बोरेल माप: Difference between revisions
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गणित में [[माप (गणित)|माप गणित]] [[टोपोलॉजिकल स्पेस| | गणित में [[माप (गणित)|माप गणित]] [[टोपोलॉजिकल स्पेस|स्थलाकृति रिक्त]] एक बोरेल माप है जिसे सभी संवृत समूहों और [[बोरेल सेट|बोरेल समूहों]] पर परिभाषित किया गया है <ref>D. H. Fremlin, 2000. ''[http://www.essex.ac.uk/maths/people/fremlin/mt.htm Measure Theory] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20101101220236/http://www.essex.ac.uk/maths/people/fremlin/mt.htm# |date=2010-11-01 }}''. Torres Fremlin.</ref> कि कुछ लेखकों को माप के अतिरिक्त प्रतिबंधों की आवश्यकता होती है जैसा कि नीचे वर्णित है। | ||
==औपचारिक परिभाषा== | ==औपचारिक परिभाषा== | ||
<math>X</math> एक [[स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट|स्थानीय रूप से तुलनीय]] संस्थिति | <math>X</math> एक [[स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट|स्थानीय रूप से तुलनीय]] संस्थिति समष्टि है और <math>\mathfrak{B}(X)</math> सिग्मा-बीजगणित उत्पन्न .CF.83 व बीजगणित का सबसे छोटा σ जिसमें संवृत समूह हों <math>X</math> तथा इसे [[बोरेल सेट|बोरेल समूह]] के σ-बीजगणित के रूप में जाना जाता हो बोरेल माप एक माप है जो <math>\mu</math> बोरेल समूह के σ-बीजगणित पर परिभाषित है तथा <ref>{{cite book | author=Alan J. Weir | title=सामान्य एकीकरण और माप| publisher=[[Cambridge University Press]] | year=1974 | isbn=0-521-29715-X | pages=158–184 }}</ref> कुछ लेखकों को इसकी आवश्यकता होती है <math>\mu</math> स्थानीय रूप से परिमित माप जिसका अर्थ है <math>\mu(C)<\infty</math> प्रत्येक [[कॉम्पैक्ट सेट|संस्थित समूह]] के लिए <math>C</math>. यदि एक बोरेल माप <math>\mu</math> [[आंतरिक नियमित]] माप और परिभाषा दोनों हैं तो इसे बोरेल नियमित माप कहा जाता है अगर <math>\mu</math> आंतरिक नियमित और बाहरी नियमित व स्थानीय रूप से परिमित माप दोनों है तो इसे [[रेडॉन माप]] कहा जाता है। | ||
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[[असली लाइन|असली पंक्ति]] <math>\mathbb R</math> अपनी वास्तविक रेखा के साथ एक संस्थितिक रिक्त के रूप में एक स्थानीय रूप से संस्थितिक रिक्त है इसलिए हम इस पर बोरेल माप को परिभाषित कर सकते हैं इस | [[असली लाइन|असली पंक्ति]] <math>\mathbb R</math> अपनी वास्तविक रेखा के साथ एक संस्थितिक रिक्त के रूप में एक स्थानीय रूप से संस्थितिक रिक्त है इसलिए हम इस पर बोरेल माप को परिभाषित कर सकते हैं इस समष्टि में <math>\mathfrak{B}(\mathbb R)</math> सबसे छोटा σ-बीजगणित है जिसमें संवृत अंतराल होते हैं <math>\mathbb R</math>. जबकि कई बोरेल माप μ हैं, बोरेल माप का विकल्प जो हस्ताक्षर करता है <math>\mu((a,b])=b-a</math> प्रत्येक आधे संवृत अंतराल के लिए <math>(a,b]</math> इसे कभी-कभी बोरेल माप भी कहा जाता है <math>\mathbb R</math>. यह माप [[लेब्सेग माप]] के बोरेल σ-बीजगणित के लिए प्रतिबंध प्रमाणित होता है <math>\lambda</math>, जो एक पूर्ण माप है और लेब्सग्यू σ-बीजगणित पर परिभाषित किया गया है लेब्सग्यू σ-बीजगणित वास्तव में बोरेल σ-बीजगणित का समापन है जिसका अर्थ है कि यह सबसे छोटा σ-बीजगणित है जिसमें सभी बोरेल समूह सम्मिलित हैं और इसे पूर्ण माप से सुसज्जित किया जा सकता है इसको छोड़कर बोरेल माप और लेबेस्ग माप बोरेल समूह पर मेल खाते हैं जबकि <math>\lambda(E)=\mu(E)</math> प्रत्येक बोरेल मापने योग्य समूह के लिए जहां <math>\mu</math> ऊपर वर्णित बोरेल माप है। | ||
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यदि X और Y द्वितीय-गणनीय हैं | यदि X और Y द्वितीय-गणनीय हैं [[हॉसडॉर्फ़ टोपोलॉजिकल स्पेस|हॉसडॉर्फ़ संस्थितिक रिक्त]] तो बोरेल उपसमुच्चय या समुच्चय <math>B(X\times Y)</math> उनके उत्पाद से तथा समूह के उत्पाद से मेल खाता है <math>B(X)\times B(Y)</math> X और Y के बोरेल उपसमुच्चय <ref>[[Vladimir I. Bogachev]]. Measure Theory, Volume 1. Springer Science & Business Media, Jan 15, 2007</ref> बोरेल चालक हैं | ||
: <math>\mathbf{Bor}\colon\mathbf{Top}_\mathrm{2CHaus}\to\mathbf{Meas}</math> द्वितीय-गणनीय हॉसडॉर्फ रिक्त | : <math>\mathbf{Bor}\colon\mathbf{Top}_\mathrm{2CHaus}\to\mathbf{Meas}</math> द्वितीय-गणनीय हॉसडॉर्फ रिक्त समष्टि की [[श्रेणी (गणित)|श्रेणी गणित]] से [[मापने योग्य स्थान|मापने योग्य समष्टि]] की श्रेणी तक परिमित [[उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत)|उत्पाद श्रेणी सिद्धांत]] को संरक्षित करता है। | ||
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: <math>(\mathcal{L}\mu)(s) = \int_{[0,\infty)} e^{-st}\,d\mu(t).</math> | : <math>(\mathcal{L}\mu)(s) = \int_{[0,\infty)} e^{-st}\,d\mu(t).</math> | ||
एक महत्वपूर्ण | एक महत्वपूर्ण समष्टि वह है जहां μ एक [[संभाव्यता माप]] है विशेष रूप से डिराक डेल्टा समारोह है इसे परिचालन कलन में किसी माप के लाप्लास परिवर्तन को ऐसे माना जाता है कि माप संचयी वितरण समारोह f से आया है तथा उस स्थिति में संभावित भ्रम से बचने के लिए व्यक्ति अधिकतर यह लिखता है कि- | ||
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यह सीमा इस बात पर जोर देती है कि 0 पर स्थित कोई भी बिंदु द्रव्यमान पूरी तरह से लाप्लास | यह सीमा इस बात पर जोर देती है कि 0 पर स्थित कोई भी बिंदु द्रव्यमान पूरी तरह से लाप्लास परिमारित्र द्वारा कब्जा किया जाता है जबकि लेबेस्ग समाकलन के साथ ऐसी सीमा आवश्यक नहीं है कि यह लाप्लास-स्टिल्टजेस परिवर्तन के संबंध में अधिक स्वाभाविक रूप से प्रकट होता है। | ||
===संहतीकरण आयाम और फ्रॉस्टमैन की लेम्मा=== | ===संहतीकरण आयाम और फ्रॉस्टमैन की लेम्मा=== | ||
Revision as of 08:52, 13 July 2023
गणित में माप गणित स्थलाकृति रिक्त एक बोरेल माप है जिसे सभी संवृत समूहों और बोरेल समूहों पर परिभाषित किया गया है [1] कि कुछ लेखकों को माप के अतिरिक्त प्रतिबंधों की आवश्यकता होती है जैसा कि नीचे वर्णित है।
औपचारिक परिभाषा
एक स्थानीय रूप से तुलनीय संस्थिति समष्टि है और सिग्मा-बीजगणित उत्पन्न .CF.83 व बीजगणित का सबसे छोटा σ जिसमें संवृत समूह हों तथा इसे बोरेल समूह के σ-बीजगणित के रूप में जाना जाता हो बोरेल माप एक माप है जो बोरेल समूह के σ-बीजगणित पर परिभाषित है तथा [2] कुछ लेखकों को इसकी आवश्यकता होती है स्थानीय रूप से परिमित माप जिसका अर्थ है प्रत्येक संस्थित समूह के लिए . यदि एक बोरेल माप आंतरिक नियमित माप और परिभाषा दोनों हैं तो इसे बोरेल नियमित माप कहा जाता है अगर आंतरिक नियमित और बाहरी नियमित व स्थानीय रूप से परिमित माप दोनों है तो इसे रेडॉन माप कहा जाता है।
वास्तविक रेखा पर
असली पंक्ति अपनी वास्तविक रेखा के साथ एक संस्थितिक रिक्त के रूप में एक स्थानीय रूप से संस्थितिक रिक्त है इसलिए हम इस पर बोरेल माप को परिभाषित कर सकते हैं इस समष्टि में सबसे छोटा σ-बीजगणित है जिसमें संवृत अंतराल होते हैं . जबकि कई बोरेल माप μ हैं, बोरेल माप का विकल्प जो हस्ताक्षर करता है प्रत्येक आधे संवृत अंतराल के लिए इसे कभी-कभी बोरेल माप भी कहा जाता है . यह माप लेब्सेग माप के बोरेल σ-बीजगणित के लिए प्रतिबंध प्रमाणित होता है , जो एक पूर्ण माप है और लेब्सग्यू σ-बीजगणित पर परिभाषित किया गया है लेब्सग्यू σ-बीजगणित वास्तव में बोरेल σ-बीजगणित का समापन है जिसका अर्थ है कि यह सबसे छोटा σ-बीजगणित है जिसमें सभी बोरेल समूह सम्मिलित हैं और इसे पूर्ण माप से सुसज्जित किया जा सकता है इसको छोड़कर बोरेल माप और लेबेस्ग माप बोरेल समूह पर मेल खाते हैं जबकि प्रत्येक बोरेल मापने योग्य समूह के लिए जहां ऊपर वर्णित बोरेल माप है।
उत्पाद स्थान
यदि X और Y द्वितीय-गणनीय हैं हॉसडॉर्फ़ संस्थितिक रिक्त तो बोरेल उपसमुच्चय या समुच्चय उनके उत्पाद से तथा समूह के उत्पाद से मेल खाता है X और Y के बोरेल उपसमुच्चय [3] बोरेल चालक हैं
- द्वितीय-गणनीय हॉसडॉर्फ रिक्त समष्टि की श्रेणी गणित से मापने योग्य समष्टि की श्रेणी तक परिमित उत्पाद श्रेणी सिद्धांत को संरक्षित करता है।
अनुप्रयोग
लेब्सग्यू-स्टिल्टजेस समाकलन
लेब्सग्यू-स्टिल्टजेस समाकलन लेब्सग्यू-स्टिल्टजेस माप के रूप में जानने वाले माप के संबंध में सामान्य लेब्सग समाकलन जो वास्तविक रेखा पर सीमित भिन्नता के किसी भी कार्य से जुड़ा हो सकता है लेब्सग्यू-स्टिल्टजेस माप एक नियमित बोरेल माप है जो इसके विपरीत वास्तविक रेखा पर प्रत्येक नियमित बोरेल माप इस प्रकार का होता है।[4]
लाप्लास परिवर्तन
कोई लेब्सग एकीकरण द्वारा वास्तविक रेखा पर एक परिमित बोरेल माप μ के लाप्लास परिवर्तन को परिभाषित कर सकता है[5]
एक महत्वपूर्ण समष्टि वह है जहां μ एक संभाव्यता माप है विशेष रूप से डिराक डेल्टा समारोह है इसे परिचालन कलन में किसी माप के लाप्लास परिवर्तन को ऐसे माना जाता है कि माप संचयी वितरण समारोह f से आया है तथा उस स्थिति में संभावित भ्रम से बचने के लिए व्यक्ति अधिकतर यह लिखता है कि-
जहां निचली सीमा 0 है−के लिए आशुलिपि संकेतन है
यह सीमा इस बात पर जोर देती है कि 0 पर स्थित कोई भी बिंदु द्रव्यमान पूरी तरह से लाप्लास परिमारित्र द्वारा कब्जा किया जाता है जबकि लेबेस्ग समाकलन के साथ ऐसी सीमा आवश्यक नहीं है कि यह लाप्लास-स्टिल्टजेस परिवर्तन के संबंध में अधिक स्वाभाविक रूप से प्रकट होता है।
संहतीकरण आयाम और फ्रॉस्टमैन की लेम्मा
एक बोरेल माप μ को एक मापीय स्थान X पर इस प्रकार दिया गया है कि μ(X) > 0 और μ(B(x, r)) ≤ rs कुछ स्थिरांक s > 0 के लिए और X में प्रत्येक गेंद B(x, r) के लिए रखता है तो संहतीकरण आयाम मंद होता हैHaus(एक्स) ≥ एस. फ्रॉस्टमैन लेम्मा द्वारा आंशिक बातचीत प्रदान की गई है:[6]लेम्मा: मान लीजिए ए आर का एक बोरेल मापने योग्य उपसमुच्चय हैn और चलो s > 0. फिर निम्नलिखित समतुल्य हैं-
- एचs(A) > 0, जहां Hss-आयामी संहतीकरण माप को दर्शाता है
- एक अहस्ताक्षरित बोरेल माप μ है जो μ(A) > 0 को संतुष्ट करता है जो इस प्रकार है-
- :सभी x ∈ 'R' के लिए मान्यn और r > 0.।
क्रैमर-वॉल्ड प्रमेय
माप सिद्धांत में क्रैमर-वॉल्ड प्रमेय बताता है कि एक बोरेल संभाव्यता माप पर है अपने एक-आयामी प्रक्षेपणों की समग्रता से विशिष्ट रूप से निर्धारित होता है [7] इसका उपयोग संयुक्त अभिसरण परिणामों को सिद्ध करने की एक विधि के रूप में किया जाता है प्रमेय का नाम हेराल्ड क्रैमर और हरमन ओले एंड्रियास वोल्ड के नाम पर रखा गया है।
संदर्भ
- ↑ D. H. Fremlin, 2000. Measure Theory Archived 2010-11-01 at the Wayback Machine. Torres Fremlin.
- ↑ Alan J. Weir (1974). सामान्य एकीकरण और माप. Cambridge University Press. pp. 158–184. ISBN 0-521-29715-X.
- ↑ Vladimir I. Bogachev. Measure Theory, Volume 1. Springer Science & Business Media, Jan 15, 2007
- ↑ Halmos, Paul R. (1974), Measure Theory, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90088-9
- ↑ Feller 1971, §XIII.1
- ↑ Rogers, C. A. (1998). Hausdorff measures. Cambridge Mathematical Library (Third ed.). Cambridge: Cambridge University Press. pp. xxx+195. ISBN 0-521-62491-6.
- ↑ K. Stromberg, 1994. Probability Theory for Analysts. Chapman and Hall.
अग्रिम पठन
- Gaussian measure, a finite-dimensional Borel measure
- Feller, William (1971), An introduction to probability theory and its applications. Vol. II., Second edition, New York: John Wiley & Sons, MR 0270403.
- J. D. Pryce (1973). Basic methods of functional analysis. Hutchinson University Library. Hutchinson. p. 217. ISBN 0-09-113411-0.
- Ransford, Thomas (1995). Potential theory in the complex plane. London Mathematical Society Student Texts. Vol. 28. Cambridge: Cambridge University Press. pp. 209–218. ISBN 0-521-46654-7. Zbl 0828.31001.
- Teschl, Gerald, Topics in Real and Functional Analysis, (lecture notes)
- Wiener's lemma related
