स्पर्शरेखा स्थान

गणित में, विविध का स्पर्शरेखा स्थान तीन आयामों में सतहों के लिए "स्पर्शरेखा विमान (ज्यामिति) " की धारणा और दो आयामों में वक्रों के लिए "स्पर्शरेखा रेखाएं" की धारणा को उच्च आयामों के लिए सामान्यीकृत करता है। भौतिकी के संदर्भ में, बिंदु पर कई गुना स्पर्शरेखा स्थान को कई गुना गतिमान कण के लिए संभावित वेगों के स्थान के रूप में देखा जा सकता है।

अनौपचारिक विवरण

एक बिंदु के स्पर्शरेखा स्थान का सचित्र प्रतिनिधित्व $x$ गोले पर। इस स्पर्शरेखा स्थान में सदिश संभावित वेग (गोले पर गतिमान किसी वस्तु का) को दर्शाता है $x$. उस दिशा में पास के बिंदु पर जाने के बाद, उस बिंदु के स्पर्शरेखा स्थान में वेक्टर द्वारा वेग दिया जाएगा - अलग स्पर्शरेखा स्थान जो नहीं दिखाया गया है।

अंतर ज्यामिति में, कोई भी हर पॉइंट से जुड़ सकता है $x$ अलग-अलग कई गुना स्पर्शरेखा स्थान - वास्तविक सदिश स्थल जिसमें सहज रूप से संभावित दिशाएं होती हैं जिसमें कोई स्पर्शरेखा से गुजर सकता है $x$. स्पर्शरेखा स्थान के तत्व at $x$ स्पर्शरेखा सदिश कहलाते हैं $x$. यह यूक्लिडियन अंतरिक्ष में दिए गए प्रारंभिक बिंदु पर आधारित वेक्टर (गणित और भौतिकी) की धारणा का सामान्यीकरण है। कनेक्टेड स्पेस के प्रत्येक बिंदु पर कई गुना स्पर्शरेखा अंतरिक्ष के वेक्टर स्पेस का आयाम कई गुना के समान ही होता है।

उदाहरण के लिए, यदि दिया गया मैनिफोल्ड a . है $2$-क्षेत्र, तब कोई बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान को उस विमान के रूप में चित्रित कर सकता है जो उस बिंदु पर गोले को छूता है और बिंदु के माध्यम से गोले की त्रिज्या के लंबवत होता है। अधिक आम तौर पर, यदि किसी दिए गए मैनिफोल्ड को यूक्लिडियन स्पेस के एम्बेडिंग सबमनिफोल्ड के रूप में माना जाता है, तो कोई इस शाब्दिक फैशन में स्पर्शरेखा स्थान को चित्रित कर सकता है। समानांतर परिवहन को परिभाषित करने की दिशा में यह पारंपरिक दृष्टिकोण था। डिफरेंशियल ज्योमेट्री और सामान्य सापेक्षता के कई लेखक इसका इस्तेमाल करते हैं। अधिक सख्ती से, यह एफ़िन स्पर्शरेखा स्थान को परिभाषित करता है, जो आधुनिक शब्दावली द्वारा वर्णित स्पर्शरेखा वैक्टर के स्थान से अलग है।

बीजगणितीय ज्यामिति में, इसके विपरीत, बीजीय विविधता के बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान की आंतरिक परिभाषा होती है $V$ जो कम से कम के आयाम के साथ सदिश स्थान देता है $V$ अपने आप। बिंदु $p$ जिस पर स्पर्शरेखा स्थान का आयाम ठीक वैसा ही है $V$ गैर-एकवचन बिंदु कहलाते हैं; अन्य को एकवचन बिंदु कहा जाता है। उदाहरण के लिए, वक्र जो स्वयं को काटता है, उस बिंदु पर अद्वितीय स्पर्श रेखा नहीं होती है। के विलक्षण बिंदु $V$ वे हैं जहां परीक्षण कई गुना विफल रहता है। ज़ारिस्की स्पर्शरेखा स्थान देखें।

एक बार कई गुना के स्पर्शरेखा रिक्त स्थान पेश किए जाने के बाद, कोई वेक्टर फ़ील्ड को परिभाषित कर सकता है, जो अंतरिक्ष में चलने वाले कणों के वेग क्षेत्र के अमूर्त हैं। सदिश क्षेत्र उस बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान से कई गुना सदिश के प्रत्येक बिंदु को सहज तरीके से जोड़ता है। इस तरह के वेक्टर क्षेत्र कई गुना पर सामान्यीकृत साधारण अंतर समीकरण को परिभाषित करने के लिए कार्य करता है: इस तरह के अंतर समीकरण का समाधान कई गुना पर अलग वक्र है जिसका व्युत्पन्न किसी भी बिंदु पर वेक्टर क्षेत्र द्वारा उस बिंदु से जुड़े स्पर्शरेखा वेक्टर के बराबर होता है।

एक मैनिफोल्ड के सभी स्पर्शरेखा रिक्त स्थान को साथ चिपकाकर नया अलग-अलग मैनिफोल्ड बनाया जा सकता है, जिसमें मूल मैनिफोल्ड के दोगुने आयाम होते हैं, जिसे मैनिफोल्ड का स्पर्शरेखा बंडल कहा जाता है।

औपचारिक परिभाषाएं

ऊपर दिया गया अनौपचारिक विवरण परिवेशी सदिश स्थान में एम्बेड करने की कई गुना क्षमता पर निर्भर करता है $\mathbb {R} ^{m}$ ताकि स्पर्शरेखा सदिश कई गुना से परिवेशी स्थान में चिपक सकें। हालांकि, स्पर्शरेखा स्थान की धारणा को पूरी तरह से मैनिफोल्ड के आधार पर परिभाषित करना अधिक सुविधाजनक है। कई गुना के स्पर्शरेखा रिक्त स्थान को परिभाषित करने के विभिन्न समकक्ष तरीके हैं। जबकि वक्र के वेग के माध्यम से परिभाषा सहज रूप से सबसे सरल है, इसके साथ काम करना भी सबसे बोझिल है। अधिक सुरुचिपूर्ण और अमूर्त दृष्टिकोण नीचे वर्णित हैं।

स्पर्शरेखा वक्रों के माध्यम से परिभाषा

एम्बेडेड-मैनिफोल्ड तस्वीर में, बिंदु पर स्पर्शरेखा वेक्टर $x$ बिंदु से गुजरने वाले वक्र#टोपोलॉजी के वेग के रूप में माना जाता है $x$. इसलिए हम स्पर्शरेखा सदिश को वक्रों के तुल्यता वर्ग के रूप में परिभाषित कर सकते हैं, जो से होकर गुजरता है $x$ दूसरे के स्पर्शरेखा होने पर $x$.

मान लो कि $M$ है $C^{k}$ अलग-अलग मैनिफोल्ड ( चिकनाई के साथ) $k\geq 1$) और कि $x\in M$. मैनिफोल्ड चुनें#चार्ट, एटलस और ट्रांजिशन मैप $\varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}$, कहाँ पे $U$ का खुला सेट है $M$ युक्त $x$. आगे मान लीजिए कि दो वक्र $\gamma _{1},\gamma _{2}:(-1,1)\to M$ साथ ${\gamma _{1}}(0)=x={\gamma _{2}}(0)$ ऐसे दिए गए हैं कि दोनों $\varphi \circ \gamma _{1},\varphi \circ \gamma _{2}:(-1,1)\to \mathbb {R} ^{n}$ सामान्य अर्थों में अलग-अलग होते हैं (हम इन अलग-अलग वक्रों को आरंभिक कहते हैं $x$) फिर $\gamma _{1}$ तथा $\gamma _{2}$ बराबर कहा जाता है $0$ अगर और केवल अगर के डेरिवेटिव $\varphi \circ \gamma _{1}$ तथा $\varphi \circ \gamma _{2}$ पर $0$ संयोग। यह सभी अवकलनीय वक्रों के सेट पर तुल्यता संबंध को परिभाषित करता है $x$, और ऐसे वक्रों के तुल्यता वर्ग ों को के स्पर्शरेखा सदिश के रूप में जाना जाता है $M$ पर $x$. ऐसे किसी भी वक्र का तुल्यता वर्ग $\gamma$ द्वारा दर्शाया गया है $\gamma '(0)$. का स्पर्शरेखा स्थान $M$ पर $x$, द्वारा चिह्नित $T_{x}M$, तब सभी स्पर्शरेखा सदिशों के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जाता है $x$; यह समन्वय चार्ट की पसंद पर निर्भर नहीं करता है $\varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}$.

स्पर्शरेखा स्थान $T_{x}M$ और स्पर्शरेखा वेक्टर $v\in T_{x}M$, वक्र के माध्यम से यात्रा कर रहा है $x\in M$.

वेक्टर-स्पेस ऑपरेशंस को परिभाषित करने के लिए $T_{x}M$, हम चार्ट का उपयोग करते हैं $\varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}$ और मानचित्र (गणित) परिभाषित करें $\mathrm {d} {\varphi }_{x}:T_{x}M\to \mathbb {R} ^{n}$ द्वारा ${\textstyle {\mathrm {d} {\varphi }_{x}}(\gamma '(0)):=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} {t}}}[(\varphi \circ \gamma )(t)]\right|_{t=0},}$ कहाँ पे $\gamma \in \gamma '(0)$. नक्शा $\mathrm {d} {\varphi }_{x}$ विशेषण बन जाता है और इसका उपयोग वेक्टर-स्पेस ऑपरेशंस को स्थानांतरित करने के लिए किया जा सकता है $\mathbb {R} ^{n}$ खत्म करने के लिए $T_{x}M$, इस प्रकार बाद वाले सेट को an . में बदल देता है $n$-आयामी वास्तविक वेक्टर स्थान। फिर से, किसी को यह जांचना होगा कि यह निर्माण विशेष चार्ट पर निर्भर नहीं करता है $\varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}$ और वक्र $\gamma$ इस्तेमाल किया जा रहा है, और वास्तव में ऐसा नहीं है।

व्युत्पत्तियों के माध्यम से परिभाषा

मान लीजिए कि अब $M$ है $C^{\infty }$ कई गुना वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन $f:M\to \mathbb {R}$ से संबंधित कहा जाता है ${C^{\infty }}(M)$ अगर और केवल अगर हर समन्वय चार्ट के लिए $\varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}$, नक्शा $f\circ \varphi ^{-1}:\varphi [U]\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ असीम रूप से भिन्न है। ध्यान दें कि ${C^{\infty }}(M)$ बिंदुवार उत्पाद और कार्यों के योग और अदिश गुणन के संबंध में वास्तविक सहयोगी बीजगणित है।

एक व्युत्पत्ति (सार बीजगणित) at $x\in M$ रैखिक मानचित्र के रूप में परिभाषित किया गया है $D:{C^{\infty }}(M)\to \mathbb {R}$ जो लाइबनिज की पहचान को संतुष्ट करता है

$$\forall f,g\in {C^{\infty }}(M):\qquad D(fg)=D(f)\cdot g(x)+f(x)\cdot D(g),$$

जो कलन के उत्पाद नियम पर आधारित है।

(प्रत्येक समान रूप से स्थिर कार्य के लिए $f={\text{const}},$ यह इस प्रकार है कि $D(f)=0$)

निरूपित $T_{x}M$ सभी व्युत्पत्तियों का सेट $x.$ स्थापना

• $(D_{1}+D_{2})(f):={D}_{1}(f)+{D}_{2}(f)$ तथा
• $(\lambda \cdot D)(f):=\lambda \cdot D(f)$

मोड़ों $T_{x}M$ वेक्टर अंतरिक्ष में।

सामान्यीकरण

इस परिभाषा के सामान्यीकरण संभव हैं, उदाहरण के लिए, जटिल मैनिफोल्ड और बीजीय विविधता के लिए। हालांकि, व्युत्पत्तियों की जांच करने के बजाय $D$ कार्यों के पूर्ण बीजगणित से, किसी को इसके बजाय कार्यों के रोगाणु (गणित) के स्तर पर काम करना चाहिए। इसका कारण यह है कि संरचना शीफ इंजेक्शन शीफ नहीं हो सकता है#ऐसी संरचनाओं के लिए फाइन शीव्स। उदाहरण के लिए, चलो $X$ संरचना शीफ ​​के साथ बीजीय किस्म बनें ${\mathcal {O}}_{X}$. फिर बिंदु पर ज़ारिस्की स्पर्शरेखा स्थान $p\in X$ सभी का संग्रह है $\mathbb {k}$-व्युत्पत्तियां $D:{\mathcal {O}}_{X,p}\to \mathbb {k}$, कहाँ पे $\mathbb {k}$ जमीनी क्षेत्र है और ${\mathcal {O}}_{X,p}$ का डंठल (शीफ) है ${\mathcal {O}}_{X}$ पर $p$.

परिभाषाओं की समानता

के लिये $x\in M$ और अवकलनीय वक्र $\gamma :(-1,1)\to M$ ऐसा है कि $\gamma (0)=x,$ परिभाषित करना ${D_{\gamma }}(f):=(f\circ \gamma )'(0)$ (जहां व्युत्पन्न सामान्य अर्थ में लिया जाता है क्योंकि $f\circ \gamma$ से समारोह है $(-1,1)$ प्रति $\mathbb {R}$) कोई यह पता लगा सकता है कि $D_{\gamma }(f)$ बिंदु पर व्युत्पत्ति है $x,$ और वह समतुल्य वक्र समान व्युत्पत्ति देते हैं। इस प्रकार, तुल्यता वर्ग के लिए $\gamma '(0),$ हम परिभाषित कर सकते हैं ${D_{\gamma '(0)}}(f):=(f\circ \gamma )'(0),$ जहां वक्र $\gamma \in \gamma '(0)$ मनमाने ढंग से चुना गया है। नक्शा $\gamma '(0)\mapsto D_{\gamma '(0)}$ तुल्यता वर्गों की जगह के बीच वेक्टर अंतरिक्ष समरूपता है $\gamma '(0)$ और उस बिंदु पर व्युत्पत्तियों का $x.$

कोटैंजेंट रिक्त स्थान के माध्यम से परिभाषा

फिर से, हम a . से शुरू करते हैं $C^{\infty }$ विविध $M$ और बिंदु $x\in M$. आदर्श पर विचार करें (अंगूठी सिद्धांत) $I$ का $C^{\infty }(M)$ जिसमें सभी सुचारू कार्य शामिल हैं $f$ गायब हो रहा है $x$, अर्थात।, $f(x)=0$. फिर $I$ तथा $I^{2}$ दोनों वास्तविक वेक्टर रिक्त स्थान हैं, और भागफल स्थान (रैखिक बीजगणित) $I/I^{2}$ स्पर्शरेखा स्थान में समाकृतिकता दिखाया जा सकता है $T_{x}^{*}M$ टेलर के प्रमेय के उपयोग के माध्यम से। स्पर्शरेखा स्थान $T_{x}M$ के दोहरे स्थान के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $I/I^{2}$.

हालांकि यह परिभाषा सबसे सारगर्भित है, यह वह भी है जो अन्य सेटिंग्स के लिए सबसे आसानी से हस्तांतरणीय है, उदाहरण के लिए, बीजगणितीय ज्यामिति में बीजगणितीय विविधता के लिए माना जाता है।

यदि $D$ व्युत्पत्ति है $x$, फिर $D(f)=0$ हरएक के लिए $f\in I^{2}$, जिसका अर्थ है कि $D$ रैखिक मानचित्र को जन्म देता है $I/I^{2}\to \mathbb {R}$. इसके विपरीत, यदि $r:I/I^{2}\to \mathbb {R}$ रैखिक नक्शा है, तो $D(f):=r\left((f-f(x))+I^{2}\right)$ व्युत्पत्ति को परिभाषित करता है $x$. यह व्युत्पत्तियों के माध्यम से परिभाषित स्पर्शरेखा रिक्त स्थान और कोटेंगेंट रिक्त स्थान के माध्यम से परिभाषित स्पर्शरेखा रिक्त स्थान के बीच समानता उत्पन्न करता है।

गुण

यदि $M$ का खुला उपसमुच्चय है $\mathbb {R} ^{n}$, फिर $M$ है $C^{\infty }$ प्राकृतिक तरीके से कई गुना (के खुले उपसमुच्चय पर पहचान कार्य होने के लिए समन्वय चार्ट लें) $\mathbb {R} ^{n}$), और स्पर्शरेखा रिक्त स्थान सभी स्वाभाविक रूप से पहचाने जाते हैं $\mathbb {R} ^{n}$.

दिशात्मक व्युत्पन्न के रूप में स्पर्शरेखा वैक्टर

स्पर्शरेखा वैक्टर के बारे में सोचने का और तरीका दिशात्मक डेरिवेटिव है। वेक्टर दिया गया $v$ में $\mathbb {R} ^{n}$, बिंदु पर संबंधित दिशात्मक व्युत्पन्न को परिभाषित करता है $x\in \mathbb {R} ^{n}$ द्वारा

$\forall f\in {C^{\infty }}(\mathbb {R} ^{n}):\qquad (D_{v}f)(x):=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} {t}}}[f(x+tv)]\right|_{t=0}=\sum _{i=1}^{n}v^{i}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}(x).$

यह नक्शा स्वाभाविक रूप से व्युत्पत्ति है $x$. इसके अलावा, प्रत्येक व्युत्पत्ति बिंदु पर $\mathbb {R} ^{n}$ इस स्वरूप का है। इसलिए, बिंदु पर वैक्टर (एक बिंदु पर स्पर्शरेखा वैक्टर के रूप में माना जाता है) और व्युत्पत्तियों के बीच एक-से-एक पत्राचार होता है।

एक बिंदु पर सामान्य मैनिफोल्ड के स्पर्शरेखा वैक्टर को उस बिंदु पर व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, उन्हें दिशात्मक डेरिवेटिव के रूप में सोचना स्वाभाविक है। विशेष रूप से, यदि $v$ स्पर्शरेखा वेक्टर है $M$ बिंदु पर $x$ (एक व्युत्पत्ति के रूप में सोचा), फिर दिशात्मक व्युत्पन्न को परिभाषित करें $D_{v}$ दिशा में $v$ द्वारा

$\forall f\in {C^{\infty }}(M):\qquad {D_{v}}(f):=v(f).$

अगर हम सोचते हैं $v$ अवकलनीय वक्र के प्रारंभिक वेग के रूप में $\gamma$ पर आरंभ किया गया $x$, अर्थात।, $v=\gamma '(0)$, फिर इसके बजाय, परिभाषित करें $D_{v}$ द्वारा

$\forall f\in {C^{\infty }}(M):\qquad {D_{v}}(f):=(f\circ \gamma )'(0).$

एक बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान का आधार

एक के लिए $C^{\infty }$ विविध $M$, अगर चार्ट $\varphi =(x^{1},\ldots ,x^{n}):U\to \mathbb {R} ^{n}$ के साथ दिया जाता है $p\in U$, तो कोई आदेशित आधार को परिभाषित कर सकता है ${\textstyle \left\{\left.{\frac {\partial }{\partial x^{1}}}\right|_{p},\dots ,\left.{\frac {\partial }{\partial x^{n}}}\right|_{p}\right\}}$ का $T_{p}M$ द्वारा

$\forall i\in \{1,\ldots ,n\},~\forall f\in {C^{\infty }}(M):\qquad {\left.{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right|_{p}}(f):=\left({\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\Big (}f\circ \varphi ^{-1}{\Big )}\right){\Big (}\varphi (p){\Big )}.$

तब प्रत्येक स्पर्शरेखा सदिश के लिए $v\in T_{p}M$, किसी के पास

$v=\sum _{i=1}^{n}v^{i}\left.{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right|_{p}.$

इसलिए यह सूत्र व्यक्त करता है $v$ आधार स्पर्शरेखा वैक्टर के रैखिक संयोजन के रूप में ${\textstyle \left.{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right|_{p}\in T_{p}M}$ निर्देशांक चार्ट द्वारा परिभाषित $\varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}$.

मानचित्र का व्युत्पन्न

Main article: Pushforward (differential)

हर चिकना (या अलग-अलग) नक्शा $\varphi :M\to N$ चिकनी (या अलग-अलग) मैनिफोल्ड्स के बीच प्राकृतिक रैखिक मानचित्रों को उनके संबंधित स्पर्शरेखा रिक्त स्थान के बीच प्रेरित करता है:

$\mathrm {d} {\varphi }_{x}:T_{x}M\to T_{\varphi (x)}N.$

यदि स्पर्शरेखा स्थान को अवकलनीय वक्रों के माध्यम से परिभाषित किया जाता है, तो यह मानचित्र द्वारा परिभाषित किया जाता है

${\mathrm {d} {\varphi }_{x}}(\gamma '(0)):=(\varphi \circ \gamma )'(0).$

यदि, इसके बजाय, स्पर्शरेखा स्थान को व्युत्पत्तियों के माध्यम से परिभाषित किया जाता है, तो यह मानचित्र द्वारा परिभाषित किया जाता है

$[\mathrm {d} {\varphi }_{x}(D)](f):=D(f\circ \varphi ).$

रैखिक नक्शा $\mathrm {d} {\varphi }_{x}$ को विभिन्न रूप से व्युत्पन्न, कुल व्युत्पन्न, अंतर, या पुशफॉरवर्ड कहा जाता है $\varphi$ पर $x$. इसे अक्सर कई अन्य नोटेशन का उपयोग करके व्यक्त किया जाता है:

$D\varphi _{x},\qquad (\varphi _{*})_{x},\qquad \varphi '(x).$

एक अर्थ में, व्युत्पन्न सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन है $\varphi$ पास $x$. ध्यान दें कि जब $N=\mathbb {R}$, फिर नक्शा $\mathrm {d} {\varphi }_{x}:T_{x}M\to \mathbb {R}$ फ़ंक्शन के डिफरेंशियल (कैलकुलस) की सामान्य धारणा के साथ मेल खाता है $\varphi$. स्थानीय निर्देशांक में . का व्युत्पन्न $\varphi$ जैकोबियन मैट्रिक्स और निर्धारक द्वारा दिया गया है।

व्युत्पन्न मानचित्र के संबंध में महत्वपूर्ण परिणाम निम्नलिखित है:

Theorem — If $\varphi :M\to N$ is a local diffeomorphism at $x$ in $M$, then $\mathrm {d} {\varphi }_{x}:T_{x}M\to T_{\varphi (x)}N$ is a linear isomorphism. Conversely, if $\varphi :M\to N$ is continuously differentiable and $\mathrm {d} {\varphi }_{x}$ is an isomorphism, then there is an open neighborhood $U$ of $x$ such that $\varphi$ maps $U$ diffeomorphically onto its image.

यह मैनिफोल्ड्स के बीच मानचित्रों के प्रतिलोम फलन प्रमेय का सामान्यीकरण है।

यह भी देखें

• समन्वय-प्रेरित आधार
• कोटैंजेंट स्पेस
• वक्रों की डिफरेंशियल ज्योमेट्री
• घातीय मानचित्र (रिमेंनियन ज्यामिति)
• सदिश स्थल

संदर्भ

• Lee, Jeffrey M. (2009), Manifolds and Differential Geometry, Graduate Studies in Mathematics, vol. 107, Providence: American Mathematical Society.
• Michor, Peter W. (2008), Topics in Differential Geometry, Graduate Studies in Mathematics, vol. 93, Providence: American Mathematical Society.
• Spivak, Michael (1965), Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus, W. A. Benjamin, Inc., ISBN 978-0-8053-9021-6.

इस पृष्ठ में अनुपलब्ध आंतरिक लिंक की सूची

• अंक शास्त्र
• वृत्त
• अलग करने योग्य कई गुना
• स्पर्शरेखा वेक्टर
• एक वेक्टर अंतरिक्ष का आयाम
• यूक्लिडियन स्पेस
• सीधा
• बीजीय किस्म
• नक्शा (गणित)
• द्विभाजित
• साहचर्य बीजगणित
• रैखिक नक्शा
• प्रॉडक्ट नियम
• ग्राउंड फील्ड
• डंठल (शेफ)
• आदर्श (अंगूठी सिद्धांत)
• दोहरी जगह
• पहचान समारोह
• अंतर कलन)
• उलटा कार्य प्रमेय
• समन्वय प्रेरित आधार
• वक्रों की विभेदक ज्यामिति

बाहरी संबंध

• Tangent Planes at MathWorld