ली दूरी: Difference between revisions

Revision as of 17:39, 22 July 2023

कोडिंग सिद्धांत में, ली दूरी दो स्ट्रिंग (कंप्यूटर विज्ञान) के बीच की दूरी है $x_{1}x_{2}\dots x_{n}$ और $y_{1}y_{2}\dots y_{n}$ q-ary वर्णमाला पर समान लंबाई n का ${0, 1, \dots, q - 1$ } आकार का $q \geq 2$ . यह मीट्रिक (गणित) है^[1]के रूप में परिभाषित

\sum _{i=1}^{n}\min(|x_{i}-y_{i}|,\,q-|x_{i}-y_{i}|).

अगर

q = 2

या

q = 3

ली दूरी हैमिंग दूरी से मेल खाती है, क्योंकि दोनों दूरियां दो एकल समान प्रतीकों के लिए 0 हैं और दो एकल गैर-समान प्रतीकों के लिए 1 हैं। के लिए

q > 3

अब ऐसा नहीं है; एकल अक्षरों के बीच ली दूरी 1 से बड़ी हो सकती है। हालाँकि, बीच में ग्रे आइसोमेट्री (वजन-संरक्षण आक्षेप) मौजूद है

\mathbb {Z} _{4}

ली वजन के साथ और

\mathbb {Z} _{2}^{2}

हथौड़ा चलाना वजन के साथ.^[2]

वर्णमाला को योगात्मक समूह मॉड्यूलर अंकगणित|Z मानते हुए_q, दो एकल अक्षरों के बीच ली दूरी $x$ और $y$ उनके बीच केली ग्राफ़ में सबसे छोटे पथ की लंबाई है (जो गोलाकार है क्योंकि समूह चक्रीय है)।^[3] अधिक सामान्यतः, लंबाई के दो तारों के बीच ली दूरी $n$ केली ग्राफ़ में उनके बीच सबसे छोटे पथ की लंबाई है $\mathbf {Z} _{q}^{n}$ . इसे कम करने से उत्पन्न मीट्रिक स्पेस#कोटिएंट मीट्रिक स्पेस के रूप में भी सोचा जा सकता है $Z n$ मैनहट्टन दूरी मापांक के साथ जाली (असतत उपसमूह) $q Z n$ . के भागफल पर अनुरूप भागफल मीट्रिक $Z n$ मॉड्यूलो मनमाना जाली के रूप में जाना जाता हैMannheim metric या मैनहेम दूरी।^[4]^[5]

ली दूरी से प्रेरित मीट्रिक स्थान एलिप्टिक ज्यामिति का अलग एनालॉग है। रेफरी नाम = देज़ा >Deza, Elena; Deza, Michel (2014), Dictionary of Distances (3rd ed.), Elsevier, p. 52, ISBN 9783662443422</ref>

उदाहरण

अगर $q = 6$ , तो 3140 और 2543 के बीच ली दूरी है $1 + 2 + 0 + 3 = 6$ .

इतिहास और अनुप्रयोग

ली दूरी का नाम चेस्टर ची युआन ली के नाम पर रखा गया है (李始元). इसे चरण मॉडुलन के लिए लागू किया जाता है जबकि हैमिंग दूरी का उपयोग ऑर्थोगोनल मॉड्यूलेशन के मामले में किया जाता है।

बर्लेकैंप कोड ली मेट्रिक में कोड का उदाहरण है।^[6] अन्य महत्वपूर्ण उदाहरण कतारें तैयार की गईं और केरडॉक कोड हैं; जब किसी फ़ील्ड पर विचार किया जाता है तो ये कोड गैर-रैखिक होते हैं, लेकिन रिंग-लीनियर कोड होते हैं।^[2]

संदर्भ

↑ Cite error: Invalid <ref> tag; no text was provided for refs named Deza
↑ ^2.0 ^2.1 Greferath, Marcus (2009). "An Introduction to Ring-Linear Coding Theory". In Sala, Massimiliano; Mora, Teo; Perret, Ludovic; Sakata, Shojiro; Traverso, Carlo (eds.). Gröbner Bases, Coding, and Cryptography. Springer Science & Business Media. p. 220. ISBN 978-3-540-93806-4.
↑ Blahut, Richard E. (2008). Algebraic Codes on Lines, Planes, and Curves: An Engineering Approach. Cambridge University Press. p. 108. ISBN 978-1-139-46946-3.
↑ Huber, Klaus (January 1994) [1993-01-17, 1992-05-21]. "गाऊसी पूर्णांकों पर कोड". IEEE Transactions on Information Theory. 40 (1): 207–216. doi:10.1109/18.272484. eISSN 1557-9654. ISSN 0018-9448. S2CID 195866926. IEEE Log ID 9215213. Archived (PDF) from the original on 2020-12-17. Retrieved 2020-12-17. [1][2] (1+10 पृष्ठ) (NB। यह कार्य आंशिक रूप से CDS में प्रस्तुत किया गया था- 92 सम्मेलन, कलिनिनग्राद, रूस, 1992-09-07 को और सूचना सिद्धांत पर आईईईई संगोष्ठी, सैन एंटोनियो, टीएक्स, यूएसए।)
↑
Strang, Thomas; Dammann, Armin; Röckl, Matthias; Plass, Simon (October 2009). स्थान पहचानकर्ता के रूप में ग्रे कोड का उपयोग करना (PDF). 6. GI/ITG KuVS Fachgespräch Ortsbezogene Anwendungen und Dienste (in English and Deutsch). Oberpfaffenhofen, Germany: Institute of Communications and Navigation, German Aerospace Center (DLR). CiteSeerX 10.1.1.398.9164. Archived (PDF) from the original on 2015-05-01. Retrieved 2020-12-16. (5/8 पृष्ठ) [3]
- Thomas Strang; et al. (October 2009). "स्थान पहचानकर्ता के रूप में ग्रे कोड का उपयोग करना". ResearchGate (Abstract).
↑ Roth, Ron (2006). कोडिंग सिद्धांत का परिचय. Cambridge University Press. p. 314. ISBN 978-0-521-84504-5.

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[Deza-1] Cite error: Invalid <ref> tag; no text was provided for refs named Deza

[Greferath2009-2] 2.0 ^2.1 Greferath, Marcus (2009). "An Introduction to Ring-Linear Coding Theory". In Sala, Massimiliano; Mora, Teo; Perret, Ludovic; Sakata, Shojiro; Traverso, Carlo (eds.). Gröbner Bases, Coding, and Cryptography. Springer Science & Business Media. p. 220. ISBN 978-3-540-93806-4.

[Blahut2008-3] Blahut, Richard E. (2008). Algebraic Codes on Lines, Planes, and Curves: An Engineering Approach. Cambridge University Press. p. 108. ISBN 978-1-139-46946-3.

[Huber_1994-4] Huber, Klaus (January 1994) [1993-01-17, 1992-05-21]. "गाऊसी पूर्णांकों पर कोड". IEEE Transactions on Information Theory. 40 (1): 207–216. doi:10.1109/18.272484. eISSN 1557-9654. ISSN 0018-9448. S2CID 195866926. IEEE Log ID 9215213. Archived (PDF) from the original on 2020-12-17. Retrieved 2020-12-17. [1][2] (1+10 पृष्ठ) (NB। यह कार्य आंशिक रूप से CDS में प्रस्तुत किया गया था- 92 सम्मेलन, कलिनिनग्राद, रूस, 1992-09-07 को और सूचना सिद्धांत पर आईईईई संगोष्ठी, सैन एंटोनियो, टीएक्स, यूएसए।)

[Strang-Dammann-Roeckl-Plass_2009-5] Strang, Thomas; Dammann, Armin; Röckl, Matthias; Plass, Simon (October 2009). स्थान पहचानकर्ता के रूप में ग्रे कोड का उपयोग करना (PDF). 6. GI/ITG KuVS Fachgespräch Ortsbezogene Anwendungen und Dienste (in English and Deutsch). Oberpfaffenhofen, Germany: Institute of Communications and Navigation, German Aerospace Center (DLR). CiteSeerX 10.1.1.398.9164. Archived (PDF) from the original on 2015-05-01. Retrieved 2020-12-16. (5/8 पृष्ठ) [3]
Thomas Strang; et al. (October 2009). "स्थान पहचानकर्ता के रूप में ग्रे कोड का उपयोग करना". ResearchGate (Abstract).

[6] Thomas Strang; et al. (October 2009). "स्थान पहचानकर्ता के रूप में ग्रे कोड का उपयोग करना". ResearchGate (Abstract).

[Roth2006-6] Roth, Ron (2006). कोडिंग सिद्धांत का परिचय. Cambridge University Press. p. 314. ISBN 978-0-521-84504-5.

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-[[कोडिंग सिद्धांत]] में, ली [[दूरी]] दो [[स्ट्रिंग (कंप्यूटर विज्ञान)]] के बीच की दूरी है <math>x_1 x_2 \dots x_n</math> और <math>y_1 y_2 \dots y_n</math> q-ary [[वर्णमाला]] पर समान लंबाई n का {{math|{0, 1, …, ''q'' &minus; 1}}} आकार का {{math|''q'' ≥ 2}}. यह एक मीट्रिक (गणित) है<ref name="Deza" />के रूप में परिभाषित
+[[कोडिंग सिद्धांत]] में, ली [[दूरी]] दो [[स्ट्रिंग (कंप्यूटर विज्ञान)]] के बीच की दूरी है <math>x_1 x_2 \dots x_n</math> और <math>y_1 y_2 \dots y_n</math> q-ary [[वर्णमाला]] पर समान लंबाई n का {{math|{0, 1, …, ''q'' &minus; 1}}} आकार का {{math|''q'' ≥ 2}}. यह मीट्रिक (गणित) है<ref name="Deza" />के रूप में परिभाषित
 <math display="block">\sum_{i=1}^n \min(|x_i - y_i|,\, q - |x_i - y_i|).</math>
-अगर {{math|''q'' {{=}} 2}} या {{math|''q'' {{=}} 3}} ली दूरी [[हैमिंग दूरी]] से मेल खाती है, क्योंकि दोनों दूरियां दो एकल समान प्रतीकों के लिए 0 हैं और दो एकल गैर-समान प्रतीकों के लिए 1 हैं। के लिए {{math|''q'' > 3}} अब ऐसा नहीं है; एकल अक्षरों के बीच ली दूरी 1 से बड़ी हो सकती है। हालाँकि, बीच में एक [[ग्रे आइसोमेट्री]] (वजन-संरक्षण आक्षेप) मौजूद है <math>\mathbb{Z}_4</math> ली वजन के साथ और <math>\mathbb{Z}_2^2</math> [[हथौड़ा चलाना वजन]] के साथ.<ref name="Greferath2009"/>
+अगर {{math|''q'' {{=}} 2}} या {{math|''q'' {{=}} 3}} ली दूरी [[हैमिंग दूरी]] से मेल खाती है, क्योंकि दोनों दूरियां दो एकल समान प्रतीकों के लिए 0 हैं और दो एकल गैर-समान प्रतीकों के लिए 1 हैं। के लिए {{math|''q'' > 3}} अब ऐसा नहीं है; एकल अक्षरों के बीच ली दूरी 1 से बड़ी हो सकती है। हालाँकि, बीच में [[ग्रे आइसोमेट्री]] (वजन-संरक्षण आक्षेप) मौजूद है <math>\mathbb{Z}_4</math> ली वजन के साथ और <math>\mathbb{Z}_2^2</math> [[हथौड़ा चलाना वजन]] के साथ.<ref name="Greferath2009"/>
-वर्णमाला को योगात्मक समूह मॉड्यूलर अंकगणित|Z मानते हुए<sub>''q''</sub>, दो एकल अक्षरों के बीच ली दूरी <math>x</math> और <math>y</math> उनके बीच [[केली ग्राफ]]़ में सबसे छोटे पथ की लंबाई है (जो गोलाकार है क्योंकि समूह चक्रीय है)।<ref name="Blahut2008">{{cite book |first=Richard E. |last=Blahut |title=Algebraic Codes on Lines, Planes, and Curves: An Engineering Approach |url=https://archive.org/details/algebraiccodeson00blah_516 |url-access=limited |year=2008 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-1-139-46946-3 |page=[https://archive.org/details/algebraiccodeson00blah_516/page/n131 108] }}</ref> अधिक सामान्यतः, लंबाई के दो तारों के बीच ली दूरी {{mvar|n}} केली ग्राफ़ में उनके बीच सबसे छोटे पथ की लंबाई है <math>\mathbf{Z}_q^n</math>. इसे कम करने से उत्पन्न मीट्रिक स्पेस#कोटिएंट मीट्रिक स्पेस के रूप में भी सोचा जा सकता है {{math|'''Z'''<sup>''n''</sup>}} [[मैनहट्टन दूरी]] मापांक के साथ जाली (असतत उपसमूह) {{math|''q'''''Z'''<sup>''n''</sup>}}. के भागफल पर अनुरूप भागफल मीट्रिक {{math|'''Z'''<sup>''n''</sup>}} मॉड्यूलो एक मनमाना जाली के रूप में जाना जाता है{{visible anchor|Mannheim metric}} या मैनहेम दूरी।<ref name="Huber_1994">{{cite journal |author-first=Klaus |author-last=Huber |title=गाऊसी पूर्णांकों पर कोड|journal=[[IEEE Transactions on Information Theory]] |volume=40 |number=1 |pages=207–216 |date=January<!-- February --> 1994 |orig-date=1993-01-17, 1992-05-21 |doi=10.1109/18.272484 |id=IEEE Log ID 9215213. |s2cid=195866926 |issn=0018-9448 |eissn=1557-9654 |url=https://www.researchgate.net/publication/220036065 |access-date=2020-12-17 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20201217002024/https://www.researchgate.net/profile/Klaus_Huber/publication/220036065_Codes_over_Gaussian_Integers/links/0d1c84f564dae5d496000000/Codes-over-Gaussian-Integers.pdf |archive-date=2020-12-17}} [https://www.researchgate.net/publication/220036065_Codes_over_Gaussian_Integers][https://dl.acm.org/doi/10.1109/18.272484] (1+10 पृष्ठ) (NB। यह कार्य आंशिक रूप से CDS में प्रस्तुत किया गया था- 92 सम्मेलन, कलिनिनग्राद, रूस, 1992-09-07 को और सूचना सिद्धांत पर आईईईई संगोष्ठी, सैन एंटोनियो, टीएक्स, यूएसए।)</ref><ref name="Strang-Dammann-Roeckl-Plass_2009">{{cite conference |title=स्थान पहचानकर्ता के रूप में ग्रे कोड का उपयोग करना|author-first1=Thomas |author-last1=Strang |author-first2=Armin |author-last2=Dammann |author-first3=Matthias |author-last3=Röckl<!-- also written as: Roeckl --> |author-first4=Simon |author-last4=Plass |work=6. GI/ITG KuVS Fachgespräch Ortsbezogene Anwendungen und Dienste |language=en, de |date=October 2009 |publisher=Institute of Communications and Navigation<!-- Institut für Kommunikation und Navigation -->, [[German Aerospace Center]]<!-- Deutsches Zentrum für Luft‐ und Raumfahrt e.V. --> (DLR) |publication-place=Oberpfaffenhofen, Germany |citeseerx=10.1.1.398.9164<!-- https://web.archive.org/web/20201216232905/https://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.398.9164&rep=rep1&type=pdf --> |url=http://elib.dlr.de/60489/3/paper.pdf |access-date=2020-12-16 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20150501063457/http://elib.dlr.de/60489/3/paper.pdf |archive-date=2015-05-01}} (5/8 पृष्ठ) [https://web.archive.org/web/20201216231728/https://elib.dlr.de/60489/2/Strang_Thomas.pdf]
+वर्णमाला को योगात्मक समूह मॉड्यूलर अंकगणित|Z मानते हुए<sub>''q''</sub>, दो एकल अक्षरों के बीच ली दूरी <math>x</math> और <math>y</math> उनके बीच [[केली ग्राफ]]़ में सबसे छोटे पथ की लंबाई है (जो गोलाकार है क्योंकि समूह चक्रीय है)।<ref name="Blahut2008">{{cite book |first=Richard E. |last=Blahut |title=Algebraic Codes on Lines, Planes, and Curves: An Engineering Approach |url=https://archive.org/details/algebraiccodeson00blah_516 |url-access=limited |year=2008 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-1-139-46946-3 |page=[https://archive.org/details/algebraiccodeson00blah_516/page/n131 108] }}</ref> अधिक सामान्यतः, लंबाई के दो तारों के बीच ली दूरी {{mvar|n}} केली ग्राफ़ में उनके बीच सबसे छोटे पथ की लंबाई है <math>\mathbf{Z}_q^n</math>. इसे कम करने से उत्पन्न मीट्रिक स्पेस#कोटिएंट मीट्रिक स्पेस के रूप में भी सोचा जा सकता है {{math|'''Z'''<sup>''n''</sup>}} [[मैनहट्टन दूरी]] मापांक के साथ जाली (असतत उपसमूह) {{math|''q'''''Z'''<sup>''n''</sup>}}. के भागफल पर अनुरूप भागफल मीट्रिक {{math|'''Z'''<sup>''n''</sup>}} मॉड्यूलो मनमाना जाली के रूप में जाना जाता है{{visible anchor|Mannheim metric}} या मैनहेम दूरी।<ref name="Huber_1994">{{cite journal |author-first=Klaus |author-last=Huber |title=गाऊसी पूर्णांकों पर कोड|journal=[[IEEE Transactions on Information Theory]] |volume=40 |number=1 |pages=207–216 |date=January<!-- February --> 1994 |orig-date=1993-01-17, 1992-05-21 |doi=10.1109/18.272484 |id=IEEE Log ID 9215213. |s2cid=195866926 |issn=0018-9448 |eissn=1557-9654 |url=https://www.researchgate.net/publication/220036065 |access-date=2020-12-17 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20201217002024/https://www.researchgate.net/profile/Klaus_Huber/publication/220036065_Codes_over_Gaussian_Integers/links/0d1c84f564dae5d496000000/Codes-over-Gaussian-Integers.pdf |archive-date=2020-12-17}} [https://www.researchgate.net/publication/220036065_Codes_over_Gaussian_Integers][https://dl.acm.org/doi/10.1109/18.272484] (1+10 पृष्ठ) (NB। यह कार्य आंशिक रूप से CDS में प्रस्तुत किया गया था- 92 सम्मेलन, कलिनिनग्राद, रूस, 1992-09-07 को और सूचना सिद्धांत पर आईईईई संगोष्ठी, सैन एंटोनियो, टीएक्स, यूएसए।)</ref><ref name="Strang-Dammann-Roeckl-Plass_2009">{{cite conference |title=स्थान पहचानकर्ता के रूप में ग्रे कोड का उपयोग करना|author-first1=Thomas |author-last1=Strang |author-first2=Armin |author-last2=Dammann |author-first3=Matthias |author-last3=Röckl<!-- also written as: Roeckl --> |author-first4=Simon |author-last4=Plass |work=6. GI/ITG KuVS Fachgespräch Ortsbezogene Anwendungen und Dienste |language=en, de |date=October 2009 |publisher=Institute of Communications and Navigation<!-- Institut für Kommunikation und Navigation -->, [[German Aerospace Center]]<!-- Deutsches Zentrum für Luft‐ und Raumfahrt e.V. --> (DLR) |publication-place=Oberpfaffenhofen, Germany |citeseerx=10.1.1.398.9164<!-- https://web.archive.org/web/20201216232905/https://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.398.9164&rep=rep1&type=pdf --> |url=http://elib.dlr.de/60489/3/paper.pdf |access-date=2020-12-16 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20150501063457/http://elib.dlr.de/60489/3/paper.pdf |archive-date=2015-05-01}} (5/8 पृष्ठ) [https://web.archive.org/web/20201216231728/https://elib.dlr.de/60489/2/Strang_Thomas.pdf]
 *{{cite web |author=Thomas Strang |display-authors=etal |date=October 2009 |title=स्थान पहचानकर्ता के रूप में ग्रे कोड का उपयोग करना|type=Abstract |website=ResearchGate |url=https://www.researchgate.net/publication/225003251}}</ref>
-ली दूरी से प्रेरित [[मीट्रिक स्थान]] एलिप्टिक ज्यामिति का एक अलग एनालॉग है।
+ली दूरी से प्रेरित [[मीट्रिक स्थान]] एलिप्टिक ज्यामिति का अलग एनालॉग है।
 रेफरी नाम = देज़ा >{{Citation |last1=Deza |first1=Elena |author1-link=Elena Deza|first2=Michel |last2=Deza |author2-link=Michel Deza |title=Dictionary of Distances |year=2014 |edition=3rd |publisher=Elsevier |isbn=9783662443422 |page=52 }}</ref>
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 ==इतिहास और अनुप्रयोग==
-ली दूरी का नाम चेस्टर ची युआन ली के नाम पर रखा गया है ({{lang|zh-CN|李始元}}). इसे चरण [[ मॉडुलन ]] के लिए लागू किया जाता है जबकि हैमिंग दूरी का उपयोग ऑर्थोगोनल मॉड्यूलेशन के मामले में किया जाता है।
+ली दूरी का नाम चेस्टर ची युआन ली के नाम पर रखा गया है ({{lang|zh-CN|李始元}}). इसे चरण [[ मॉडुलन |मॉडुलन]] के लिए लागू किया जाता है जबकि हैमिंग दूरी का उपयोग ऑर्थोगोनल मॉड्यूलेशन के मामले में किया जाता है।
-[[बर्लेकैंप कोड]] ली मेट्रिक में कोड का एक उदाहरण है।<ref name="Roth2006">{{cite book |first=Ron |last=Roth |title=कोडिंग सिद्धांत का परिचय|url=https://archive.org/details/introductiontoco00roth_028 |url-access=limited |date=2006 |publisher=[[Cambridge University Press]] |isbn=978-0-521-84504-5 |page=[https://archive.org/details/introductiontoco00roth_028/page/n325 314]}}</ref> अन्य महत्वपूर्ण उदाहरण [[कतारें तैयार की गईं]] और [[केरडॉक कोड]] हैं; जब किसी फ़ील्ड पर विचार किया जाता है तो ये कोड गैर-रैखिक होते हैं, लेकिन [[रिंग-लीनियर कोड]] होते हैं।<ref name="Greferath2009">{{cite book |editor-last1=Sala |editor-first1=Massimiliano |editor-last2=Mora |editor-first2=Teo |editor-last3=Perret |editor-first3=Ludovic |editor-last4=Sakata |editor-first4=Shojiro |editor-last5=Traverso |editor-first5=Carlo |title=Gröbner Bases, Coding, and Cryptography |url=https://archive.org/details/grbnerbasescodin00sala |url-access=limited |year=2009 |publisher=[[Springer Science & Business Media]] |isbn=978-3-540-93806-4 |chapter=An Introduction to Ring-Linear Coding Theory |author-first=Marcus |author-last=Greferath |page=[https://archive.org/details/grbnerbasescodin00sala/page/n226 220]}}</ref>
+[[बर्लेकैंप कोड]] ली मेट्रिक में कोड का उदाहरण है।<ref name="Roth2006">{{cite book |first=Ron |last=Roth |title=कोडिंग सिद्धांत का परिचय|url=https://archive.org/details/introductiontoco00roth_028 |url-access=limited |date=2006 |publisher=[[Cambridge University Press]] |isbn=978-0-521-84504-5 |page=[https://archive.org/details/introductiontoco00roth_028/page/n325 314]}}</ref> अन्य महत्वपूर्ण उदाहरण [[कतारें तैयार की गईं]] और [[केरडॉक कोड]] हैं; जब किसी फ़ील्ड पर विचार किया जाता है तो ये कोड गैर-रैखिक होते हैं, लेकिन [[रिंग-लीनियर कोड]] होते हैं।<ref name="Greferath2009">{{cite book |editor-last1=Sala |editor-first1=Massimiliano |editor-last2=Mora |editor-first2=Teo |editor-last3=Perret |editor-first3=Ludovic |editor-last4=Sakata |editor-first4=Shojiro |editor-last5=Traverso |editor-first5=Carlo |title=Gröbner Bases, Coding, and Cryptography |url=https://archive.org/details/grbnerbasescodin00sala |url-access=limited |year=2009 |publisher=[[Springer Science & Business Media]] |isbn=978-3-540-93806-4 |chapter=An Introduction to Ring-Linear Coding Theory |author-first=Marcus |author-last=Greferath |page=[https://archive.org/details/grbnerbasescodin00sala/page/n226 220]}}</ref>
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 * {{Citation |first=Elwyn R. |last=Berlekamp |author-link=Elwyn Berlekamp |title=Algebraic Coding Theory |publisher=McGraw-Hill |year=1968}}
 * {{cite book |editor=Vardy, Alexander |editor-link=Alexander Vardy |title=Codes, Curves, and Signals: Common Threads in Communications |year=1998 |publisher=Springer Science & Business Media |isbn=978-1-4615-5121-8 |chapter=Lee Weights of Codes from Elliptic Curves |first=Jose Felipe |last=Voloch |first2=Judy L. |last2=Walker }}
-{{Strings}}
 [[Category: कोडिंग सिद्धांत]] [[Category: स्ट्रिंग मेट्रिक्स]]

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