डिराक समीकरण: Difference between revisions
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निरंतरता समीकरण से निम्नलिखित संभाव्यता वर्तमान और घनत्व के संरक्षण के साथ: | निरंतरता समीकरण से निम्नलिखित संभाव्यता वर्तमान और घनत्व के संरक्षण के साथ: | ||
<math display="block">\nabla\cdot J + \frac{\partial\rho}{\partial t} = 0~.</math> | <math display="block">\nabla\cdot J + \frac{\partial\rho}{\partial t} = 0~.</math> | ||
'''तथ्य यह है कि घनत्व घनात्मक-निश्चित फलन है और इस निरंतरता समीकरण के अनुसार संवहन का अर्थ है कि कोई एक निश्चित डोमेन पर घनत्व को एकीकृत कर सकता है और कुल 1 पर समुच्चय कर सकता है, और यह स्थिति [[संरक्षण कानून]] द्वारा बनाए रखी जाएगी। संभाव्यता घनत्व धारा के साथ एक उचित सापेक्षतावादी सिद्धांत को भी इस सुविधा को साझा करना चाहिए। संवहित घ'''नत्व की धारणा को बनाए रखने के लिए, किसी को घनत्व और वर्तमान की श्रोडिंगर अभिव्यक्ति को सामान्य बनाना चाहिए ताकि समष्टि और समय व्युत्पन्न फिर से | '''तथ्य यह है कि घनत्व घनात्मक-निश्चित फलन है और इस निरंतरता समीकरण के अनुसार संवहन का अर्थ है कि कोई एक निश्चित डोमेन पर घनत्व को एकीकृत कर सकता है और कुल 1 पर समुच्चय कर सकता है, और यह स्थिति [[संरक्षण कानून|संरक्षण नियम]] द्वारा बनाए रखी जाएगी। संभाव्यता घनत्व धारा के साथ एक उचित सापेक्षतावादी सिद्धांत को भी इस सुविधा को साझा करना चाहिए। संवहित घ'''नत्व की धारणा को बनाए रखने के लिए, किसी को घनत्व और वर्तमान की श्रोडिंगर अभिव्यक्ति को सामान्य बनाना चाहिए ताकि समष्टि और समय व्युत्पन्न फिर से अदिश तरंग फलन के संबंध में सममित रूप से प्रवेश कर सकें। श्रोडिंगर अभिव्यक्ति को वर्तमान के लिए रखा जा सकता है, लेकिन संभाव्यता घनत्व को सममित रूप से गठित अभिव्यक्ति द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए{{explain|reason=Why?|date=November 2021}} | ||
<math display="block">\rho = \frac{i\hbar}{2mc^2} \left(\psi^*\partial_t\psi - \psi\partial_t\psi^* \right) .</math> | <math display="block">\rho = \frac{i\hbar}{2mc^2} \left(\psi^*\partial_t\psi - \psi\partial_t\psi^* \right) .</math> | ||
जो अब स्पेसटाइम सदिश का चौथा घटक बन गया है, और संपूर्ण संभाव्यता धारा | संभाव्यता 4-वर्तमान घनत्व में सापेक्ष रूप से सहसंयोजक अभिव्यक्ति है | जो अब स्पेसटाइम सदिश का चौथा घटक बन गया है, और संपूर्ण संभाव्यता धारा | संभाव्यता 4-वर्तमान घनत्व में सापेक्ष रूप से सहसंयोजक अभिव्यक्ति है | ||
<math display="block">J^\mu = \frac{i\hbar}{2m} \left(\psi^*\partial^\mu\psi - \psi\partial^\mu\psi^* \right) .</math> | <math display="block">J^\mu = \frac{i\hbar}{2m} \left(\psi^*\partial^\mu\psi - \psi\partial^\mu\psi^* \right) .</math> | ||
निरंतरता समीकरण पहले जैसा | निरंतरता समीकरण पहले जैसा है। अब सब कुछ सापेक्षता के अनुकूल है, लेकिन घनत्व के लिए अभिव्यक्ति अब घनात्मक रूप से निश्चित नहीं है; दोनों के प्रारंभिक मान {{math|''ψ''}} और {{math|∂<sub>''t''</sub>''ψ''}} को स्वतंत्र रूप से चुना जा सकता है, और घनत्व इस प्रकार नकारात्मक हो सकता है, कुछ ऐसा जो वैध संभाव्यता घनत्व के लिए असंभव है। इस प्रकार, किसी को इस भोली धारणा के तहत श्रोडिंगर समीकरण का सरल सामान्यीकरण नहीं मिल सकता है कि तरंग फलन एक सापेक्ष अदिश राशि है, और यह जिस समीकरण को संतुष्ट करता है, वह समय में दूसरे क्रम का है। | ||
यद्यपि यह श्रोडिंगर समीकरण का एक सफल सापेक्षतावादी सामान्यीकरण नहीं है, इस समीकरण को क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के संदर्भ में पुनर्जीवित किया गया है, जहां इसे क्लेन-गॉर्डन समीकरण के रूप में जाना जाता है, और एक स्पिनलेस कण क्षेत्र (उदाहरण के लिए [[सन मेसन]] या [[हिग्स बॉसन]]) का वर्णन करता है। ऐतिहासिक रूप से, श्रोडिंगर स्वयं अपने नाम वाले समीकरण से पहले इस समीकरण पर पहुंचे थे लेकिन जल्द ही इसे खारिज कर दिया। क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के संदर्भ में, अनिश्चित घनत्व को चार्ज घनत्व के अनुरूप समझा जाता है, जो घनात्मक या नकारात्मक हो सकता है, न कि संभाव्यता घनत्व। | यद्यपि यह श्रोडिंगर समीकरण का एक सफल सापेक्षतावादी सामान्यीकरण नहीं है, इस समीकरण को क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के संदर्भ में पुनर्जीवित किया गया है, जहां इसे क्लेन-गॉर्डन समीकरण के रूप में जाना जाता है, और एक स्पिनलेस कण क्षेत्र (उदाहरण के लिए [[सन मेसन]] या [[हिग्स बॉसन]]) का वर्णन करता है। ऐतिहासिक रूप से, श्रोडिंगर स्वयं अपने नाम वाले समीकरण से पहले इस समीकरण पर पहुंचे थे लेकिन जल्द ही इसे खारिज कर दिया। क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के संदर्भ में, अनिश्चित घनत्व को चार्ज घनत्व के अनुरूप समझा जाता है, जो घनात्मक या नकारात्मक हो सकता है, न कि संभाव्यता घनत्व। | ||
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जहां कोष्ठक अभिव्यक्ति | जहां कोष्ठक अभिव्यक्ति | ||
<math display="block">\{a, b\} = ab + ba</math> | <math display="block">\{a, b\} = ab + ba</math> | ||
[[एंटीकम्यूटेटर]] को दर्शाता है। ये [[मीट्रिक हस्ताक्षर]] के साथ छद्म-ऑर्थोगोनल 4-आयामी समष्टि पर क्लिफ़ोर्ड बीजगणित के परिभाषित संबंध हैं {{math|(+ − − −)}} | [[एंटीकम्यूटेटर]] को दर्शाता है। ये [[मीट्रिक हस्ताक्षर]] के साथ छद्म-ऑर्थोगोनल 4-आयामी समष्टि पर क्लिफ़ोर्ड बीजगणित के परिभाषित संबंध हैं {{math|(+ − − −)}}। डिराक समीकरण में नियोजित विशिष्ट क्लिफ़ोर्ड बीजगणित को आज डिराक बीजगणित के रूप में जाना जाता है। हालाँकि समीकरण तैयार किए जाने के समय डिराक द्वारा इसे मान्यता नहीं दी गई थी, लेकिन बाद में इस [[ज्यामितीय बीजगणित]] के आरम्भ क्वांटम सिद्धांत के विकास में एक बड़ी प्रगति का प्रतिनिधित्व करती है। | ||
डिराक समीकरण की व्याख्या अब एक [[eigenvalue]] समीकरण के रूप में की जा सकती है, जहां शेष द्रव्यमान [[4-पल ऑपरेटर]] के आइगेनवैल्यू के समानुपाती होता है, आनुपातिकता स्थिरांक प्रकाश की गति होती है: | डिराक समीकरण की व्याख्या अब एक [[eigenvalue]] समीकरण के रूप में की जा सकती है, जहां शेष द्रव्यमान [[4-पल ऑपरेटर]] के आइगेनवैल्यू के समानुपाती होता है, आनुपातिकता स्थिरांक प्रकाश की गति होती है: | ||
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=== पाउली सिद्धांत === | === पाउली सिद्धांत === | ||
{{See also|Pauli equation}} | {{See also|Pauli equation}} | ||
आधे-पूर्णांक प्रचक्रण (भौतिकी) को शुरू करने की आवश्यकता प्रयोगात्मक रूप से स्टर्न-गेरलाच प्रयोग के परिणामों पर आधारित है। परमाणुओं की एक किरण को एक मजबूत समरूपता और विषमता [[चुंबकीय क्षेत्र]] के माध्यम से चलाया जाता है, जो फिर विभाजित हो जाता है {{math|''N''}}परमाणुओं की प्रचक्रण (भौतिकी) के आधार पर भाग। यह पाया गया कि चांदी के परमाणुओं के लिए, किरण दो भागों में विभाजित थी; इसलिए जमीनी स्थिति [[पूर्णांक]] नहीं हो सकती, क्योंकि भले ही परमाणुओं की आंतरिक कोणीय गति यथासंभव छोटी हो, 1, किरण को परमाणुओं के अनुरूप तीन भागों में विभाजित किया जाएगा {{math|''L<sub>z</sub>'' {{=}} −1, 0, +1}} | आधे-पूर्णांक प्रचक्रण (भौतिकी) को शुरू करने की आवश्यकता प्रयोगात्मक रूप से स्टर्न-गेरलाच प्रयोग के परिणामों पर आधारित है। परमाणुओं की एक किरण को एक मजबूत समरूपता और विषमता [[चुंबकीय क्षेत्र]] के माध्यम से चलाया जाता है, जो फिर विभाजित हो जाता है {{math|''N''}}परमाणुओं की प्रचक्रण (भौतिकी) के आधार पर भाग। यह पाया गया कि चांदी के परमाणुओं के लिए, किरण दो भागों में विभाजित थी; इसलिए जमीनी स्थिति [[पूर्णांक]] नहीं हो सकती, क्योंकि भले ही परमाणुओं की आंतरिक कोणीय गति यथासंभव छोटी हो, 1, किरण को परमाणुओं के अनुरूप तीन भागों में विभाजित किया जाएगा {{math|''L<sub>z</sub>'' {{=}} −1, 0, +1}}। निष्कर्ष यह है कि चांदी के परमाणुओं में शुद्ध आंतरिक कोणीय गति होती है {{frac|1|2}}। वोल्फगैंग पाउली ने एक सिद्धांत स्थापित किया, जिसने हैमिल्टन के सिद्धांत में दो-घटक तरंग फलन और संबंधित सुधार शब्द को पेश करके इस विभाजन को समझाया, जो इस तरंग फलन के अर्ध-चिरसम्मत युग्मन को एक लागू चुंबकीय क्षेत्र में दर्शाता है, जैसा कि एसआई इकाइयों में होता है: (ध्यान दें कि बोल्ड चेहरे वाले अक्षर 3 आयामों में [[यूक्लिडियन सदिश]] दर्शाते हैं, जबकि मिन्कोव्स्की समष्टि [[चार-वेक्टर|चार-सदिश]] {{math|''A''<sub>''μ''</sub>}} को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है <math>A_\mu = (\phi/c,-\mathbf A)</math>।) | ||
<math display="block">H = \frac{1}{2m}\left( \boldsymbol{\sigma}\cdot\left(\mathbf{p} - e \mathbf{A}\right)\right)^2 + e\phi ~.</math> | <math display="block">H = \frac{1}{2m}\left( \boldsymbol{\sigma}\cdot\left(\mathbf{p} - e \mathbf{A}\right)\right)^2 + e\phi ~.</math> | ||
यहाँ {{math|'''A'''}} और <math>\phi</math> उनके मानक एसआई इकाइयों में [[विद्युत चुम्बकीय चार-क्षमता]] के घटकों का प्रतिनिधित्व करते हैं, और तीन सिग्मा पाउली आव्यूह हैं। पहले पद का वर्ग करने पर, चुंबकीय क्षेत्र के साथ एक अवशिष्ट अंतःक्रिया पाई जाती है, साथ ही सामान्य संवेग#क्षेत्र में कण एसआई इकाइयों में एक लागू क्षेत्र के साथ अंतःक्रिया करता है: | यहाँ {{math|'''A'''}} और <math>\phi</math> उनके मानक एसआई इकाइयों में [[विद्युत चुम्बकीय चार-क्षमता]] के घटकों का प्रतिनिधित्व करते हैं, और तीन सिग्मा पाउली आव्यूह हैं। पहले पद का वर्ग करने पर, चुंबकीय क्षेत्र के साथ एक अवशिष्ट अंतःक्रिया पाई जाती है, साथ ही सामान्य संवेग#क्षेत्र में कण एसआई इकाइयों में एक लागू क्षेत्र के साथ अंतःक्रिया करता है: | ||
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यह हैमिल्टनियन अब एक है {{nowrap|2 × 2}} आव्यूह, इसलिए इस पर आधारित श्रोडिंगर समीकरण को दो-घटक तरंग फलन का उपयोग करना चाहिए। बाहरी विद्युत चुम्बकीय 4-सदिश क्षमता को डायराक समीकरण में एक समान तरीके से पेश करने पर, जिसे [[न्यूनतम युग्मन]] के रूप में जाना जाता है, यह रूप लेता है: | यह हैमिल्टनियन अब एक है {{nowrap|2 × 2}} आव्यूह, इसलिए इस पर आधारित श्रोडिंगर समीकरण को दो-घटक तरंग फलन का उपयोग करना चाहिए। बाहरी विद्युत चुम्बकीय 4-सदिश क्षमता को डायराक समीकरण में एक समान तरीके से पेश करने पर, जिसे [[न्यूनतम युग्मन]] के रूप में जाना जाता है, यह रूप लेता है: | ||
<math display="block">\left(\gamma^\mu(i\hbar\partial_\mu - eA_\mu) - mc\right) \psi = 0 ~.</math> | <math display="block">\left(\gamma^\mu(i\hbar\partial_\mu - eA_\mu) - mc\right) \psi = 0 ~.</math> | ||
डिराक ऑपरेटर का दूसरा अनुप्रयोग अब पाउली शब्द को बिल्कुल पहले की तरह पुन: पेश करेगा, क्योंकि स्थानिक डिराक आव्यूह को गुणा किया जाता है {{math|''i''}}, पाउली मैट्रिसेस के समान ही वर्ग और कम्यूटेशन गुण हैं। इससे भी अधिक, पाउली के नए शब्द के सामने खड़े इलेक्ट्रॉन के [[जाइरोमैग्नेटिक अनुपात]] के मान को पहले सिद्धांतों से समझाया गया है। यह डिराक समीकरण की एक बड़ी उपलब्धि थी और इससे भौतिकविदों को इसकी समग्र शुद्धता पर बहुत विश्वास हुआ। हालाँकि और भी बहुत कुछ | डिराक ऑपरेटर का दूसरा अनुप्रयोग अब पाउली शब्द को बिल्कुल पहले की तरह पुन: पेश करेगा, क्योंकि स्थानिक डिराक आव्यूह को गुणा किया जाता है {{math|''i''}}, पाउली मैट्रिसेस के समान ही वर्ग और कम्यूटेशन गुण हैं। इससे भी अधिक, पाउली के नए शब्द के सामने खड़े इलेक्ट्रॉन के [[जाइरोमैग्नेटिक अनुपात]] के मान को पहले सिद्धांतों से समझाया गया है। यह डिराक समीकरण की एक बड़ी उपलब्धि थी और इससे भौतिकविदों को इसकी समग्र शुद्धता पर बहुत विश्वास हुआ। हालाँकि और भी बहुत कुछ है। पाउली सिद्धांत को निम्नलिखित तरीके से डिराक सिद्धांत की निम्न ऊर्जा सीमा के रूप में देखा जा सकता है। पहले समीकरण को एसआई इकाइयों के साथ 2-स्पिनर्स के लिए युग्मित समीकरणों के रूप में लिखा गया है: | ||
<math display="block"> | <math display="block"> | ||
\begin{pmatrix} | \begin{pmatrix} | ||
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(E - e\phi) \psi_{+} - c\boldsymbol{\sigma}\cdot \left(\mathbf{p} - e \mathbf{A}\right) \psi_{-} &= mc^2 \psi_{+} \\ | (E - e\phi) \psi_{+} - c\boldsymbol{\sigma}\cdot \left(\mathbf{p} - e \mathbf{A}\right) \psi_{-} &= mc^2 \psi_{+} \\ | ||
-(E - e\phi) \psi_{-} + c\boldsymbol{\sigma}\cdot \left(\mathbf{p} - e \mathbf{A}\right) \psi_{+} &= mc^2 \psi_{-} \end{align}</math> | -(E - e\phi) \psi_{-} + c\boldsymbol{\sigma}\cdot \left(\mathbf{p} - e \mathbf{A}\right) \psi_{+} &= mc^2 \psi_{-} \end{align}</math> | ||
यह मानते हुए कि क्षेत्र कमजोर है और इलेक्ट्रॉन की गति गैर-सापेक्षात्मक है, इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा लगभग उसकी [[बाकी ऊर्जा]] के बराबर है, और गति | यह मानते हुए कि क्षेत्र कमजोर है और इलेक्ट्रॉन की गति गैर-सापेक्षात्मक है, इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा लगभग उसकी [[बाकी ऊर्जा]] के बराबर है, और गति चिरसम्मत मान पर जा रही है, | ||
<math display="block">\begin{align} | <math display="block">\begin{align} | ||
E - e\phi &\approx mc^2 \\ | E - e\phi &\approx mc^2 \\ | ||
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जो सुव्यवस्थित है {{math|{{sfrac|''v''|''c''}}}} - इस प्रकार विशिष्ट ऊर्जाओं और वेगों पर, मानक प्रतिनिधित्व में डिराक स्पिनर के निचले घटक शीर्ष घटकों की तुलना में बहुत अधिक दबे हुए हैं। इस अभिव्यक्ति को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर कुछ पुनर्व्यवस्था के बाद प्राप्त होता है | जो सुव्यवस्थित है {{math|{{sfrac|''v''|''c''}}}} - इस प्रकार विशिष्ट ऊर्जाओं और वेगों पर, मानक प्रतिनिधित्व में डिराक स्पिनर के निचले घटक शीर्ष घटकों की तुलना में बहुत अधिक दबे हुए हैं। इस अभिव्यक्ति को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर कुछ पुनर्व्यवस्था के बाद प्राप्त होता है | ||
<math display="block"> \left(E - mc^2\right) \psi_{+} = \frac{1}{2m} \left[\boldsymbol{\sigma}\cdot \left(\mathbf{p} - e \mathbf{A}\right)\right]^2 \psi_{+} + e\phi \psi_{+} </math> | <math display="block"> \left(E - mc^2\right) \psi_{+} = \frac{1}{2m} \left[\boldsymbol{\sigma}\cdot \left(\mathbf{p} - e \mathbf{A}\right)\right]^2 \psi_{+} + e\phi \psi_{+} </math> | ||
बाईं ओर का ऑपरेटर अपनी शेष ऊर्जा द्वारा कम की गई कण ऊर्जा का प्रतिनिधित्व करता है, जो कि सिर्फ | बाईं ओर का ऑपरेटर अपनी शेष ऊर्जा द्वारा कम की गई कण ऊर्जा का प्रतिनिधित्व करता है, जो कि सिर्फ चिरसम्मत ऊर्जा है, इसलिए कोई भी गैर-सापेक्षवादी सन्निकटन में डायराक स्पिनर के शीर्ष घटकों के साथ अपने 2-स्पिनर की पहचान करके पाउली के सिद्धांत को पुनर्प्राप्त कर सकता है। एक और सन्निकटन पाउली सिद्धांत की सीमा के रूप में श्रोडिंगर समीकरण देता है। इस प्रकार, श्रोडिंगर समीकरण को डिराक समीकरण के सुदूर गैर-सापेक्षवादी सन्निकटन के रूप में देखा जा सकता है जब कोई प्रचक्रण की उपेक्षा कर सकता है और केवल कम ऊर्जा और वेग पर काम कर सकता है। यह नए समीकरण के लिए भी एक बड़ी जीत थी, क्योंकि इसने रहस्यमय का पता लगा लिया {{math|''i''}} जो इसमें दिखाई देता है, और एक समिश्र तरंग फलन की आवश्यकता, डिराक बीजगणित के माध्यम से स्पेसटाइम की ज्यामिति पर वापस आती है। यह इस बात पर भी प्रकाश डालता है कि श्रोडिंगर समीकरण, हालांकि सतही तौर पर [[प्रसार समीकरण]] के रूप में है, वास्तव में तरंगों के प्रसार का प्रतिनिधित्व करता है। | ||
इस बात पर दृढ़ता से जोर दिया जाना चाहिए कि डिराक स्पिनर का बड़े और छोटे घटकों में पृथक्करण स्पष्ट रूप से कम-ऊर्जा सन्निकटन पर निर्भर करता है। संपूर्ण डिराक स्पिनर एक अघुलनशील संपूर्ण का प्रतिनिधित्व करता है, और पाउली सिद्धांत तक पहुंचने के लिए जिन घटकों को यहां उपेक्षित किया गया है, वे सापेक्षतावादी शासन में नई घटनाएं लाएंगे - एंटीमैटर और [[पदार्थ निर्माण]] और कणों के [[विनाश]] का विचार। | इस बात पर दृढ़ता से जोर दिया जाना चाहिए कि डिराक स्पिनर का बड़े और छोटे घटकों में पृथक्करण स्पष्ट रूप से कम-ऊर्जा सन्निकटन पर निर्भर करता है। संपूर्ण डिराक स्पिनर एक अघुलनशील संपूर्ण का प्रतिनिधित्व करता है, और पाउली सिद्धांत तक पहुंचने के लिए जिन घटकों को यहां उपेक्षित किया गया है, वे सापेक्षतावादी शासन में नई घटनाएं लाएंगे - एंटीमैटर और [[पदार्थ निर्माण]] और कणों के [[विनाश]] का विचार। | ||
=== वेइल सिद्धांत === | === वेइल सिद्धांत === | ||
जनहीन मामले में <math>m = 0</math>, डिराक समीकरण वेइल समीकरण में बदल जाता है, जो सापेक्ष द्रव्यमान रहित प्रचक्रण का वर्णन करता है-{{frac|2}} | जनहीन मामले में <math>m = 0</math>, डिराक समीकरण वेइल समीकरण में बदल जाता है, जो सापेक्ष द्रव्यमान रहित प्रचक्रण का वर्णन करता है-{{frac|2}} कण।<ref name="Ohlsson2011">{{cite book |first=Tommy |last=Ohlsson |author-link=Tommy Ohlsson |date=22 September 2011 |title=Relativistic Quantum Physics: From advanced quantum mechanics to introductory quantum field theory |page=86 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-1-139-50432-4 |url=https://books.google.com/books?id=hRavtAW5EFcC&pg=PA86}}</ref> | ||
सिद्धांत एक सेकंड प्राप्त करता है <math>\text{U}(1)</math> समरूपता: नीचे | सिद्धांत एक सेकंड प्राप्त करता है <math>\text{U}(1)</math> समरूपता: नीचे देखें। | ||
== भौतिक व्याख्या == | == भौतिक व्याख्या == | ||
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क्वांटम सिद्धांत में महत्वपूर्ण भौतिक प्रश्न यह है: सिद्धांत द्वारा परिभाषित भौतिक रूप से देखने योग्य मात्राएँ क्या हैं? क्वांटम यांत्रिकी के अभिधारणाओं के अनुसार, ऐसी मात्राएँ [[हर्मिटियन ऑपरेटर]]ों द्वारा परिभाषित की जाती हैं जो किसी प्रणाली की संभावित अवस्थाओं के हिल्बर्ट समष्टि पर फलन करती हैं। इन ऑपरेटरों के eigenvalues तब संबंधित भौतिक मात्रा की माप समस्या के संभावित परिणाम होते हैं। श्रोडिंगर सिद्धांत में, ऐसी सबसे सरल वस्तु समग्र हैमिल्टनियन है, जो सिस्टम की कुल ऊर्जा का प्रतिनिधित्व करती है। डिराक सिद्धांत को पारित करने पर इस व्याख्या को बनाए रखने के लिए, हैमिल्टनियन को लिया जाना चाहिए | क्वांटम सिद्धांत में महत्वपूर्ण भौतिक प्रश्न यह है: सिद्धांत द्वारा परिभाषित भौतिक रूप से देखने योग्य मात्राएँ क्या हैं? क्वांटम यांत्रिकी के अभिधारणाओं के अनुसार, ऐसी मात्राएँ [[हर्मिटियन ऑपरेटर]]ों द्वारा परिभाषित की जाती हैं जो किसी प्रणाली की संभावित अवस्थाओं के हिल्बर्ट समष्टि पर फलन करती हैं। इन ऑपरेटरों के eigenvalues तब संबंधित भौतिक मात्रा की माप समस्या के संभावित परिणाम होते हैं। श्रोडिंगर सिद्धांत में, ऐसी सबसे सरल वस्तु समग्र हैमिल्टनियन है, जो सिस्टम की कुल ऊर्जा का प्रतिनिधित्व करती है। डिराक सिद्धांत को पारित करने पर इस व्याख्या को बनाए रखने के लिए, हैमिल्टनियन को लिया जाना चाहिए | ||
<math display="block">H = \gamma^0 \left[mc^2 + c \gamma^k \left(p_k - q A_k\right) \right] + c q A^0.</math> | <math display="block">H = \gamma^0 \left[mc^2 + c \gamma^k \left(p_k - q A_k\right) \right] + c q A^0.</math> | ||
जहां, हमेशा की तरह, दो बार दोहराए गए सूचकांक पर आइंस्टीन अंकन है {{math|''k'' {{=}} 1, 2, 3}} | जहां, हमेशा की तरह, दो बार दोहराए गए सूचकांक पर आइंस्टीन अंकन है {{math|''k'' {{=}} 1, 2, 3}}। यह आशाजनक लगता है, क्योंकि कोई भी कण की बाकी ऊर्जा का निरीक्षण करके देख सकता है और, इस मामले में {{math|'''A''' {{=}} 0}}, विद्युत विभव में रखे गए आवेश की ऊर्जा {{math|''cqA''<sup>0</sup>}}। सदिश क्षमता से जुड़े शब्द के बारे में क्या? चिरसम्मत विद्युत्गतिकी में, किसी लागू क्षमता में गतिमान आवेश की ऊर्जा होती है | ||
<math display="block">H = c\sqrt{\left(\mathbf{p} - q\mathbf{A}\right)^2 + m^2c^2} + qA^0.</math> | <math display="block">H = c\sqrt{\left(\mathbf{p} - q\mathbf{A}\right)^2 + m^2c^2} + qA^0.</math> | ||
इस प्रकार, डिराक हैमिल्टनियन मूल रूप से अपने | इस प्रकार, डिराक हैमिल्टनियन मूल रूप से अपने चिरसम्मत समकक्ष से अलग है, और इस सिद्धांत में जो देखने योग्य है उसे सही ढंग से पहचानने के लिए बहुत सावधानी बरतनी चाहिए। डायराक समीकरण द्वारा निहित अधिकांश स्पष्ट रूप से विरोधाभासी व्यवहार इन अवलोकनों की गलत पहचान के बराबर है।{{Citation needed|date=January 2020}} | ||
=== छिद्र सिद्धांत === | === छिद्र सिद्धांत === | ||
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इसे कुल कोणीय गति के रूप में समझा जा सकता है। यह स्पिनर क्षेत्र पर फलन करता है | इसे कुल कोणीय गति के रूप में समझा जा सकता है। यह स्पिनर क्षेत्र पर फलन करता है | ||
<math display="block">\psi^\prime(x) = \exp\left(\frac{-i}{2} \omega^{\mu\nu} J_{\mu\nu}\right) \psi(x)</math> | <math display="block">\psi^\prime(x) = \exp\left(\frac{-i}{2} \omega^{\mu\nu} J_{\mu\nu}\right) \psi(x)</math> | ||
ध्यान दें <math>x</math> उपरोक्त में कोई प्राइम नहीं है: उपरोक्त को रूपांतरित करके प्राप्त किया जाता है <math>x \mapsto x'</math> में परिवर्तन प्राप्त करना <math>\psi(x)\mapsto \psi'(x')</math> और फिर मूल समन्वय प्रणाली पर वापस लौटना <math>x' \mapsto x</math> | ध्यान दें <math>x</math> उपरोक्त में कोई प्राइम नहीं है: उपरोक्त को रूपांतरित करके प्राप्त किया जाता है <math>x \mapsto x'</math> में परिवर्तन प्राप्त करना <math>\psi(x)\mapsto \psi'(x')</math> और फिर मूल समन्वय प्रणाली पर वापस लौटना <math>x' \mapsto x</math>। | ||
उपरोक्त की ज्यामितीय व्याख्या यह है कि [[फ़्रेम फ़ील्ड|फ़्रेम क्षेत्र]] [[एफ़िन स्पेस|एफ़िन समष्टि]] है, जिसका कोई पसंदीदा मूल नहीं है। जेनरेटर <math>J_{\mu\nu}</math> इस समष्टि की समरूपता उत्पन्न करता है: यह एक निश्चित बिंदु की पुनः लेबलिंग प्रदान करता है <math>x~.</math> जनरेटर <math>\sigma_{\mu\nu}</math> तंतु में एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक गति उत्पन्न करता है: से एक गति <math>x \mapsto x'</math> दोनों के साथ <math>x</math> और <math>x'</math> अभी भी उसी स्पेसटाइम बिंदु के अनुरूप है <math>a.</math> इन संभवतः अस्पष्ट टिप्पणियों को स्पष्ट बीजगणित के साथ स्पष्ट किया जा सकता है। | उपरोक्त की ज्यामितीय व्याख्या यह है कि [[फ़्रेम फ़ील्ड|फ़्रेम क्षेत्र]] [[एफ़िन स्पेस|एफ़िन समष्टि]] है, जिसका कोई पसंदीदा मूल नहीं है। जेनरेटर <math>J_{\mu\nu}</math> इस समष्टि की समरूपता उत्पन्न करता है: यह एक निश्चित बिंदु की पुनः लेबलिंग प्रदान करता है <math>x~.</math> जनरेटर <math>\sigma_{\mu\nu}</math> तंतु में एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक गति उत्पन्न करता है: से एक गति <math>x \mapsto x'</math> दोनों के साथ <math>x</math> और <math>x'</math> अभी भी उसी स्पेसटाइम बिंदु के अनुरूप है <math>a.</math> इन संभवतः अस्पष्ट टिप्पणियों को स्पष्ट बीजगणित के साथ स्पष्ट किया जा सकता है। | ||
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<math display="block">S(\Lambda) \gamma^\mu S^{-1}(\Lambda) = {\left(\Lambda^{-1}\right)^\mu}_\nu \gamma^\nu</math> | <math display="block">S(\Lambda) \gamma^\mu S^{-1}(\Lambda) = {\left(\Lambda^{-1}\right)^\mu}_\nu \gamma^\nu</math> | ||
के लिए एक स्पष्ट अभिव्यक्ति <math>S(\Lambda)</math> (ऊपर दी गई अभिव्यक्ति के बराबर) पहचान परिवर्तन के निकट अनंतिम घूर्णन के लोरेंत्ज़ परिवर्तन पर विचार करके प्राप्त किया जा सकता है: | के लिए एक स्पष्ट अभिव्यक्ति <math>S(\Lambda)</math> (ऊपर दी गई अभिव्यक्ति के बराबर) पहचान परिवर्तन के निकट अनंतिम घूर्णन के लोरेंत्ज़ परिवर्तन पर विचार करके प्राप्त किया जा सकता है: | ||
<math display="block">{\Lambda^\mu}_\nu = {g^\mu}_\nu + {\omega^\mu}_\nu\ ,\ {(\Lambda^{-1})^\mu}_\nu = {g^\mu}_\nu - {\omega^\mu}_\nu</math> जहाँ <math>{g^\mu}_{\nu}</math> मीट्रिक टेंसर है: <math>{g^\mu}_{\nu}=g^{\mu\nu'}g_{\nu'\nu}={\delta^\mu}_{\nu}</math> और जबकि सममित है <math>\omega_{\mu\nu}={\omega^{\alpha}}_{\nu} g_{\alpha\mu}</math> प्रतिसममित | <math display="block">{\Lambda^\mu}_\nu = {g^\mu}_\nu + {\omega^\mu}_\nu\ ,\ {(\Lambda^{-1})^\mu}_\nu = {g^\mu}_\nu - {\omega^\mu}_\nu</math> जहाँ <math>{g^\mu}_{\nu}</math> मीट्रिक टेंसर है: <math>{g^\mu}_{\nu}=g^{\mu\nu'}g_{\nu'\nu}={\delta^\mu}_{\nu}</math> और जबकि सममित है <math>\omega_{\mu\nu}={\omega^{\alpha}}_{\nu} g_{\alpha\mu}</math> प्रतिसममित है। प्लगिंग और चगिंग के बाद, एक प्राप्त होता है | ||
<math display="block">S(\Lambda) = I + \frac{-i}{4} \omega^{\mu\nu} \sigma_{\mu\nu} + \mathcal{O}\left(\Lambda^2\right)</math> | <math display="block">S(\Lambda) = I + \frac{-i}{4} \omega^{\mu\nu} \sigma_{\mu\nu} + \mathcal{O}\left(\Lambda^2\right)</math> | ||
जो कि (अनंतिमल) रूप है <math>S</math> ऊपर और संबंध उत्पन्न करता है <math>\sigma^{\mu\nu} = \frac{i}{2} [\gamma^\mu,\gamma^\nu]</math> | जो कि (अनंतिमल) रूप है <math>S</math> ऊपर और संबंध उत्पन्न करता है <math>\sigma^{\mu\nu} = \frac{i}{2} [\gamma^\mu,\gamma^\nu]</math> । एफ़िन रीलेबलिंग प्राप्त करने के लिए लिखें | ||
<math display="block"> \begin{align} | <math display="block"> \begin{align} | ||
\psi'(x') &= \left(I + \frac{-i}{4} \omega^{\mu\nu} \sigma_{\mu\nu} \right) \psi(x) \\ | \psi'(x') &= \left(I + \frac{-i}{4} \omega^{\mu\nu} \sigma_{\mu\nu} \right) \psi(x) \\ | ||
Line 438: | Line 438: | ||
&= \left(I + \frac{-i}{2} \omega^{\mu\nu} J_{\mu\nu} \right) \psi(x') \\ | &= \left(I + \frac{-i}{2} \omega^{\mu\nu} J_{\mu\nu} \right) \psi(x') \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
ठीक से एंटीसिमेट्रिज़िंग के बाद, व्यक्ति को समरूपता का जनरेटर प्राप्त होता है <math>J_{\mu\nu}</math> पहले दिया | ठीक से एंटीसिमेट्रिज़िंग के बाद, व्यक्ति को समरूपता का जनरेटर प्राप्त होता है <math>J_{\mu\nu}</math> पहले दिया गया। इस प्रकार, दोनों <math>J_{\mu\nu}</math> और <math>\sigma_{\mu\nu}</math> लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के जनरेटर कहा जा सकता है, लेकिन एक सूक्ष्म अंतर के साथ: पहला एफ़िन फ्रेम बंडल पर बिंदुओं की रीलेबलिंग से मेल खाता है, जो [[स्पिन बंडल|प्रचक्रण बंडल]] पर स्पिनर के फाइबर के साथ अनुवाद को मजबूर करता है, जबकि दूसरा प्रचक्रण बंडल के फाइबर के साथ अनुवाद से मेल खाता है (एक आंदोलन के रूप में लिया गया) <math>x \mapsto x'</math> फ्रेम बंडल के साथ-साथ एक आंदोलन भी <math>\psi \mapsto \psi'</math> प्रचक्रण बंडल के फाइबर के साथ।) वेनबर्ग कुल और आंतरिक कोणीय गति के रूप में इनकी भौतिक व्याख्या के लिए अतिरिक्त तर्क प्रदान करता है।<ref>Weinberg, "Gravitation", ''op cit.'' ''(See chapter 2.9 "Spin", pages 46-47.)''</ref> | ||
Line 454: | Line 454: | ||
=== युग्मित वेइल स्पिनर्स === | === युग्मित वेइल स्पिनर्स === | ||
जैसा कि उल्लेखित डिराक समीकरण#अक्षीय समरूपता है, द्रव्यमान रहित डिराक समीकरण तुरंत सजातीय वेइल समीकरण में कम हो जाता है। गामा आव्यूह#वेइल (चिरल) आधार का उपयोग करके, गैर-द्रव्यमान | '''जैसा कि उल्लेखित डिराक समीकरण#अक्षीय समरूपता है, द्रव्यमान रहित डिराक समीकरण तुरंत सजातीय वेइल समीकरण में कम हो जाता है। गामा आव्यूह#वेइल (चिरल) आधार का उपयोग करके, गैर-द्रव्यमान समीकर'''ण को मूल चार-घटक स्पिनर के सूचकांकों के पहले और आखिरी जोड़े पर फलन करने वाले युग्मित अमानवीय वेइल समीकरणों की एक जोड़ी में विघटित किया जा सकता है, यानी। <math>\psi = \begin{pmatrix} \psi_L \\ \psi_R \end{pmatrix}</math>, जहाँ <math>\psi_L</math> और <math>\psi_R</math> प्रत्येक दो-घटक [[वेइल स्पिनर]] हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि चिरल गामा आव्यूह के तिरछे ब्लॉक रूप का मतलब है कि वे स्वैप करते हैं <math>\psi_L</math> और <math>\psi_R</math> और प्रत्येक पर दो-दो-दो पाउली मैट्रिसेस लागू करें: | ||
<math>\gamma^\mu \begin{pmatrix}\psi_L \\ \psi_R \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\sigma^\mu \psi_R \\ \overline{\sigma}^\mu \psi_L \end{pmatrix}</math> | <math>\gamma^\mu \begin{pmatrix}\psi_L \\ \psi_R \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\sigma^\mu \psi_R \\ \overline{\sigma}^\mu \psi_L \end{pmatrix}</math>। | ||
तो डिराक समीकरण | तो डिराक समीकरण | ||
Line 476: | Line 476: | ||
<math> | <math> | ||
i\overline{\sigma}^\mu \partial_\mu \psi_L = m \psi_R | i\overline{\sigma}^\mu \partial_\mu \psi_L = m \psi_R | ||
</math> | </math>।{{clarify|reason=In the Penrose source the RHS is divided by \sqrt{2} and there is no imaginary unit on the LHS, but he does not go into the derivation. Other sources -- and the Axial symmetry section above -- seem to agree with the form given here.|date=June 2023}} | ||
इसे [[हिलाने की गति]] की सहज व्याख्या के रूप में प्रस्तावित किया गया है, क्योंकि ये द्रव्यमान रहित घटक प्रकाश की गति से फैलेंगे और विपरीत दिशाओं में आगे बढ़ेंगे, क्योंकि हेलीसिटी गति की दिशा पर प्रचक्रण का प्रक्षेपण है।<ref name="PenroseZigzag">{{cite book |last1=Penrose |first1=Roger |title=वास्तविकता की राह|date=2004 |publisher=Alfred A. Knopf |isbn=0-224-04447-8 |pages=628–632 |edition=Sixth Printing}}</ref> यहां जनसमूह की भूमिका है <math>m</math> वेग को प्रकाश की गति से कम नहीं करना है, बल्कि उस औसत दर को नियंत्रित करना है जिस पर ये उलटाव होते हैं; विशेष रूप से, उत्क्रमण को [[पॉइसन प्रक्रिया]] के रूप में तैयार किया जा सकता है।<ref name="PRL_1984_07_30">{{cite journal |last1=Gaveau |first1=B. |last2=Jacobson |first2=T. |last3=Kac |first3=M. |last4=Schulman |first4=L. S. |title=क्वांटम यांत्रिकी और ब्राउनियन मोशन के बीच सादृश्य का सापेक्ष विस्तार|journal=Physical Review Letters |date=30 July 1984 |volume=53 |issue=5 |pages=419-422}}</ref> | इसे [[हिलाने की गति]] की सहज व्याख्या के रूप में प्रस्तावित किया गया है, क्योंकि ये द्रव्यमान रहित घटक प्रकाश की गति से फैलेंगे और विपरीत दिशाओं में आगे बढ़ेंगे, क्योंकि हेलीसिटी गति की दिशा पर प्रचक्रण का प्रक्षेपण है।<ref name="PenroseZigzag">{{cite book |last1=Penrose |first1=Roger |title=वास्तविकता की राह|date=2004 |publisher=Alfred A. Knopf |isbn=0-224-04447-8 |pages=628–632 |edition=Sixth Printing}}</ref> यहां जनसमूह की भूमिका है <math>m</math> वेग को प्रकाश की गति से कम नहीं करना है, बल्कि उस औसत दर को नियंत्रित करना है जिस पर ये उलटाव होते हैं; विशेष रूप से, उत्क्रमण को [[पॉइसन प्रक्रिया]] के रूप में तैयार किया जा सकता है।<ref name="PRL_1984_07_30">{{cite journal |last1=Gaveau |first1=B. |last2=Jacobson |first2=T. |last3=Kac |first3=M. |last4=Schulman |first4=L. S. |title=क्वांटम यांत्रिकी और ब्राउनियन मोशन के बीच सादृश्य का सापेक्ष विस्तार|journal=Physical Review Letters |date=30 July 1984 |volume=53 |issue=5 |pages=419-422}}</ref> | ||
== | == U(1) समरूपता == | ||
इस अनुभाग में प्राकृतिक इकाइयों का उपयोग किया जाता है। युग्मन स्थिरांक को परंपरा के अनुसार लेबल किया जाता है <math>e</math>: इस पैरामीटर को इलेक्ट्रॉन चार्ज के मॉडलिंग के रूप में भी देखा जा सकता है। | इस अनुभाग में प्राकृतिक इकाइयों का उपयोग किया जाता है। युग्मन स्थिरांक को परंपरा के अनुसार लेबल किया जाता है <math>e</math>: इस पैरामीटर को इलेक्ट्रॉन चार्ज के मॉडलिंग के रूप में भी देखा जा सकता है। | ||
=== सदिश समरूपता === | === सदिश समरूपता === | ||
डिराक समीकरण और क्रिया | डिराक समीकरण और क्रिया <math>\text{U}(1)</math> समरूपता को स्वीकार करती है जहां <math>\psi, \bar\psi</math> के रूप में बदल जाते हैं | ||
<math display="block">\begin{align} | <math display="block">\begin{align} | ||
\psi(x) &\mapsto e^{i\alpha}\psi(x), \\ | \psi(x) &\mapsto e^{i\alpha}\psi(x), \\ | ||
\bar\psi(x) &\mapsto e^{-i\alpha}\bar\psi(x). | \bar\psi(x) &\mapsto e^{-i\alpha}\bar\psi(x). | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
यह | यह वैश्विक समरूपता है, जिसे <math>\text{U}(1)</math> '''सदिश''' समरूपता (विपरीत) <math>\text{U}(1)</math> '''अक्षीय''' समरूपता: नीचे देखें) के रूप में जाना जाता है। नोएथर के प्रमेय के अनुसार संगत संरक्षित धारा होती है: इसका उल्लेख पहले किया जा चुका है | ||
<math display="block">J^\mu(x) = \bar\psi(x)\gamma^\mu\psi(x).</math> | <math display="block">J^\mu(x) = \bar\psi(x)\gamma^\mu\psi(x).</math>'''<big>समरूपता का आकलन</big>''' | ||
{{See also|क्वाण्टम विद्युत्गतिकी}} | |||
यदि हम वैश्विक समरूपता को 'बढ़ावा' देते हैं, जो स्थिरांक <math>\alpha</math> द्वारा परिचालित है, स्थानीय समरूपता के लिए, फलन <math>\alpha:\mathbb{R}^{1,3} \to \mathbb{R}</math> द्वारा परिचालित किया गया, या समकक्ष <math>e^{i\alpha}: \mathbb{R}^{1,3} \to \text{U}(1),</math> डिराक समीकरण अब अपरिवर्तनीय नहीं है: इसका अवशिष्ट व्युत्पन्न <math>\alpha(x)</math> है। | |||
[[स्केलर इलेक्ट्रोडायनामिक्स|अदिश विद्युत्गतिकी]] के अनुसार निश्चित आगे बढ़ता है: आंशिक व्युत्पन्न को सहसंयोजक व्युत्पन्न <math>D_\mu</math> में बढ़ावा दिया जाता है | |||
<math display="block">D_\mu \psi = \partial_\mu \psi + i e A_\mu\psi,</math><math display="block">D_\mu \bar\psi = \partial_\mu \bar\psi - i e A_\mu\bar\psi.</math> | |||
सहसंयोजक व्युत्पन्न उस क्षेत्र पर निर्भर करता है जिस पर फलन किया जा रहा है। नव परिचय <math>A_\mu</math> विद्युत्गतिकी से 4-सदिश क्षमता है, लेकिन इसे <math>\text{U}(1)</math> [[गेज क्षेत्र]], या <math>\text{U}(1)</math> [[कनेक्शन (गणित)|संबन्ध (गणित)]] एक के रूप में भी देखा जा सकता है | |||
गेज परिवर्तन के तहत परिवर्तन नियम के लिए <math>A_\mu</math> तो यह सामान्य है | |||
गेज परिवर्तन के तहत परिवर्तन | |||
<math display="block">A_\mu(x) \mapsto A_\mu(x) + \frac{1}{e}\partial_\mu\alpha(x)</math> | <math display="block">A_\mu(x) \mapsto A_\mu(x) + \frac{1}{e}\partial_\mu\alpha(x)</math> | ||
लेकिन यह पूछकर भी प्राप्त किया जा सकता है कि सहसंयोजक व्युत्पन्न | लेकिन यह पूछकर भी प्राप्त किया जा सकता है कि सहसंयोजक व्युत्पन्न गेज परिवर्तन के तहत रूपांतरित होते हैं | ||
<math display="block">D_\mu\psi(x) \mapsto e^{i\alpha(x)}D_\mu\psi(x),</math> | <math display="block">D_\mu\psi(x) \mapsto e^{i\alpha(x)}D_\mu\psi(x),</math><math display="block">D_\mu\bar\psi(x) \mapsto e^{-i\alpha(x)}D_\mu\bar\psi(x).</math> | ||
<math display="block">D_\mu\bar\psi(x) \mapsto e^{-i\alpha(x)}D_\mu\bar\psi(x).</math> | फिर हम सहसंयोजक के आंशिक व्युत्पन्न को बढ़ावा देकर गेज-अपरिवर्तनीय डायराक क्रिया प्राप्त करते हैं: | ||
फिर हम | |||
<math display="block">S = \int d^4x\,\bar\psi\,(iD\!\!\!\!\big / - m)\,\psi = \int d^4x\,\bar\psi\,(i\gamma^\mu D_\mu - m)\,\psi.</math> | <math display="block">S = \int d^4x\,\bar\psi\,(iD\!\!\!\!\big / - m)\,\psi = \int d^4x\,\bar\psi\,(i\gamma^\mu D_\mu - m)\,\psi.</math> | ||
गेज-अपरिवर्तनीय लैग्रैन्जियन को लिखने के लिए आवश्यक अंतिम चरण मैक्सवेल लैग्रैन्जियन शब्द जोड़ना है, | गेज-अपरिवर्तनीय लैग्रैन्जियन को लिखने के लिए आवश्यक अंतिम चरण मैक्सवेल लैग्रैन्जियन शब्द जोड़ना है, | ||
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}} | }} | ||
सहसंयोजक व्युत्पन्न का विस्तार करने से क्रिया को दूसरे उपयोगी रूप में लिखा जा सकता है: | सहसंयोजक व्युत्पन्न का विस्तार करने से क्रिया को दूसरे उपयोगी रूप में लिखा जा सकता है: | ||
<math display="block">S_{\text{QED}} = \int d^4x\,-\frac{1}{4}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} + \bar\psi\,(i\partial\!\!\!\big / - m)\,\psi - eJ^\mu A_\mu</math> | <math display="block">S_{\text{QED}} = \int d^4x\,-\frac{1}{4}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} + \bar\psi\,(i\partial\!\!\!\big / - m)\,\psi - eJ^\mu A_\mu</math>'''<big>अक्षीय समरूपता</big>''' | ||
द्रव्यमान रहित डिराक फर्मियन, अर्थात् क्षेत्र <math>\psi(x)</math> डिराक समीकरण को <math>m = 0</math> से संतुष्ट करते हुए, एक दूसरे, असमान <math>\text{U}(1)</math> समरूपता को स्वीकार करते हैं। | |||
'''द्रव्यमान रहित डिराक फर्मियन, अर्थात् | |||
इसे चार-घटक डिराक फ़र्मियन लिखकर सबसे आसानी से देखा जा सकता है <math>\psi(x)</math> दो-घटक सदिश क्षेत्र की | इसे चार-घटक डिराक फ़र्मियन लिखकर सबसे आसानी से देखा जा सकता है <math>\psi(x)</math> दो-घटक सदिश क्षेत्र की जोड़ी के रूप में, | ||
<math display="block">\psi(x) = \begin{pmatrix} | <math display="block">\psi(x) = \begin{pmatrix} | ||
\psi_1(x)\\ | \psi_1(x)\\ | ||
Line 539: | Line 532: | ||
\end{pmatrix} | \end{pmatrix} | ||
</math> | </math> | ||
जहाँ <math>\sigma^\mu</math> घटक | जहाँ <math>\sigma^\mu</math> घटक <math>(I_2, \sigma^i)</math> हैं और <math>\bar\sigma^\mu</math> घटक <math>(I_2, -\sigma^i)</math> हैं | ||
फिर डिराक क्रिया रूप धारण कर लेती है | फिर डिराक क्रिया रूप धारण कर लेती है | ||
Line 545: | Line 538: | ||
अर्थात्, यह दो वेइल समीकरण या वेइल फ़र्मियन के सिद्धांत में विभाजित हो जाता है। | अर्थात्, यह दो वेइल समीकरण या वेइल फ़र्मियन के सिद्धांत में विभाजित हो जाता है। | ||
पहले वाली सदिश समरूपता अभी भी मौजूद है, जहां <math>\psi_1</math> और <math>\psi_2</math> समान रूप से | पहले वाली सदिश समरूपता अभी भी मौजूद है, जहां <math>\psi_1</math> और <math>\psi_2</math> समान रूप से घूमते हैं। क्रिया का यह रूप दूसरी असमान <math>\text{U}(1)</math> समरूपता को प्रकट करता है: | ||
<math display="block">\begin{align} | <math display="block">\begin{align} | ||
\psi_1(x) &\mapsto e^{i\beta} \psi_1(x), \\ | \psi_1(x) &\mapsto e^{i\beta} \psi_1(x), \\ | ||
Line 554: | Line 547: | ||
जहाँ <math>\exp</math> आव्यूहों के लिए घातीय मानचित्र है। | जहाँ <math>\exp</math> आव्यूहों के लिए घातीय मानचित्र है। | ||
यह एकमात्र नहीं है <math>\text{U}(1)</math> समरूपता संभव है, लेकिन यह पारंपरिक है। सदिश और अक्षीय समरूपता का कोई भी 'रैखिक संयोजन' भी | यह एकमात्र नहीं है <math>\text{U}(1)</math> समरूपता संभव है, लेकिन यह पारंपरिक है। सदिश और अक्षीय समरूपता का कोई भी 'रैखिक संयोजन' भी <math>\text{U}(1)</math> समरूपता है | ||
चिरसम्मत रूप से, अक्षीय समरूपता अच्छी तरह से तैयार किए गए गेज सिद्धांत को स्वीकार करती है। लेकिन क्वांटम स्तर पर, [[विसंगति (भौतिकी)]] है, यानी, गेजिंग में बाधा है। | |||
=== रंग समरूपता का विस्तार === | === रंग समरूपता का विस्तार === | ||
Line 567: | Line 560: | ||
इस अनुभाग से पहले, <math>\psi(x)</math> इसे मिन्कोव्स्की समष्टि पर स्पिनर क्षेत्र के रूप में देखा जा सकता है, दूसरे शब्दों में फलन <math>\psi: \mathbb{R}^{1,3}\mapsto \mathbb{C}^4</math>, और इसके घटक <math>\mathbb{C}^4</math> प्रचक्रण सूचकांकों द्वारा लेबल किए जाते हैं, पारंपरिक रूप से ग्रीक सूचकांक वर्णमाला <math>\alpha,\beta,\gamma,\cdots</math> की प्रारंभ से लिए गए हैं। | इस अनुभाग से पहले, <math>\psi(x)</math> इसे मिन्कोव्स्की समष्टि पर स्पिनर क्षेत्र के रूप में देखा जा सकता है, दूसरे शब्दों में फलन <math>\psi: \mathbb{R}^{1,3}\mapsto \mathbb{C}^4</math>, और इसके घटक <math>\mathbb{C}^4</math> प्रचक्रण सूचकांकों द्वारा लेबल किए जाते हैं, पारंपरिक रूप से ग्रीक सूचकांक वर्णमाला <math>\alpha,\beta,\gamma,\cdots</math> की प्रारंभ से लिए गए हैं। | ||
सिद्धांत को गेज सिद्धांत में प्रचारित करते हुए, अनौपचारिक रूप सेना <math>\psi</math>, <math>\mathbb{C}^N</math>की तरह रूपांतरित होने वाला एक भाग प्राप्त करता है, और इन्हें रंग सूचकांकों द्वारा लेबल किया जाता है, पारंपरिक रूप से लैटिन सूचकांक <math>i,j,k,\cdots</math> | सिद्धांत को गेज सिद्धांत में प्रचारित करते हुए, अनौपचारिक रूप सेना <math>\psi</math>, <math>\mathbb{C}^N</math>की तरह रूपांतरित होने वाला एक भाग प्राप्त करता है, और इन्हें रंग सूचकांकों द्वारा लेबल किया जाता है, पारंपरिक रूप से लैटिन सूचकांक <math>i,j,k,\cdots</math>। कुल मिलाकर, <math>\psi(x)</math> में <math>4N</math> घटक होते हैं, जो <math>\psi^{i,\alpha}(x)</math> द्वारा सूचकांकों में दिए जाते हैं। केवल 'स्पिनर' लेबल स्पेसटाइम परिवर्तनों के तहत क्षेत्र कैसे बदलता है। | ||
औपचारिक रूप से, <math>\psi(x)</math> टेंसर उत्पाद में मूल्यवान है, अर्थात यह फलन है <math>\psi:\mathbb{R}^{1,3} \to \mathbb{C}^4 \otimes \mathbb{C}^N.</math> | औपचारिक रूप से, <math>\psi(x)</math> टेंसर उत्पाद में मूल्यवान है, अर्थात यह फलन है <math>\psi:\mathbb{R}^{1,3} \to \mathbb{C}^4 \otimes \mathbb{C}^N.</math> | ||
Line 583: | Line 576: | ||
जहां यांग-मिल्स क्षेत्र की ताकत या वक्रता को यहां परिभाषित किया गया है | जहां यांग-मिल्स क्षेत्र की ताकत या वक्रता को यहां परिभाषित किया गया है | ||
<math display="block">F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu - ig\left[A_\mu,A_\nu\right]</math> | <math display="block">F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu - ig\left[A_\mu,A_\nu\right]</math> | ||
और <math>[\cdot,\cdot]</math> आव्यूह दिक्परिवर्तक | और <math>[\cdot,\cdot]</math> आव्यूह दिक्परिवर्तक है। | ||
कार्रवाई तब है | कार्रवाई तब है | ||
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* [http://www.mc.maricopa.edu/~kevinlg/i256/Nature_Dirac.pdf The Nature of the Dirac Equation, its solutions, and Spin] | * [http://www.mc.maricopa.edu/~kevinlg/i256/Nature_Dirac.pdf The Nature of the Dirac Equation, its solutions, and Spin] | ||
* [http://electron6.phys.utk.edu/qm2/modules/m9/dirac.htm Dirac equation for a spin {{1/2}} particle] | * [http://electron6.phys.utk.edu/qm2/modules/m9/dirac.htm Dirac equation for a spin {{1/2}} particle] | ||
* [http://www.quantumfieldtheory.info/ Pedagogic Aids to Quantum Field Theory] click on | * [http://www.quantumfieldtheory.info/ Pedagogic Aids to Quantum Field Theory] click on Chap। 4 for a step-by-small-step introduction to the Dirac equation, spinors, and relativistic spin/helicity operators। | ||
[[Category: डिराक समीकरण| डिराक समीकरण]] [[Category: 1928 परिचय]] [[Category: फरमिओन्स]] [[Category: आंशिक अंतर समीकरण]] [[Category: पॉल डिराक|समीकरण]] [[Category: क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] [[Category: स्पिनर]] | [[Category: डिराक समीकरण| डिराक समीकरण]] [[Category: 1928 परिचय]] [[Category: फरमिओन्स]] [[Category: आंशिक अंतर समीकरण]] [[Category: पॉल डिराक|समीकरण]] [[Category: क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] [[Category: स्पिनर]] | ||
Revision as of 14:27, 3 August 2023
कण भौतिकी में, डिराक समीकरण 1928 में ब्रिटिश भौतिक विज्ञानी पॉल डिराक द्वारा प्राप्त सापेक्षतावादी तरंग समीकरण है। अपने स्वतंत्र रूप या विद्युत चुम्बकीय अंतःक्रियाओं सहित, यह सभी प्रचक्रण-½ बड़े कणों का वर्णन करता है, जिन्हें "डायराक कण" कहा जाता है, जैसे इलेक्ट्रॉन और क्वार्क जिनके लिए समता (भौतिकी) समरूपता (भौतिकी) है। यह क्वांटम यांत्रिकी के सिद्धांतों और विशेष सापेक्षता के सिद्धांत दोनों के अनुरूप है,[1] और क्वांटम यांत्रिकी के संदर्भ में विशेष सापेक्षता को पूरी तरह से ध्यान में रखने वाला पहला सिद्धांत था। इसे पूरी तरह से दृढ़ तरीके से हाइड्रोजन वर्णक्रमीय श्रृंखला की बारीक संरचना का लेखा-जोखा करके मान्य किया गया था।
समीकरण ने पदार्थ के एक नए रूप, प्रतिद्रव्य के अस्तित्व को भी दर्शाया, जो पहले से संदेहास्पद और अवलोकित था और जिसकी कई वर्षों बाद प्रयोगात्मक रूप से पुष्टि की गई थी। इसने वोल्फगैंग पाउली के संवृतिशास्त्र (कण भौतिकी) प्रचक्रण (भौतिकी) सिद्धांत में कई घटक तरंग फलन के आरम्भ के लिए सैद्धांतिक औचित्य भी प्रदान किया। डिराक सिद्धांत में तरंग फलन चार समिश्र संख्याओं (बिस्पिनोर के रूप में जाना जाता है) के सदिश हैं, जिनमें से दो गैर-सापेक्षतावादी सीमा में पाउली समीकरण से मिलते जुलते हैं, श्रोडिंगर समीकरण के विपरीत जो केवल समिश्र मान के तरंग फलन का वर्णन करता है। इसके अलावा, शून्य द्रव्यमान की सीमा में, डिराक समीकरण वेइल समीकरण में कम हो जाता है।
हालाँकि डिराक ने पहले तो अपने परिणामों के महत्व को पूरी तरह से नहीं समझा, क्वांटम यांत्रिकी और सापेक्षता के मिलन के परिणामस्वरूप प्रचक्रण की विस्तृत व्याख्या - और पोजीट्रान की अंतिम खोज - सैद्धांतिक भौतिकी की महान अभिभूत में से एक का प्रतिनिधित्व करती है। इस उपलब्धि को उनसे पहले आइजैक न्यूटन, जेम्स क्लर्क मैक्सवेल और अल्बर्ट आइंस्टीन के फलन के बराबर बताया गया है।[2] क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के संदर्भ में, प्रचक्रण-1⁄2 कण के अनुरूप क्वांटम क्षेत्रों का वर्णन करने के लिए डिराक समीकरण की पुनर्व्याख्या की गई है।
डिराक समीकरण वेस्टमिन्स्टर ऐबी के पृष्ठ पर पट्टिका पर अंकित है। 13 नवंबर 1995 को अनावरण किया गया, यह पट्टिका पॉल डिराक के जीवन का स्मरण कराती है।[3]
गणितीय सूत्रीकरण
क्षेत्र सिद्धांत के लिए अपने आधुनिक सूत्रीकरण में, डिराक समीकरण को डिराक स्पिनर क्षेत्र के संदर्भ में लिखा गया है समिश्र सदिश समष्टि में मान ले रहा है जिसे ठोस रूप से वर्णित किया गया है, समतल स्पेसटाइम (मिन्कोवस्की समष्टि) पर परिभाषित किया गया है। इसकी अभिव्यक्ति में गामा आव्यूह और पैरामीटर भी शामिल है जिसे द्रव्यमान के साथ-साथ अन्य भौतिक स्थिरांक के रूप में व्याख्या किया गया है।
क्षेत्र के संदर्भ में, डिराक समीकरण तब है
और प्राकृतिक इकाइयों में, फेनमैन स्लैश अंकन के साथ,
गामा आव्यूह चार समिश्र आव्यूह (तत्व) का समुच्चय है ( के तत्व) जो परिभाषित विरोधी-कम्यूटेशन संबंधों को संतुष्ट करते हैं:
जहाँ मिन्कोव्स्की मीट्रिक तत्व और सूचकांक 0,1,2 और 3 पर ज़ारी है। इन आव्यूह को प्रतिनिधित्व के विकल्प के तहत स्पष्ट रूप से महसूस किया जा सकता है। दो सामान्य विकल्प डिराक प्रतिनिधित्व हैं
स्लैश अंकन कॉम्पैक्ट अंकन है
डिराक संलग्न और संलग्न समीकरण
स्पिनर क्षेत्र का डायराक संलग्न को इस प्रकार परिभाषित किया गया है
संरक्षित धारा
सिद्धांत की संरक्षित धारा है
डिराक और निकटवर्ती डिराक समीकरण जोड़ने पर प्राप्त होता है
इस अभिव्यक्ति को प्राप्त करने का अन्य तरीका विभिन्न तरीकों से है, संरक्षित धारा प्राप्त करने के लिए वैश्विक समरूपता के लिए नोएदर के प्रमेय को लागू करना
लैग्रेंजियन को याद करें
अब भिन्नता पैरामीटर पर विचार कर रहे हैं अतिसूक्ष्म होने के लिए, हम पहले क्रम पर काम करते हैं और अनदेखा करें शर्तें। पिछली चर्चा से हम तुरंत लैग्रेंजियन के कारण स्पष्ट भिन्नता देखते हैं लुप्त हो रहा है, वह भिन्नता के अंतर्गत है,
नोएथर के प्रमेय के भाग के रूप में, हम क्षेत्रों की भिन्नता के कारण लैग्रेंजियन में अंतर्निहित भिन्नता पाते हैं। यदि गति का समीकरण तो फिर संतुष्ट हैं
|
(*) |
यह तुरंत सरल हो जाता है क्योंकि इसका कोई आंशिक व्युत्पन्न नहीं है लैग्रेंजियन में. अतिसूक्ष्म भिन्नता है
समाधान
चूंकि डिराक ऑपरेटर वर्ग-अभिन्न फलन के 4-टुपल्स पर फलन करता है, इसलिए इसके समाधान समान हिल्बर्ट समष्टि के घटक होने चाहिए। यह तथ्य कि समाधानों की ऊर्जा की कोई निचली सीमा नहीं है, अप्रत्याशित है।
समतल-तरंग समाधान
समतल-तरंग समाधान वे होते हैं जो एन्सैट्ज़ से उत्पन्न होते हैं
इस एन्सैट्ज़ के लिए, डिराक समीकरण के लिए समीकरण बन जाता है :
उदाहरण के लिए, चिरल प्रतिनिधित्व में , समाधान समष्टि को सदिश द्वारा परिचालित किया गया है
ये समतल-तरंग समाधान विहित परिमाणीकरण के लिए प्रारंभिक बिंदु प्रदान करते हैं।
लैग्रेंजियन सूत्रीकरण
डिराक समीकरण और संलग्न डिराक समीकरण दोनों को विशिष्ट लैग्रेन्जियन घनत्व के साथ क्रिया से (बदलते हुए) प्राप्त किया जा सकता है जो निम्न द्वारा दिया गया है:
प्राकृतिक इकाइयों में और स्लैश अंकन के साथ, क्रिया तब होती है
इस क्रिया के लिए, उपरोक्त संरक्षित धारा क्षेत्र सिद्धांत के लिए नोएदर के प्रमेय के माध्यम से वैश्विक समरूपता के अनुरूप संरक्षित धारा के रूप में उत्पन्न होती है। समरूपता को स्थानीय, स्पेसटाइम बिंदु पर निर्भर में बदलकर इस क्षेत्र सिद्धांत का आकलन करने से गेज समरूपता (वास्तव में, गेज अतिरेक) मिलती है। परिणामी सिद्धांत क्वांटम विद्युत्गतिकी या क्यूईडी है। अधिक विस्तृत चर्चा के लिए नीचे देखें।
लोरेंत्ज़ अपरिवर्तनीयता
लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के तहत डिराक समीकरण अपरिवर्तनीय है, अर्थात लोरेंत्ज़ समूह या सख्ती से की कार्रवाई के तहत, पहचान से जुड़ा घटक है।
में मान लेने के रूप में ठोस रूप से देखे जाने वाले डिराक स्पिनर के लिए, लोरेंत्ज़ परिवर्तन के तहत परिवर्तन समिश्र आव्यूह द्वारा दिया गया है। संबंधित को परिभाषित करने में कुछ सूक्ष्मताएं हैं, साथ ही संकेतन का एक मानक दुरुपयोग भी है।
अधिकांश उपचार लाई बीजगणित स्तर पर होते हैं। अधिक विस्तृत उपचार के लिए लोरेंत्ज़ समूह लाई बीजगणित देखें। लोरेंत्ज़ समूह वास्तविक आव्यूह अभिनय कर रहे हैं छह आव्यूह के समुच्चय द्वारा उत्पन्न होता है घटकों के साथ
ये लोरेंत्ज़ बीजगणित रूपान्तरण संबंधों को संतुष्ट करते हैं
लोरेंत्ज़ परिवर्तन के रूप में लिखा जा सकता है
प्रचक्रण समष्टि पर संबंधित परिवर्तन है
लोरेंत्ज़ परिवर्तन के तहत, डिराक समीकरण
बायीं ओर से दोनों पक्षों को गुणा करने पर और डमी वेरिएबल को वापस कर रहा देता है
लोरेंत्ज़ अपरिवर्तनीयता से संबद्ध संरक्षित नोएथर धारा है, या बल्कि संरक्षित नोएथर धाराओं का एक टेंसर है। इसी तरह, चूंकि अनुवाद के तहत समीकरण अपरिवर्तनीय है, इसलिए संरक्षित नोएथर धाराओं का टेंसर है, जिसे तनाव-ऊर्जा टेंसर के रूप में पहचाना जा सकता है। लोरेंत्ज़ धारा आंतरिक कोणीय गति का प्रतिनिधित्व करने वाले टेंसर के अलावा तनाव-ऊर्जा टेंसर के संदर्भ में भी लिखा जा सकता है।
ऐतिहासिक विकास और आगे गणितीय विवरण
डिराक समीकरण का उपयोग (ऐतिहासिक रूप से) क्वांटम-यांत्रिकीय सिद्धांत को परिभाषित करने के लिए भी किया गया था जहां को तरंग-फलन के रूप में व्याख्या किया गया है।
पॉल डिराक द्वारा मूल रूप से प्रस्तावित रूप में डिराक समीकरण है:[4]
इस समीकरण को बनाने में डिराक का उद्देश्य सापेक्ष रूप से गतिमान इलेक्ट्रॉन के व्यवहार को समझाना था, और इस प्रकार परमाणु को सापेक्षता के अनुरूप तरीके से व्यवहार करने की अनुमति देना था। उनकी मामूली आशा यह थी कि इस तरह से पेश किए गए सुधारों का परमाणु स्पेक्ट्रा की समस्या पर असर पड़ सकता है।
उस समय तक, परमाणु के पुराने क्वांटम सिद्धांत को सापेक्षता के सिद्धांत के अनुकूल बनाने के प्रयास, जो परमाणु नाभिक के इलेक्ट्रॉन की संभवतः गैर-वृत्ताकार कक्षा में संग्रहीत कोणीय गति को अलग करने पर आधारित थे, विफल हो गए थे - और नया वर्नर हाइजेनबर्ग, वोल्फगैंग पाउली, पास्कल जॉर्डन, इरविन श्रोडिंगर और स्वयं डिराक के क्वांटम यांत्रिकी इस समस्या का विवेचन करने के लिए पर्याप्त रूप से विकसित नहीं हुए थे। हालाँकि डिराक के मूल इरादे संतुष्ट थे, उनके समीकरण का पदार्थ की संरचना पर कहीं अधिक गहरा प्रभाव पड़ा और उन्होंने वस्तुओं की नई गणितीय कक्षाएं पेश कीं जो अब मौलिक भौतिकी के आवश्यक तत्व हैं।
इस समीकरण में नए तत्व चार 4 × 4 आव्यूह (गणित) α1, α2, α3 और β, और चार-घटक तरंग फलन ψ हैं। इसमें चार घटक हैं ψ क्योंकि समाकृति समष्टि में किसी भी बिंदु पर इसका मूल्यांकन बिस्पिनर है। इसकी व्याख्या स्पिन-अप इलेक्ट्रॉन, स्पिन-डाउन इलेक्ट्रॉन, स्पिन-अप पॉज़िट्रॉन और स्पिन-डाउन पॉज़िट्रॉन के अधिस्थापन के रूप में की जाती है।
वह 4 × 4 आव्यूह αk और β सभी हर्मिटियन आव्यूह हैं और अनैच्छिक आव्यूह हैं:
इस प्रकार एकल प्रतीकात्मक समीकरण तरंग फलन बनाने वाली चार मात्राओं के लिए चार युग्मित रैखिक प्रथम-क्रम आंशिक अंतर समीकरणों में सुलझता है। समीकरण को प्लैंक इकाइयों में अधिक स्पष्ट रूप से इस प्रकार लिखा जा सकता है:[5]
श्रोडिंगर समीकरण को सापेक्ष बनाना
डिराक समीकरण सतही तौर पर विशाल मुक्त कण के लिए श्रोडिंगर समीकरण के समान है:
यद्यपि यह श्रोडिंगर समीकरण का एक सफल सापेक्षतावादी सामान्यीकरण नहीं है, इस समीकरण को क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के संदर्भ में पुनर्जीवित किया गया है, जहां इसे क्लेन-गॉर्डन समीकरण के रूप में जाना जाता है, और एक स्पिनलेस कण क्षेत्र (उदाहरण के लिए सन मेसन या हिग्स बॉसन) का वर्णन करता है। ऐतिहासिक रूप से, श्रोडिंगर स्वयं अपने नाम वाले समीकरण से पहले इस समीकरण पर पहुंचे थे लेकिन जल्द ही इसे खारिज कर दिया। क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के संदर्भ में, अनिश्चित घनत्व को चार्ज घनत्व के अनुरूप समझा जाता है, जो घनात्मक या नकारात्मक हो सकता है, न कि संभाव्यता घनत्व।
डिराक का तख्तापलट
इस प्रकार डिराक ने एक ऐसे समीकरण को आज़माने के बारे में सोचा जो समष्टि और समय दोनों में प्रथम क्रम का हो। उदाहरण के लिए, कोई औपचारिक रूप से (अर्थात् संकेतन के दुरुपयोग से) ऊर्जा-संवेग संबंध ले सकता है
कहानी के अनुसार, डिराक कैंब्रिज में चिमनी की ओर देख रहा था और इस समस्या पर विचार कर रहा था, तभी उसके मन में वेव ऑपरेटर का वर्गमूल निकालने का विचार इस प्रकार आया:
इन आव्यूहों के संदर्भ में गुणनखंडन को देखते हुए, कोई भी अब तुरंत एक समीकरण लिख सकता है
सहसंयोजक रूप और आपेक्षिक अपरिवर्तन
समीकरण के लोरेंत्ज़ सहप्रसरण को प्रदर्शित करने के लिए, इसे ऐसे रूप में ढालना फायदेमंद है जिसमें समष्टि और समय व्युत्पन्न समान स्तर पर दिखाई देते हैं। नए आव्यूह इस प्रकार पेश किए गए हैं:
जहां दो बार दोहराए गए सूचकांक के मान पर आइंस्टीन संकेतन है μ = 0, 1, 2, 3, और ∂μ 4-ग्रेडिएंट है। व्यवहार में कोई अक्सर गामा आव्यूह को पाउली आव्यूह और 2 × 2 पहचान आव्यूह से लिए गए 2 × 2 उप-मैट्रिसेस के संदर्भ में लिखता है। स्पष्ट रूप से गामा आव्यूह#डिराक आधार है
डिराक समीकरण की व्याख्या अब एक eigenvalue समीकरण के रूप में की जा सकती है, जहां शेष द्रव्यमान 4-पल ऑपरेटर के आइगेनवैल्यू के समानुपाती होता है, आनुपातिकता स्थिरांक प्रकाश की गति होती है:
एक मौलिक प्रमेय में कहा गया है कि यदि आव्यूह के दो अलग-अलग समुच्चय दिए गए हैं और दोनों क्लिफोर्ड बीजगणित को संतुष्ट करते हैं, तो वे आव्यूह समानता द्वारा एक दूसरे से जुड़े हुए हैं:
नियोजित डिराक मैट्रिसेस के विभिन्न निरूपण डिराक तरंग फलन में भौतिक सामग्री के विशेष पहलुओं पर ध्यान केंद्रित करेंगे। यहां दिखाए गए प्रतिनिधित्व को मानक प्रतिनिधित्व के रूप में जाना जाता है - इसमें, तरंग फलन के ऊपरी दो घटक प्रकाश की तुलना में कम ऊर्जा और छोटे वेग की सीमा में पाउली के 2 स्पिनर तरंग फलन में चले जाते हैं।
उपरोक्त विचार, ग्रासमैन की मूल प्रेरणा को ध्यान में रखते हुए, ज्यामिति में गामा की उत्पत्ति को प्रकट करते हैं; वे स्पेसटाइम में यूनिट सदिश के एक निश्चित आधार का प्रतिनिधित्व करते हैं। इसी प्रकार, गामा के उत्पाद जैसे γμγν उन्मुख सतह तत्वों का प्रतिनिधित्व करते हैं, इत्यादि। इसे ध्यान में रखते हुए, कोई गामा के संदर्भ में स्पेसटाइम पर इकाई आयतन तत्व का रूप इस प्रकार पा सकता है। परिभाषा के अनुसार, यह है
संबंधित सिद्धांतों के साथ तुलना
पाउली सिद्धांत
आधे-पूर्णांक प्रचक्रण (भौतिकी) को शुरू करने की आवश्यकता प्रयोगात्मक रूप से स्टर्न-गेरलाच प्रयोग के परिणामों पर आधारित है। परमाणुओं की एक किरण को एक मजबूत समरूपता और विषमता चुंबकीय क्षेत्र के माध्यम से चलाया जाता है, जो फिर विभाजित हो जाता है Nपरमाणुओं की प्रचक्रण (भौतिकी) के आधार पर भाग। यह पाया गया कि चांदी के परमाणुओं के लिए, किरण दो भागों में विभाजित थी; इसलिए जमीनी स्थिति पूर्णांक नहीं हो सकती, क्योंकि भले ही परमाणुओं की आंतरिक कोणीय गति यथासंभव छोटी हो, 1, किरण को परमाणुओं के अनुरूप तीन भागों में विभाजित किया जाएगा Lz = −1, 0, +1। निष्कर्ष यह है कि चांदी के परमाणुओं में शुद्ध आंतरिक कोणीय गति होती है 1⁄2। वोल्फगैंग पाउली ने एक सिद्धांत स्थापित किया, जिसने हैमिल्टन के सिद्धांत में दो-घटक तरंग फलन और संबंधित सुधार शब्द को पेश करके इस विभाजन को समझाया, जो इस तरंग फलन के अर्ध-चिरसम्मत युग्मन को एक लागू चुंबकीय क्षेत्र में दर्शाता है, जैसा कि एसआई इकाइयों में होता है: (ध्यान दें कि बोल्ड चेहरे वाले अक्षर 3 आयामों में यूक्लिडियन सदिश दर्शाते हैं, जबकि मिन्कोव्स्की समष्टि चार-सदिश Aμ को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है ।)
इस बात पर दृढ़ता से जोर दिया जाना चाहिए कि डिराक स्पिनर का बड़े और छोटे घटकों में पृथक्करण स्पष्ट रूप से कम-ऊर्जा सन्निकटन पर निर्भर करता है। संपूर्ण डिराक स्पिनर एक अघुलनशील संपूर्ण का प्रतिनिधित्व करता है, और पाउली सिद्धांत तक पहुंचने के लिए जिन घटकों को यहां उपेक्षित किया गया है, वे सापेक्षतावादी शासन में नई घटनाएं लाएंगे - एंटीमैटर और पदार्थ निर्माण और कणों के विनाश का विचार।
वेइल सिद्धांत
जनहीन मामले में , डिराक समीकरण वेइल समीकरण में बदल जाता है, जो सापेक्ष द्रव्यमान रहित प्रचक्रण का वर्णन करता है-1⁄2 कण।[7] सिद्धांत एक सेकंड प्राप्त करता है समरूपता: नीचे देखें।
भौतिक व्याख्या
अवलोकनीय वस्तुओं की पहचान
क्वांटम सिद्धांत में महत्वपूर्ण भौतिक प्रश्न यह है: सिद्धांत द्वारा परिभाषित भौतिक रूप से देखने योग्य मात्राएँ क्या हैं? क्वांटम यांत्रिकी के अभिधारणाओं के अनुसार, ऐसी मात्राएँ हर्मिटियन ऑपरेटरों द्वारा परिभाषित की जाती हैं जो किसी प्रणाली की संभावित अवस्थाओं के हिल्बर्ट समष्टि पर फलन करती हैं। इन ऑपरेटरों के eigenvalues तब संबंधित भौतिक मात्रा की माप समस्या के संभावित परिणाम होते हैं। श्रोडिंगर सिद्धांत में, ऐसी सबसे सरल वस्तु समग्र हैमिल्टनियन है, जो सिस्टम की कुल ऊर्जा का प्रतिनिधित्व करती है। डिराक सिद्धांत को पारित करने पर इस व्याख्या को बनाए रखने के लिए, हैमिल्टनियन को लिया जाना चाहिए
छिद्र सिद्धांत
नकारात्मक E समीकरण के समाधान समस्याग्रस्त हैं, क्योंकि यह माना गया था कि कण में घनात्मक ऊर्जा है। हालाँकि, गणितीय रूप से कहें तो, हमारे लिए नकारात्मक-ऊर्जा समाधानों को अस्वीकार करने का कोई कारण नहीं दिखता है। चूंकि वे मौजूद हैं, इसलिए उन्हें आसानी से नजरअंदाज नहीं किया जा सकता है, क्योंकि एक बार जब इलेक्ट्रॉन और विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के बीच बातचीत शामिल हो जाती है, तो घनात्मक-ऊर्जा ईजेनस्टेट में रखा गया कोई भी इलेक्ट्रॉन क्रमिक रूप से कम ऊर्जा वाले नकारात्मक-ऊर्जा ईजेनस्टेट में क्षय हो जाएगा। वास्तविक इलेक्ट्रॉन स्पष्ट रूप से इस तरह से व्यवहार नहीं करते हैं, अन्यथा वे फोटॉन के रूप में ऊर्जा उत्सर्जित करके गायब हो जाएंगे।
इस समस्या से निपटने के लिए, डिराक सागर परिकल्पना पेश की, जिसे छेद सिद्धांत के रूप में जाना जाता है, कि निर्वात कई-शरीर क्वांटम अवस्था है जिसमें सभी नकारात्मक-ऊर्जा इलेक्ट्रॉन ईजेनस्टेट्स का कब्जा है। इलेक्ट्रॉनों के समुद्र के रूप में निर्वात के इस वर्णन को डिराक समुद्र कहा जाता है। चूँकि पाउली अपवर्जन सिद्धांत इलेक्ट्रॉनों को एक ही अवस्था में रहने से रोकता है, किसी भी अतिरिक्त इलेक्ट्रॉन को एक घनात्मक-ऊर्जा आइजेनस्टेट पर कब्जा करने के लिए मजबूर किया जाएगा, और घनात्मक-ऊर्जा इलेक्ट्रॉनों को नकारात्मक-ऊर्जा आइजेनस्टेट्स में क्षय होने से रोका जाएगा।
डिराक ने आगे तर्क दिया कि यदि नकारात्मक-ऊर्जा ईजेनस्टेट्स अपूर्ण रूप से भरे हुए हैं, तो प्रत्येक खाली ईजेनस्टेट - जिसे छेद कहा जाता है - एक घनात्मक रूप से चार्ज किए गए कण की तरह व्यवहार करेगा। छेद में घनात्मक ऊर्जा होती है क्योंकि निर्वात से कण-छेद जोड़ी बनाने के लिए ऊर्जा की आवश्यकता होती है। जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, डिराक ने शुरू में सोचा था कि छेद प्रोटॉन हो सकता है, लेकिन हरमन वेइल ने बताया कि छेद को ऐसा व्यवहार करना चाहिए जैसे कि उसका द्रव्यमान इलेक्ट्रॉन के समान हो, जबकि प्रोटॉन 1800 गुना से अधिक भारी है। अंततः छेद की पहचान पॉज़िट्रॉन के रूप में की गई, जिसे 1932 में कार्ल डेविड एंडरसन द्वारा प्रयोगात्मक रूप से खोजा गया था।[8] नकारात्मक-ऊर्जा इलेक्ट्रॉनों के अनंत समुद्र का उपयोग करके निर्वात का वर्णन करना पूरी तरह से संतोषजनक नहीं है। नकारात्मक-ऊर्जा इलेक्ट्रॉनों के समुद्र से असीम रूप से नकारात्मक योगदान को एक अनंत घनात्मक नंगे ऊर्जा द्वारा रद्द किया जाना चाहिए और नकारात्मक-ऊर्जा इलेक्ट्रॉनों के समुद्र से आने वाले चार्ज घनत्व और वर्तमान में योगदान को एक अनंत घनात्मक जेलियम पृष्ठभूमि द्वारा बिल्कुल रद्द कर दिया जाना चाहिए ताकि वैक्यूम का शुद्ध विद्युत चार्ज घनत्व शून्य हो। क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में, सृजन और विनाश ऑपरेटरों पर एक बोगोलीउबोव परिवर्तन (एक व्याप्त नकारात्मक-ऊर्जा इलेक्ट्रॉन राज्य को एक खाली घनात्मक ऊर्जा पॉज़िट्रॉन राज्य में और एक खाली नकारात्मक-ऊर्जा इलेक्ट्रॉन राज्य को एक कब्जे वाली घनात्मक ऊर्जा पॉज़िट्रॉन राज्य में बदलना) हमें डायराक समुद्री औपचारिकता को बायपास करने की अनुमति देता है, भले ही, औपचारिक रूप से, यह इसके बराबर है।
हालाँकि, संघनित पदार्थ भौतिकी के कुछ अनुप्रयोगों में, छिद्र सिद्धांत की अंतर्निहित अवधारणाएँ मान्य हैं। एक विद्युत चालक में प्रवाहकत्त्व इलेक्ट्रॉनों का समुद्र, जिसे कंपोजिट फ़र्मियन # फर्मी समुद्र कहा जाता है, में सिस्टम की रासायनिक क्षमता तक की ऊर्जा वाले इलेक्ट्रॉन होते हैं। फर्मी सागर में एक खाली अवस्था एक घनात्मक रूप से चार्ज किए गए इलेक्ट्रॉन की तरह व्यवहार करती है, और यद्यपि इसे भी चालन इलेक्ट्रॉन छेद के रूप में जाना जाता है, यह पॉज़िट्रॉन से अलग है। फर्मी समुद्र का ऋणात्मक आवेश पदार्थ के धनात्मक आवेशित आयनिक जाली द्वारा संतुलित होता है।
क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में
क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत जैसे क्वांटम विद्युत्गतिकी में, डिराक क्षेत्र दूसरे परिमाणीकरण की प्रक्रिया के अधीन है, जो समीकरण की कुछ विरोधाभासी विशेषताओं को हल करता है।
डिराक समीकरण के लोरेंत्ज़ सहप्रसरण की आगे की चर्चा
डिराक समीकरण लोरेंत्ज़ सहसंयोजक है। इसे व्यक्त करने से न केवल डिराक समीकरण को उजागर करने में मदद मिलती है, बल्कि मेजराना स्पिनर और एल्को स्पिनर को भी उजागर करने में मदद मिलती है, जो हालांकि निकट से संबंधित हैं, लेकिन इनमें सूक्ष्म और महत्वपूर्ण अंतर हैं।
प्रक्रिया के ज्यामितीय चरित्र को ध्यान में रखते हुए लोरेंत्ज़ सहप्रसरण को समझना सरल बनाया गया है।[9] होने देना स्पेसटाइम कई गुना में एक एकल, निश्चित बिंदु बनें। इसका समष्टि अनेक एटलस (टोपोलॉजी) में व्यक्त किया जा सकता है। भौतिकी साहित्य में इन्हें इस प्रकार लिखा गया है और , इस समझ के साथ कि दोनों और उसी बिंदु का वर्णन करें , लेकिन विभिन्न स्थानीय संदर्भ फ्रेम में (स्पेसटाइम के एक छोटे विस्तारित पैच पर संदर्भ का एक फ्रेम)। कोई कल्पना कर सकता है जैसे कि इसके ऊपर विभिन्न समन्वय कार्यानुकूल का एक फाइबर (गणित) होता है। ज्यामितीय शब्दों में, कोई कहता है कि स्पेसटाइम को फाइबर बंडल और विशेष रूप से फ़्रेम बंडल के रूप में वर्णित किया जा सकता है। दो बिंदुओं के बीच का अंतर और एक ही फाइबर में घूर्णन और लोरेंत्ज़ बूस्ट का संयोजन होता है। समन्वय फ्रेम का एक विकल्प उस बंडल के माध्यम से एक (स्थानीय) अनुभाग (फाइबर बंडल) है।
फ़्रेम बंडल के साथ युग्मित एक दूसरा बंडल, स्पिनर बंडल है। स्पिनर बंडल के माध्यम से एक खंड सिर्फ कण क्षेत्र है (वर्तमान मामले में डायराक स्पिनर)। स्पिनर फाइबर में विभिन्न बिंदु एक ही भौतिक वस्तु (फर्मियन) से मेल खाते हैं लेकिन विभिन्न लोरेंत्ज़ फ्रेम में व्यक्त किए जाते हैं। स्पष्ट रूप से, लगातार परिणाम प्राप्त करने के लिए फ़्रेम बंडल और स्पिनर बंडल को एक सुसंगत तरीके से एक साथ बांधा जाना चाहिए; औपचारिक रूप से, कोई कहता है कि स्पिनर बंडल संबद्ध बंडल है; यह एक प्रमुख बंडल से जुड़ा है, जो वर्तमान मामले में फ्रेम बंडल है। फाइबर पर बिंदुओं के बीच अंतर सिस्टम की समरूपता के अनुरूप है। स्पिनर बंडल में समरूपता के दो अलग-अलग जनरेटर (गणित) हैं: कुल कोणीय गति और आंतरिक कोणीय गति। दोनों लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के अनुरूप हैं, लेकिन अलग-अलग तरीकों से।
यहां प्रस्तुति इत्ज़ीक्सन और ज़ुबेर की प्रस्तुति का अनुसरण करती है।[10] यह लगभग ब्योर्केन और ड्रेल के समान है।[11] सामान्य सापेक्षतावादी सेटिंग में एक समान व्युत्पत्ति वेनबर्ग में पाई जा सकती है।[12] यहां हम अपने स्पेसटाइम को समतल तय करते हैं, यानी हमारा स्पेसटाइम मिन्कोव्स्की समष्टि है।
लोरेंत्ज़ परिवर्तन के तहत डिराक स्पिनर के रूप में बदलने के लिए
उपरोक्त की ज्यामितीय व्याख्या यह है कि फ़्रेम क्षेत्र एफ़िन समष्टि है, जिसका कोई पसंदीदा मूल नहीं है। जेनरेटर इस समष्टि की समरूपता उत्पन्न करता है: यह एक निश्चित बिंदु की पुनः लेबलिंग प्रदान करता है जनरेटर तंतु में एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक गति उत्पन्न करता है: से एक गति दोनों के साथ और अभी भी उसी स्पेसटाइम बिंदु के अनुरूप है इन संभवतः अस्पष्ट टिप्पणियों को स्पष्ट बीजगणित के साथ स्पष्ट किया जा सकता है।
होने देना लोरेंत्ज़ परिवर्तन बनें। डिराक समीकरण है
फिर मूल डिराक समीकरण पुनः प्राप्त हो जाता है
अन्य सूत्रीकरण
डिराक समीकरण कई अन्य तरीकों से तैयार किया जा सकता है।
वक्र स्पेसटाइम
इस लेख ने विशेष सापेक्षता के अनुसार फ्लैट स्पेसटाइम में डिराक समीकरण विकसित किया है। वक्र स्पेसटाइम में डिराक समीकरण तैयार करना संभव है।
भौतिक समष्टि का बीजगणित
इस लेख ने चार-सदिश और श्रोडिंगर ऑपरेटरों का उपयोग करके डिराक समीकरण विकसित किया। भौतिक समष्टि के बीजगणित में डिराक समीकरण वास्तविक संख्याओं के समष्टि पर क्लिफ़ोर्ड बीजगणित का उपयोग करता है, जो एक प्रकार का ज्यामितीय बीजगणित है।
युग्मित वेइल स्पिनर्स
जैसा कि उल्लेखित डिराक समीकरण#अक्षीय समरूपता है, द्रव्यमान रहित डिराक समीकरण तुरंत सजातीय वेइल समीकरण में कम हो जाता है। गामा आव्यूह#वेइल (चिरल) आधार का उपयोग करके, गैर-द्रव्यमान समीकरण को मूल चार-घटक स्पिनर के सूचकांकों के पहले और आखिरी जोड़े पर फलन करने वाले युग्मित अमानवीय वेइल समीकरणों की एक जोड़ी में विघटित किया जा सकता है, यानी। , जहाँ और प्रत्येक दो-घटक वेइल स्पिनर हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि चिरल गामा आव्यूह के तिरछे ब्लॉक रूप का मतलब है कि वे स्वैप करते हैं और और प्रत्येक पर दो-दो-दो पाउली मैट्रिसेस लागू करें:
।
तो डिराक समीकरण
बन जाता है
जो बदले में द्रव्यमान रहित बाएँ और दाएँ-हेलिसिटी (कण भौतिकी) स्पिनरों के लिए अमानवीय वेइल समीकरणों की एक जोड़ी के बराबर है, जहाँ युग्मन शक्ति द्रव्यमान के समानुपाती होती है:
इसे हिलाने की गति की सहज व्याख्या के रूप में प्रस्तावित किया गया है, क्योंकि ये द्रव्यमान रहित घटक प्रकाश की गति से फैलेंगे और विपरीत दिशाओं में आगे बढ़ेंगे, क्योंकि हेलीसिटी गति की दिशा पर प्रचक्रण का प्रक्षेपण है।[14] यहां जनसमूह की भूमिका है वेग को प्रकाश की गति से कम नहीं करना है, बल्कि उस औसत दर को नियंत्रित करना है जिस पर ये उलटाव होते हैं; विशेष रूप से, उत्क्रमण को पॉइसन प्रक्रिया के रूप में तैयार किया जा सकता है।[15]
U(1) समरूपता
इस अनुभाग में प्राकृतिक इकाइयों का उपयोग किया जाता है। युग्मन स्थिरांक को परंपरा के अनुसार लेबल किया जाता है : इस पैरामीटर को इलेक्ट्रॉन चार्ज के मॉडलिंग के रूप में भी देखा जा सकता है।
सदिश समरूपता
डिराक समीकरण और क्रिया समरूपता को स्वीकार करती है जहां के रूप में बदल जाते हैं
यदि हम वैश्विक समरूपता को 'बढ़ावा' देते हैं, जो स्थिरांक द्वारा परिचालित है, स्थानीय समरूपता के लिए, फलन द्वारा परिचालित किया गया, या समकक्ष डिराक समीकरण अब अपरिवर्तनीय नहीं है: इसका अवशिष्ट व्युत्पन्न है।
अदिश विद्युत्गतिकी के अनुसार निश्चित आगे बढ़ता है: आंशिक व्युत्पन्न को सहसंयोजक व्युत्पन्न में बढ़ावा दिया जाता है
गेज परिवर्तन के तहत परिवर्तन नियम के लिए तो यह सामान्य है
सहसंयोजक व्युत्पन्न का विस्तार करने से क्रिया को दूसरे उपयोगी रूप में लिखा जा सकता है:
इसे चार-घटक डिराक फ़र्मियन लिखकर सबसे आसानी से देखा जा सकता है दो-घटक सदिश क्षेत्र की जोड़ी के रूप में,
फिर डिराक क्रिया रूप धारण कर लेती है
पहले वाली सदिश समरूपता अभी भी मौजूद है, जहां और समान रूप से घूमते हैं। क्रिया का यह रूप दूसरी असमान समरूपता को प्रकट करता है:
जहाँ आव्यूहों के लिए घातीय मानचित्र है।
यह एकमात्र नहीं है समरूपता संभव है, लेकिन यह पारंपरिक है। सदिश और अक्षीय समरूपता का कोई भी 'रैखिक संयोजन' भी समरूपता है
चिरसम्मत रूप से, अक्षीय समरूपता अच्छी तरह से तैयार किए गए गेज सिद्धांत को स्वीकार करती है। लेकिन क्वांटम स्तर पर, विसंगति (भौतिकी) है, यानी, गेजिंग में बाधा है।
रंग समरूपता का विस्तार
हम इस चर्चा को एबेलियन से आगे बढ़ा सकते हैं गेज समूह के तहत सामान्य गैर-एबेलियन समरूपता तक बढ़ा सकते हैं, जो एक सिद्धांत के लिए रंग समरूपता का समूह है।
ठोसता के लिए, हम पर कार्य करने वाले आव्यूहों का विशेष एकात्मक समूह , को ठीक करते हैं।
इस अनुभाग से पहले, इसे मिन्कोव्स्की समष्टि पर स्पिनर क्षेत्र के रूप में देखा जा सकता है, दूसरे शब्दों में फलन , और इसके घटक प्रचक्रण सूचकांकों द्वारा लेबल किए जाते हैं, पारंपरिक रूप से ग्रीक सूचकांक वर्णमाला की प्रारंभ से लिए गए हैं।
सिद्धांत को गेज सिद्धांत में प्रचारित करते हुए, अनौपचारिक रूप सेना , की तरह रूपांतरित होने वाला एक भाग प्राप्त करता है, और इन्हें रंग सूचकांकों द्वारा लेबल किया जाता है, पारंपरिक रूप से लैटिन सूचकांक । कुल मिलाकर, में घटक होते हैं, जो द्वारा सूचकांकों में दिए जाते हैं। केवल 'स्पिनर' लेबल स्पेसटाइम परिवर्तनों के तहत क्षेत्र कैसे बदलता है।
औपचारिक रूप से, टेंसर उत्पाद में मूल्यवान है, अर्थात यह फलन है
कुछ मतभेदों के साथ गेजिंग एबेलियन मामला के समान ही आगे बढ़ती है। गेज परिवर्तन के तहत स्पिनर क्षेत्र के रूप में रूपांतरित होते हैं
के रूप में रूपांतरित करें
गेज-अपरिवर्तनीय क्रिया को लिखना ठीक उसी तरह आगे बढ़ता है जैसे कि मामला, मैक्सवेल लैग्रैन्जियन को यांग-मिल्स लैग्रैन्जियन से प्रतिस्थापित करता है
कार्रवाई तब है
भौतिक अनुप्रयोग
भौतिक अनुप्रयोगों के लिए, मामला मानक मॉडल के क्वार्क सेक्टर का वर्णन करता है जो प्रबल अन्योन्य क्रिया का मॉडल तैयार करता है। क्वार्क को डिराक स्पिनर्स के रूप में तैयार किया गया है; गेज क्षेत्र ग्लूऑन क्षेत्र है। मामला मानक मॉडल के विद्युत-चुम्बकीय-दुर्बल अन्योन्य क्रिया क्षेत्र के भाग का वर्णन करता है। इलेक्ट्रॉन और न्यूट्रिनो जैसे लेप्टान डायराक स्पिनर हैं; गेज क्षेत्र गेज बोसोन है
सामान्यीकरण
इस अभिव्यक्ति को अक्रमतः से लाइ समूह संबन्ध के साथ और समूह प्रतिनिधित्व के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, जहां का रंग भाग है में मूल्यवान है औपचारिक रूप से, डिराक क्षेत्र फलन है
तब गेज परिवर्तन के तहत परिवर्तन होता है जैसा
इस सिद्धांत को वक्र स्पेसटाइम के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, लेकिन ऐसी सूक्ष्मताएं हैं जो सामान्य स्पेसटाइम (या अधिक आम तौर पर अभी भी, कई गुना) पर गेज सिद्धांत में उत्पन्न होती हैं, जिन्हें फ्लैट स्पेसटाइम पर नजरअंदाज किया जा सकता है। यह अंततः फ्लैट स्पेसटाइम के संकुचन के कारण है जो हमें वैश्विक स्तर पर परिभाषित गेज क्षेत्र और गेज परिवर्तनों को देखने की अनुमति देता है।
यह भी देखें
डिराक समीकरण पर लेख
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अन्य समीकरण
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अन्य विषय
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संदर्भ
उद्धरण
- ↑ P.W. Atkins (1974). Quanta: A handbook of concepts. Oxford University Press. p. 52. ISBN 978-0-19-855493-6.
- ↑ T.Hey, P.Walters (2009). द न्यू क्वांटम यूनिवर्स. Cambridge University Press. p. 228. ISBN 978-0-521-56457-1.
- ↑ Gisela Dirac-Wahrenburg. "पॉल डिराक". Dirac.ch. Retrieved 2013-07-12.
- ↑ Dirac, Paul A.M. (1982) [1958]. क्वांटम यांत्रिकी के सिद्धांत. International Series of Monographs on Physics (4th ed.). Oxford University Press. p. 255. ISBN 978-0-19-852011-5.
- ↑ Collas, Peter; Klein, David (2019). The Dirac Equation in Curved Spacetime: A Guide for Calculations. Springer. p. 7. ISBN 978-3-030-14825-6. Extract of page 7
- ↑ Pendleton, Brian (2012–2013). क्वांटम सिद्धांत (PDF). section 4.3 "The Dirac Equation". Archived (PDF) from the original on 2022-10-09.
- ↑ Ohlsson, Tommy (22 September 2011). Relativistic Quantum Physics: From advanced quantum mechanics to introductory quantum field theory. Cambridge University Press. p. 86. ISBN 978-1-139-50432-4.
- ↑ Penrose, Roger (2004). वास्तविकता की राह. Jonathan Cape. p. 625. ISBN 0-224-04447-8.
- ↑ Jurgen Jost, (2002) "Riemannian Geometry and Geometric Analysis (3rd Edition)" Springer Universitext. (See chapter 1 for spin structures and chapter 3 for connections on spin structures)
- ↑ Claude Itzykson and Jean-Bernard Zuber, (1980) "Quantum Field Theory", McGraw-Hill (See Chapter 2)
- ↑ James D. Bjorken, Sidney D. Drell (1964) "Relativistic Quantum Mechanics", McGraw-Hill. (See Chapter 2)
- ↑ Steven Weinberg, (1972) "Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity", Wiley & Sons (See chapter 12.5, "Tetrad formalism" pages 367ff.).
- ↑ Weinberg, "Gravitation", op cit. (See chapter 2.9 "Spin", pages 46-47.)
- ↑ Penrose, Roger (2004). वास्तविकता की राह (Sixth Printing ed.). Alfred A. Knopf. pp. 628–632. ISBN 0-224-04447-8.
- ↑ Gaveau, B.; Jacobson, T.; Kac, M.; Schulman, L. S. (30 July 1984). "क्वांटम यांत्रिकी और ब्राउनियन मोशन के बीच सादृश्य का सापेक्ष विस्तार". Physical Review Letters. 53 (5): 419–422.
चयनित कागजात
- Anderson, Carl (1933). "सकारात्मक इलेक्ट्रॉन". Physical Review. 43 (6): 491. Bibcode:1933PhRv...43..491A. doi:10.1103/PhysRev.43.491.
- Arminjon, M.; F. Reifler (2013). "घुमावदार स्पेसटाइम और सामान्यीकृत डी ब्रोगली संबंधों में डिराक समीकरणों के समतुल्य रूप". Brazilian Journal of Physics. 43 (1–2): 64–77. arXiv:1103.3201. Bibcode:2013BrJPh..43...64A. doi:10.1007/s13538-012-0111-0. S2CID 38235437.
- Dirac, P. A. M. (1928). "इलेक्ट्रॉन का क्वांटम सिद्धांत" (PDF). Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 117 (778): 610–624. Bibcode:1928RSPSA.117..610D. doi:10.1098/rspa.1928.0023. JSTOR 94981. Archived (PDF) from the original on 2015-01-02.
- Dirac, P. A. M. (1930). "इलेक्ट्रॉनों और प्रोटॉन का एक सिद्धांत". Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 126 (801): 360–365. Bibcode:1930RSPSA.126..360D. doi:10.1098/rspa.1930.0013. JSTOR 95359.
- Frisch, R.; Stern, O. (1933). "हाइड्रोजन अणुओं के चुंबकीय विक्षेपण और प्रोटॉन के चुंबकीय क्षण के बारे में। मैं". Zeitschrift für Physik. 85 (1–2): 4. Bibcode:1933ZPhy...85....4F. doi:10.1007/BF01330773. S2CID 120793548.
पाठ्यपुस्तकें
- Bjorken, J D; Drell, S (1964). Relativistic Quantum mechanics. New York, McGraw-Hill.
- Halzen, Francis; Martin, Alan (1984). Quarks & Leptons: An Introductory Course in Modern Particle Physics. John Wiley & Sons. ISBN 9780471887416.
- Griffiths, D.J. (2008). Introduction to Elementary Particles (2nd ed.). Wiley-VCH. ISBN 978-3-527-40601-2.
- Rae, Alastair I. M.; Jim Napolitano (2015). Quantum Mechanics (6th ed.). Routledge. ISBN 978-1482299182.
- Schiff, L.I. (1968). Quantum Mechanics (3rd ed.). McGraw-Hill.
- Shankar, R. (1994). Principles of Quantum Mechanics (2nd ed.). Plenum.
- Thaller, B. (1992). The Dirac Equation. Texts and Monographs in Physics. Springer.
बाहरी संबंध
- The history of the positron Lecture given by Dirac in 1975
- The Dirac Equation at MathPages
- The Nature of the Dirac Equation, its solutions, and Spin
- Dirac equation for a spin 1⁄2 particle
- Pedagogic Aids to Quantum Field Theory click on Chap। 4 for a step-by-small-step introduction to the Dirac equation, spinors, and relativistic spin/helicity operators।