मान्य संख्याएँ: Difference between revisions

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{{See also|संख्यात्मक विश्लेषण|अंतराल अंकगणित}}
मान्य संख्यात्मकता, या कठोर गणना, सत्यापित गणना, विश्वसनीय गणना, संख्यात्मक सत्यापन ({{lang-de|
 
Zuverlässiges Rechnen}}) गणितीय रूप से सख्त त्रुटि (राउंडिंग त्रुटि, ट्रंकेशन त्रुटि, विवेकाधीन त्रुटि) मूल्यांकन सहित संख्यात्मक है, और यह [[संख्यात्मक विश्लेषण]] का क्षेत्र है। गणना के लिए, [[अंतराल अंकगणित]] का उपयोग किया जाता है, और सभी परिणाम अंतराल द्वारा दर्शाए जाते हैं। स्माले की 14वीं समस्याओं को हल करने के लिए [[वारविक टकर]] द्वारा मान्य संख्याओं का उपयोग किया गया था,<ref name="Tucker_1999"/>और आज इसे गतिशील प्रणालियों के अध्ययन के लिए शक्तिशाली उपकरण के रूप में मान्यता प्राप्त है।<ref name="Kokubu"/>
'''मान्य संख्यात्मकता''', या '''कठोर गणना''', '''सत्यापित गणना''', '''विश्वसनीय गणना''', '''संख्यात्मक सत्यापन''' ({{lang-de|
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सत्यापन के बिना गणना से दुर्भाग्यपूर्ण परिणाम हो सकते हैं। नीचे कुछ उदाहरण हैं.
सत्यापन के बिना गणना से दुर्भाग्यपूर्ण परिणाम हो सकते हैं। नीचे कुछ उदाहरण हैं.


===दुम का उदाहरण===
===रम्प का उदाहरण===
1980 के दशक में रम्प ने उदाहरण बनाया।<ref name="Rump_1988"/><ref name="Loh_2002"/>उन्होंने जटिल फ़ंक्शन बनाया और उसका मूल्य प्राप्त करने का प्रयास किया। एकल परिशुद्धता, दोहरी परिशुद्धता, विस्तारित परिशुद्धता परिणाम सही प्रतीत होते थे, लेकिन इसका प्लस-माइनस चिह्न वास्तविक मान से भिन्न था।
1980 के दशक में रम्प ने उदाहरण बनाया था।<ref name="Rump_1988"/><ref name="Loh_2002"/> उन्होंने समष्टि फलन बनाया और उसका मूल्य प्राप्त करने का प्रयास किया था। एकल परिशुद्धता, दोहरी परिशुद्धता, विस्तारित परिशुद्धता परिणाम सही प्रतीत होते थे, किन्तु इसका प्लस-माइनस चिह्न वास्तविक मान से भिन्न था।


===प्रेत समाधान===
===प्रेत समाधान===
ब्रेउर-प्लम-मैककेना ने एम्डेन समीकरण की सीमा मूल्य समस्या को हल करने के लिए स्पेक्ट्रम विधि का उपयोग किया, और बताया कि असममित समाधान प्राप्त किया गया था।<ref name="Breuer_2001"/>अध्ययन का यह परिणाम गिडास-नी-निरेनबर्ग के सैद्धांतिक अध्ययन से विरोधाभासी है जिसमें दावा किया गया था कि कोई असममित समाधान नहीं है।<ref name="Gidas_1979"/>ब्रेउर-प्लम-मैककेना द्वारा प्राप्त समाधान विवेकाधीन त्रुटि के कारण उत्पन्न प्रेत समाधान था। यह दुर्लभ मामला है, लेकिन यह हमें बताता है कि जब हम अंतर समीकरणों पर सख्ती से चर्चा करना चाहते हैं, तो संख्यात्मक समाधानों को सत्यापित किया जाना चाहिए।
ब्रेउर-प्लम-मैककेना ने एम्डेन समीकरण की सीमा मूल्य समस्या को हल करने के लिए स्पेक्ट्रम विधि का उपयोग किया था, और बताया कि असममित समाधान प्राप्त किया गया था।<ref name="Breuer_2001"/> अध्ययन का यह परिणाम गिडास-नी-निरेनबर्ग के सैद्धांतिक अध्ययन से विरोधाभासी है जिसमें प्रमाणित किया गया था कि कोई असममित समाधान नहीं है।<ref name="Gidas_1979"/> ब्रेउर-प्लम-मैककेना द्वारा प्राप्त समाधान विवेकाधीन त्रुटि के कारण उत्पन्न प्रेत समाधान था। यह दुर्लभ स्थिति है, किन्तु यह हमें बताता है कि जब हम अंतर समीकरणों पर सख्ती से चर्चा करना चाहते हैं, तो संख्यात्मक समाधानों को सत्यापित किया जाना चाहिए।


===संख्यात्मक त्रुटियों के कारण दुर्घटनाएँ===
===संख्यात्मक त्रुटियों के कारण होने वाली घटनाएँ===
निम्नलिखित उदाहरण संख्यात्मक त्रुटियों के कारण होने वाली दुर्घटनाओं के रूप में जाने जाते हैं:
निम्नलिखित उदाहरण संख्यात्मक त्रुटियों के कारण होने वाली दुर्घटनाओं के रूप में जाने जाते हैं:
* [[खाड़ी युद्ध]] में मिसाइलों को रोकने में विफलता (1991)<ref name="Arnold"/>* [[एरियन 5]] रॉकेट की विफलता (1996)<ref name="Ariane"/>*चुनाव परिणाम के समग्रीकरण में गलतियाँ<ref name="Makeup"/>
* [[खाड़ी युद्ध|गल्फ युद्ध]] में मिसाइलों को रोकने में विफलता (1991) <ref name="Arnold"/>
*[[एरियन 5]] रॉकेट की विफलता (1996)<ref name="Ariane" />
*चुनाव परिणाम के समग्रीकरण में गलतियाँ <ref name="Makeup" />




==मुख्य विषय==
==मुख्य विषय                                                 ==
मान्य संख्याओं के अध्ययन को निम्नलिखित क्षेत्रों में विभाजित किया गया है:
मान्य संख्याओं के अध्ययन को निम्नलिखित क्षेत्रों में विभाजित किया गया है:
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* Verification in [[numerical linear algebra]]
* [[संख्यात्मक रैखिक बीजगणित]] में सत्यापन
** Validating numerical solutions of a given system of linear equations<ref>Yamamoto, T. (1984). Error bounds for approximate solutions of systems of equations. Japan Journal of Applied Mathematics, 1(1), 157.</ref><ref>Oishi, S., & Rump, S. M. (2002). Fast verification of solutions of matrix equations. Numerische Mathematik, 90(4), 755-773.</ref>
** रैखिक समीकरणों की दी गई प्रणाली के संख्यात्मक समाधानों को मान्य करना<ref>यामामोटो, टी. (1984)। समीकरणों की प्रणालियों के अनुमानित समाधानों के लिए त्रुटि सीमाएँ। एप्लाइड गणित के जापान जर्नल, 1(1), 157.</ref><ref>ओशी, एस., और रम्प, एस.एम. (2002)। मैट्रिक्स समीकरणों के समाधान का तेजी से सत्यापन। संख्यात्मक गणित, 90(4), 755-773.</ref>
** Validating numerically obtained eigenvalues<ref>Yamamoto, T. (1980). Error bounds for computed eigenvalues and eigenvectors. Numerische Mathematik, 34(2), 189-199.</ref><ref>Yamamoto, T. (1982). Error bounds for computed eigenvalues and eigenvectors. II. Numerische Mathematik, 40(2), 201-206.</ref><ref>Mayer, G. (1994). Result verification for eigenvectors and eigenvalues. Topics in Validated Computations, Elsevier, Amsterdam, 209-276.</ref>
** संख्यात्मक रूप से प्राप्त आइजनमानों को मान्य करना<ref>यामामोटो, टी. (1980)। परिकलित eigenvalues ​​और eigenvectors के लिए त्रुटि सीमाएं। संख्यात्मक गणित, 34(2), 189-199.</ref><ref>यामामोटो, टी. (1982)। परिकलित eigenvalues ​​और eigenvectors के लिए त्रुटि सीमाएं। द्वितीय. संख्यात्मक गणित, 40(2), 201-206.</ref><ref>मेयर, जी. (1994). आइजेनवेक्टर और आइजेनवैल्यू के लिए परिणाम सत्यापन। मान्य संगणना में विषय, एल्सेवियर, एम्स्टर्डम, 209-276.</ref>
** Rigorously computing [[determinant]]s<ref>Ogita, T. (2008). Verified Numerical Computation of Matrix Determinant. SCAN’2008 El Paso, Texas September 29–October 3, 2008, 86.</ref>
** सख्ती से गणना [[निर्धारक]]s<ref>ओगिता, टी. (2008)। मैट्रिक्स निर्धारक की सत्यापित संख्यात्मक गणना। स्कैन'2008 एल पासो, टेक्सास सितम्बर 29–October 3, 2008, 86.</ref>
** Validating numerical solutions of matrix equations<ref>Shinya Miyajima, Verified computation for the Hermitian positive definite solution of the conjugate discrete-time algebraic Riccati equation, Journal of Computational and Applied Mathematics, Volume 350, Pages 80-86, April 2019.</ref><ref>Shinya Miyajima, Fast verified computation for the minimal nonnegative solution of the nonsymmetric algebraic Riccati equation, Computational and Applied Mathematics, Volume 37, Issue 4, Pages 4599-4610, September 2018.</ref><ref>Shinya Miyajima, Fast verified computation for the solution of the T-congruence Sylvester equation, Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics, Volume 35, Issue 2, Pages 541-551, July 2018.</ref><ref>Shinya Miyajima, Fast verified computation for the solvent of the quadratic matrix equation, The Electronic Journal of Linear Algebra, Volume 34, Pages 137-151, March 2018</ref><ref>Shinya Miyajima, Fast verified computation for solutions of algebraic Riccati equations arising in transport theory, Numerical Linear Algebra with Applications, Volume 24, Issue 5, Pages 1-12, October 2017.</ref><ref>Shinya Miyajima, Fast verified computation for stabilizing solutions of discrete-time algebraic Riccati equations, Journal of Computational and Applied Mathematics, Volume 319, Pages 352-364, August 2017.</ref><ref>Shinya Miyajima, Fast verified computation for solutions of continuous-time algebraic Riccati equations, Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics, Volume 32, Issue 2, Pages 529-544, July 2015.</ref>
** मैट्रिक्स समीकरणों के संख्यात्मक समाधानों को मान्य करना<ref>शिन्या मियाजिमा, संयुग्मित असतत-समय बीजगणितीय रिकाटी समीकरण के हर्मिटियन सकारात्मक निश्चित समाधान के लिए सत्यापित गणना, जर्नल ऑफ कम्प्यूटेशनल एंड एप्लाइड गणित, वॉल्यूम 350, Pages 80-86, April 2019.</ref><ref>शिन्या मियाजिमा, गैर-सममित बीजगणितीय रिकाटी समीकरण के न्यूनतम गैर-ऋणात्मक समाधान के लिए तेजी से सत्यापित गणना, कम्प्यूटेशनल और अनुप्रयुक्त गणित, खंड 37, अंक 4, पृष्ठ 4599-4610, सितंबर 2018.</ref><ref>शिन्या मियाजिमा, टी-सर्वांगसमता सिल्वेस्टर समीकरण के समाधान के लिए तेजी से सत्यापित गणना, जापान जर्नल ऑफ इंडस्ट्रियल एंड एप्लाइड मैथमेटिक्स, वॉल्यूम 35, अंक 2, पेज 541-551, जुलाई 2018.</ref><ref>शिन्या मियाजिमा, द्विघात आव्यूह समीकरण के विलायक के लिए तेजी से सत्यापित गणना, रैखिक बीजगणित का इलेक्ट्रॉनिक जर्नल, खंड 34, पृष्ठ 137-151, मार्च 2018</ref><ref>शिन्या मियाजिमा, परिवहन सिद्धांत में उत्पन्न होने वाले बीजीय रिकाटी समीकरणों के समाधान के लिए तेजी से सत्यापित गणना, अनुप्रयोगों के साथ संख्यात्मक रैखिक बीजगणित, खंड 24, अंक 5, पृष्ठ 1-12, अक्टूबर 2017.</ref><ref>शिन्या मियाजिमा, असतत-समय बीजगणितीय रिकैटी समीकरणों के स्थिर समाधान के लिए तेजी से सत्यापित गणना, कम्प्यूटेशनल और अनुप्रयुक्त गणित जर्नल, खंड 319, पृष्ठ 352-364, अगस्त 2017.</ref><ref>शिन्या मियाजिमा, निरंतर समय बीजगणितीय रिकाटी समीकरणों के समाधान के लिए तेजी से सत्यापित गणना, जापान जर्नल ऑफ इंडस्ट्रियल एंड एप्लाइड गणित, खंड 32, अंक 2, पृष्ठ 529-544, जुलाई 2015.</ref>
* Verification of [[special functions]]:
* [[विशेष कार्यों]] का सत्यापन:
** [[Gamma function]]<ref name="Rump_2014"/><ref name="Yamanaka_2015"/>
** [[गामा फलन]]<ref name="Rump_2014"/><ref name="Yamanaka_2015"/>
** [[Elliptic functions]]<ref name="Johansson_2019_1"/>
** [[वृत्ताकार कार्य]]<ref name="Johansson_2019_1"/>
** [[Hypergeometric functions]]<ref name="Johansson_2019_2"/>
** [[हाइपरज्यामितीय फलन]]<ref name="Johansson_2019_2"/>
** [[Hurwitz zeta function]]<ref name="Johansson_2015"/>
** [[हर्विट्ज़ ज़ेटा फ़ंक्शन]]<ref name="Johansson_2015"/>
** [[Bessel function]]
** [[बेसेल फ़ंक्शन]]
** [[Matrix function]]<ref>Miyajima, S. (2018). Fast verified computation for the matrix principal pth root. [[:en:Journal of Computational and Applied Mathematics]], 330, 276-288.</ref><ref>Miyajima, S. (2019). Verified computation for the matrix principal logarithm. Linear Algebra and its Applications, 569, 38-61.</ref><ref>Miyajima, S. (2019). Verified computation of the matrix exponential. Advances in Computational Mathematics, 45(1), 137-152.</ref>
** [[आव्यूह फलन]]<ref>मियाजिमा, एस. (2018)। आव्यूह प्रिंसिपल पीटीएच रूट के लिए तेजी से सत्यापित गणना। [[:en:जर्नल ऑफ कम्प्यूटेशनल एंड एप्लाइड मैथमेटिक्स]], 330, 276-288.</ref><ref>मियाजिमा, एस. (2019)। मैट्रिक्स प्रिंसिपल लॉगरिदम के लिए सत्यापित गणना। रैखिक बीजगणित और उसके अनुप्रयोग, 569, 38-61.</ref><ref>मियाजिमा, एस. (2019)। मैट्रिक्स घातांक की सत्यापित गणना। कम्प्यूटेशनल गणित में प्रगति, 45(1), 137-152.</ref>
* Verification of [[numerical quadrature]]<ref name="Johansson_2017"/><ref name="Johansson_2018_1"/><ref name="Johansson_2018_2"/>
* [[संख्यात्मक चतुर्भुज]] का सत्यापन<ref name="Johansson_2017"/><ref name="Johansson_2018_1"/><ref name="Johansson_2018_2"/>
* Verification of nonlinear equations (The [[Kantorovich theorem]],<ref name="zeidler"/> Krawczyk method, interval Newton method, and the Durand–Kerner–Aberth method are studied.)
* अरेखीय समीकरणों का सत्यापन ([[कांटोरोविच प्रमेय]],<ref name="zeidler"/> क्राव्ज़िक विधि, अंतराल न्यूटन विधि और डूरंड-कर्नर-एबर्थ विधि का अध्ययन किया जाता है।)
* Verification for solutions of ODEs, PDEs<ref name="nakao"/> (For PDEs, knowledge of [[functional analysis]] are used.<ref name="zeidler"/>)
* ओडीई के समाधान के लिए सत्यापन, PDEs<ref name="nakao"/> (पीडीई के लिए, [[कार्यात्मक विश्लेषण]] के ज्ञान का उपयोग किया जाता है.<ref name="zeidler"/>)
* Verification of [[linear programming]]<ref name="Oishi_2009"/>
* [[रैखिक प्रोग्रामिंग]] का सत्यापन<ref name="Oishi_2009"/>
* Verification of [[computational geometry]]
* [[कम्प्यूटेशनल ज्यामिति]] का सत्यापन
* Verification at high-performance computing environment
* [[कम्प्यूटेशनल ज्यामिति]] का सत्यापन
}}
}}
{{See also|numerical methods for ordinary differential equations|numerical linear algebra|numerical quadrature|computational geometry}}
{{See also|साधारण अंतर समीकरणों के लिए संख्यात्मक विधि|संख्यात्मक रैखिक बीजगणित|संख्यात्मक चतुर्भुज|कम्प्यूटेशनल ज्यामिति}}


==उपकरण==
==उपकरण==
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==यह भी देखें==
==यह भी देखें==
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* [[Computer-assisted proof]]
* [[कंप्यूटर-सहायता प्राप्त प्रमाण]]
* [[Interval arithmetic]]
* [[अंतराल अंकगणित]]
* [[Affine arithmetic]]
* [[अफ़ाइन अंकगणित]]
* [[INTLAB]] (Interval Laboratory)
*[[इंटलैब]] (अंतराल प्रयोगशाला)
* [[Automatic differentiation]]
* [[स्वचालित विभेदन]]
* [[wikibooks:Numerical calculations and rigorous mathematics]]
* [[विकीपुस्तकें:संख्यात्मक गणनाएँ और कठोर गणित]]
* [[Kantorovich theorem]]
* [[कांटोरोविच प्रमेय]]
* [[Gershgorin circle theorem]]
* [[गेर्शगोरिन सर्कल प्रमेय]]
* [[Ulrich W. Kulisch]]
* [[उलरिच डब्ल्यू. कुलिश]]}}
}}


==संदर्भ==
==संदर्भ                                                                                                                                                                                                                             ==
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<ref name="Tucker_1999">[[Warwick Tucker|Tucker, Warwick]]. (1999). "The Lorenz attractor exists." ''Comptes Rendus de l'Académie des Sciences-Series I-Mathematics'', 328(12), 1197–1202.</ref>
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Revision as of 16:07, 24 July 2023

See also: संख्यात्मक विश्लेषण and अंतराल अंकगणित

मान्य संख्यात्मकता, या कठोर गणना, सत्यापित गणना, विश्वसनीय गणना, संख्यात्मक सत्यापन (German: Zuverlässiges Rechnen) गणितीय रूप से सख्त त्रुटि (राउंडिंग त्रुटि, ट्रंकेशन त्रुटि, विवेकाधीन त्रुटि) मूल्यांकन सहित संख्यात्मक है, और यह संख्यात्मक विश्लेषण का क्षेत्र है। गणना के लिए, अंतराल अंकगणित का उपयोग किया जाता है, और सभी परिणाम अंतराल द्वारा दर्शाए जाते हैं। स्माले की 14वीं समस्याओं को हल करने के लिए वारविक टकर द्वारा मान्य संख्याओं का उपयोग किया गया था,[1] और आज इसे गतिशील प्रणालियों के अध्ययन के लिए शक्तिशाली उपकरण के रूप में मान्यता प्राप्त है।[2]


महत्व

सत्यापन के बिना गणना से दुर्भाग्यपूर्ण परिणाम हो सकते हैं। नीचे कुछ उदाहरण हैं.

रम्प का उदाहरण

1980 के दशक में रम्प ने उदाहरण बनाया था।[3][4] उन्होंने समष्टि फलन बनाया और उसका मूल्य प्राप्त करने का प्रयास किया था। एकल परिशुद्धता, दोहरी परिशुद्धता, विस्तारित परिशुद्धता परिणाम सही प्रतीत होते थे, किन्तु इसका प्लस-माइनस चिह्न वास्तविक मान से भिन्न था।

प्रेत समाधान

ब्रेउर-प्लम-मैककेना ने एम्डेन समीकरण की सीमा मूल्य समस्या को हल करने के लिए स्पेक्ट्रम विधि का उपयोग किया था, और बताया कि असममित समाधान प्राप्त किया गया था।[5] अध्ययन का यह परिणाम गिडास-नी-निरेनबर्ग के सैद्धांतिक अध्ययन से विरोधाभासी है जिसमें प्रमाणित किया गया था कि कोई असममित समाधान नहीं है।[6] ब्रेउर-प्लम-मैककेना द्वारा प्राप्त समाधान विवेकाधीन त्रुटि के कारण उत्पन्न प्रेत समाधान था। यह दुर्लभ स्थिति है, किन्तु यह हमें बताता है कि जब हम अंतर समीकरणों पर सख्ती से चर्चा करना चाहते हैं, तो संख्यात्मक समाधानों को सत्यापित किया जाना चाहिए।

संख्यात्मक त्रुटियों के कारण होने वाली घटनाएँ

निम्नलिखित उदाहरण संख्यात्मक त्रुटियों के कारण होने वाली दुर्घटनाओं के रूप में जाने जाते हैं:

  • गल्फ युद्ध में मिसाइलों को रोकने में विफलता (1991) [7]
  • एरियन 5 रॉकेट की विफलता (1996)[8]
  • चुनाव परिणाम के समग्रीकरण में गलतियाँ [9]


मुख्य विषय

मान्य संख्याओं के अध्ययन को निम्नलिखित क्षेत्रों में विभाजित किया गया है:

See also: साधारण अंतर समीकरणों के लिए संख्यात्मक विधि, संख्यात्मक रैखिक बीजगणित, संख्यात्मक चतुर्भुज, and कम्प्यूटेशनल ज्यामिति

उपकरण

यह भी देखें

संदर्भ

  1. ↑ Tucker, Warwick. (1999). "The Lorenz attractor exists." Comptes Rendus de l'Académie des Sciences-Series I-Mathematics, 328(12), 1197–1202.
  2. ↑ Zin Arai, Hiroshi Kokubu, Paweãl Pilarczyk. Recent Development In Rigorous Computational Methods In Dynamical Systems.
  3. ↑ Rump, Siegfried M. (1988). "Algorithms for verified inclusions: Theory and practice." In Reliability in computing (pp. 109–126). Academic Press.
  4. ↑ Loh, Eugene; Walster, G. William (2002). Rump's example revisited. Reliable Computing, 8(3), 245-248.
  5. ↑ Breuer, B.; Plum, Michael; McKenna, Patrick J. (2001). "Inclusions and existence proofs for solutions of a nonlinear boundary value problem by spectral numerical methods." In Topics in Numerical Analysis (pp. 61–77). Springer, Vienna.
  6. ↑ Gidas, B.; Ni, Wei-Ming; Nirenberg, Louis (1979). "Symmetry and related properties via the maximum principle." Communications in Mathematical Physics, 68(3), 209–243.
  7. ↑ "The Patriot Missile Failure".
  8. ↑ ARIANE 5 Flight 501 Failure, http://sunnyday.mit.edu/nasa-class/Ariane5-report.html
  9. ↑ Rounding error changes Parliament makeup
  10. ↑ यामामोटो, टी. (1984)। समीकरणों की प्रणालियों के अनुमानित समाधानों के लिए त्रुटि सीमाएँ। एप्लाइड गणित के जापान जर्नल, 1(1), 157.
  11. ↑ ओशी, एस., और रम्प, एस.एम. (2002)। मैट्रिक्स समीकरणों के समाधान का तेजी से सत्यापन। संख्यात्मक गणित, 90(4), 755-773.
  12. ↑ यामामोटो, टी. (1980)। परिकलित eigenvalues ​​और eigenvectors के लिए त्रुटि सीमाएं। संख्यात्मक गणित, 34(2), 189-199.
  13. ↑ यामामोटो, टी. (1982)। परिकलित eigenvalues ​​और eigenvectors के लिए त्रुटि सीमाएं। द्वितीय. संख्यात्मक गणित, 40(2), 201-206.
  14. ↑ मेयर, जी. (1994). आइजेनवेक्टर और आइजेनवैल्यू के लिए परिणाम सत्यापन। मान्य संगणना में विषय, एल्सेवियर, एम्स्टर्डम, 209-276.
  15. ↑ ओगिता, टी. (2008)। मैट्रिक्स निर्धारक की सत्यापित संख्यात्मक गणना। स्कैन'2008 एल पासो, टेक्सास सितम्बर 29–October 3, 2008, 86.
  16. ↑ शिन्या मियाजिमा, संयुग्मित असतत-समय बीजगणितीय रिकाटी समीकरण के हर्मिटियन सकारात्मक निश्चित समाधान के लिए सत्यापित गणना, जर्नल ऑफ कम्प्यूटेशनल एंड एप्लाइड गणित, वॉल्यूम 350, Pages 80-86, April 2019.
  17. ↑ शिन्या मियाजिमा, गैर-सममित बीजगणितीय रिकाटी समीकरण के न्यूनतम गैर-ऋणात्मक समाधान के लिए तेजी से सत्यापित गणना, कम्प्यूटेशनल और अनुप्रयुक्त गणित, खंड 37, अंक 4, पृष्ठ 4599-4610, सितंबर 2018.
  18. ↑ शिन्या मियाजिमा, टी-सर्वांगसमता सिल्वेस्टर समीकरण के समाधान के लिए तेजी से सत्यापित गणना, जापान जर्नल ऑफ इंडस्ट्रियल एंड एप्लाइड मैथमेटिक्स, वॉल्यूम 35, अंक 2, पेज 541-551, जुलाई 2018.
  19. ↑ शिन्या मियाजिमा, द्विघात आव्यूह समीकरण के विलायक के लिए तेजी से सत्यापित गणना, रैखिक बीजगणित का इलेक्ट्रॉनिक जर्नल, खंड 34, पृष्ठ 137-151, मार्च 2018
  20. ↑ शिन्या मियाजिमा, परिवहन सिद्धांत में उत्पन्न होने वाले बीजीय रिकाटी समीकरणों के समाधान के लिए तेजी से सत्यापित गणना, अनुप्रयोगों के साथ संख्यात्मक रैखिक बीजगणित, खंड 24, अंक 5, पृष्ठ 1-12, अक्टूबर 2017.
  21. ↑ शिन्या मियाजिमा, असतत-समय बीजगणितीय रिकैटी समीकरणों के स्थिर समाधान के लिए तेजी से सत्यापित गणना, कम्प्यूटेशनल और अनुप्रयुक्त गणित जर्नल, खंड 319, पृष्ठ 352-364, अगस्त 2017.
  22. ↑ शिन्या मियाजिमा, निरंतर समय बीजगणितीय रिकाटी समीकरणों के समाधान के लिए तेजी से सत्यापित गणना, जापान जर्नल ऑफ इंडस्ट्रियल एंड एप्लाइड गणित, खंड 32, अंक 2, पृष्ठ 529-544, जुलाई 2015.
  23. ↑ Rump, Siegfried M. (2014). Verified sharp bounds for the real gamma function over the entire floating-point range. Nonlinear Theory and Its Applications, IEICE, 5(3), 339-348.
  24. ↑ Yamanaka, Naoya; Okayama, Tomoaki; Oishi, Shin’ichi (2015, November). Verified Error Bounds for the Real Gamma Function Using Double Exponential Formula over Semi-infinite Interval. In International Conference on Mathematical Aspects of Computer and Information Sciences (pp. 224-228). Springer.
  25. ↑ Johansson, Fredrik (2019). Numerical Evaluation of Elliptic Functions, Elliptic Integrals and Modular Forms. In Elliptic Integrals, Elliptic Functions and Modular Forms in Quantum Field Theory (pp. 269-293). Springer, Cham.
  26. ↑ Johansson, Fredrik (2019). Computing Hypergeometric Functions Rigorously. ACM Transactions on Mathematical Software (TOMS), 45(3), 30.
  27. ↑ Johansson, Fredrik (2015). Rigorous high-precision computation of the Hurwitz zeta function and its derivatives. Numerical Algorithms, 69(2), 253-270.
  28. ↑ मियाजिमा, एस. (2018)। आव्यूह प्रिंसिपल पीटीएच रूट के लिए तेजी से सत्यापित गणना। en:जर्नल ऑफ कम्प्यूटेशनल एंड एप्लाइड मैथमेटिक्स, 330, 276-288.
  29. ↑ मियाजिमा, एस. (2019)। मैट्रिक्स प्रिंसिपल लॉगरिदम के लिए सत्यापित गणना। रैखिक बीजगणित और उसके अनुप्रयोग, 569, 38-61.
  30. ↑ मियाजिमा, एस. (2019)। मैट्रिक्स घातांक की सत्यापित गणना। कम्प्यूटेशनल गणित में प्रगति, 45(1), 137-152.
  31. ↑ Johansson, Fredrik (2017). Arb: efficient arbitrary-precision midpoint-radius interval arithmetic. IEEE Transactions on Computers, 66(8), 1281-1292.
  32. ↑ Johansson, Fredrik (2018, July). Numerical integration in arbitrary-precision ball arithmetic. In International Congress on Mathematical Software (pp. 255-263). Springer, Cham.
  33. ↑ Johansson, Fredrik; Mezzarobba, Marc (2018). Fast and Rigorous Arbitrary-Precision Computation of Gauss--Legendre Quadrature Nodes and Weights. SIAM Journal on Scientific Computing, 40(6), C726-C747.
  34. ↑ 34.0 34.1 Eberhard Zeidler, Nonlinear Functional Analysis and Its Applications I-V. Springer Science & Business Media.
  35. ↑ Mitsuhiro T. Nakao, Michael Plum, Yoshitaka Watanabe (2019) Numerical Verification Methods and Computer-Assisted Proofs for Partial Differential Equations (Springer Series in Computational Mathematics).
  36. ↑ Oishi, Shin’ichi; Tanabe, Kunio (2009). Numerical Inclusion of Optimum Point for Linear Programming. JSIAM Letters, 1, 5-8.


अग्रिम पठन


बाहरी संबंध

  • Validated Numerics for Pedestrians
  • Reliable Computing, An open electronic journal devoted to numerical computations with guaranteed accuracy, bounding of ranges, mathematical proofs based on floating-point arithmetic, and other theory and applications of interval arithmetic and directed rounding.
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