मानक भाग फ़ंक्शन: Difference between revisions

Revision as of 23:01, 25 July 2023

मानक भाग फलन सीमित (परिमित) गैरमनाक विश्लेषण में अतियथार्थवादी संख्याओं से वास्तविक संख्याओं तक का फलन है। संक्षेप में, मानक भाग फलन परिमित अतियथार्थवादी को निकटतम वास्तविक तक पूर्णांकित करता है। यह ऐसे हर अतियथार्थ से संबद्ध है $x$ , अद्वितीय यथार्थ $x_{0}$ इसके असीम रूप से निकट, अर्थात $x-x_{0}$ अतिसूक्ष्म है. इस प्रकार, यह पियरे डी फ़र्मेट द्वारा प्रस्तुत पर्याप्तता की ऐतिहासिक अवधारणा का गणितीय कार्यान्वयन है,^[1] साथ ही लाइबनिट्स का समरूपता का पारलौकिक नियम होता है |

मानक भाग फलन को सबसे पहले अब्राहम रॉबिन्सन द्वारा परिभाषित किया गया था जिन्होंने अंकन का उपयोग किया था ${}^{\circ }x$ अतियथार्थवादी के मानक भाग के लिए $x$ (रॉबिन्सन 1974 देखें)। यह अवधारणा गैरमानक विश्लेषण में कैलकुलस की अवधारणाओं, जैसे निरंतरता, व्युत्पन्न और अभिन्न को परिभाषित करने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है। बाद वाला सिद्धांत इनफिनिटिमल्स के साथ गणनाओं का कठोर औपचारिकीकरण है। x के मानक भाग को कभी-कभी इसकी 'छाया' भी कहा जाता है।

परिभाषा

मानक भाग फलन परिमित अतियथार्थवादी को निकटतम वास्तविक संख्या तक पूर्णांकित करता है। अत्यणु माइक्रोस्कोप का उपयोग मानक वास्तविक केअत्यणु पड़ोस को देखने के लिए किया जाता है।

गैरमानक विश्लेषण मुख्य रूप से जोड़ी से संबंधित है $\mathbb {R} \subseteq {}^{*}\mathbb {R}$ , जहां अतियथार्थवादी संख्याएं हैं ${}^{*}\mathbb {R}$ वास्तविकताओं का क्रमबद्ध मैदान विस्तार है $\mathbb {R}$ , और वास्तविक के अतिरिक्त, अनन्तिम भी सम्मिलित हैं। अतियथार्थवादी लाइन में प्रत्येक वास्तविक संख्या में अतियथार्थवादी्स की संख्याओं का संग्रह होता है (जिसे इकाई (गैरमानक विश्लेषण कहा जाता है), या प्रभामंडल कहा जाता है)। मानक भाग फलन विकट से संबद्ध होता है: परिमित अतियथार्थवादी संख्या x, अद्वितीय मानक वास्तविक संख्या x₀ वह इसके असीम रूप से निकट है। रिश्ते को प्रतीकात्मक रूप से लिखकर व्यक्त किया जाता है

\operatorname {st} (x)=x_{0}.

किसी भी अतिसूक्ष्म का मानक भाग 0 है। इस प्रकार यदि N अनन्त अतिप्राकृतिक है, तो 1/N अतिसूक्ष्म है, और st(1/N) = 0.

यदि अतियथार्थवादी $u$ कॉची अनुक्रम द्वारा दर्शाया गया है $\langle u_{n}:n\in \mathbb {N} \rangle$ फिर, अल्ट्रापावर निर्माण में

\operatorname {st} (u)=\lim _{n\to \infty }u_{n}.

अधिक सामान्यतः, प्रत्येक परिमित $u\in {}^{*}\mathbb {R}$ उपसमुच्चय पर डेडेकाइंड कट को परिभाषित करता है $\mathbb {R} \subseteq {}^{*}\mathbb {R}$ (कुल आदेश के माध्यम से ${}^{\ast }\mathbb {R}$ ) और संगत वास्तविक संख्या यू का मानक भाग है।

आंतरिक नहीं

मानक भाग फलन st को आंतरिक सेट द्वारा परिभाषित नहीं किया गया है। इसे समझाने के कई विधि हैं। संभवतः सबसे सरल यह है कि इसका डोमेन एल, जो सीमित (अर्थात परिमित) अतियथार्थवादी का संग्रह है, आंतरिक सेट नहीं है। अर्थात्, चूँकि L घिरा हुआ है (उदाहरण के लिए, किसी अनंत अतिप्राकृतिक द्वारा), यदि L आंतरिक होता तो L की न्यूनतम ऊपरी सीमा होती, किन्तु L की न्यूनतम ऊपरी सीमा नहीं होती। वैकल्पिक रूप से, st की सीमा है $\mathbb {R} \subseteq {}^{*}\mathbb {R}$ , जो आंतरिक नहीं है; वास्तव में प्रत्येक आंतरिक सेट ${}^{*}\mathbb {R}$ वह उपसमुच्चय है $\mathbb {R}$ आवश्यक रूप से परिमित है, देखें (गोल्डब्लैट, 1998)।

अनुप्रयोग

कैलकुलस की सभी पारंपरिक धारणाओं को मानक भाग फलन के संदर्भ में निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है।

व्युत्पन्न

मानक भाग फलन का उपयोग किसी फलन f के व्युत्पन्न को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। यदि f वास्तविक फलन है, और h अतिसूक्ष्म है, और यदि f′(x) उपस्थित है, तो

f'(x)=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\right).

वैकल्पिक रूप से, यदि $y=f(x)$ , कोई अतिसूक्ष्म वृद्धि लेता है $\Delta x$ , और संगत गणना करता है $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$ . अनुपात बनता है ${\textstyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$ . फिर व्युत्पन्न को अनुपात के मानक भाग के रूप में परिभाषित किया गया है:

{\frac {dy}{dx}}=\operatorname {st} \left({\frac {\Delta y}{\Delta x}}\right).

अभिन्न

फलन दिया गया $f$ पर $[a,b]$ , अभिन्न को परिभाषित करता है ${\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$ अनंत अवशेष योग के मानक भाग के रूप में $S(f,a,b,\Delta x)$ जब का मूल्य $\Delta x$ अंतराल [ए,बी] के अतिपरिमित सेट विभाजन का शोषण करते हुए, इसे असीम रूप से छोटा माना जाता है।

सीमा

क्रम दिया गया है $(u_{n})$ , इसकी सीमा परिभाषित की गई है ${\textstyle \lim _{n\to \infty }u_{n}=\operatorname {st} (u_{H})}$ कहाँ $H\in {}^{*}\mathbb {N} \setminus \mathbb {N}$ अनंत सूचकांक है. यहां कहा जाता है कि यदि मानक भाग समान है, तो चुने गए अनंत सूचकांक की परवाह किए बिना सीमा उपस्थित है।

निरंतरता

वास्तविक कार्य $f$ वास्तविक बिंदु पर निरंतर है $x$ यदि और केवल यदि रचना $\operatorname {st} \circ f$ के प्रभामंडल (गणित) पर स्थिर है $x$ . अधिक विवरण के लिए सूक्ष्म निरंतरता देखें।

यह भी देखें

पर्याप्तता
अमानक गणना

संदर्भ

H. Jerome Keisler. Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach. First edition 1976; 2nd edition 1986. (This book is now out of print. The publisher has reverted the copyright to the author, who has made available the 2nd edition in .pdf format available for downloading at http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html.)
Goldblatt, Robert. Lectures on the hyperreals. An introduction to nonstandard analysis. Graduate Texts in Mathematics, 188. Springer-Verlag, New York, 1998.
Abraham Robinson. Non-standard analysis. Reprint of the second (1974) edition. With a foreword by Wilhelmus A. J. Luxemburg. Princeton Landmarks in Mathematics. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1996. xx+293 pp. ISBN 0-691-04490-2

[1] Karin Usadi Katz and Mikhail G. Katz (2011) A Burgessian Critique of Nominalistic Tendencies in Contemporary Mathematics and its Historiography. Foundations of Science. doi:10.1007/s10699-011-9223-1 [1] See arxiv. The authors refer to the Fermat-Robinson standard part.

[1]

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-गैरमानक विश्लेषण में, मानक भाग फ़ंक्शन सीमित (परिमित) हाइपररियल संख्याओं से वास्तविक संख्याओं तक का फ़ंक्शन है। संक्षेप में, मानक भाग फ़ंक्शन परिमित हाइपररियल को निकटतम वास्तविक तक पूर्णांकित करता है। यह ऐसे हर अतियथार्थ से संबद्ध है <math>x</math>, अद्वितीय यथार्थ <math>x_0</math> इसके असीम रूप से करीब, यानी <math>x-x_0</math> अतिसूक्ष्म है. इस प्रकार, यह [[पियरे डी फ़र्मेट]] द्वारा प्रस्तुत [[पर्याप्तता]] की ऐतिहासिक अवधारणा का गणितीय कार्यान्वयन है,<ref>Karin Usadi Katz and [[Mikhail Katz|Mikhail G. Katz]] (2011) A Burgessian Critique of Nominalistic Tendencies in Contemporary Mathematics and its Historiography. [[Foundations of Science]]. {{doi|10.1007/s10699-011-9223-1}} [https://doi.org/10.1007%2Fs10699-011-9223-1] See [https://arxiv.org/abs/1104.0375 arxiv]. The authors refer to the Fermat-Robinson standard part.</ref> साथ ही [[ लाइबनिट्स |लाइबनिट्स]] का [[समरूपता का पारलौकिक नियम]]।
+मानक भाग फलन सीमित (परिमित) गैरमनाक विश्लेषण में अतियथार्थवादी संख्याओं से वास्तविक संख्याओं तक का फलन है। संक्षेप में, मानक भाग फलन परिमित अतियथार्थवादी को निकटतम वास्तविक तक पूर्णांकित करता है। यह ऐसे हर अतियथार्थ से संबद्ध है <math>x</math>, अद्वितीय यथार्थ <math>x_0</math> इसके असीम रूप से निकट, अर्थात <math>x-x_0</math> अतिसूक्ष्म है. इस प्रकार, यह [[पियरे डी फ़र्मेट]] द्वारा प्रस्तुत [[पर्याप्तता]] की ऐतिहासिक अवधारणा का गणितीय कार्यान्वयन है,<ref>Karin Usadi Katz and [[Mikhail Katz|Mikhail G. Katz]] (2011) A Burgessian Critique of Nominalistic Tendencies in Contemporary Mathematics and its Historiography. [[Foundations of Science]]. {{doi|10.1007/s10699-011-9223-1}} [https://doi.org/10.1007%2Fs10699-011-9223-1] See [https://arxiv.org/abs/1104.0375 arxiv]. The authors refer to the Fermat-Robinson standard part.</ref> साथ ही [[ लाइबनिट्स |लाइबनिट्स]] का [[समरूपता का पारलौकिक नियम]] होता है |
-मानक भाग फ़ंक्शन को सबसे पहले [[अब्राहम रॉबिन्सन]] द्वारा परिभाषित किया गया था जिन्होंने नोटेशन का उपयोग किया था <math>{}^{\circ}x</math> हाइपररियल के मानक भाग के लिए <math>x</math> (रॉबिन्सन 1974 देखें)। यह अवधारणा गैरमानक विश्लेषण में कैलकुलस की अवधारणाओं, जैसे निरंतरता, व्युत्पन्न और अभिन्न को परिभाषित करने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है। बाद वाला सिद्धांत इनफिनिटिमल्स के साथ गणनाओं का कठोर औपचारिकीकरण है। x के मानक भाग को कभी-कभी इसकी 'छाया' भी कहा जाता है।
+मानक भाग फलन को सबसे पहले [[अब्राहम रॉबिन्सन]] द्वारा परिभाषित किया गया था जिन्होंने अंकन का उपयोग किया था <math>{}^{\circ}x</math> अतियथार्थवादी के मानक भाग के लिए <math>x</math> (रॉबिन्सन 1974 देखें)। यह अवधारणा गैरमानक विश्लेषण में कैलकुलस की अवधारणाओं, जैसे निरंतरता, व्युत्पन्न और अभिन्न को परिभाषित करने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है। बाद वाला सिद्धांत इनफिनिटिमल्स के साथ गणनाओं का कठोर औपचारिकीकरण है। x के मानक भाग को कभी-कभी इसकी 'छाया' भी कहा जाता है।
 ==परिभाषा==
-[[File:Standard part function with two continua.svg|360px|thumb|right|मानक भाग फ़ंक्शन परिमित हाइपररियल को निकटतम वास्तविक संख्या तक पूर्णांकित करता है। इनफिनिटिमल माइक्रोस्कोप का उपयोग मानक वास्तविक के इनफिनिटिमल पड़ोस को देखने के लिए किया जाता है।]]गैरमानक विश्लेषण मुख्य रूप से जोड़ी से संबंधित है <math>\R \subseteq {}^*\R</math>, जहां हाइपररियल संख्याएं हैं <math>{}^*\R</math> वास्तविकताओं का क्रमबद्ध फ़ील्ड विस्तार है <math>\R</math>, और वास्तविक के अलावा, अनन्तिम भी शामिल हैं। हाइपररियल लाइन में प्रत्येक वास्तविक संख्या में हाइपररियल्स की संख्याओं का संग्रह होता है (जिसे मोनड (गैरमानक विश्लेषण कहा जाता है), या हेलो कहा जाता है)। मानक भाग फ़ंक्शन विकट से संबद्ध होता है: परिमित हाइपररियल संख्या ''x'', अद्वितीय मानक वास्तविक संख्या ''x''<sub>0</sub> वह इसके असीम रूप से करीब है। रिश्ते को प्रतीकात्मक रूप से लिखकर व्यक्त किया जाता है
+[[File:Standard part function with two continua.svg|360px|thumb|right|मानक भाग फलन परिमित अतियथार्थवादी को निकटतम वास्तविक संख्या तक पूर्णांकित करता है। अत्यणु माइक्रोस्कोप का उपयोग मानक वास्तविक केअत्यणु पड़ोस को देखने के लिए किया जाता है।]]गैरमानक विश्लेषण मुख्य रूप से जोड़ी से संबंधित है <math>\R \subseteq {}^*\R</math>, जहां अतियथार्थवादी संख्याएं हैं <math>{}^*\R</math> वास्तविकताओं का क्रमबद्ध मैदान विस्तार है <math>\R</math>, और वास्तविक के अतिरिक्त, अनन्तिम भी सम्मिलित हैं। अतियथार्थवादी लाइन में प्रत्येक वास्तविक संख्या में अतियथार्थवादी्स की संख्याओं का संग्रह होता है (जिसे इकाई (गैरमानक विश्लेषण कहा जाता है), या प्रभामंडल कहा जाता है)। मानक भाग फलन विकट से संबद्ध होता है: परिमित अतियथार्थवादी संख्या ''x'', अद्वितीय मानक वास्तविक संख्या ''x''<sub>0</sub> वह इसके असीम रूप से निकट है। रिश्ते को प्रतीकात्मक रूप से लिखकर व्यक्त किया जाता है
 :<math>\operatorname{st}(x) = x_0.</math>
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 यदि अतियथार्थवादी <math>u</math> कॉची अनुक्रम द्वारा दर्शाया गया है <math>\langle u_n:n\in\mathbb{N} \rangle</math> फिर, [[अल्ट्रापावर]] निर्माण में
 :<math>\operatorname{st}(u) = \lim_{n\to\infty} u_n.</math>
-अधिक सामान्यतः, प्रत्येक परिमित <math>u \in {}^*\R</math> उपसमुच्चय पर [[डेडेकाइंड कट]] को परिभाषित करता है <math>\R\subseteq{}^*\R</math> (कुल ऑर्डर के माध्यम से <math>{}^{\ast}\R</math>) और संगत वास्तविक संख्या यू का मानक भाग है।
+अधिक सामान्यतः, प्रत्येक परिमित <math>u \in {}^*\R</math> उपसमुच्चय पर [[डेडेकाइंड कट]] को परिभाषित करता है <math>\R\subseteq{}^*\R</math> (कुल आदेश के माध्यम से <math>{}^{\ast}\R</math>) और संगत वास्तविक संख्या यू का मानक भाग है।
 ==आंतरिक नहीं==
-मानक भाग फ़ंक्शन st को [[आंतरिक सेट]] द्वारा परिभाषित नहीं किया गया है। इसे समझाने के कई तरीके हैं। शायद सबसे सरल यह है कि इसका डोमेन एल, जो सीमित (यानी परिमित) हाइपररियल्स का संग्रह है, आंतरिक सेट नहीं है। अर्थात्, चूँकि L घिरा हुआ है (उदाहरण के लिए, किसी अनंत अतिप्राकृतिक द्वारा), यदि L आंतरिक होता तो L की न्यूनतम ऊपरी सीमा होती, लेकिन L की न्यूनतम ऊपरी सीमा नहीं होती। वैकल्पिक रूप से, st की सीमा है <math>\R\subseteq {}^*\R</math>, जो आंतरिक नहीं है; वास्तव में प्रत्येक आंतरिक सेट <math>{}^*\R</math> वह उपसमुच्चय है <math>\R</math> आवश्यक रूप से परिमित है, देखें (गोल्डब्लैट, 1998)।
+मानक भाग फलन st को [[आंतरिक सेट]] द्वारा परिभाषित नहीं किया गया है। इसे समझाने के कई विधि हैं। संभवतः सबसे सरल यह है कि इसका डोमेन एल, जो सीमित (अर्थात परिमित) अतियथार्थवादी का संग्रह है, आंतरिक सेट नहीं है। अर्थात्, चूँकि L घिरा हुआ है (उदाहरण के लिए, किसी अनंत अतिप्राकृतिक द्वारा), यदि L आंतरिक होता तो L की न्यूनतम ऊपरी सीमा होती, किन्तु L की न्यूनतम ऊपरी सीमा नहीं होती। वैकल्पिक रूप से, st की सीमा है <math>\R\subseteq {}^*\R</math>, जो आंतरिक नहीं है; वास्तव में प्रत्येक आंतरिक सेट <math>{}^*\R</math> वह उपसमुच्चय है <math>\R</math> आवश्यक रूप से परिमित है, देखें (गोल्डब्लैट, 1998)।
 ==अनुप्रयोग==
-कैलकुलस की सभी पारंपरिक धारणाओं को मानक भाग फ़ंक्शन के संदर्भ में निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है।
+कैलकुलस की सभी पारंपरिक धारणाओं को मानक भाग फलन के संदर्भ में निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है।
 ===व्युत्पन्न===
-मानक भाग फ़ंक्शन का उपयोग किसी फ़ंक्शन f के व्युत्पन्न को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। यदि f वास्तविक फलन है, और h अतिसूक्ष्म है, और यदि f′(x) मौजूद है, तो
+मानक भाग फलन का उपयोग किसी फलन f के व्युत्पन्न को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। यदि f वास्तविक फलन है, और h अतिसूक्ष्म है, और यदि f′(x) उपस्थित है, तो
 :<math>f'(x) = \operatorname{st}\left(\frac {f(x+h)-f(x)}h\right).</math>
 वैकल्पिक रूप से, यदि <math>y=f(x)</math>, कोई अतिसूक्ष्म वृद्धि लेता है <math>\Delta x</math>, और संगत गणना करता है <math>\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)</math>. अनुपात बनता है <math display="inline">\frac{\Delta y}{\Delta x}</math>. फिर व्युत्पन्न को अनुपात के मानक भाग के रूप में परिभाषित किया गया है:
 :<math>\frac{dy}{dx}=\operatorname{st}\left( \frac{\Delta y}{\Delta x} \right) .</math>
 ===अभिन्न===
-फ़ंक्शन दिया गया <math>f</math> पर <math>[a,b]</math>, अभिन्न को परिभाषित करता है <math display="inline">\int_a^b f(x)\,dx</math> अनंत रीमैन योग के मानक भाग के रूप में <math>S(f,a,b,\Delta x)</math> जब का मूल्य <math>\Delta x</math> अंतराल [ए,बी] के अतिपरिमित सेट विभाजन का शोषण करते हुए, इसे असीम रूप से छोटा माना जाता है।
+फलन दिया गया <math>f</math> पर <math>[a,b]</math>, अभिन्न को परिभाषित करता है <math display="inline">\int_a^b f(x)\,dx</math> अनंत अवशेष योग के मानक भाग के रूप में <math>S(f,a,b,\Delta x)</math> जब का मूल्य <math>\Delta x</math> अंतराल [ए,बी] के अतिपरिमित सेट विभाजन का शोषण करते हुए, इसे असीम रूप से छोटा माना जाता है।
 ===सीमा===
-क्रम दिया गया है <math>(u_n)</math>, इसकी सीमा परिभाषित की गई है <math display="inline">\lim_{n\to\infty} u_n = \operatorname{st}(u_H)</math> कहाँ <math>H \in {}^*\N \setminus \N</math> अनंत सूचकांक है. यहां कहा जाता है कि यदि मानक भाग समान है, तो चुने गए अनंत सूचकांक की परवाह किए बिना सीमा मौजूद है।
+क्रम दिया गया है <math>(u_n)</math>, इसकी सीमा परिभाषित की गई है <math display="inline">\lim_{n\to\infty} u_n = \operatorname{st}(u_H)</math> कहाँ <math>H \in {}^*\N \setminus \N</math> अनंत सूचकांक है. यहां कहा जाता है कि यदि मानक भाग समान है, तो चुने गए अनंत सूचकांक की परवाह किए बिना सीमा उपस्थित है।
 ===निरंतरता===

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