आइंस्टीन संबंध (गतिज सिद्धांत)

भौतिकी में (विशेष रूप से, गैसों का गतिज सिद्धांत), आइंस्टीन संबंध एक पूर्व अप्रत्याशित संबंध है जिसे विलियम सदरलैंड (भौतिक विज्ञानी) ने 1904 में, अल्बर्ट आइंस्टीन 1905 में, और मैरियन स्मोलुचोव्स्की द्वारा 1906 में ब्राउनियन गति पर अपने कार्यों में स्वतंत्र रूप से प्रकट किया था। पारंपरिक स्थिति में समीकरण का अधिक सामान्य रूप है

$$D=\mu \,k_{\text{B}}T,$$

जहाँ

• D फ़िक का प्रसार का नियम है;
• μ गतिशीलता है, या लागू बल के लिए कण के टर्मिनल वेग अपवाह वेग का अनुपात है, μ = v_d/F;
• k_B बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है;
• T पूर्ण तापमान है.

यह समीकरण उतार-चढ़ाव अपव्यय संबंध का प्रारंभिक उदाहरण है।

ध्यान दें कि उपरोक्त समीकरण पारंपरिक स्थिति का वर्णन करता है और क्वांटम प्रभाव प्रासंगिक होने पर इसे संशोधित किया जाना चाहिए।

संबंध के दो अधिकांश उपयोग किए जाने वाले महत्वपूर्ण विशेष रूप हैं:

• विद्युत आवेश कणों के प्रसार के लिए आइंस्टीन-स्मोलुचोव्स्की समीकरण:
  $$D={\frac {\mu _{q}\,k_{\text{B}}T}{q}}$$
• कम रेनॉल्ड्स संख्या वाले तरल के माध्यम से गोलाकार कणों के प्रसार के लिए स्टोक्स-आइंस्टीन समीकरण:
  $$D={\frac {k_{\text{B}}T}{6\pi \,\eta \,r}}$$

यहाँ

• q कण का विद्युत आवेश है;
• μ_qआवेशित कण की विद्युत गतिशीलता है;
• η गतिशील श्यानता है;
• r गोलाकार कण की त्रिज्या है।

विशेष स्थिति

विद्युत गतिशीलता समीकरण (पारंपरिक स्थिति)

विद्युत आवेश q वाले एक कण के लिए, इसकी विद्युत गतिशीलता μ_q इसकी सामान्यीकृत गतिशीलता μ से समीकरण μ = μ_q/q द्वारा संबंधित होती है। पैरामीटर μ_q कण के टर्मिनल अपवाह वेग और लागू विद्युत क्षेत्रत्र का अनुपात है। इसलिए, आवेशित कण के स्थिति में समीकरण इस प्रकार दिया गया है

$$D={\frac {\mu _{q}\,k_{\text{B}}T}{q}},$$

जहाँ

• $D$ प्रसार गुणांक ($\mathrm {m^{2}s^{-1}}$) है।
• $\mu _{q}$ विद्युत गतिशीलता ($\mathrm {m^{2}V^{-1}s^{-1}}$) है।
• $q$ कण का विद्युत आवेश (C, कूलम्ब) है।
• $T$ प्लाज्मा में इलेक्ट्रॉन तापमान या आयन तापमान (K) है।

यदि तापमान वाल्ट में दिया गया है, जो प्लाज्मा के लिए अधिक सामान्य है:

$$D={\frac {\mu _{q}\,T}{Z}},$$

जहाँ

• $Z$ कण (इकाई रहित) की आवेश संख्या है
• $T$ प्लाज्मा में इलेक्ट्रॉन तापमान या आयन तापमान (V) है।

विद्युत गतिशीलता समीकरण (क्वांटम केस)

सामान्य धातुओं में इलेक्ट्रॉन गतिशीलता के लिए प्रासंगिक फर्मी गैस (फर्मी तरल) के स्थिति में, आइंस्टीन संबंध को संशोधित किया जाना चाहिए:

$$D={\frac {\mu _{q}\,E_{F}}{q}},$$

जहाँ $E_{F}$ फर्मी ऊर्जा है.

स्टोक्स-आइंस्टीन समीकरण

निम्न रेनॉल्ड्स संख्या की सीमा में, गतिशीलता μ ड्रैग गुणांक $\zeta$ का व्युत्क्रम है। एक अवमंदन स्थिरांक $\gamma =\zeta /m$ का उपयोग अधिकांश विसरित वस्तु के व्युत्क्रम गति विश्राम समय (यादृच्छिक गति की तुलना में जड़ता गति को नगण्य होने के लिए आवश्यक समय) के लिए किया जाता है। त्रिज्या r के गोलाकार कणों के लिए, स्टोक्स का नियम देता है

$$\zeta =6\pi \,\eta \,r,$$

जहाँ $\eta$ माध्यम की श्यानता है। इस प्रकार आइंस्टीन-स्मोलुचोव्स्की संबंध स्टोक्स-आइंस्टीन संबंध में परिणत होता है

$$D={\frac {k_{\text{B}}T}{6\pi \,\eta \,r}}.$$

इसे तरल पदार्थों में स्व-प्रसार गुणांक का अनुमान लगाने के लिए कई वर्षों से लागू किया गया है, और आइसोमोर्फ सिद्धांत के अनुरूप संस्करण की पुष्टि लेनार्ड-जोन्स प्रणाली के कंप्यूटर सिमुलेशन द्वारा की गई है। घूर्णी प्रसार के स्थिति में, घर्षण $\zeta _{\text{r}}=8\pi \eta r^{3}$ है, और घूर्णी प्रसार स्थिरांक $D_{\text{r}}$ है

$$D_{\text{r}}={\frac {k_{\text{B}}T}{8\pi \,\eta \,r^{3}}}.$$

इसे कभी-कभी स्टोक्स-आइंस्टीन-डेबी संबंध के रूप में जाना जाता है।

अर्धचालक

अवस्थाओं के स्वैच्छिक घनत्व वाले अर्धचालक में, अर्थात् छिद्रों या इलेक्ट्रॉनों $p$ के घनत्व और संबंधित अर्ध फर्मी स्तर (या विद्युत रासायनिक क्षमता) $\varphi$ के बीच फॉर्म $p=p(\varphi )$ का संबंध, आइंस्टीन संबंध है

$$D={\frac {\mu _{q}p}{q{\frac {dp}{d\varphi }}}},$$

जहाँ $\mu _{q}$ विद्युत गतिशीलता (इस संबंध के प्रमाण के लिए § सामान्य स्थिति का प्रमाण देखें) है। अवस्थाओं के घनत्व और मैक्सवेल-बोल्ट्जमैन सांख्यिकी के लिए एक परवलयिक फैलाव संबंध मानने वाला एक उदाहरण, जिसका उपयोग अधिकांश अकार्बनिक यौगिक अर्धचालक सामग्रियों का वर्णन करने के लिए किया जाता है, जिनकी गणना (अवस्थाओं का घनत्व और वितरण कार्य देखें) की जा सकती है:

$$p(\varphi )=N_{0}e^{\frac {q\varphi }{k_{\text{B}}T}},$$

जहाँ $N_{0}$ उपलब्ध ऊर्जा अवस्थाओं का कुल घनत्व है, जो सरलीकृत संबंध देता है:

$$D=\mu _{q}{\frac {k_{\text{B}}T}{q}}.$$

नर्नस्ट-आइंस्टीन समीकरण

इलेक्ट्रोलाइट की समतुल्य चालकता की अभिव्यक्तियों से धनायनों और आयनों की विद्युत आयनिक गतिशीलता की अभिव्यक्तियों में विवर्तनशीलता को प्रतिस्थापित करके नर्नस्ट-आइंस्टीन समीकरण प्राप्त किया गया है:

$$\Lambda _{e}={\frac {z_{i}^{2}F^{2}}{RT}}(D_{+}+D_{-}).$$

सामान्य स्थिति का प्रमाण

आइंस्टीन संबंध का प्रमाण कई संदर्भों में पाया जा सकता है, उदाहरण के लिए कुबो देखें।

मान लीजिए कि कुछ निश्चित, बाह्य स्थितिज ऊर्जा $U$ किसी दिए गए स्थान $\mathbf {x}$ पर स्थित एक कण पर एक संरक्षी बल $F(\mathbf {x} )=-\nabla U(\mathbf {x} )$ (उदाहरण के लिए, एक विद्युत बल) उत्पन्न करती है। हम मानते हैं कि कण वेग $v(\mathbf {x} )=\mu (\mathbf {x} )F(\mathbf {x} )$ (ड्रैग (भौतिकी) देखें) के साथ चलते हुए प्रतिक्रिया करता हैं। अब मान लें कि बड़ी संख्या में ऐसे कण हैं, जिनकी स्थानीय सांद्रता $\rho (\mathbf {x} )$ स्थिति पर निर्भर करती है। कुछ समय के बाद, संतुलन स्थापित हो जाएगा: कण सबसे कम संभावित ऊर्जा $U$ वाले क्षेत्रों के आसपास संचित हो जाएंगे, किन्तु फिर भी प्रसार के कारण कुछ सीमा तक प्रसारित हो जाता हैं। संतुलन पर, कणों का कोई शुद्ध प्रवाह नहीं होता है: कणों की निचली $U$ की ओर खींचने की प्रवृत्ति, जिसे अपवाह धारा कहा जाता है, विसरण के कारण कणों के प्रसार की प्रवृत्ति को पूरी तरह से संतुलित करती है, जिसे विसरण धारा (अपवाह-प्रसार समीकरण) कहा जाता है।

अपवाह धारा के कारण कणों का शुद्ध प्रवाह होता है

$$\mathbf {J} _{\mathrm {drift} }(\mathbf {x} )=\mu (\mathbf {x} )F(\mathbf {x} )\rho (\mathbf {x} )=-\rho (\mathbf {x} )\mu (\mathbf {x} )\nabla U(\mathbf {x} ),$$

अर्थात्, किसी दिए गए स्थान से बहने वाले कणों की संख्या कण की सांद्रता के औसत वेग से गुणा के समान होती है।

विसरण धारा के कारण कणों का प्रवाह, फ़िक के नियम के अनुसार होता है,

$$\mathbf {J} _{\mathrm {diffusion} }(\mathbf {x} )=-D(\mathbf {x} )\nabla \rho (\mathbf {x} ),$$

जहां ऋण चिह्न का अर्थ है कि कण उच्च से निम्न सांद्रता की ओर प्रवाहित होते हैं।

अब संतुलन की स्थिति पर विचार करें। सबसे पहले, कोई शुद्ध प्रवाह नहीं है, अर्थात $\mathbf {J} _{\mathrm {drift} }+\mathbf {J} _{\mathrm {diffusion} }=0$ है। दूसरा, गैर-अंतःक्रियात्मक बिंदु कणों के लिए, संतुलन घनत्व $\rho$ यह पूरी तरह से स्थानीय संभावित ऊर्जा $U$ का कार्य है, अर्थात् दो स्थानों में एक ही $U$ है तो उनके पास भी एक ही $\rho$ (उदाहरण के लिए मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन आँकड़े देखें जैसा कि नीचे चर्चा की गई है।) होगा इसका अर्थ है, श्रृंखला नियम को लागू करना,

$$\nabla \rho ={\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} U}}\nabla U.$$

इसलिए, संतुलन पर:

$$0=\mathbf {J} _{\mathrm {drift} }+\mathbf {J} _{\mathrm {diffusion} }=-\mu \rho \nabla U-D\nabla \rho =\left(-\mu \rho -D{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} U}}\right)\nabla U.$$

जैसा कि यह अभिव्यक्ति हर स्थिति $\mathbf {x}$ में होती है, इसका तात्पर्य आइंस्टीन संबंध के सामान्य रूप से है:

$$D=-\mu {\frac {\rho }{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} U}}}.$$

के बीच संबंध $\rho$ और $U$ पारंपरिक भौतिकी को मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन सांख्यिकी के माध्यम से मॉडलिंग किया जा सकता है

$$\rho (\mathbf {x} )=Ae^{-{\frac {U(\mathbf {x} )}{k_{\text{B}}T}}},$$

जहाँ $A$ कणों की कुल संख्या से संबंधित स्थिरांक है। इसलिए

$${\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} U}}=-{\frac {1}{k_{\text{B}}T}}\rho .$$

इस धारणा के अनुसार, इस समीकरण को सामान्य आइंस्टीन संबंध में जोड़ने से प्राप्त होता है:

$$D=-\mu {\frac {\rho }{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} U}}}=\mu k_{\text{B}}T,$$

जो पारंपरिक आइंस्टीन संबंध से मेल खाता है।

यह भी देखें

• स्मोलुचोव्स्की कारक
• चालकता (इलेक्ट्रोलाइटिक)
• स्टोक्स त्रिज्या
• आयन परिवहन संख्या

बाहरी संबंध

• Einstein relation calculators
• ion diffusivity