कॉची समाकलन प्रमेय: Difference between revisions
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गणित में, [[जटिल विश्लेषण]] में कॉची समाकलन प्रमेय (जिसे कॉची-गॉरसैट प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है), जिसका नाम [[ऑगस्टिन-लुई कॉची]] (और एडौर्ड गौरसैट) के नाम पर रखा गया है, [[जटिल संख्या]] में [[होलोमोर्फिक फ़ंक्शन|होलोमोर्फिक फलन]] के लिए [[लाइन इंटीग्रल|रेखीय समाकलन]] के बारे में एक महत्वपूर्ण कथन है। मूलतः यह कहता है कि यदि <math>f(z)</math> किसी सरल रूप से जुड़े डोमेन Ω में होलोमोर्फिक है, फिर किसी भी सरल रूप से बंद | गणित में, [[जटिल विश्लेषण]] में '''कॉची समाकलन प्रमेय''' (जिसे कॉची-गॉरसैट प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है), जिसका नाम [[ऑगस्टिन-लुई कॉची]] (और एडौर्ड गौरसैट) के नाम पर रखा गया है, [[जटिल संख्या]] में [[होलोमोर्फिक फ़ंक्शन|होलोमोर्फिक फलन]] के लिए [[लाइन इंटीग्रल|रेखीय समाकलन]] के बारे में एक महत्वपूर्ण कथन है। मूलतः यह कहता है कि यदि <math>f(z)</math> किसी सरल रूप से जुड़े डोमेन Ω में होलोमोर्फिक है, फिर किसी भी सरल रूप से बंद परिरेखा के लिए Ω में <math>C</math> , वह परिरेखा समाकलन शून्य है। | ||
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अगर {{math|''f''(''z'')}} एक | अगर {{math|''f''(''z'')}} एक अनावृत डोमेन {{mvar|U}} पर होलोमोर्फिक फलन है, और {{mvar|U}} में <math>z_0</math> से<math>z_1</math> <math>\gamma</math> एक वक्र है तब, | ||
<math display="block">\int_{\gamma}f'(z) \, dz = f(z_1)-f(z_0).</math> | <math display="block">\int_{\gamma}f'(z) \, dz = f(z_1)-f(z_0).</math> | ||
इसके अतिरिक्त , जब {{math|''f''(''z'')}} एक | इसके अतिरिक्त , जब {{math|''f''(''z'')}} एक अनावृत डोमेन {{mvar|U}} में एकल-मूल्यवान प्रतिअवकलन है , फिर पथ समाकलन <math display="inline">\int_{\gamma}f'(z) \, dz</math> सभी पथों {{mvar|U}} के लिए पथ स्वतंत्र पथ है। | ||
==== सरलता से जुड़े डोमेनों पर सूत्रीकरण ==== | ==== सरलता से जुड़े डोमेनों पर सूत्रीकरण ==== | ||
माना की <math>U \subseteq \Complex</math> एक सरल रूप से | माना की <math>U \subseteq \Complex</math> एक सरल रूप से संयोजित अनावृत समुच्चय हो, और माना की <math>f: U \to \Complex</math> एक होलोमोर्फिक फलन हैं। माना की <math>\gamma: [a,b] \to U</math> एक चिकना बंद वक्र हैं। तब<math display="block">\int_\gamma f(z)\,dz = 0. </math><br />(अनुबंध यह है कि <math>U</math> संयोजित रहने का तात्पर्य है <math>U</math> में कोई ख़ाली स्थान नहीं है, या दूसरे शब्दों में, तो <math>U</math> का यह मूल समूह नगण्य है) | ||
==== सामान्य सूत्रीकरण ==== | ==== सामान्य सूत्रीकरण ==== | ||
माना की <math>U \subseteq \Complex</math> एक अनावृत समुच्चय | माना की <math>U \subseteq \Complex</math> एक अनावृत समुच्चय है, और माना की <math>f: U \to \Complex</math> एक होलोमोर्फिक फलन हैं। माना की <math>\gamma: [a,b] \to U</math> एक चिकना बंद वक्र हैं। अगर <math>\gamma</math> एक स्थिर वक्र की समरूपता है, तो, | ||
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(याद रखें कि | (याद रखें कि वक्र स्थिर वक्र का समरूप है यदि उसके अंदर एक चिकनी समरूपता ( अंदर U में) वक्र से स्थिर वक्र तक उपस्थित है। सहज रूप से, इसका तात्पर्य यह है कि कोई व्यक्ति अंतरिक्ष से बाहर निकले बिना वक्र को एक बिंदु में सिकोड़ सकता है।) पहला संस्करण इसका एक विशेष स्थिति है क्योंकि सरल रूप से जुड़े स्थान समुच्चय पर, प्रत्येक बंद वक्र एक स्थिर वक्र का समरूप है। | ||
==== मुख्य उदाहरण ==== | ==== मुख्य उदाहरण ==== | ||
दोनों ही स्थितियों में, यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि वक्र <math>\gamma</math> डोमेन में कोई ख़ाली स्थान नहीं घेरता है, अन्यथा प्रमेय लागू नहीं होता है। एक प्रसिद्ध उदाहरण निम्नलिखित वक्र है | दोनों ही स्थितियों में, यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि वक्र <math>\gamma</math> डोमेन में कोई ख़ाली स्थान नहीं घेरता है, अन्यथा प्रमेय लागू नहीं होता है। एक प्रसिद्ध उदाहरण निम्नलिखित वक्र है | ||
<math display="block">\gamma(t) = e^{it} \quad t \in \left[0, 2\pi\right] ,</math> | <math display="block">\gamma(t) = e^{it} \quad t \in \left[0, 2\pi\right] ,</math> | ||
जो यूनिट सर्कल का पता लगाता है। यहाँ निम्नलिखित समाकलन है: | जो यूनिट सर्कल का पता लगाता है। यहाँ निम्नलिखित समाकलन है: | ||
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==चर्चा== | ==चर्चा== | ||
जैसा कि एडौर्ड गौरसैट ने दिखाया, कॉची के समाकलन प्रमेय को केवल यह मानते हुए सिद्ध किया जा सकता है कि जटिल व्युत्पन्न <math>f'(z)</math> में | जैसा कि एडौर्ड गौरसैट ने दिखाया, कॉची के समाकलन प्रमेय को केवल यह मानते हुए सिद्ध किया जा सकता है कि जटिल व्युत्पन्न <math>f'(z)</math> में प्रत्येक जगह <math>U</math> उपस्थित है . यह महत्वपूर्ण है क्योंकि तब कोई इन कार्यों के लिए कॉची के समाकलन सूत्र को सिद्ध कर सकता है, और उससे यह निष्कर्ष निकाल सकता है कि ये कार्य [[असीम रूप से भिन्न|असीम रूप से अवकल]] हैं। | ||
अनुबंध यह है कि <math>U</math> बस जुड़े रहने का तात्पर्य है <math>U</math> | अनुबंध यह है कि <math>U</math> बस जुड़े रहने का तात्पर्य है की <math>U</math> में कोई ख़ाली स्थान नहीं है या, समरूप शब्दों में, इसका मूल समूह <math>U</math> नगण्य है; उदाहरण के लिए, प्रत्येक खुली डिस्क <math>U_{z_0} = \{ z : \left|z-z_{0}\right| < r\}</math>, के लिए <math>z_0 \in \Complex</math>, अर्हता प्राप्त करता है। स्थिति महत्वपूर्ण विचार करना | ||
<math display="block">\gamma(t) = e^{it} \quad t \in \left[0, 2\pi\right]</math> | <math display="block">\gamma(t) = e^{it} \quad t \in \left[0, 2\pi\right]</math> | ||
जो | जो इकाई वृत्त और फिर पथ समाकलन का पता लगाता है | ||
<math display="block">\oint_\gamma \frac{1}{z}\,dz = \int_0^{2\pi} \frac{1}{e^{it}}(ie^{it} \,dt) = \int_0^{2\pi}i\,dt = 2\pi i </math> | <math display="block">\oint_\gamma \frac{1}{z}\,dz = \int_0^{2\pi} \frac{1}{e^{it}}(ie^{it} \,dt) = \int_0^{2\pi}i\,dt = 2\pi i </math> | ||
शून्येतर है; कॉची समाकलन प्रमेय यहां लागू नहीं होता है जब तक की <math>f(z) = 1/z</math>,<math>z = 0</math> पर परिभाषित नहीं है (और निश्चित रूप से होलोमोर्फिक नहीं है)। प्रमेय का एक महत्वपूर्ण परिणाम यह है कि बस | शून्येतर है; कॉची समाकलन प्रमेय यहां लागू नहीं होता है जब तक की <math>f(z) = 1/z</math>,<math>z = 0</math> पर परिभाषित नहीं है (और निश्चित रूप से होलोमोर्फिक नहीं है)। प्रमेय का एक महत्वपूर्ण परिणाम यह है कि बस संयोजित करना डोमेन पर होलोमोर्फिक कार्यों के पथ समाकल की गणना कैलकुलस के मौलिक प्रमेय से परिचित प्रयोग से की जा सकती है, माना कि <math>U</math> का एक सरल रूप से संयोजित अनावृत उपसमुच्चय <math>\Complex</math> है , माना की <math>f: U \to \Complex</math> एक होलोमोर्फिक फलन है, और माना कि <math>\gamma</math> प्रारंभ बिंदु <math>a</math> और अंत बिंदु <math>b</math>,<math>U</math> के साथ एक टुकड़े में लगातार अलग-अलग पथ है, . अगर <math>F</math> का एक [[जटिल प्रतिव्युत्पन्न]] <math>f</math> है , तब<math display="block">\int_\gamma f(z)\,dz=F(b)-F(a).</math> | ||
कॉची समाकलन प्रमेय ऊपर दी गई परिकल्पना से कमजोर परिकल्पना के साथ मान्य है, उदाहरण के लिए दिया गया <math>U</math>, एक सरल रूप से जुड़ा | कॉची समाकलन प्रमेय ऊपर दी गई परिकल्पना से कमजोर परिकल्पना के साथ मान्य है, उदाहरण के लिए दिया गया <math>U</math>, एक सरल रूप से जुड़ा <math>\Complex</math> का अनावृत उपसमुच्चय , हम धारणाओं को <math>f</math> <math>U</math> पर होलोमोर्फिक होना और निरंतर <math display="inline">\overline{U}</math> पर बंद कमजोर कर सकते हैं, और <math>\gamma</math> <math display="inline">\overline{U}</math> में एक [[सुधार योग्य वक्र|सुधार योग्य]] सरल लूप है।<ref>{{Cite journal|last=Walsh|first=J. L.|date=1933-05-01|title=रेक्टिफ़िएबल जॉर्डन कर्व्स के लिए कॉची-गॉरसैट प्रमेय|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences|volume=19|issue=5|pages=540–541| doi=10.1073/pnas.19.5.540|pmid=16587781|pmc=1086062|issn=0027-8424|doi-access=free}}</ref> | ||
कॉची समाकलन प्रमेय कॉची के समाकलन सूत्र और | कॉची समाकलन प्रमेय कॉची के समाकलन सूत्र और रेसिडुए(परिशिष्ट) प्रमेय की ओर ले जाता है। | ||
==प्रमाण== | ==प्रमाण== | ||
यदि कोई मानता है कि होलोमोर्फिक फलन के आंशिक व्युत्पन्न निरंतर हैं, तो कॉची समाकलन प्रमेय को ग्रीन के प्रमेय के प्रत्यक्ष परिणाम के रूप में सिद्ध किया जा सकता है और यह तथ्य कि वास्तविक और काल्पनिक भाग <math>f=u+iv</math> से घिरे डोमेन {{nowrap|<math>\gamma</math>}} में और इसके अलावा इस क्षेत्र के | यदि कोई मानता है कि होलोमोर्फिक फलन के आंशिक व्युत्पन्न निरंतर हैं, तो कॉची समाकलन प्रमेय को ग्रीन के प्रमेय के प्रत्यक्ष परिणाम के रूप में सिद्ध किया जा सकता है और यह तथ्य कि वास्तविक और काल्पनिक भाग <math>f=u+iv</math> से घिरे डोमेन {{nowrap|<math>\gamma</math>}} में और इसके अलावा इस क्षेत्र के अनावृत आसपास U में कॉची-रीमैन समीकरणों को संतुष्ट करना होगा। कॉची ने यह प्रमाण प्रदान किया, लेकिन बाद में इसे वेक्टर कैलकुलस, या आंशिक व्युत्पन्न (शब्द) की निरंतरता की तकनीकों की आवश्यकता के बिना गौरसैट द्वारा सिद्ध किया गया। | ||
हम एकीकृत {{nowrap|<math>f</math>}} को साथ ही अवकल <math>dz</math> को भी उनके वास्तविक और काल्पनिक घटकों में रोक सकते हैं | हम एकीकृत {{nowrap|<math>f</math>}} को साथ ही अवकल <math>dz</math> को भी उनके वास्तविक और काल्पनिक घटकों में रोक सकते हैं | ||
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<math display="block">\oint_\gamma f(z)\,dz = \oint_\gamma (u+iv)(dx+i\,dy) = \oint_\gamma (u\,dx-v\,dy) +i\oint_\gamma (v\,dx+u\,dy)</math> | <math display="block">\oint_\gamma f(z)\,dz = \oint_\gamma (u+iv)(dx+i\,dy) = \oint_\gamma (u\,dx-v\,dy) +i\oint_\gamma (v\,dx+u\,dy)</math> | ||
ग्रीन के प्रमेय के अनुसार, हम बंद | ग्रीन के प्रमेय के अनुसार, हम बंद परिरेखा के चारों ओर समाकलनों को प्रतिस्थापित कर सकते हैं <math>\gamma</math> पूरे डोमेन में एक समाकलन डोमेन के साथ <math>D</math> जो कि <math>\gamma</math> संलग्न है निम्नलिखितनुसार: | ||
<math display="block">\oint_\gamma (u\,dx-v\,dy) = \iint_D \left( -\frac{\partial v}{\partial x} -\frac{\partial u}{\partial y} \right) \,dx\,dy </math><math display="block">\oint_\gamma (v\,dx+u\,dy) = \iint_D \left( \frac{\partial u}{\partial x} -\frac{\partial v}{\partial y} \right) \,dx\,dy </math> | <math display="block">\oint_\gamma (u\,dx-v\,dy) = \iint_D \left( -\frac{\partial v}{\partial x} -\frac{\partial u}{\partial y} \right) \,dx\,dy </math><math display="block">\oint_\gamma (v\,dx+u\,dy) = \iint_D \left( \frac{\partial u}{\partial x} -\frac{\partial v}{\partial y} \right) \,dx\,dy </math> | ||
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==यह भी देखें== | ==यह भी देखें== | ||
*मोरेरा का प्रमेय | *मोरेरा का प्रमेय | ||
*[[समोच्च एकीकरण के तरीके]] | *[[समोच्च एकीकरण के तरीके|परिरेखा एकीकरण के प्रयोग]] | ||
*[[स्टार डोमेन]] | *[[स्टार डोमेन]] | ||
Revision as of 10:15, 24 July 2023
Mathematical analysis → Complex analysis |
Complex analysis |
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Basic Theory |
Geometric function theory |
People |
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गणित में, जटिल विश्लेषण में कॉची समाकलन प्रमेय (जिसे कॉची-गॉरसैट प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है), जिसका नाम ऑगस्टिन-लुई कॉची (और एडौर्ड गौरसैट) के नाम पर रखा गया है, जटिल संख्या में होलोमोर्फिक फलन के लिए रेखीय समाकलन के बारे में एक महत्वपूर्ण कथन है। मूलतः यह कहता है कि यदि किसी सरल रूप से जुड़े डोमेन Ω में होलोमोर्फिक है, फिर किसी भी सरल रूप से बंद परिरेखा के लिए Ω में , वह परिरेखा समाकलन शून्य है।
कथन
जटिल रेखा समाकलनों के लिए मौलिक प्रमेय
अगर f(z) एक अनावृत डोमेन U पर होलोमोर्फिक फलन है, और U में से एक वक्र है तब,
सरलता से जुड़े डोमेनों पर सूत्रीकरण
माना की एक सरल रूप से संयोजित अनावृत समुच्चय हो, और माना की एक होलोमोर्फिक फलन हैं। माना की एक चिकना बंद वक्र हैं। तब
(अनुबंध यह है कि संयोजित रहने का तात्पर्य है में कोई ख़ाली स्थान नहीं है, या दूसरे शब्दों में, तो का यह मूल समूह नगण्य है)
सामान्य सूत्रीकरण
माना की एक अनावृत समुच्चय है, और माना की एक होलोमोर्फिक फलन हैं। माना की एक चिकना बंद वक्र हैं। अगर एक स्थिर वक्र की समरूपता है, तो,
मुख्य उदाहरण
दोनों ही स्थितियों में, यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि वक्र डोमेन में कोई ख़ाली स्थान नहीं घेरता है, अन्यथा प्रमेय लागू नहीं होता है। एक प्रसिद्ध उदाहरण निम्नलिखित वक्र है
चर्चा
जैसा कि एडौर्ड गौरसैट ने दिखाया, कॉची के समाकलन प्रमेय को केवल यह मानते हुए सिद्ध किया जा सकता है कि जटिल व्युत्पन्न में प्रत्येक जगह उपस्थित है . यह महत्वपूर्ण है क्योंकि तब कोई इन कार्यों के लिए कॉची के समाकलन सूत्र को सिद्ध कर सकता है, और उससे यह निष्कर्ष निकाल सकता है कि ये कार्य असीम रूप से अवकल हैं।
अनुबंध यह है कि बस जुड़े रहने का तात्पर्य है की में कोई ख़ाली स्थान नहीं है या, समरूप शब्दों में, इसका मूल समूह नगण्य है; उदाहरण के लिए, प्रत्येक खुली डिस्क , के लिए , अर्हता प्राप्त करता है। स्थिति महत्वपूर्ण विचार करना
कॉची समाकलन प्रमेय कॉची के समाकलन सूत्र और रेसिडुए(परिशिष्ट) प्रमेय की ओर ले जाता है।
प्रमाण
यदि कोई मानता है कि होलोमोर्फिक फलन के आंशिक व्युत्पन्न निरंतर हैं, तो कॉची समाकलन प्रमेय को ग्रीन के प्रमेय के प्रत्यक्ष परिणाम के रूप में सिद्ध किया जा सकता है और यह तथ्य कि वास्तविक और काल्पनिक भाग से घिरे डोमेन में और इसके अलावा इस क्षेत्र के अनावृत आसपास U में कॉची-रीमैन समीकरणों को संतुष्ट करना होगा। कॉची ने यह प्रमाण प्रदान किया, लेकिन बाद में इसे वेक्टर कैलकुलस, या आंशिक व्युत्पन्न (शब्द) की निरंतरता की तकनीकों की आवश्यकता के बिना गौरसैट द्वारा सिद्ध किया गया।
हम एकीकृत को साथ ही अवकल को भी उनके वास्तविक और काल्पनिक घटकों में रोक सकते हैं
यह भी देखें
- मोरेरा का प्रमेय
- परिरेखा एकीकरण के प्रयोग
- स्टार डोमेन
संदर्भ
- ↑ Walsh, J. L. (1933-05-01). "रेक्टिफ़िएबल जॉर्डन कर्व्स के लिए कॉची-गॉरसैट प्रमेय". Proceedings of the National Academy of Sciences. 19 (5): 540–541. doi:10.1073/pnas.19.5.540. ISSN 0027-8424. PMC 1086062. PMID 16587781.
- Kodaira, Kunihiko (2007), Complex Analysis, Cambridge Stud. Adv. Math., 107, CUP, ISBN 978-0-521-80937-5
- Ahlfors, Lars (2000), Complex Analysis, McGraw-Hill series in Mathematics, McGraw-Hill, ISBN 0-07-000657-1
- Lang, Serge (2003), Complex Analysis, Springer Verlag GTM, Springer Verlag
- Rudin, Walter (2000), Real and Complex Analysis, McGraw-Hill series in mathematics, McGraw-Hill
बाहरी संबंध
- "Cauchy integral theorem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
- Weisstein, Eric W. "Cauchy Integral Theorem". MathWorld.
- Jeremy Orloff, 18.04 Complex Variables with Applications Spring 2018 Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare Creative Commons.