अर्ध-स्थान (ज्यामिति)

ज्यामिति में, अर्ध-स्थान दो भागों में से एक है जिसमें एक प्लेन (ज्यामिति) त्रि-आयामी यूक्लिडियन समष्टि को विभाजित करता है। यदि स्थान द्वि-आयामी है, तो अर्ध स्थान को अर्ध-प्लेन ( विवृत या सवृत) कहा जाता है। एक-आयामी स्थान में अर्ध-स्थान को अर्ध-रेखा या रे (गणित) कहा जाता है।

अधिक सामान्यतः अर्ध-स्थान उन दो भागों में से एक है जिसमें एक हाइपरप्लेन एक एफ़िन स्थान को विभाजित करता है। अर्थात्, वे बिंदु जो हाइपरप्लेन पर आपतित नहीं होते हैं, वे दो उत्तल समुच्चय (अर्थात, अर्ध-स्थान) में विभाजन (समुच्चय सिद्धांत) हैं, जैसे कि एक समुच्चय में एक बिंदु को दूसरे समुच्चय में एक बिंदु से जोड़ने वाला कोई भी उप-स्थान हाइपरप्लेन को प्रतिच्छेद करना चाहिए .

अर्ध स्थान या तो विवृत या सवृत हो सकता है। एक विवृत अर्ध स्थान एफ़िन स्पेस से हाइपरप्लेन के घटाव द्वारा निर्मित दो खुले समुच्चयों में से एक है। सवृत अर्ध-स्थान एक विवृत अर्ध-स्थान और हाइपरप्लेन का मिलन है जो इसे परिभाषित करता है।

विवृत (सवृत) ऊपरी अर्ध स्थान सभी का अर्ध स्थान है (x₁, x₂, ..., x_n) ऐसा कि x_n > 0 (≥ 0). विवृत (सवृत) निचले अर्ध स्थान को x_n की आवश्यकता के अनुसार इसी तरह परिभाषित किया गया है ऋणात्मक (गैर-घनात्मक) होना।

एक अर्ध-स्थान को रैखिक असमानता द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है, जो रैखिक समीकरण से प्राप्त होता है जो परिभाषित हाइपरप्लेन को निर्दिष्ट करता है। एक सख्त रैखिक असमानता (गणित) एक विवृत अर्ध स्थान को निर्दिष्ट करती है:

$a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}>b$

एक गैर-सख्त व्यक्ति एक सवृत अर्ध स्थान को निर्दिष्ट करता है:

$a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}\geq b$

यहाँ, कोई यह मानता है कि सभी वास्तविक संख्याएँ नहीं a₁, a₂, ..., a_n शून्य हैं.

अर्ध-स्थान एक उत्तल समुच्चय है।

यह भी देखें

• रेखा (ज्यामिति)
• पोंकारे अर्ध-प्लेन मॉडल
• सीगल ऊपरी अर्ध स्थान
• नेफ बहुभुज, अर्ध-स्थानों का उपयोग करके बहुकोणीय आकृति का निर्माण।

बाहरी संबंध

• "Half-plane", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Half-Space". MathWorld.