लिफ्टिंग थ्योरी

गणित में, भारोत्तोलन (लिफ्टिंग) सिद्धांत को पहली बार 1931 के एक अग्रणी पेपर में जॉन वॉन न्यूमैन द्वारा प्रस्तुत किया गया था, जिसमें उन्होंने अल्फ्रेड हार द्वारा उठाए गए प्रश्न का उत्तर दिया था। इस सिद्धांत को डोरोथी महरम (1958), एलेक्जेंड्रा बोलो और कैसियस इओनेस्कु-तुलसीया (1961) द्वारा आगे विकसित किया गया था। भारोत्तोलन सिद्धांत काफी हद तक इसके प्रभावशाली अनुप्रयोगों से प्रेरित था। 1969 तक इसके विकास का वर्णन इओनेस्कु तुलसीज़ के मोनोग्राफ में किया गया था। तब से लिफ्टिंग सिद्धांत का विकास जारी रहा, जिससे नए परिणाम और अनुप्रयोग प्राप्त हुए है।

परिभाषाएँ

माप रेखांतर पर भारोत्तोलन $(X,\Sigma ,\mu )$ एक रैखिक और गुणक संचालिका है

$$T:L^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )\to {\mathcal {L}}^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )$$

जो भागफल मानचित्र का दायाँ व्युत्क्रम फलन है

$${\begin{cases}{\mathcal {L}}^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )\to L^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )\\f\mapsto [f]\end{cases}}$$

जहाँ ${\mathcal {L}}^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )$ सेमीनोर्म्ड L^p मापने योग्य फलन के रेखांतर है और $L^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )$ इसका सामान्य मानक भागफल है। दूसरे शब्दों में, एक लिफ्टिंग प्रत्येक समतुल्य वर्ग परिबद्ध मापन योग्य फलन $[f]$ का मॉड्यूलो नगण्य फलन है - जो अब $T([f])$ या $T[f]$ या केवल $Tf$ - इस तरह से कि $T[1]=1$ और सभी के लिए $p\in X$ और सभी $r,s\in \mathbb {R}$ से लिखा गया है।

$$T(r[f]+s[g])(p)=rT[f](p)+sT[g](p),$$

$$T([f]\times [g])(p)=T[f](p)\times T[g](p).$$

लिफ्टिंग का उपयोग विघटन प्रमेय का उत्पादन करने के लिए किया जाता है, उदाहरण के लिए निरंतर यादृच्छिक चर दिए गए सशर्त संभाव्यता वितरण, और किसी फलन के स्तर सेट पर लेबेसेग माप के फ़िब्रेशन है।

लिफ्टिंग का अस्तित्व

प्रमेय मान लीजिए $(X,\Sigma ,\mu )$ पूर्ण है। तब $(X,\Sigma ,\mu )$ यदि और केवल तभी एक लिफ्टिंग को स्वीकार किया जाता है, जब परस्पर असंबद्ध अभिन्न सेटों का संग्रह $\Sigma$ उपस्थित हो जिसका सम्मिलन $X$ है। विशेषकर, यदि $(X,\Sigma ,\mu )$ σ-परिमिति का पूरा होना है माप या रेखांतरीय रूप से संक्षिप्त रेखांतर पर मापन $(X,\Sigma ,\mu )$ एक आंतरिक नियमित बोरल माप के पूरा होने के लिए है।

प्रमाण में एक लिफ्टिंग को बड़े उप-σ-बीजगणित तक लिफ्टिंग का विस्तार करने में सम्मिलित है, जो डोब के मार्टिंगल अभिसरण प्रमेय को लागू करता है यदि प्रक्रिया में एक गिनती योग्य श्रृंखला है।

बहुसंख्यक लिफ्टिंग

कल्पना करना $(X,\Sigma ,\mu )$ पूर्ण है और $X$ पूरी तरह से नियमित हॉसडॉर्फ़ टोपोलॉजी से सुसज्जित है $\tau \subseteq \Sigma$ जैसे कि नगण्य खुले सेटों के किसी भी संग्रह का संघ फिर से नगण्य है - यही स्थिति है $(X,\Sigma ,\mu )$ σ-परिमित है या रेडॉन माप से आता है। फिर का सहारा $\mu ,$ $\operatorname {Supp} (\mu ),$ इसे सबसे बड़े नगण्य खुले उपसमुच्चय और संग्रह के पूरक के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $C_{b}(X,\tau )$ परिबद्ध सतत फलन का संबंध है ${\mathcal {L}}^{\infty }(X,\Sigma ,\mu ).$ के लिए एक मजबूत उठान $(X,\Sigma ,\mu )$ एक उठाव है

$$T:L^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )\to {\mathcal {L}}^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )$$

ऐसा है कि $T\varphi =\varphi$ पर $\operatorname {Supp} (\mu )$ सभी के लिए $\varphi$ में $C_{b}(X,\tau ).$ यह उसकी आवश्यकता के समान ही है $TU\geq (U\cap \operatorname {Supp} (\mu ))$ सभी खुले सेटों के लिए $U$ में $\tau .$ <ब्लॉककोट>प्रमेय। अगर $(\Sigma ,\mu )$ σ-परिमित और पूर्ण है $\tau$ तो इसका एक गणनीय आधार है $(X,\Sigma ,\mu )$ एक मजबूत उठान स्वीकार करता है।

सबूत। होने देना $T_{0}$ के लिए एक भारोत्तोलन हो $(X,\Sigma ,\mu )$ और $U_{1},U_{2},\ldots$ के लिए एक गणनीय आधार $\tau .$ किसी भी बिंदु के लिए $p$ नगण्य सेट में

$$N:=\bigcup \nolimits _{n}\left\{p\in \operatorname {Supp} (\mu ):(T_{0}U_{n})(p)<U_{n}(p)\right\}$$

होने देना $T_{p}$ कोई भी पात्र हो पर $L^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )$ जो चरित्र का विस्तार करता है $\phi \mapsto \phi (p)$ का $C_{b}(X,\tau ).$ फिर के लिए $p$ में $X$ और $[f]$ में $L^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )$ परिभाषित करना:

$$(T[f])(p):={\begin{cases}(T_{0}[f])(p)&p\notin N\\T_{p}[f]&p\in N.\end{cases}}$$

$T$ वांछित मजबूत उठान है.

आवेदन: एक माप का विघटन

कल्पना करना $(X,\Sigma ,\mu )$ और $(Y,\Phi ,\nu )$ σ-परिमित माप रेखांतर हैं ($\mu ,\mu$ सकारात्मक) और $\pi :X\to Y$ एक मापने योग्य मानचित्र है. का एक विघटन $\mu$ साथ में $\pi$ इसके संबंध में $\nu$एक निहत है $Y\ni y\mapsto \lambda _{y}$ सकारात्मक σ-योगात्मक उपायों पर $(\Sigma ,\mu )$ ऐसा है कि

1. $\lambda _{y}$ फाइबर द्वारा ले जाया जाता है $\pi ^{-1}(\{y\})$ का $\pi$ ऊपर $y$, अर्थात। $\{y\}\in \Phi$ और $\lambda _{y}\left((X\setminus \pi ^{-1}(\{y\})\right)=0$ लगभग सभी के लिए $y\in Y$
2. हरएक के लिए $\mu$-अभिन्न फलन $f,$
   $$\int _{X}f(p)\;\mu (dp)=\int _{Y}\left(\int _{\pi ^{-1}(\{y\})}f(p)\,\lambda _{y}(dp)\right)\nu (dy)\qquad (*)$$
   इस अर्थ में कि, के लिए $\nu$-लगभग सभी $y$ में $Y,$ $f$ है $\lambda _{y}$-अभिन्न, फलन
   $$y\mapsto \int _{\pi ^{-1}(\{y\})}f(p)\,\lambda _{y}(dp)$$
   है $\nu$-अभिन्न, और प्रदर्शित समानता $(*)$ धारण करता है.

विघटन प्रमेय विभिन्न परिस्थितियों में उपस्थित है, प्रमाण अलग-अलग हैं लेकिन लगभग सभी मजबूत लिफ्टिंग का उपयोग करते हैं। यहाँ एक सामान्य परिणाम है. इसका संक्षिप्त प्रमाण सामान्य स्वाद देता है।

<ब्लॉककोट>प्रमेय। कल्पना करना $X$ एक पोलिश रेखांतर है और $Y$ एक अलग करने योग्य हॉसडॉर्फ़ रेखांतर, दोनों अपने बोरेल σ-बीजगणित से सुसज्जित हैं। होने देना $\mu$ एक σ-परिमित बोरेल माप हो $X$ और $\pi :X\to Y$ a $\Sigma ,\Phi -$मापने योग्य मानचित्र. फिर एक σ-परिमित बोरेल माप उपस्थित है $\nu$ पर $Y$ और एक विघटन (*)।

अगर $\mu$ परिमित है, $\nu$ आगे बढ़ने वाला माना जा सकता है $\pi _{*}\mu ,$ और फिर $\lambda _{y}$ सम्भावनाएँ हैं.

सबूत। की पॉलिश प्रकृति के कारण $X$ के सघन उपसमुच्चय का एक क्रम है $X$ जो परस्पर विच्छेदित हैं, जिनके मिलन का पूरक नगण्य है और जिस पर $\pi$ सतत है. यह अवलोकन दोनों के मामले में समस्या को कम करता है $X$ और $Y$ कॉम्पैक्ट हैं और $\pi$ निरंतर है, और $\nu =\pi _{*}\mu .$ पूरा $\Phi$ अंतर्गत $\nu$ और एक मजबूत उठाने को ठीक करें $T$ के लिए $(Y,\Phi ,\nu ).$ एक सीमा दी गई $\mu$-मापने योग्य फलन $f,$ होने देना $\lfloor f\rfloor$ इसके अंतर्गत सशर्त अपेक्षा को निरूपित करें $\pi ,$ अर्थात्, रैडॉन-निकोडिम प्रमेय|रेडॉन-निकोडिम व्युत्पन्न $\pi _{*}(f\mu )$ इसके संबंध में $\pi _{*}\mu .$ फिर प्रत्येक के लिए सेट करें $y$ में $Y,$ $\lambda _{y}(f):=T(\lfloor f\rfloor )(y).$ यह दिखाने के लिए कि यह विघटन को परिभाषित करता है, बहीखाता पद्धति और एक उपयुक्त फ़ुबिनी प्रमेय का मामला है। यह देखने के लिए कि उठाने की ताकत कैसे प्रवेश करती है, उस पर ध्यान दें

$$\lambda _{y}(f\cdot \varphi \circ \pi )=\varphi (y)\lambda _{y}(f)\qquad \forall y\in Y,\varphi \in C_{b}(Y),f\in L^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )$$

और अनंत को सर्व सकारात्मक के ऊपर ले लो $\varphi$ में $C_{b}(Y)$ साथ $\varphi (y)=1;$ यह स्पष्ट हो जाता है कि का समर्थन $\lambda _{y}$ ऊपर फाइबर में निहित है $y.$