रीमैनियन मैनिफोल्ड्स की वक्रता: Difference between revisions

Revision as of 09:55, 26 July 2023

बाएं से दाएं: नकारात्मक गाऊसी वक्रता (hyperboloid) की सतह, शून्य गाऊसी वक्रता की सतह (सिलेंडर (ज्यामिति)), और सकारात्मक गाऊसी वक्रता (गोलाकार) की सतह। उच्च आयामों में, कई गुना में अलग-अलग दिशाओं में अलग-अलग वक्रताएं हो सकती हैं, जो रीमैन वक्रता टेंसर द्वारा वर्णित है।

गणित में, विशेष रूप से विभेदक ज्यामिति, 2 से अधिक आयाम वाले रीमैनियन मैनिफोल्ड्स की अतिसूक्ष्म ज्यामिति इतनी सम्मिश्र है कि किसी दिए गए बिंदु पर एकल संख्या द्वारा वर्णित नहीं किया जा सकता है। रीमैन ने इन मैनिफोल्ड्स के लिए वक्रता को परिभाषित करने के लिए अमूर्त और कठोर विधि को पेश किया जाता है, जिसे अब रीमैन वक्रता टेंसर के रूप में जाना जाता है। इसी तरह की धारणाओं को सतहों और अन्य वस्तुओं की विभेदक ज्यामिति में हर जगह अनुप्रयोग मिला है। छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड की वक्रता को केवल थोड़े से संशोधनों के साथ उसी तरह व्यक्त किया जा सकता है।

रीमैनियन मैनिफोल्ड की वक्रता को व्यक्त करने के विधियाँ

रीमैन वक्रता टेंसर

रीमैनियन मैनिफोल्ड की वक्रता को विभिन्न विधियों से वर्णित किया जा सकता है; सबसे मानक वक्रता टेंसर है, जो निम्नलिखित सूत्र द्वारा लेवी-सिविटा कनेक्शन (या सहसंयोजक विभेदन) $\nabla$ और ली ब्रैकेट $[\cdot ,\cdot ]$ के संदर्भ में दिया गया है।:

R(u,v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w-\nabla _{[u,v]}w.

जहाँ $R(u,v)$ मैनिफोल्ड के स्पर्शरेखा स्थान का रैखिक परिवर्तन है; यह प्रत्येक तर्क में रैखिक है। अगर $u=\partial /\partial x_{i}$ और $v=\partial /\partial x_{j}$ तब समन्वित सदिश क्षेत्र हैं तो $[u,v]=0$ और इसलिए सूत्र सरल हो जाता है

R(u,v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w

अर्थात वक्रता टेंसर सहसंयोजक व्युत्पन्न की गैर-अनुक्रमणात्मकता को मापता है।

रैखिक परिवर्तन $w\mapsto R(u,v)w$ इसे वक्रता परिवर्तन या एंडोमोर्फिज्म भी कहा जाता है।

NB. ऐसी कुछ किताबें हैं जहां वक्रता टेंसर को विपरीत चिह्न से परिभाषित किया गया है।

समरूपताएं और पहचान

वक्रता टेंसर में निम्नलिखित समरूपताएँ हैं:

R(u,v)=-R(v,u)_{}^{}

\langle R(u,v)w,z\rangle =-\langle R(u,v)z,w\rangle _{}^{}

R(u,v)w+R(v,w)u+R(w,u)v=0_{}^{}

अंतिम पहचान ग्रेगोरियो रिक्की-कर्बस्ट्रो द्वारा खोजी गई थी, लेकिन प्रायः इसे पहली बियांची पहचान कहा जाता है, सिर्फ इसलिए कि यह नीचे दी गई बियांची पहचान के समान दिखती है। पहले दो को क्रमशः एंटीसिममेट्री और ली बीजगणित संपत्ति के रूप में संबोधित किया जाना चाहिए, क्योंकि दूसरे का अर्थ है, कि सभी u, v के लिए R(u, v) छद्म-ऑर्थोगोनल ली बीजगणित के अवयव हैं। इन तीनों को मिलाकर छद्म-ऑर्थोगोनल वक्रता संरचना का नाम दिया जाना चाहिए। वे केवल टेंसर बीजगणित की वस्तुओं के साथ पहचान करके टेंसर को जन्म देते हैं - लेकिन इसी तरह क्लिफोर्ड-बीजगणित में अवधारणाओं के साथ भी पहचान होती है। आइए ध्यान दें, वक्रता संरचना के ये तीन सिद्धांत अच्छी तरह से विकसित संरचना सिद्धांत को जन्म देते हैं, जो प्रोजेक्टर के संदर्भ में तैयार किया जाता है (एक वेइल प्रोजेक्टर, जो वेइल वक्रता को जन्म देता है और आइंस्टीन प्रोजेक्टर, जो आइंस्टीनियन गुरुत्वाकर्षण समीकरणों की स्थापना के लिए आवश्यक है)। यह संरचना सिद्धांत छद्म-ऑर्थोगोनल समूहों और Dilation_(metric_space)s की क्रिया के साथ संगत है। इसका ली समूह और बीजगणित, ली ट्रिपल्स और जॉर्डन बीजगणित के सिद्धांत के साथ मजबूत संबंध है। चर्चा में दिए गए संदर्भ देखें.

तीन पहचानें वक्रता टेंसर की समरूपताओं की पूरी सूची बनाती हैं, अर्थात कोई भी टेंसर दिया गया हो जो उपरोक्त पहचानों को संतुष्ट करता हो, किसी बिंदु पर ऐसे वक्रता टेंसर के साथ रीमैनियन मैनिफोल्ड पाया जा सकता है। सरल गणना से पता चलता है कि ऐसा टेंसर $n^{2}(n^{2}-1)/12$ स्वतंत्र घटक होते है. इन तीनों से और उपयोगी पहचान मिलती है:

\langle R(u,v)w,z\rangle =\langle R(w,z)u,v\rangle _{}^{}

बियांची पहचान (प्रायः दूसरी बियांची पहचान) सहसंयोजक व्युत्पन्न सम्मिलित हैं:

\nabla _{u}R(v,w)+\nabla _{v}R(w,u)+\nabla _{w}R(u,v)=0

अनुभागीय वक्रता

अनुभागीय वक्रता रीमैनियन मैनिफोल्ड्स की वक्रता का आगे, समतुल्य लेकिन अधिक ज्यामितीय वर्णन है। यह फलन $K(\sigma )$ है जो खंड $\sigma$ (अर्थात स्पर्शरेखा स्थानों में 2-तल) पर निर्भर करता है। यह p पर $\sigma$ की वक्रता है - अनुभाग; जहाँ $\sigma$ -सेक्शन सतह का स्थानीय रूप से परिभाषित टुकड़ा है जिसमें p पर स्पर्शरेखा विमान के रूप में $\sigma$ समतल होता है, जो जियोडेसिक्स से प्राप्त होता है जो p पर घातीय मानचित्र (रीमैनियन ज्यामिति) के तहत $\sigma$ की छवि की दिशाओं में p से प्रारंभ होता है।

अगर $v,u$ $\sigma$ में दो रैखिक रूप से स्वतंत्र सदिश हैं तब

K(\sigma )=K(u,v)/|u\wedge v|^{2}{\text{ where }}K(u,v)=\langle R(u,v)v,u\rangle

निम्नलिखित सूत्र सांकेतिक करता है कि वक्रता टेंसर का पूरी तरह से वर्णन करती है उसे अनुभागीय वक्रता कहते है :

6\langle R(u,v)w,z\rangle =_{}^{}

[K(u+z,v+w)-K(u+z,v)-K(u+z,w)-K(u,v+w)-K(z,v+w)+K(u,w)+K(v,z)]-_{}^{}

[K(u+w,v+z)-K(u+w,v)-K(u+w,z)-K(u,v+z)-K(w,v+z)+K(v,w)+K(u,z)]._{}^{}

या सरल सूत्र में:

\langle R(u,v)w,z\rangle ={\frac {1}{6}}\left.{\frac {\partial ^{2}}{\partial s\partial t}}\left(K(u+sz,v+tw)-K(u+sw,v+tz)\right)\right|_{(s,t)=(0,0)}

वक्रता रूप

कनेक्शन प्रपत्र वक्रता का वर्णन करने का वैकल्पिक विधि को देता है। इसका उपयोग सामान्य सदिश बंडलों और प्रमुख बंडलों के लिए अधिक किया जाता है, लेकिन यह लेवी-सिविटा कनेक्शन के साथ स्पर्शरेखा बंडल के लिए भी उतना ही अच्छा काम करता है। जितना एन-डायमेंशनल रीमैनियन मैनिफोल्ड की वक्रता 2-रूपों का एंटीसिमेट्रिक आव्युह n×n आव्युह $\Omega _{}^{}=\Omega _{\ j}^{i}$ द्वारा दी गई है (या $\operatorname {so} (n)$ समकक्ष मानों वाला 2-रूप, ओर्थोगोनल समूह $\operatorname {O} (n)$ का ली बीजगणित , जो रीमैनियन मैनिफोल्ड के स्पर्शरेखा बंडल का संरचना समूह है)।

मान लीजिये $e_{i}$ ऑर्थोनॉर्मल आधारों का स्थानीय खंड बनें है। फिर कोई कनेक्शन रूप को परिभाषित कर सकता है, 1-रूप $\omega =\omega _{\ j}^{i}$ का एंटीसिमेट्रिक आव्युह जो निम्नलिखित पहचान से संतुष्ट हैं

\omega _{\ j}^{k}(e_{i})=\langle \nabla _{e_{i}}e_{j},e_{k}\rangle

फिर वक्रता रूप $\Omega =\Omega _{\ j}^{i}$ द्वारा परिभाषित किया गया है

\Omega =d\omega +\omega \wedge \omega

.

ध्यान दें कि अभिव्यक्ति " $\omega \wedge \omega$ ", $\omega _{\ j}^{i}\wedge \omega _{\ k}^{j}$ के लिए आशुलिपि है और इसलिए जरूरी नहीं कि विलुप्त हो जाए। निम्नलिखित वक्रता रूप और वक्रता टेंसर के बीच संबंध का वर्णन करता है:

R(u,v)w=\Omega (u\wedge v)w.

यह दृष्टिकोण पहली बियांची पहचान को छोड़कर वक्रता टेंसर की सभी समरूपताओं में निर्मित होता है, जो रूप लेता है

\Omega \wedge \theta =0

जहाँ $\theta =\theta ^{i}$ , $\theta ^{i}(v)=\langle e_{i},v\rangle$ द्वारा परिभाषित 1-रूपों का n-सदिश है. दूसरी बियांची पहचान बनती है

D\Omega =0

D बाहरी सहसंयोजक व्युत्पन्न को दर्शाता है

वक्रता संचालिका

कभी-कभी वक्रता के बारे में संचालक (गणित) के रूप में सोचना सुविधाजनक होता है $Q$ स्पर्शरेखा बाहरी उत्पादों पर (के अवयव ) $\Lambda ^{2}(T)$ ), जिसे निम्नलिखित पहचान द्वारा विशिष्ट रूप से परिभाषित किया गया है:

\langle Q(u\wedge v),w\wedge z\rangle =\langle R(u,v)z,w\rangle .

वक्रता टेंसर की समरूपता (अर्थात् सूचकांकों के पहले और अंतिम जोड़े में एंटीसिमेट्री, और उन जोड़ियों की ब्लॉक-समरूपता) के कारण ऐसा करना संभव है।

आगे की वक्रता टेंसर

सामान्य तौर पर निम्नलिखित टेंसर और फलन वक्रता टेंसर का पूरी तरह से वर्णन नहीं करते हैं, हालाँकि वे महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।

अदिश वक्रता

स्केलर वक्रता किसी भी रीमैनियन मैनिफोल्ड पर फलन है, जिसे विभिन्न प्रकार से दर्शाया जाता है $S,R$ या ${\text{Sc}}$ . यह वक्रता टेंसर का पूर्ण ट्रेस (रैखिक बीजगणित) है; लम्बवत आधार दिया गया

 $\{e_{i}\}$  बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान में

अपने पास

S=\sum _{i,j}\langle R(e_{i},e_{j})e_{j},e_{i}\rangle =\sum _{i}\langle {\text{Ric}}(e_{i}),e_{i}\rangle ,

जहाँ ${\text{Ric}}$ रिक्की टेंसर को दर्शाता है। परिणाम ऑर्थोनॉर्मल आधार की पसंद पर निर्भर नहीं करता है। आयाम 3 से प्रारंभ करके, अदिश वक्रता वक्रता टेंसर का पूरी तरह से वर्णन नहीं करती है।

घुंघराले वक्र

रिक्की वक्रता बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान पर रैखिक ऑपरेटर है, जिसे सामान्यतः द्वारा दर्शाया जाता है ${\text{Ric}}$ . एन ऑर्थोनॉर्मल आधार दिया गया है

 $\{e_{i}\}$  पी पर स्पर्शरेखा स्थान में हमारे पास है

{\text{Ric}}(u)=\sum _{i}R(u,e_{i})e_{i}._{}^{}

परिणाम ऑर्थोनॉर्मल आधार की पसंद पर निर्भर नहीं करता है। चार या अधिक आयामों के साथ, रिक्की वक्रता वक्रता टेंसर का पूरी तरह से वर्णन नहीं करती है।

लेवी-सिविटा कनेक्शन के संदर्भ में रिक्की टेंसर के लिए स्पष्ट अभिव्यक्तियाँ क्रिस्टोफ़ेल प्रतीकों पर लेख में दी गई हैं।

वेइल वक्रता टेंसर

वेइल वक्रता टेंसर में रीमैन वक्रता टेंसर के समान समरूपता है, लेकिन अतिरिक्त बाधा के साथ: इसका निशान (जैसा कि रिक्की वक्रता को परिभाषित करने के लिए उपयोग किया जाता है) विलुप्त हो जाना चाहिए।

वेइल टेंसर मीट्रिक के अनुरूप मानचित्र परिवर्तन के संबंध में अपरिवर्तनीय है: यदि दो मीट्रिक इस प्रकार संबंधित हैं ${\tilde {g}}=fg$ कुछ सकारात्मक अदिश फलन के लिए $f$ , तब ${\tilde {W}}=W$ .

आयाम 2 और 3 में वेइल टेंसर विलुप्त हो जाता है, लेकिन 4 या अधिक आयामों में वेइल टेंसर गैर-शून्य हो सकता है। निरंतर वक्रता के कई गुना के लिए, वेइल टेंसर शून्य है। इसके अतिरिक्त, $W=0$ यदि और केवल यदि मीट्रिक स्थानीय रूप से यूक्लिडियन मीट्रिक के अनुरूप है।

रिक्की अपघटन

हालांकि व्यक्तिगत रूप से, वेइल टेंसर और रिक्की टेंसर सामान्य तौर पर पूर्ण वक्रता टेंसर का निर्धारण नहीं करते हैं, रीमैन वक्रता टेंसर को वेइल भाग और रिक्की भाग में विघटित किया जा सकता है। इस अपघटन को रिक्की अपघटन के रूप में जाना जाता है, और रीमैनियन मैनिफोल्ड्स की अनुरूप ज्यामिति में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। विशेष रूप से, इसका उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि यदि मीट्रिक को अनुरूप कारक द्वारा पुनर्स्केल किया जाता है $e^{2f}$ , फिर रीमैन वक्रता टेंसर बदल जाता है ((0, 4)-टेंसर के रूप में देखा जाता है):

e^{2f}\left(R+\left({\text{Hess}}(f)-df\otimes df+{\frac {1}{2}}\|{\text{grad}}(f)\|^{2}g\right){~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}g\right)

जहाँ ${~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}$ कुलकर्णी-नोमिज़ु उत्पाद को दर्शाता है और हेस हेसियन है।

वक्रता की गणना

वक्रता की गणना के लिए

हाइपरसर्फेस और सबमैनिफोल्ड्स का दूसरा मौलिक रूप देखें,
निर्देशांक में रीमैनियन ज्यामिति या सहसंयोजक व्युत्पन्न में सूत्रों की सूची देखें,
फ़्रेम को घुमाकर कार्टन कनेक्शन और वक्रता प्रपत्र देखें।
यदि कोई जियोडेसिक#रीमैनियन और स्यूडो-रीमैनियन मैनिफोल्ड्स के व्यवहार के बारे में कुछ जानता है तो जैकोबी समीकरण मदद कर सकता है।

संदर्भ

Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996). Foundations of Differential Geometry, Vol. 1 (New ed.). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-15733-3.
Woods, F. S. (1901). "Space of constant curvature". The Annals of Mathematics. 3 (1/4): 71–112. doi:10.2307/1967636. JSTOR 1967636.

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 ===अनुभागीय वक्रता                                   ===
 {{Main|अनुभागीय वक्रता                                                                }}
-अनुभागीय वक्रता रीमैनियन मैनिफोल्ड्स की वक्रता का आगे, समतुल्य लेकिन अधिक ज्यामितीय वर्णन है। यह फ़ंक्शन है <math>K(\sigma)</math> जो सेक्शन पर निर्भर करता है <math>\sigma</math> (अर्थात स्पर्शरेखा स्थानों में 2-तल)। यह की वक्रता है <math>\sigma </math>-पी पर अनुभाग; जहाँ  <math>\sigma </math>-सेक्शन सतह का स्थानीय रूप से परिभाषित टुकड़ा है जिसमें समतल होता है <math>\sigma </math> पी पर स्पर्शरेखा विमान के रूप में, जियोडेसिक्स से प्राप्त होता है जो की छवि की दिशाओं में पी से शुरू होता है <math>\sigma </math> पी पर घातीय मानचित्र (रीमैनियन ज्यामिति) के तहत।
+अनुभागीय वक्रता रीमैनियन मैनिफोल्ड्स की वक्रता का आगे, समतुल्य लेकिन अधिक ज्यामितीय वर्णन है। यह फलन <math>K(\sigma)</math>  है  जो खंड <math>\sigma</math> (अर्थात स्पर्शरेखा स्थानों में 2-तल) पर निर्भर करता है। यह p पर <math>\sigma </math> की वक्रता है - अनुभाग; जहाँ  <math>\sigma </math>-सेक्शन सतह का स्थानीय रूप से परिभाषित टुकड़ा है जिसमें p पर स्पर्शरेखा विमान के रूप में <math>\sigma </math> समतल होता है, जो जियोडेसिक्स से प्राप्त होता है जो p पर घातीय मानचित्र (रीमैनियन ज्यामिति) के तहत <math>\sigma </math> की छवि की दिशाओं में p से प्रारंभ  होता है।
-अगर <math>v,u</math> में दो रैखिक रूप से स्वतंत्र वेक्टर हैं <math>\sigma</math> तब
+अगर <math>v,u</math> <math>\sigma</math> में दो रैखिक रूप से स्वतंत्र सदिश हैं तब
-:<math>K(\sigma)= K(u,v)/|u\wedge v|^2\text{ where }K(u,v)=\langle R(u,v)v,u \rangle</math>
+:<math>K(\sigma)= K(u,v)/|u\wedge v|^2\text{ where }K(u,v)=\langle R(u,v)v,u \rangle                                                         </math>
-निम्नलिखित सूत्र इंगित करता है कि अनुभागीय वक्रता वक्रता टेंसर का पूरी तरह से वर्णन करती है:
+निम्नलिखित सूत्र सांकेतिक करता है कि वक्रता टेंसर का पूरी तरह से वर्णन करती है उसे अनुभागीय वक्रता कहते है :
 :<math>6\langle R(u,v)w,z \rangle =^{}_{}</math>
-:<math>[K(u+z,v+w)-K(u+z,v)-K(u+z,w)-K(u,v+w)-K(z,v+w)+K(u,w)+K(v,z)]-^{}_{}</math>
+:<math>[K(u+z,v+w)-K(u+z,v)-K(u+z,w)-K(u,v+w)-K(z,v+w)+K(u,w)+K(v,z)]-^{}_{}                                                                                        </math>
-:<math>[K(u+w,v+z)-K(u+w,v)-K(u+w,z)-K(u,v+z)-K(w,v+z)+K(v,w)+K(u,z)].^{}_{} </math>
+:<math>[K(u+w,v+z)-K(u+w,v)-K(u+w,z)-K(u,v+z)-K(w,v+z)+K(v,w)+K(u,z)].^{}_{}                                                                                      </math>
 या सरल सूत्र में:
 <math display="block">\langle R(u,v)w,z\rangle=\frac 16 \left.\frac{\partial^2}{\partial s\partial t}
-\left(K(u+sz,v+tw)-K(u+sw,v+tz)\right)\right|_{(s,t)=(0,0)}</math>
+\left(K(u+sz,v+tw)-K(u+sw,v+tz)\right)\right|_{(s,t)=(0,0)}</math><br />
+===वक्रता रूप                                                       ===
-===वक्रता रूप===
 {{Main|वक्रता रूप }}
-[[ कनेक्शन प्रपत्र | कनेक्शन प्रपत्र]] वक्रता का वर्णन करने का वैकल्पिक विधि  देता है। इसका उपयोग सामान्य [[वेक्टर बंडल]]ों और [[प्रमुख बंडल]]ों के लिए अधिक किया जाता है, लेकिन यह लेवी-सिविटा कनेक्शन के साथ स्पर्शरेखा बंडल के लिए भी उतना ही अच्छा काम करता है। एन-डायमेंशनल रीमैनियन मैनिफोल्ड की वक्रता [[एंटीसिमेट्रिक मैट्रिक्स]] n×n मैट्रिक्स द्वारा दी गई है <math>\Omega^{}_{}=\Omega^i_{\ j}</math> 2-रूपों का (या समकक्ष मानों वाला 2-रूप)। <math>\operatorname{so}(n)</math>, ओर्थोगोनल समूह का [[झूठ बीजगणित]] <math>\operatorname{O}(n)</math>, जो रीमैनियन मैनिफोल्ड के स्पर्शरेखा बंडल का [[संरचना समूह]] है)।
+[[ कनेक्शन प्रपत्र | कनेक्शन प्रपत्र]] वक्रता का वर्णन करने का वैकल्पिक विधि को देता है। इसका उपयोग सामान्य [[वेक्टर बंडल|सदिश बंडलों]] और [[प्रमुख बंडल|प्रमुख बंडलों]] के लिए अधिक किया जाता है, लेकिन यह लेवी-सिविटा कनेक्शन के साथ स्पर्शरेखा बंडल के लिए भी उतना ही अच्छा काम करता है। जितना एन-डायमेंशनल रीमैनियन मैनिफोल्ड की वक्रता  2-रूपों का [[एंटीसिमेट्रिक मैट्रिक्स|एंटीसिमेट्रिक आव्युह]]  n×n आव्युह <math>\Omega^{}_{}=\Omega^i_{\ j}</math> द्वारा दी गई है  (या <math>\operatorname{so}(n)</math> समकक्ष मानों वाला 2-रूप, ओर्थोगोनल समूह <math>\operatorname{O}(n)</math> का [[झूठ बीजगणित|ली बीजगणित]] , जो रीमैनियन मैनिफोल्ड के स्पर्शरेखा बंडल का [[संरचना समूह]] है)।
-होने देना <math>e_i</math> ऑर्थोनॉर्मल आधारों का स्थानीय खंड बनें। फिर कोई कनेक्शन फॉर्म को परिभाषित कर सकता है, 1-फॉर्म का एंटीसिमेट्रिक मैट्रिक्स <math>\omega=\omega^i_{\ j}</math> जो निम्नलिखित पहचान से संतुष्ट हैं
+मान लीजिये  <math>e_i</math> ऑर्थोनॉर्मल आधारों का स्थानीय खंड बनें है। फिर कोई कनेक्शन रूप  को परिभाषित कर सकता है, 1-रूप  <math>\omega=\omega^i_{\ j}</math> का एंटीसिमेट्रिक आव्युह जो निम्नलिखित पहचान से संतुष्ट हैं
-:<math>\omega^k_{\ j}(e_i)=\langle \nabla_{e_i}e_j,e_k\rangle</math>
+:<math>\omega^k_{\ j}(e_i)=\langle \nabla_{e_i}e_j,e_k\rangle                                                      </math>
 फिर वक्रता रूप <math>\Omega=\Omega^i_{\ j}</math> द्वारा परिभाषित किया गया है
 :<math>\Omega=d\omega +\omega\wedge\omega</math>.
-ध्यान दें कि अभिव्यक्ति<math>\omega\wedge\omega</math>के लिए आशुलिपि है <math> \omega^i_{\ j}\wedge\omega^j_{\ k}</math> और इसलिए जरूरी नहीं कि गायब हो जाए। निम्नलिखित वक्रता रूप और वक्रता टेंसर के बीच संबंध का वर्णन करता है:
+ध्यान दें कि अभिव्यक्ति "<math>\omega\wedge\omega</math>",  <math> \omega^i_{\ j}\wedge\omega^j_{\ k}</math>के लिए आशुलिपि है  और इसलिए जरूरी नहीं कि विलुप्त  हो जाए। निम्नलिखित वक्रता रूप और वक्रता टेंसर के बीच संबंध का वर्णन करता है:
 :<math>R(u,v)w=\Omega(u\wedge v)w. </math>
@@ Line 71: / Line 69: @@
 :<math>\Omega\wedge\theta=0</math>
-कहाँ <math>\theta=\theta^i</math> द्वारा परिभाषित 1-रूपों का एन-वेक्टर है <math>\theta^i(v)=\langle e_i,v\rangle</math>.
+जहाँ <math>\theta=\theta^i</math>, <math>\theta^i(v)=\langle e_i,v\rangle</math> द्वारा परिभाषित 1-रूपों का n-सदिश है. दूसरी बियांची पहचान बनती है
-दूसरी बियांची पहचान बनती है
 :<math>D\Omega=0</math>
-डी बाहरी सहसंयोजक व्युत्पन्न को दर्शाता है
+D बाहरी सहसंयोजक व्युत्पन्न को दर्शाता है
-===वक्रता संचालिका===
+===वक्रता संचालिका                                                                                                                                                                                ===
-कभी-कभी वक्रता के बारे में संचालक (गणित) के रूप में सोचना सुविधाजनक होता है <math>Q</math> स्पर्शरेखा [[बाहरी उत्पाद]]ों पर (के अवयव ) <math>\Lambda^2(T)</math>), जिसे निम्नलिखित पहचान द्वारा विशिष्ट रूप से परिभाषित किया गया है:
+कभी-कभी वक्रता के बारे में संचालक (गणित) के रूप में सोचना सुविधाजनक होता है <math>Q</math> स्पर्शरेखा [[बाहरी उत्पाद|बाहरी उत्पादों]] पर (के अवयव ) <math>\Lambda^2(T)</math>), जिसे निम्नलिखित पहचान द्वारा विशिष्ट रूप से परिभाषित किया गया है:
 :<math>\langle Q (u\wedge v),w\wedge z\rangle=\langle R(u,v)z,w \rangle.</math>
 वक्रता टेंसर की समरूपता (अर्थात् सूचकांकों के पहले और अंतिम जोड़े में एंटीसिमेट्री, और उन जोड़ियों की ब्लॉक-समरूपता) के कारण ऐसा करना संभव है।
@@ Line 85: / Line 82: @@
 ==आगे की वक्रता टेंसर==
-सामान्य तौर पर निम्नलिखित टेंसर और फ़ंक्शन वक्रता टेंसर का पूरी तरह से वर्णन नहीं करते हैं,
+सामान्य तौर पर निम्नलिखित टेंसर और फलन  वक्रता टेंसर का पूरी तरह से वर्णन नहीं करते हैं,
 हालाँकि वे महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।
 === अदिश वक्रता ===
 {{Main|अदिश वक्रता                                                 }}
-स्केलर वक्रता किसी भी रीमैनियन मैनिफोल्ड पर फ़ंक्शन है, जिसे विभिन्न प्रकार से दर्शाया जाता है <math>S, R</math> या <math>\text{Sc}</math>.
+स्केलर वक्रता किसी भी रीमैनियन मैनिफोल्ड पर फलन  है, जिसे विभिन्न प्रकार से दर्शाया जाता है <math>S, R</math> या <math>\text{Sc}</math>.
 यह वक्रता टेंसर का पूर्ण [[ट्रेस (रैखिक बीजगणित)]] है; लम्बवत आधार दिया गया
   <math>\{e_i\}</math> बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान में
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 :<math>S =\sum_{i,j}\langle R(e_i,e_j)e_j,e_i\rangle=\sum_{i}\langle \text{Ric}(e_i),e_i\rangle, </math>
-कहाँ <math>\text{Ric}</math> [[रिक्की टेंसर]] को दर्शाता है। परिणाम ऑर्थोनॉर्मल आधार की पसंद पर निर्भर नहीं करता है। आयाम 3 से शुरू करके, अदिश वक्रता वक्रता टेंसर का पूरी तरह से वर्णन नहीं करती है।
+जहाँ <math>\text{Ric}</math> [[रिक्की टेंसर]] को दर्शाता है। परिणाम ऑर्थोनॉर्मल आधार की पसंद पर निर्भर नहीं करता है। आयाम 3 से प्रारंभ  करके, अदिश वक्रता वक्रता टेंसर का पूरी तरह से वर्णन नहीं करती है।
 ===घुंघराले वक्र===
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 ===वेइल वक्रता टेंसर===
 {{Main|वेइल टेंसर                                                                               }}
-वेइल वक्रता टेंसर में रीमैन वक्रता टेंसर के समान समरूपता है, लेकिन अतिरिक्त बाधा के साथ: इसका निशान (जैसा कि रिक्की वक्रता को परिभाषित करने के लिए उपयोग किया जाता है) गायब हो जाना चाहिए।
+वेइल वक्रता टेंसर में रीमैन वक्रता टेंसर के समान समरूपता है, लेकिन अतिरिक्त बाधा के साथ: इसका निशान (जैसा कि रिक्की वक्रता को परिभाषित करने के लिए उपयोग किया जाता है) विलुप्त  हो जाना चाहिए।
 वेइल टेंसर मीट्रिक के [[अनुरूप मानचित्र]] परिवर्तन के संबंध में अपरिवर्तनीय है: यदि दो मीट्रिक इस प्रकार संबंधित हैं <math>\tilde{g} = f g</math> कुछ सकारात्मक अदिश फलन के लिए <math>f</math>, तब <math>\tilde{W} = W</math>.
-आयाम 2 और 3 में वेइल टेंसर गायब हो जाता है, लेकिन 4 या अधिक आयामों में वेइल टेंसर गैर-शून्य हो सकता है। [[निरंतर वक्रता]] के कई गुना के लिए, वेइल टेंसर शून्य है। इसके अतिरिक्त, <math>W = 0</math> यदि और केवल यदि मीट्रिक स्थानीय रूप से [[यूक्लिडियन मीट्रिक]] के अनुरूप है।
+आयाम 2 और 3 में वेइल टेंसर विलुप्त  हो जाता है, लेकिन 4 या अधिक आयामों में वेइल टेंसर गैर-शून्य हो सकता है। [[निरंतर वक्रता]] के कई गुना के लिए, वेइल टेंसर शून्य है। इसके अतिरिक्त, <math>W = 0</math> यदि और केवल यदि मीट्रिक स्थानीय रूप से [[यूक्लिडियन मीट्रिक]] के अनुरूप है।
 ===रिक्की अपघटन===

v t e Riemannian geometry (Glossary)
Basic concepts	Curvature tensor Scalar Ricci Sectional Exponential map Geodesic Inner product Metric tensor Levi-Civita connection Covariant derivative Signature Raising and lowering indices/Musical isomorphism Parallel transport Riemannian manifold Pseudo-Riemannian manifold Riemannian volume form
Types of manifolds	Hermitian Hyperbolic Kähler Kenmotsu
Main results	Fundamental theorem of Riemannian geometry Gauss's lemma Gauss–Bonnet theorem Hopf–Rinow theorem Nash embedding theorem Ricci flow Schur's lemma
Generalizations	Finsler Hilbert Sub-Riemannian
Applications	General relativity Geometrization conjecture Poincaré conjecture Uniformization theorem

v t e Various notions of curvature defined in differential geometry
Differential geometry of curves	Curvature Torsion of a curve Frenet–Serret formulas Radius of curvature (applications) Affine curvature Total curvature Total absolute curvature
Differential geometry of surfaces	Principal curvatures Gaussian curvature Mean curvature Darboux frame Gauss–Codazzi equations First fundamental form Second fundamental form Third fundamental form
Riemannian geometry	Curvature of Riemannian manifolds Riemann curvature tensor Ricci curvature Scalar curvature Sectional curvature
Curvature of connections	Curvature form Torsion tensor Cocurvature Holonomy

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Revision as of 09:55, 26 July 2023

Contents

रीमैनियन मैनिफोल्ड की वक्रता को व्यक्त करने के विधियाँ

रीमैन वक्रता टेंसर

समरूपताएं और पहचान

अनुभागीय वक्रता

वक्रता रूप

वक्रता संचालिका

आगे की वक्रता टेंसर

अदिश वक्रता

घुंघराले वक्र

वेइल वक्रता टेंसर

रिक्की अपघटन

वक्रता की गणना

संदर्भ

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रीमैनियन मैनिफोल्ड्स की वक्रता: Difference between revisions

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वक्रता रूप

वक्रता संचालिका

आगे की वक्रता टेंसर

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