विकल्प फलन

For the combinatorial choice function C(n, k), see Combination and Binomial coefficient.

एक पसंद समारोह (चयनकर्ता, चयन) एक गणितीय समारोह f है जिसे गैर-खाली समुच्चय (गणित) के कुछ संग्रह X पर परिभाषित किया गया है और उस संग्रह में प्रत्येक समुच्चय S के कुछ तत्व को असाइन करता है एस बाय एफ(एस); f(S) S को S के कुछ तत्वों से मैप करता है। दूसरे शब्दों में, f X के लिए एक पसंद समारोह है अगर और केवल अगर यह X के प्रत्यक्ष उत्पाद से संबंधित है।

एक उदाहरण

मान लीजिए X= { {1,4,7}, {9}, {2,7} }। फिर वह फलन जो समुच्चय {1,4,7} को 7, {9} को 9, और {2,7} को 2 निर्दिष्ट करता है, X पर एक विकल्प फलन है।

इतिहास और महत्व

अर्नेस्ट ज़र्मेलो (1904) ने पसंद समारोह के साथ-साथ पसंद के स्वयंसिद्ध (एसी ) की शुरुआत की और सुव्यवस्थित प्रमेय को साबित किया, जिसमें कहा गया है कि प्रत्येक समुच्चय सुव्यवस्थित हो सकता है | एसी बताता है कि गैर-रिक्त समुच्चयों के प्रत्येक समुच्चय में एक विकल्प कार्य होता है। एसी का एक कमजोर रूप, गणनीय पसंद का स्वयंसिद्ध (एसी_ω) बताता है कि गैर-खाली समुच्चयों के प्रत्येक गणनीय समुच्चय में एक विकल्प कार्य होता है। हालांकि, एसी या एसी_ω की अनुपस्थिति में, कुछ समुच्चयों को अभी भी एक पसंद समारोह के रूप में दिखाया जा सकता है।

• अगर $X$ गैर-खाली समुच्चयों का एक सीमित समुच्चय समुच्चय है, तो कोई इसके लिए एक विकल्प समारोह बना सकता है $X$ के प्रत्येक सदस्य से एक तत्व चुनकर $X.$ इसके लिए केवल बहुत से विकल्पों की आवश्यकता होती है, इसलिए न तो एसी या एसी_ω ज़रूरी है।
• यदि प्रत्येक सदस्य $X$ एक गैर-खाली समुच्चय है, और संघ (समुच्चय सिद्धांत) $\bigcup X$ सुव्यवस्थित है, तो कोई भी प्रत्येक सदस्य के कम से कम तत्व को चुन सकता है $X$. इस मामले में, प्रत्येक सदस्य को एक साथ अच्छी तरह से आदेश देना संभव था $X$ संघ के एक सुव्यवस्था का सिर्फ एक विकल्प बनाकर, इसलिए न तो एसी और न ही एसी_ω चाहिए था। (इस उदाहरण से पता चलता है कि सुक्रम प्रमेय एसी का तात्पर्य है। विपरीत (तर्क) भी सत्य है, लेकिन कम तुच्छ है।)

बहुविकल्पीय मानचित्र का चयन कार्य

दो समुच्चय X और Y दिए गए हैं, मान लीजिए कि F, X से Y तक एक बहुमूल्यवान फलन है (समकक्ष रूप से, $F:X\rightarrow {\mathcal {P}}(Y)$ X से Y के सत्ता स्थापित का एक फंक्शन है)।

एक समारोह $f:X\rightarrow Y$ 'एफ' का चयन कहा जाता है, यदि:

$$\forall x\in X\,(f(x)\in F(x))\,.$$

अंतर समावेशन, इष्टतम नियंत्रण और गणितीय अर्थशास्त्र के सिद्धांत में निरंतर या मापने योग्य चयन जैसे अधिक नियमित विकल्प कार्यों का अस्तित्व महत्वपूर्ण है। चयन प्रमेय देखें।

बोरबाकी ताऊ समारोह

निकोलस बोरबाकी ने अपने फाउंडेशन के लिए एप्सिलॉन गणना का इस्तेमाल किया जिसमें a $\tau$ प्रतीक जिसे एक वस्तु (यदि कोई अस्तित्व में है) चुनने के रूप में व्याख्या किया जा सकता है जो किसी दिए गए प्रस्ताव को संतुष्ट करता है। तो यदि $P(x)$ एक विधेय है, तो $\tau _{x}(P)$ एक विशेष वस्तु है जो संतुष्ट करती है $P$ (यदि कोई मौजूद है, अन्यथा यह एक मनमाना वस्तु लौटाता है)। इसलिए हम पसंद समारोह से क्वांटिफायर प्राप्त कर सकते हैं, उदाहरण के लिए $P(\tau _{x}(P))$ के बराबर था $(\exists x)(P(x))$. हालाँकि, Bourbaki का चॉइस ऑपरेटर सामान्य से अधिक मजबूत है: यह एक ग्लोबल चॉइस ऑपरेटर है। अर्थात्, यह वैश्विक पसंद के स्वयंसिद्ध का अर्थ है। एप्सिलॉन कैलकुलस की शुरुआत करते समय हिल्बर्ट को इसका एहसास हुआ।

यह भी देखें

• गणनीय पसंद का स्वयंसिद्ध
• आश्रित पसंद का स्वयंसिद्ध
• हॉसडॉर्फ विरोधाभास
• अर्ध निरंतरता

संदर्भ

This article incorporates material from Choice function on PlanetMath, which is licensed under the Creative Commons Attribution/Share-Alike License.