मानक भाग फ़ंक्शन

गैरमनाक विश्लेषण में, मानक भाग फलन सीमित (परिमित) अतियथार्थवादी संख्याओं से वास्तविक संख्याओं तक का फलन है। जिससे संक्षेप में, मानक भाग फलन परिमित अतियथार्थवादी को निकटतम वास्तविक मानक भाग फलन तक पूर्णांकित करता है। यह ऐसे हर अतियथार्थ से संबद्ध है $x$, जिसके लिए एकदिवसीय वास्तविक संख्या $x_{0}$ उससे अनंतता के समीप होती है, अर्थात $x-x_{0}$ अतिसूक्ष्म है। इस प्रकार,यह पियरे डी फ़र्मेट ने प्रस्तुत किए गए पर्याप्तता की ऐतिहासिक अवधारणा का गणितीय कार्यान्वयन है, मानक भाग फलन इसके साथ ही लाइबनिट्स का समरूपता का पारलौकिक नियम होता है.

मानक भाग फलन को सबसे पहले अब्राहम रॉबिन्सन द्वारा परिभाषित किया गया था, जिन्होंने अंकन ${}^{\circ }x$ का उपयोग किया था, अतियथार्थवादी $x$ के मानक भाग के लिए (रॉबिन्सन 1974 देखे गए है )। यह अवधारणा गैरमानक विश्लेषण में कैलकुलस की अवधारणाओं पर होती है | जैसे यह निरंतरता, व्युत्पन्न और अभिन्न को परिभाषित करने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है। इस प्रकार मानक भाग फलन परिमित सिद्धांत अतिसूक्ष्म के साथ गणनाओं का कठोर औपचारिकीकरण है। जिसके x के मानक भाग को कभी-कभी इसकी 'छाया' भी कहा जाता है।

परिभाषा

मानक भाग फलन परिमित अतियथार्थवादी को निकटतम वास्तविक संख्या तक पूर्णांकित करता है। अत्यणु माइक्रोस्कोप का उपयोग मानक वास्तविक के अत्यणु पड़ोस को देखने के लिए किया जाता है।

मानक भाग फलन सीमित गैरमानक विश्लेषण मुख्य रूप से जोड़ी से संबंधित है $\mathbb {R} \subseteq {}^{*}\mathbb {R}$, जहां अतियथार्थवादी संख्याएं हैं |इस प्रकार ${}^{*}\mathbb {R}$ वास्तविकताओं का क्रमबद्ध मैदान विस्तार होता है। इसलिए $\mathbb {R}$, और वास्तविक के अतिरिक्त, अनन्तिम भी सम्मिलित हैं। जिससे अतियथार्थवादी लाइन में प्रत्येक वास्तविक संख्या में अतियथार्थवादी्स की संख्याओं का संग्रह होता है (जिसे इकाई (गैरमानक विश्लेषण कहा जाता है),जिससे या प्रभामंडल कहा जाता है)। मानक भाग फलन विकट से संबद्ध होता है: यह परिमित अतियथार्थवादी संख्या x, अद्वितीय मानक वास्तविक संख्या x₀ वह इसके असीम रूप से समीप है। इस प्रकार यह सम्बन्ध को प्रतीकात्मक रूप से लिखकर व्यक्त किया जाता है

$\operatorname {st} (x)=x_{0}.$

मानक भाग फलन किसी भी अतिसूक्ष्म का मानक भाग 0 है। इस प्रकार यदि N अनन्त अतिप्राकृतिक है, तब 1/N अतिसूक्ष्म है, और st(1/N) = 0.

यदि अतियथार्थवादी $u$ कॉची अनुक्रम द्वारा दर्शाया गया है $\langle u_{n}:n\in \mathbb {N} \rangle$ फिर, अल्ट्रापावर निर्माण में

$\operatorname {st} (u)=\lim _{n\to \infty }u_{n}.$

जिससे अधिक सामान्यतः, प्रत्येक परिमित $u\in {}^{*}\mathbb {R}$ उपसमुच्चय पर डेडेकाइंड कट को परिभाषित करता है $\mathbb {R} \subseteq {}^{*}\mathbb {R}$ (कुल आदेश के माध्यम से ${}^{\ast }\mathbb {R}$) और संगत वास्तविक संख्या u का मानक भाग है।

आंतरिक नहीं

मानक भाग फलन "st" को आंतरिक समुच्चय द्वारा परिभाषित नहीं किया गया है। इसे समझाने के अनेक विधि हैं। संभवतः सबसे सरल यह है कि इसका डोमेन एल, जो सीमित (अर्थात परिमित) अतियथार्थवादी का संग्रह है, आंतरिक समुच्चय नहीं है। अर्थात्, चूँकि L घिरा हुआ है (उदाहरण के लिए, किसी अनंत अति प्राकृतिक द्वारा), यदि L आंतरिक होता तब L की न्यूनतम ऊपरी सीमा होती है, किन्तु L की न्यूनतम ऊपरी सीमा नहीं होती है। वैकल्पिक रूप से, st की सीमा है $\mathbb {R} \subseteq {}^{*}\mathbb {R}$, जो आंतरिक नहीं है; मानक भाग फलन वास्तव में प्रत्येक आंतरिक समुच्चय ${}^{*}\mathbb {R}$ वह उपसमुच्चय है $\mathbb {R}$ आवश्यक रूप से परिमित है, (गोल्डब्लैट, 1998) मैं देखे गए परिणाम के अनुसार हुआ है |

अनुप्रयोग

मानक भाग फलन सीमित कैलकुलस की सभी पारंपरिक धारणाओं को मानक भाग फलन के संदर्भ में निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है।

व्युत्पन्न

मानक भाग फलन का उपयोग किसी फलन f के व्युत्पन्न को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। यदि f वास्तविक फलन है, और h अतिसूक्ष्म है, और यदि f′(x) उपस्थित है, तब

$f'(x)=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\right).$

वैकल्पिक रूप से, यदि $y=f(x)$, कोई अतिसूक्ष्म वृद्धि लेता है $\Delta x$, और संगत कैलकुलस करता है $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$. अनुपात बनता है ${\textstyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$. फिर व्युत्पन्न को अनुपात के मानक भाग के रूप में परिभाषित किया गया है:

${\frac {dy}{dx}}=\operatorname {st} \left({\frac {\Delta y}{\Delta x}}\right).$

अभिन्न

फलन दिया गया $f$ पर $[a,b]$, अभिन्न को परिभाषित करता है ${\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$ अनंत अवशेष योग के मानक भाग के रूप में $S(f,a,b,\Delta x)$ जब का मूल्य $\Delta x$ अंतराल [a,b] के अतिपरिमित समुच्चय विभाजन का शोषण करते हुए, इसे असीम रूप से छोटा माना जाता है।

सीमा

क्रम दिया गया है $(u_{n})$, इसकी सीमा परिभाषित की गई है ${\textstyle \lim _{n\to \infty }u_{n}=\operatorname {st} (u_{H})}$ यहाँ $H\in {}^{*}\mathbb {N} \setminus \mathbb {N}$ अनंत सूचकांक है. यहां कहा जाता है कि यदि मानक भाग समान है, तब मानक भाग फलन चुने गए अनंत सूचकांक की आशंका किए बिना सीमा उपस्थित है।

निरंतरता

मानक भाग फलन सीमित वास्तविक फलन $f$ वास्तविक बिंदु पर निरंतर है $x$ यदि रचना $\operatorname {st} \circ f$ के प्रभामंडल (गणित) पर स्थिर है $x$. अधिक विवरण के लिए सूक्ष्म निरंतरता देखें गए है।

यह भी देखें

• पर्याप्तता
• अमानक गणना

संदर्भ

• H. Jerome Keisler. Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach. First edition 1976; 2nd edition 1986. (This book is now out of print. The publisher has reverted the copyright to the author, who has made available the 2nd edition in .pdf format available for downloading at http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html.)
• Goldblatt, Robert. Lectures on the hyperreals. An introduction to nonstandard analysis. Graduate Texts in Mathematics, 188. Springer-Verlag, New York, 1998.
• Abraham Robinson. Non-standard analysis. Reprint of the second (1974) edition. With a foreword by Wilhelmus A. J. Luxemburg. Princeton Landmarks in Mathematics. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1996. xx+293 pp. ISBN 0-691-04490-2