सम्मिश्र-अभिविन्यस्त सह समरूपता सिद्धांत

बीजगणितीय टोपोलॉजी में, जटिल-उन्मुख सह-समरूपता सिद्धांत गुणात्मक सह-समरूपता सिद्धांत E है जैसे कि प्रतिबंध मानचित्र $E^{2}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{\infty })\to E^{2}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{1})$ विशेषण है। तत्व $E^{2}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{\infty })$ को कम किए गए सिद्धांत के विहित जनरेटर तक सीमित है ${\widetilde {E}}^{2}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{1})$ को जटिल अभिविन्यास कहा जाता है। यह धारणा औपचारिक समूह नियमों के सह-समरूपता से संबंधित क्विलेन के कार्य के केंद्र में है।

यदि E सम-वर्गीकृत सिद्धांत का अर्थ है $\pi _{3}E=\pi _{5}E=\cdots$, तो E जटिल-उन्मुख है। यह अतियाह-हिर्ज़ेब्रुच वर्णक्रमीय अनुक्रम से अनुसरण करता है।

उदाहरण:

• किसी भी गुणांक वलय R के साथ सामान्य सह-समरूपता जटिल उन्मुख है, जैसे $\operatorname {H} ^{2}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{\infty };R)\simeq \operatorname {H} ^{2}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{1};R)$
• जटिल के-सिद्धांत, जिसे केयू कहा जाता है, जटिल-उन्मुख है, क्योंकि यह सम-वर्गीकृत है। (बॉट आवधिकता प्रमेय)
• जटिल सह-बॉर्डिज्म, जिसका स्पेक्ट्रम एमयू द्वारा दर्शाया गया है, जटिल-उन्मुख है।

जटिल अभिविन्यास, इसे t कहा जाता है, औपचारिक समूह नियम को इस प्रकार उत्पन्न करता है: कि मान लीजिए m गुणन है:

$\mathbb {C} \mathbf {P} ^{\infty }\times \mathbb {C} \mathbf {P} ^{\infty }\to \mathbb {C} \mathbf {P} ^{\infty },([x],[y])\mapsto [xy]$

जहाँ $[x]$ अंतर्निहित सदिश स्थान में x से निकलने वाली रेखा को $\mathbb {C} [t]$ का $\mathbb {C} \mathbf {P} ^{\infty }$ दर्शाता है, यह यूनिवर्सल लाइन बंडल ओवर के टेंसर उत्पाद को वर्गीकृत करने वाला मानचित्र $\mathbb {C} \mathbf {P} ^{\infty }$ है:

$E^{*}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{\infty })=\varprojlim E^{*}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n})=\varprojlim R[t]/(t^{n+1})=R[\![t]\!],\quad R=\pi _{*}E$,

मान लीजिये $f=m^{*}(t)$ m के अनुदिश t का पुलबैक में रहता है:

$E^{*}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{\infty }\times \mathbb {C} \mathbf {P} ^{\infty })=\varprojlim E^{*}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}\times \mathbb {C} \mathbf {P} ^{m})=\varprojlim R[x,y]/(x^{n+1},y^{m+1})=R[\![x,y]\!]$

लाइन बंडलों E के टेंसर उत्पाद के गुणों का उपयोग करके दिखाया जा सकता है, यह औपचारिक समूह नियम है (उदाहरण के लिए, साहचर्य को संतुष्ट करता है)।

यह भी देखें

• क्रोमैटिक होमोटॉपी सिद्धांत

संदर्भ

• M. Hopkins, Complex oriented cohomology theory and the language of stacks
• J. Lurie, Chromatic Homotopy Theory (252x)