वृत्ताकार बीजगणितीय वक्र

ज्यामिति में, वृत्ताकार बीजगणितीय वक्र विशेष प्रकार का समतल बीजगणितीय वक्र होता है जो समीकरण F(x, y) = 0 द्वारा निर्धारित होता है, जहां F वास्तविक के साथ बहुपद है और F के उच्चतम-क्रम वाले पद x² + y² से विभाज्य बहुपद बनाते हैं, अधिक त्रुटिहीन रूप से, यदि F = F_n + F_n−1 + ... + F₁ + F₀, जहां प्रत्येक F_i डिग्री i का सजातीय फलन है, तो वक्र F(x,y)=0 वृत्ताकार है यदि केवल F_n से x²+y² विभाज्य है।

समान रूप से, यदि वक्र सजातीय निर्देशांक में G(x, y, z) = 0 द्वारा निर्धारित किया जाता है, जहां G सजातीय बहुपद है, तो वक्र वृत्ताकार है यदि केवल G(1, i, 0)=G(1) , −i, 0) = 0 दूसरे शब्दों में, वक्र वृत्ताकार होता है यदि इसमें अनंत पर वृत्ताकार बिंदु होते हैं, (1, i, 0) और (1, −i, 0), जब जटिल प्रक्षेप्य तल में इसे वक्र के रूप में माना जाता है।

बहुवृत्ताकार बीजगणितीय वक्र

बीजगणितीय वक्र को p-परिपत्र कहा जाता है यदि इसमें बिंदु (1, i, 0) और (1,−i, 0) सम्मिलित हैं, जब इसे जटिल प्रक्षेप्य तल में वक्र माना जाता है समतल, और ये बिंदु कम से कम p क्रम की विलक्षणताएं हैं। द्विवृत्ताकार, त्रिवृत्ताकार आदि शब्द तब प्रारंभ होते हैं जब p = 2,3, आदि। ऊपर दिए गए बहुपद F के संदर्भ में, वक्र F(x, y) = 0 p-वृत्ताकार है यदि F_n−i से (x² + y²)^p−i विभाज्य है जब i<p जब p = 1 यह वृत्ताकार वक्र की परिभाषा में परिवर्तित हो जाता है। यूक्लिडियन समूह के अंतर्गत p-वृत्ताकार वक्रों का समुच्चय अपरिवर्तनीय है। ध्यान दें कि p-वृत्ताकार वक्र की डिग्री कम से कम 2p होनी चाहिए।

डिग्री p + k के p-वृत्ताकार वक्रों का समुच्चय, जहां p भिन्न हो सकता है किन्तु k निश्चित सकारात्मक पूर्णांक है, व्युत्क्रम के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है। जब k 1 होता है तो यह कहता है कि रेखाओं का समुच्चय (डिग्री 1 के 0-वृत्ताकार वक्र) वृत्तों के समुच्चय (डिग्री 2 के 1-वृत्ताकार वक्र) के साथ मिलकर समुच्चय बनाते हैं जो व्युत्क्रम के अंतर्गत अपरिवर्तनीय होता है।

उदाहरण

• वृत्त ही मात्र वृत्ताकार शंकु है।
• डी स्लुज़ के कोनकॉइड (जिसमें कई प्रसिद्ध घन वक्र सम्मिलित हैं) वृत्ताकार घन हैं।
• कैसिनी ओवल (बर्नौली के लेम्निस्केट सहित), टोरिक अनुभाग और लिमाकॉन (कारडायोड सहित) द्विवृत्ताकार चतुर्थक हैं।
• वाट का वक्र द्विवृत्ताकार चतुर्थक हैं।

संदर्भ

• (in French) "Courbe Algébrique Circulaire" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables
• (in French) "Courbe Algébrique Multicirculaire" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables
• Definition at 2dcurves.com