स्पर्शरेखा अर्ध-कोण सूत्र: Difference between revisions
No edit summary |
No edit summary |
||
Line 140: | Line 140: | ||
वीयरस्ट्रैस प्रतिस्थापन}} | वीयरस्ट्रैस प्रतिस्थापन}} | ||
[[Image:Weierstrass substitution.svg|right|400px|thumb|वीयरस्ट्रैस प्रतिस्थापन का ज्यामितीय प्रमाण]]त्रिकोणमिति के विभिन्न अनुप्रयोगों में, नए चर <math>t</math> के [[तर्कसंगत कार्य|तर्कसंगत कार्यों]] के संदर्भ में त्रिकोणमितीय कार्यों (जैसे [[ उन लोगों के |साइन]] एवं [[ कोज्या |कोसाइन]]) को पुनः लिखना उपयोगी है। <math>t</math> की परिभाषा के कारण इन सर्वसमिकाओं को सामूहिक रूप से स्पर्शरेखा अर्ध-कोण सूत्र के रूप में जाना जाता है। ये पहचानें साइन एवं कोसाइन में तर्कसंगत कार्यों को उनके प्रतिअवकलज | [[Image:Weierstrass substitution.svg|right|400px|thumb|वीयरस्ट्रैस प्रतिस्थापन का ज्यामितीय प्रमाण]]त्रिकोणमिति के विभिन्न अनुप्रयोगों में, नए चर <math>t</math> के [[तर्कसंगत कार्य|तर्कसंगत कार्यों]] के संदर्भ में त्रिकोणमितीय कार्यों (जैसे [[ उन लोगों के |साइन]] एवं [[ कोज्या |कोसाइन]]) को पुनः लिखना उपयोगी है। <math>t</math> की परिभाषा के कारण इन सर्वसमिकाओं को सामूहिक रूप से स्पर्शरेखा अर्ध-कोण सूत्र के रूप में जाना जाता है। ये पहचानें साइन एवं कोसाइन में तर्कसंगत कार्यों को उनके प्रतिअवकलज की शोध के लिए {{math|''t''}} के कार्यों में परिवर्तित करने के लिए [[ गणना |कैलकुलसन]] में उपयोगी हो सकती हैं। | ||
ज्यामितीय रूप से, निर्माण इस प्रकार होता है: [[इकाई चक्र]] पर किसी भी बिंदु के लिए {{math|(cos ''φ'', sin ''φ'')}} के लिए, इससे होकर निकलने वाली रेखा एवं बिंदु के लिए {{math|(−1, 0)}} खींची जाती है। यह बिंदु किसी बिंदु {{math|1=''y'' = ''t''}} पर {{math|''y''}}-अक्ष को पार करता है। कोई सरल ज्यामिति का उपयोग करके यह दिखा सकता है {{math|1=''t'' = tan(φ/2)}}. खींची गई रेखा का समीकरण {{math|1=''y'' = (1 + ''x'')''t''}} है। रेखा एवं वृत्त के प्रतिच्छेदन का समीकरण तब [[द्विघात समीकरण]] होता है जिसमें {{math|''t''}} सम्मिलित होता है। इस समीकरण के दो समाधान हैं {{math|(−1, 0)}} एवं {{math|(cos ''φ'', sin ''φ'')}} हैं। यह हमें पश्चात वाले को {{math|''t''}} के तर्कसंगत कार्यों के रूप में लिखने की अनुमति देता है (समाधान नीचे दिए गए हैं)। | ज्यामितीय रूप से, निर्माण इस प्रकार होता है: [[इकाई चक्र]] पर किसी भी बिंदु के लिए {{math|(cos ''φ'', sin ''φ'')}} के लिए, इससे होकर निकलने वाली रेखा एवं बिंदु के लिए {{math|(−1, 0)}} खींची जाती है। यह बिंदु किसी बिंदु {{math|1=''y'' = ''t''}} पर {{math|''y''}}-अक्ष को पार करता है। कोई सरल ज्यामिति का उपयोग करके यह दिखा सकता है {{math|1=''t'' = tan(φ/2)}}. खींची गई रेखा का समीकरण {{math|1=''y'' = (1 + ''x'')''t''}} है। रेखा एवं वृत्त के प्रतिच्छेदन का समीकरण तब [[द्विघात समीकरण]] होता है जिसमें {{math|''t''}} सम्मिलित होता है। इस समीकरण के दो समाधान हैं {{math|(−1, 0)}} एवं {{math|(cos ''φ'', sin ''φ'')}} हैं। यह हमें पश्चात वाले को {{math|''t''}} के तर्कसंगत कार्यों के रूप में लिखने की अनुमति देता है (समाधान नीचे दिए गए हैं)। | ||
Line 165: | Line 165: | ||
सीधे ऊपर एवं प्रारंभिक परिभाषा के मध्य फाई को समाप्त करके <math>t</math>, कोई [[प्राकृतिक]] लघुगणक के संदर्भ में [[आर्कटिक स्पर्शरेखा]] के लिए निम्नलिखित उपयोगी संबंध पर पहुंचता है, | सीधे ऊपर एवं प्रारंभिक परिभाषा के मध्य फाई को समाप्त करके <math>t</math>, कोई [[प्राकृतिक]] लघुगणक के संदर्भ में [[आर्कटिक स्पर्शरेखा]] के लिए निम्नलिखित उपयोगी संबंध पर पहुंचता है, | ||
<math display="block">2 \arctan t = -i \ln\frac{1+it}{1-it}.</math> | <math display="block">2 \arctan t = -i \ln\frac{1+it}{1-it}.</math> | ||
कैलकुलस में, वेयरस्ट्रैस प्रतिस्थापन का उपयोग {{math|sin ''φ''}} एवं {{math|cos ''φ''}} [[तर्कसंगत कार्य|तर्कसंगत कार्यों]] के प्रतिअवकलन | कैलकुलस में, वेयरस्ट्रैस प्रतिस्थापन का उपयोग {{math|sin ''φ''}} एवं {{math|cos ''φ''}} [[तर्कसंगत कार्य|तर्कसंगत कार्यों]] के प्रतिअवकलन की शोध के लिए किया जाता है। समायोजन के पश्चात | ||
<math display="block">t=\tan\tfrac12\varphi.</math> | <math display="block">t=\tan\tfrac12\varphi.</math> | ||
Line 173: | Line 173: | ||
कुछ पूर्णांक {{math|''n''}} के लिए, एवं इसलिए | कुछ पूर्णांक {{math|''n''}} के लिए, एवं इसलिए | ||
<math display="block">d\varphi = {{2\,dt} \over {1 + t^2}}.</math>'''[[अतिशयोक्ति]] | <math display="block">d\varphi = {{2\,dt} \over {1 + t^2}}.</math>'''[[अतिशयोक्ति|अतिशयोक्तिपूर्ण]]''' '''पहचान''' | ||
कोई भी [[अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य]] | कोई भी [[अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य|अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों]] के साथ पूर्ण रूप से अनुरूप खेल खेल सकता है। हाइपरबोला की (दाहिनी शाखा पर) बिंदु {{math|(cosh ''ψ'', sinh ''ψ'')}} द्वारा दिया जाता है। इसे केंद्र {{math|(−1, 0)}} से {{math|''y''}}-अक्ष पर प्रक्षेपित करने पर निम्नलिखित प्राप्त होता है: | ||
<math display="block">t = \tanh\tfrac12\psi = \frac{\sinh\psi}{\cosh\psi+1} = \frac{\cosh\psi-1}{\sinh\psi}</math> | <math display="block">t = \tanh\tfrac12\psi = \frac{\sinh\psi}{\cosh\psi+1} = \frac{\cosh\psi-1}{\sinh\psi}</math> | ||
Line 193: | Line 193: | ||
<math display="block">e^\psi = \frac{1 + t}{1 - t}, \qquad | <math display="block">e^\psi = \frac{1 + t}{1 - t}, \qquad | ||
e^{-\psi} = \frac{1 - t}{1 + t}.</math> | e^{-\psi} = \frac{1 - t}{1 + t}.</math> | ||
शोध {{math|''ψ''}} के अनुसार {{math|''t''}} [[व्युत्क्रम अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य|व्युत्क्रम हाइपरबोलिक स्पर्शरेखा]] <math>\operatorname{artanh}</math> एवं प्राकृतिक लघुगणक के मध्य निम्नलिखित संबंध बनता है: | |||
== <math display="block">2 \operatorname{artanh} t = \ln\frac{1+t}{1-t}.</math>गुडरमैनियन | == <math display="block">2 \operatorname{artanh} t = \ln\frac{1+t}{1-t}.</math>गुडरमैनियन फलन == | ||
{{Main| | {{Main|गुडर्मनियन फलन}} | ||
अतिशयोक्तिपूर्ण पहचानों की | अतिशयोक्तिपूर्ण पहचानों की अपेक्षा वृत्ताकार पहचानों से करने पर, कोई यह नोटिस करता है कि उनमें {{math|''t''}} के समान कार्य सम्मिलित हैं, अभी क्रमबद्ध किया गया है। यदि हम दोनों ही मामलों में पैरामीटर {{math|''t''}} की पहचान करते हैं तो हम वृत्ताकार फलनों एवं अतिपरवलयिक फलनों के मध्य संबंध पर पहुंचते हैं। अर्थात यदि | ||
<math display="block">t = \tan\tfrac12 \varphi = \tanh\tfrac12 \psi</math> | <math display="block">t = \tan\tfrac12 \varphi = \tanh\tfrac12 \psi</math> | ||
Line 204: | Line 204: | ||
<math display="block">\varphi = 2\arctan \bigl(\tanh \tfrac12 \psi\,\bigr) \equiv \operatorname{gd} \psi.</math> | <math display="block">\varphi = 2\arctan \bigl(\tanh \tfrac12 \psi\,\bigr) \equiv \operatorname{gd} \psi.</math> | ||
जहाँ {{math|gd(''ψ'')}}[[गुडर्मनियन फ़ंक्शन|गुडर्मनियन फलन]] है। गुडेरमैनियन फलन वृत्ताकार फ़ंक्शंस एवं हाइपरबोलिक फ़ंक्शंस के मध्य सीधा संबंध देता है जिसमें जटिल संख्याएं सम्मिलित नहीं होती हैं। स्पर्शरेखा अर्ध-कोण सूत्रों के उपरोक्त विवरण (इकाई वृत्त एवं मानक हाइपरबोला को प्रक्षेपित करें)। {{math|''y''}}-अक्ष) इस फलन की ज्यामितीय व्याख्या दें। | |||
==तर्कसंगत मान एवं पायथागॉरियन त्रिगुण== | ==तर्कसंगत मान एवं पायथागॉरियन त्रिगुण== |
Revision as of 21:30, 22 July 2023
त्रिकोणमिति |
---|
संदर्भ |
कानून और सिद्धांत |
पथरी |
त्रिकोणमिति में, स्पर्शरेखा अर्ध-कोण सूत्र किसी कोण के अर्ध भाग की स्पर्शरेखा को पूरे कोण के त्रिकोणमितीय कार्यों से जोड़ते हैं। अर्ध कोण की स्पर्शरेखा किसी रेखा पर वृत्त का त्रिविम प्रक्षेपण है। इनमें से निम्नलिखित सूत्र हैं:
प्रमाण
बीजगणितीय प्रमाण
दोहरे कोण सूत्रों एवं पायथागॉरियन पहचान का उपयोग करना, देता है,
इससे ज्ञात होता है कि इन अंतिम दो सूत्रों में निरपेक्ष मान चिह्न हटाये जा सकते हैं, चाहे α कोई भी चतुर्थांश में हो। निरपेक्ष मान पट्टियों के साथ या उसके बिना ये सूत्र तब प्रस्तावित नहीं होते जब दाहिनी ओर अंश एवं हर दोनों शून्य हों।
इसके अतिरिक्त, साइन एवं कोसाइन दोनों के लिए कोण जोड़ एवं घटाव सूत्रों का उपयोग करके कोई प्राप्त करता है:
समायोजन एवं एवं उपज को प्रतिस्थापित करना:
ज्यामितीय प्रमाण
ऊपर दिए गए सूत्रों को दाईं ओर समचतुर्भुज आकृति पर प्रस्तावित करने से यह सरलता से प्रदर्शित किया जा सकता है,
अभिन्न कलन में स्पर्शरेखा अर्ध-कोण प्रतिस्थापन
त्रिकोणमिति के विभिन्न अनुप्रयोगों में, नए चर के तर्कसंगत कार्यों के संदर्भ में त्रिकोणमितीय कार्यों (जैसे साइन एवं कोसाइन) को पुनः लिखना उपयोगी है। की परिभाषा के कारण इन सर्वसमिकाओं को सामूहिक रूप से स्पर्शरेखा अर्ध-कोण सूत्र के रूप में जाना जाता है। ये पहचानें साइन एवं कोसाइन में तर्कसंगत कार्यों को उनके प्रतिअवकलज की शोध के लिए t के कार्यों में परिवर्तित करने के लिए कैलकुलसन में उपयोगी हो सकती हैं।
ज्यामितीय रूप से, निर्माण इस प्रकार होता है: इकाई चक्र पर किसी भी बिंदु के लिए (cos φ, sin φ) के लिए, इससे होकर निकलने वाली रेखा एवं बिंदु के लिए (−1, 0) खींची जाती है। यह बिंदु किसी बिंदु y = t पर y-अक्ष को पार करता है। कोई सरल ज्यामिति का उपयोग करके यह दिखा सकता है t = tan(φ/2). खींची गई रेखा का समीकरण y = (1 + x)t है। रेखा एवं वृत्त के प्रतिच्छेदन का समीकरण तब द्विघात समीकरण होता है जिसमें t सम्मिलित होता है। इस समीकरण के दो समाधान हैं (−1, 0) एवं (cos φ, sin φ) हैं। यह हमें पश्चात वाले को t के तर्कसंगत कार्यों के रूप में लिखने की अनुमति देता है (समाधान नीचे दिए गए हैं)।
पैरामीटर t, प्रक्षेपण के केंद्र (−1, 0) के साथ y-अक्ष (−1, 0)बिंदु पर (cos φ, sin φ) के त्रिविम प्रक्षेपण का प्रतिनिधित्व करता है। इस प्रकार, स्पर्शरेखा अर्ध-कोण सूत्र त्रिविम निर्देशांक t एवं मानक कोणीय निर्देशांक पर φ के मध्य रूपांतरण देते हैं।
तो हमारे पास हैं,
गुडरमैनियन फलन
अतिशयोक्तिपूर्ण पहचानों की अपेक्षा वृत्ताकार पहचानों से करने पर, कोई यह नोटिस करता है कि उनमें t के समान कार्य सम्मिलित हैं, अभी क्रमबद्ध किया गया है। यदि हम दोनों ही मामलों में पैरामीटर t की पहचान करते हैं तो हम वृत्ताकार फलनों एवं अतिपरवलयिक फलनों के मध्य संबंध पर पहुंचते हैं। अर्थात यदि
तर्कसंगत मान एवं पायथागॉरियन त्रिगुण
भुजाओं की लंबाई वाले पाइथागोरस त्रिभुज से प्रारंभ करना a, b, एवं c जो धनात्मक पूर्णांक हैं एवं संतुष्ट करते हैं a2 + b2 = c2, इससे तुरंत ज्ञात होता है कि त्रिभुज के प्रत्येक आंतरिक कोण में साइन एवं कोसाइन के लिए तर्कसंगत मान हैं, क्योंकि ये केवल भुजाओं की लंबाई के अनुपात हैं। इस प्रकार, इनमें से प्रत्येक कोण का उपयोग करते हुए, इसके अर्ध-कोण स्पर्शरेखा के लिए तर्कसंगत मान होता है tan φ/2 = sin φ / (1 + cos φ).
विपरीत भी सही है। यदि दो धनात्मक कोण हैं जिनका योग 90° है, प्रत्येक परिमेय अर्ध-कोण स्पर्शरेखा के साथ है, एवं तीसरा कोण समकोण है तो इन आंतरिक कोणों वाला त्रिभुज पाइथागोरस त्रिभुज के समान (ज्यामिति) हो सकता है। यदि तीसरे कोण का समकोण होना आवश्यक नहीं है, लेकिन वह कोण है जो तीन धनात्मक कोणों का योग 180° बनाता है तो तीसरे कोण के पास आवश्यक रूप से अपने अर्ध-कोण स्पर्शरेखा के लिए तर्कसंगत संख्या होगी जब पहले दो ऐसा करते हैं (का उपयोग करके) स्पर्शरेखाओं के लिए कोण जोड़ एवं घटाव सूत्र) एवं त्रिभुज को हेरोनियन त्रिभुज में स्केल किया जा सकता है।
आम तौर पर, अगर K सम्मिश्र संख्याओं का फ़ील्ड विस्तार है tan φ/2 ∈ K ∪ {∞} इसका आशय है {sin φ, cos φ, tan φ, sec φ, csc φ, cot φ} ⊆ K ∪ {∞}.