}K_{\tau}]</math>,
-जहाँ <math>\delta</math> ब्याज की छूट देने वाली शक्ति है, <math>K_{\tau}</math> एक सामान्य दंड फलन है, जो विनाश के समय बीमाकर्ता की आर्थिक व्यय को दर्शाता है और अपेक्षा  <math>\mathbb{E}^x</math> संभाव्यता माप <math>\mathbb{P}^x</math> के अनुरूप है। फलन को पॉवर्स द्वारा दिवालियापन की अपेक्षित रियायती व्यय कहा जाता है।<ref name="powers" />
+जहाँ <math>\delta</math> ब्याज की छूट देने वाली शक्ति है, <math>K_{\tau}</math> सामान्य दंड फलन है, जो विनाश के समय बीमाकर्ता की आर्थिक व्यय को दर्शाता है और अपेक्षा <math>\mathbb{E}^x</math> संभाव्यता माप <math>\mathbb{P}^x</math> के अनुरूप है। फलन को पॉवर्स द्वारा दिवालियापन की अपेक्षित रियायती व्यय कहा जाता है।<ref name="powers" />
 गेरबर और शिउ के अंकन में, इसे इस प्रकार दिया गया है
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 :<math>m(x)=\mathbb{E}^x[e^{-\delta\tau}w(X_{\tau-},X_{\tau})\mathbb{I}(\tau<\infty)]</math>,
-जहाँ <math>\delta</math> ब्याज की छूट देने वाली शक्ति है और <math>w(X_{\tau-},X_{\tau})</math> एक दंड फलन है, जो विनाश के समय बीमाकर्ता की आर्थिक व्यय को कवर करता है (यह विनाश से पहले अधिशेष पर निर्भर माना जाता है) <math>X_{\tau-}</math> और <math>X_{\tau}</math> घाटा विनाश की ओर है), और अपेक्षा <math>\mathbb{E}^x</math> संभाव्यता माप <math>\mathbb{P}^x</math> के अनुरूप है। यहां सूचक फलन <math>\mathbb{I}(\tau<\infty)</math>  इस बात पर ध्यान देता है कि जुर्माना तभी लगाया जाता है जब विनाश होता है।
+जहाँ <math>\delta</math> ब्याज की छूट देने वाली शक्ति है और <math>w(X_{\tau-},X_{\tau})</math> दंड फलन है, जो विनाश के समय बीमाकर्ता की आर्थिक व्यय को कवर करता है (यह विनाश से पहले अधिशेष पर निर्भर माना जाता है) <math>X_{\tau-}</math> और <math>X_{\tau}</math> घाटा विनाश की ओर है), और अपेक्षा <math>\mathbb{E}^x</math> संभाव्यता माप <math>\mathbb{P}^x</math> के अनुरूप है। यहां सूचक फलन <math>\mathbb{I}(\tau<\infty)</math> इस बात पर ध्यान देता है कि जुर्माना तभी लगाया जाता है जब विनाश होता है।
-अपेक्षित छूट वाले दंड फलन की व्याख्या करना अत्यधिक सहज है। चूंकि फलन <math>\tau</math> पर होने वाले दंड के बीमांकिक वर्तमान मूल्य को मापता है, इसलिए दंड फलन को डिस्काउंटिंग कारक <math>e^{-\delta\tau}</math> से गुणा किया जाता है, और फिर प्रतीक्षा समय <math>\tau</math> की संभाव्यता वितरण पर औसत निकाला जाता है। जबकि गेरबर और शिउ<ref name="gerber-shiu" /> इस फलन को मौलिक यौगिक-पॉइसन मॉडल पर प्रयुक्त किया,<ref name="powers" /> पॉवर्स ने तर्क दिया गया कि एक बीमाकर्ता का अधिशेष प्रसार प्रक्रियाओं के एक परिवार द्वारा उत्तम ढंग से तैयार किया गया है।
+अपेक्षित छूट वाले दंड फलन की व्याख्या करना अत्यधिक सहज है। चूंकि फलन <math>\tau</math> पर होने वाले दंड के बीमांकिक वर्तमान मूल्य को मापता है, इसलिए दंड फलन को डिस्काउंटिंग कारक <math>e^{-\delta\tau}</math> से गुणा किया जाता है, और फिर प्रतीक्षा समय <math>\tau</math> की संभाव्यता वितरण पर औसत निकाला जाता है। जबकि गेरबर और शिउ<ref name="gerber-shiu" /> इस फलन को मौलिक यौगिक-पॉइसन मॉडल पर प्रयुक्त किया,<ref name="powers" /> पॉवर्स ने तर्क दिया गया कि बीमाकर्ता का अधिशेष प्रसार प्रक्रियाओं के परिवार द्वारा उत्तम ढंग से तैयार किया गया है।
-विनाश से संबंधित मात्राओं की एक विशाल विविधता है, जो अपेक्षित छूट वाले दंड फलन की श्रेणी में आती है।
+विनाश से संबंधित मात्राओं की विशाल विविधता है, जो अपेक्षित छूट वाले दंड फलन की श्रेणी में आती है।
 {| class="wikitable"
 |-

v t e Stochastic processes
Discrete time	Bernoulli process Branching process Chinese restaurant process Galton–Watson process Independent and identically distributed random variables Markov chain Moran process Random walk Loop-erased Self-avoiding Biased Maximal entropy
Continuous time	Additive process Bessel process Birth–death process pure birth Brownian motion Bridge Excursion Fractional Geometric Meander Cauchy process Contact process Continuous-time random walk Cox process Diffusion process Empirical process Feller process Fleming–Viot process Gamma process Geometric process Hawkes process Hunt process Interacting particle systems Itô diffusion Itô process Jump diffusion Jump process Lévy process Local time Markov additive process McKean–Vlasov process Ornstein–Uhlenbeck process Poisson process Compound Non-homogeneous Schramm–Loewner evolution Semimartingale Sigma-martingale Stable process Superprocess Telegraph process Variance gamma process Wiener process Wiener sausage
Both	Branching process Galves–Löcherbach model Gaussian process Hidden Markov model (HMM) Markov process Martingale Differences Local Sub- Super- Random dynamical system Regenerative process Renewal process Stochastic chains with memory of variable length White noise
Fields and other	Dirichlet process Gaussian random field Gibbs measure Hopfield model Ising model Potts model Boolean network Markov random field Percolation Pitman–Yor process Point process Cox Poisson Random field Random graph
Time series models	Autoregressive conditional heteroskedasticity (ARCH) model Autoregressive integrated moving average (ARIMA) model Autoregressive (AR) model Autoregressive–moving-average (ARMA) model Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity (GARCH) model Moving-average (MA) model
Financial models	Binomial options pricing model Black–Derman–Toy Black–Karasinski Black–Scholes Chan–Karolyi–Longstaff–Sanders (CKLS) Chen Constant elasticity of variance (CEV) Cox–Ingersoll–Ross (CIR) Garman–Kohlhagen Heath–Jarrow–Morton (HJM) Heston Ho–Lee Hull–White LIBOR market Rendleman–Bartter SABR volatility Vašíček Wilkie
Actuarial models	Bühlmann Cramér–Lundberg Risk process Sparre–Anderson
Queueing models	Bulk Fluid Generalized queueing network M/G/1 M/M/1 M/M/c
Properties	Càdlàg paths Continuous Continuous paths Ergodic Exchangeable Feller-continuous Gauss–Markov Markov Mixing Piecewise deterministic Predictable Progressively measurable Self-similar Stationary Time-reversible
Limit theorems	Central limit theorem Donsker's theorem Doob's martingale convergence theorems Ergodic theorem Fisher–Tippett–Gnedenko theorem Large deviation principle Law of large numbers (weak/strong) Law of the iterated logarithm Maximal ergodic theorem Sanov's theorem Zero–one laws (Blumenthal, Borel–Cantelli, Engelbert–Schmidt, Hewitt–Savage, Kolmogorov, Lévy)
Inequalities	Burkholder–Davis–Gundy Doob's martingale Doob's upcrossing Kunita–Watanabe Marcinkiewicz–Zygmund
Tools	Cameron–Martin formula Convergence of random variables Doléans-Dade exponential Doob decomposition theorem Doob–Meyer decomposition theorem Doob's optional stopping theorem Dynkin's formula Feynman–Kac formula Filtration Girsanov theorem Infinitesimal generator Itô integral Itô's lemma Karhunen–Loève theorem Kolmogorov continuity theorem Kolmogorov extension theorem Lévy–Prokhorov metric Malliavin calculus Martingale representation theorem Optional stopping theorem Prokhorov's theorem Quadratic variation Reflection principle Skorokhod integral Skorokhod's representation theorem Skorokhod space Snell envelope Stochastic differential equation Tanaka Stopping time Stratonovich integral Uniform integrability Usual hypotheses Wiener space Classical Abstract
Disciplines	Actuarial mathematics Control theory Econometrics Ergodic theory Extreme value theory (EVT) Large deviations theory Mathematical finance Mathematical statistics Probability theory Queueing theory Renewal theory Ruin theory Signal processing Statistics Stochastic analysis Time series analysis Machine learning
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हाल के घटनाक्रम

यह भी देखें

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