द्विघात वृद्धि: Difference between revisions
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गणित में, किसी [[फ़ंक्शन (गणित)|फलन (गणित)]] या [[अनुक्रम]] को द्विघात वृद्धि प्रदर्शित करने के लिए कहा जाता है जब इसके मान फलन तर्क या अनुक्रम स्थिति के [[वर्ग (बीजगणित)]] के [[आनुपातिकता (गणित)|समानुपाती (गणित)]] होते हैं। द्विघात वृद्धि का अर्थ सामान्यतः [[सीमा (गणित)]] में द्विघात वृद्धि होता है, क्योंकि तर्क या अनुक्रम स्थिति अनंत तक जाती है- [[बड़ी थीटा संकेतन|बड़े थीटा संकेतन]] में, <math>f(x)=\Theta(x^2)</math><ref>{{citation|title=The Nature of Computation|first1=Cristopher|last1=Moore|authorlink=Cristopher Moore|first2=Stephan|last2=Mertens|publisher=Oxford University Press|year=2011|isbn=9780191620805|page=22|url=https://books.google.com/books?id=jnGKbpMV8xoC&pg=PA22}}.</ref> इसे निरंतर (वास्तविक चर के [[वास्तविक संख्या]]-मान वाले फलन के लिए) या भिन्न-भिन्न (वास्तविक संख्याओं के अनुक्रम के लिए, अर्थात [[पूर्णांक]] या [[प्राकृतिक संख्या]] चर के वास्तविक-मूल्यवान फलन के लिए) दोनों प्रकार से परिभाषित किया जा सकता है। | |||
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वास्तविक चर के वास्तविक कार्य के लिए, द्विघात वृद्धि दूसरे व्युत्पन्न के स्थिर होने के | वास्तविक चर के वास्तविक कार्य के लिए, द्विघात वृद्धि दूसरे व्युत्पन्न के स्थिर होने के समान है (अर्थात, तीसरा व्युत्पन्न शून्य है), और इस प्रकार द्विघात वृद्धि वाले कार्य द्विघात बहुपद हैं, क्योंकि ये तीसरे व्युत्पन्न के [[कर्नेल (रैखिक ऑपरेटर)]] हैं ऑपरेटर का <math>D^3</math> इसी प्रकार, अनुक्रम (पूर्णांक या प्राकृतिक संख्या चर का वास्तविक कार्य) के लिए, द्विघात वृद्धि दूसरे [[परिमित अंतर]] के स्थिर होने के समान है (तीसरा परिमित अंतर शून्य है),<ref>{{citation|title=Elementary Mathematical Models: Order Aplenty and a Glimpse of Chaos|first=Dan|last=Kalman|publisher=Cambridge University Press|year=1997|isbn=9780883857076|page=81|url=https://books.google.com/books?id=jhiZSkDtgvYC&pg=PA81}}.</ref> और इस प्रकार द्विघात वृद्धि वाला अनुक्रम भी है। द्विघात बहुपद वास्तव में, द्विघात वृद्धि के साथ पूर्णांक-मान अनुक्रम पूर्णांक मानों के साथ शून्यवें, पहले और दूसरे [[द्विपद गुणांक]] में बहुपद है। गुणांक को [[टेलर बहुपद]] (यदि निरंतर) या न्यूटन बहुपद (यदि असतत) लेकर निर्धारित किया जा सकता है। | ||
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==यह भी देखें== | == यह भी देखें == | ||
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Revision as of 00:43, 7 July 2023
गणित में, किसी फलन (गणित) या अनुक्रम को द्विघात वृद्धि प्रदर्शित करने के लिए कहा जाता है जब इसके मान फलन तर्क या अनुक्रम स्थिति के वर्ग (बीजगणित) के समानुपाती (गणित) होते हैं। द्विघात वृद्धि का अर्थ सामान्यतः सीमा (गणित) में द्विघात वृद्धि होता है, क्योंकि तर्क या अनुक्रम स्थिति अनंत तक जाती है- बड़े थीटा संकेतन में, [1] इसे निरंतर (वास्तविक चर के वास्तविक संख्या-मान वाले फलन के लिए) या भिन्न-भिन्न (वास्तविक संख्याओं के अनुक्रम के लिए, अर्थात पूर्णांक या प्राकृतिक संख्या चर के वास्तविक-मूल्यवान फलन के लिए) दोनों प्रकार से परिभाषित किया जा सकता है।
उदाहरण
द्विघात वृद्धि के उदाहरणों में सम्मिलित हैं:
- कोई भी द्विघात बहुपद
- कुछ पूर्णांक अनुक्रम जैसे त्रिकोणीय संख्याएँ वें त्रिकोणीय संख्या का मान लगभग है, .
वास्तविक चर के वास्तविक कार्य के लिए, द्विघात वृद्धि दूसरे व्युत्पन्न के स्थिर होने के समान है (अर्थात, तीसरा व्युत्पन्न शून्य है), और इस प्रकार द्विघात वृद्धि वाले कार्य द्विघात बहुपद हैं, क्योंकि ये तीसरे व्युत्पन्न के कर्नेल (रैखिक ऑपरेटर) हैं ऑपरेटर का इसी प्रकार, अनुक्रम (पूर्णांक या प्राकृतिक संख्या चर का वास्तविक कार्य) के लिए, द्विघात वृद्धि दूसरे परिमित अंतर के स्थिर होने के समान है (तीसरा परिमित अंतर शून्य है),[2] और इस प्रकार द्विघात वृद्धि वाला अनुक्रम भी है। द्विघात बहुपद वास्तव में, द्विघात वृद्धि के साथ पूर्णांक-मान अनुक्रम पूर्णांक मानों के साथ शून्यवें, पहले और दूसरे द्विपद गुणांक में बहुपद है। गुणांक को टेलर बहुपद (यदि निरंतर) या न्यूटन बहुपद (यदि असतत) लेकर निर्धारित किया जा सकता है।
कलन विधि उदाहरणों में सम्मिलित हैं:
- इनपुट लंबाई के फलन के रूप में, कुछ एल्गोरिदम, जैसे कि सम्मिलन सॉर्ट, द्वारा सबसे व्यर्थ स्थिति में लिया गया समय है।[3]
- ब्रीडर (सेलुलर ऑटोमेटन) जैसे स्पेस-फिलिंग सेलुलर ऑटोमेटन पैटर्न में जीवित कोशिकाओं की संख्या, समय चरणों की संख्या के फलन के रूप में जिसके लिए पैटर्न सिम्युलेटेड है।[4]
- मेटकाफ का नियम बताता है कि संचार नेटवर्क का मान उसके उपयोगकर्ताओं की संख्या के आधार पर चतुष्कोणीय रूप से बढ़ता है।[5]
यह भी देखें
संदर्भ
- ↑ Moore, Cristopher; Mertens, Stephan (2011), The Nature of Computation, Oxford University Press, p. 22, ISBN 9780191620805.
- ↑ Kalman, Dan (1997), Elementary Mathematical Models: Order Aplenty and a Glimpse of Chaos, Cambridge University Press, p. 81, ISBN 9780883857076.
- ↑ Estivill-Castro, Vladimir (1999), "Sorting and order statistics", in Atallah, Mikhail J. (ed.), Algorithms and Theory of Computation Handbook, Boca Raton, Florida: CRC, pp. 3-1–3-25, MR 1797171.
- ↑ Griffeath, David; Hickerson, Dean (2003), "A two-dimensional cellular automaton crystal with irrational density", New constructions in cellular automata, St. Fe Inst. Stud. Sci. Complex., New York: Oxford Univ. Press, pp. 79–91, MR 2079729. See in particular p. 81: "A breeder is any pattern which grows quadratically by creating a steady stream of copies of a second object, each of which creates a stream of a third."
- ↑ Rohlfs, Jeffrey H. (2003), "3.3 Metcalfe's law", Bandwagon Effects in High-technology Industries, MIT Press, pp. 29–30, ISBN 9780262681384.
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