कैसिनी और कैटलन पहचान

कैसिनी की समरूपता (कभी-कभी सिम्सन की समरूपता कहा जाता है) और कैटलन की समरूपता फाइबोनैचि संख्याओं के लिए एक समरूपता (गणित) हैं। कैसिनी की समरूपता, कैटलन की समरूपता की विशेष स्थिति, बताता है कि एनवें फाइबोनैचि संख्या के लिए,

$F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}=(-1)^{n}.$

ध्यान दें यहां $F_{0}$ को 0माना गया है, और $F_{1}$ को 1 लिया गया है।

कैटलन की समरूपता इसे सामान्यीकृत करती है:

$F_{n}^{2}-F_{n-r}F_{n+r}=(-1)^{n-r}F_{r}^{2}.$

वाजदा की समरूपता इसे सामान्यीकृत करती है:

$F_{n+i}F_{n+j}-F_{n}F_{n+i+j}=(-1)^{n}F_{i}F_{j}.$

इतिहास

कैसिनी का सूत्र 1680 में पेरिस वेधशाला के तत्कालीन निदेशक जॉन डोमिनिक कैसिनी द्वारा खोजा गया था, और स्वतंत्र रूप से रॉबर्ट सिमसन (1753) द्वारा सिद्ध किया गया था। यद्यपि जोहान्स केप्लर को संभवतः 1608 में ही इसकी समरूपता ज्ञात थी। यूजीन चार्ल्स कैटलन को 1879 में उनके नाम पर समरूपता मिली। ब्रिटिश गणितज्ञ स्टीवन वाजदा (1901-95) ने फाइबोनैचि संख्याओं (फाइबोनैचि और लुकास संख्या, और गोल्डन अनुभाग: सिद्धांत और अनुप्रयोग, 1989) पर पुस्तक प्रकाशित की जिसमें उनके नाम की समरूपता सम्मिलित है। यद्यपि यह समरूपता पहले ही 1960 में डस्टन एवरमैन द्वारा अमेरिकी गणितीय मासिक में समस्या 1396 के रूप में प्रकाशित की गई थी।

कैसिनी की समरूपता का प्रमाण

आव्यूह सिद्धांत द्वारा प्रमाण

कैसिनी की समरूपता का त्वरित प्रमाण समीकरण के बाईं ओर को फाइबोनैचि संख्याओं के 2×2 आव्यूह (गणित) के निर्धारक के रूप में पहचानकर दिया जा सकता है (नुथ 1997, p. 81)। परिणाम लगभग तत्काल होता है जब आव्यूह को निर्धारक −1 के साथ आव्यूह की nवीं घात के रूप में देखा जाता है:

$F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}=\det \left[{\begin{matrix}F_{n+1}&F_{n}\\F_{n}&F_{n-1}\end{matrix}}\right]=\det \left[{\begin{matrix}1&1\\1&0\end{matrix}}\right]^{n}=\left(\det \left[{\begin{matrix}1&1\\1&0\end{matrix}}\right]\right)^{n}=(-1)^{n}.$

प्रेरण द्वारा प्रमाण

प्रेरण कथन पर विचार करें:

$F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}=(-1)^{n}$

आधार स्थिति $n=1$ सत्य है।

मान लें कि कथन $n$ के लिए सत्य है। तब:

$F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}+F_{n}F_{n+1}-F_{n}F_{n+1}=(-1)^{n}$

$F_{n-1}F_{n+1}+F_{n}F_{n+1}-F_{n}^{2}-F_{n}F_{n+1}=(-1)^{n}$

$F_{n+1}(F_{n-1}+F_{n})-F_{n}(F_{n}+F_{n+1})=(-1)^{n}$

$F_{n+1}^{2}-F_{n}F_{n+2}=(-1)^{n}$

$F_{n}F_{n+2}-F_{n+1}^{2}=(-1)^{n+1}$

तो यह कथन सभी पूर्णांकों $n>0$ के लिए सत्य है।

कैटलन समरूपता का प्रमाण

हम बिनेट के सूत्र का उपयोग करते हैं, वह $F_{n}={\frac {\phi ^{n}-\psi ^{n}}{\sqrt {5}}}$, जहाँ $\phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ और $\psi ={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}$।

इस प्रकार, $\phi +\psi =1$ और $\phi \psi =-1$।

तो,

$5(F_{n}^{2}-F_{n-r}F_{n+r})$

$=(\phi ^{n}-\psi ^{n})^{2}-(\phi ^{n-r}-\psi ^{n-r})(\phi ^{n+r}-\psi ^{n+r})$

$=(\phi ^{2n}-2\phi ^{n}\psi ^{n}+\psi ^{2n})-(\phi ^{2n}-\phi ^{n}\psi ^{n}(\phi ^{-r}\psi ^{r}+\phi ^{r}\psi ^{-r})+\psi ^{2n})$

$=-2\phi ^{n}\psi ^{n}+\phi ^{n}\psi ^{n}(\phi ^{-r}\psi ^{r}+\phi ^{r}\psi ^{-r})$

$\phi \psi =-1$ का उपयोग करना, और फिर

$=-(-1)^{n}2+(-1)^{n}(\phi ^{-r}\psi ^{r}+\phi ^{r}\psi ^{-r})$

$\phi ={\frac {-1}{\psi }}$ के रूप में,

$=-(-1)^{n}2+(-1)^{n-r}(\psi ^{2r}+\phi ^{2r})$

लुकास_संख्या $L_{n}$, $L_{n}=\phi ^{n}+\psi ^{n}$ के रूप में परिभाषित किया गया है, इसलिए

$=-(-1)^{n}2+(-1)^{n-r}L_{2r}$

क्योंकि $L_{2n}=5F_{n}^{2}+2(-1)^{n}$

$=-(-1)^{n}2+(-1)^{n-r}(5F_{r}^{2}+2(-1)^{r})$

$=-(-1)^{n}2+(-1)^{n-r}2(-1)^{r}+(-1)^{n-r}5F_{r}^{2}$

$=-(-1)^{n}2+(-1)^{n}2+(-1)^{n-r}5F_{r}^{2}$

$=(-1)^{n-r}5F_{r}^{2}$

$5$ को निरस्त करने पर परिणाम मिलता है।

संदर्भ

• Knuth, Donald Ervin (1997), The Art of Computer Programming, Volume 1: Fundamental Algorithms, The Art of Computer Programming, vol. 1 (3rd ed.), Reading, Mass: Addison-Wesley, ISBN 0-201-89683-4

• Simson, R. (1753). "An Explication of an Obscure Passage in Albert Girard's Commentary upon Simon Stevin's Works". Philosophical Transactions of the Royal Society of London. 48: 368–376. doi:10.1098/rstl.1753.0056.

• Werman, M.; Zeilberger, D. (1986). "A bijective proof of Cassini's Fibonacci identity". Discrete Mathematics. 58 (1): 109. doi:10.1016/0012-365X(86)90194-9. MR 0820846.

बाहरी संबंध

• Proof of Cassini's identity
• Proof of Catalan's Identity
• Cassini formula for Fibonacci numbers
• Fibonacci and Phi Formulae