सेमीमार्टिंगेल: Difference between revisions

Revision as of 17:32, 31 July 2023

संभाव्यता सिद्धांत में, वास्तविक मान वाले प्रसंभाव्यता प्रक्रिया X को सेमीमार्टिंगेल कहा जाता है यदि इसे स्थानीय मार्टिंगेल और कैडलैग अनुकूलित परिमित-विचरण प्रक्रिया के योग के रूप में विघटित किया जा सकता है। सेमीमार्टिंगेल्स "अच्छे समाकलक" हैं, जो प्रक्रियाओं के सबसे बड़े वर्ग का निर्माण करते हैं जिसके संबंध में इटो समाकल और स्ट्रैटोनोविच समाकल को परिभाषित किया जा सकता है।

सेमीमार्टिंगेल्स का वर्ग अत्यन्त बड़ा (उदाहरण के लिए, सभी सतत भिन्न प्रक्रियाएं, ब्राउनियन गति और पॉइसन प्रक्रियाएं सम्मिलित हैं) है। सबमार्टिंगेल्स और सुपरमार्टिंगेल्स एक साथ सेमीमार्टिंगेल्स के उपसमूह का प्रतिनिधित्व करते हैं।

परिभाषा

फ़िल्टर किए गए संभाव्यता स्थान (Ω,F,(F_t)_{t ≥ 0},P) पर परिभाषित वास्तविक मान वाली प्रक्रिया X को सेमीमार्टिंगेल कहा जाता है यदि इसे इस प्रकार विघटित किया जा सकता है

X_{t}=M_{t}+A_{t}

जहां M एक स्थानीय मार्टिंगेल है और A स्थानीय रूप से सीमित भिन्नता की कैडलैग अनुकूलित प्रक्रिया है।

Rⁿ-मान वाली प्रक्रिया X = (X¹,…,Xⁿ) सेमीमार्टिंगेल है यदि इसका प्रत्येक घटक Xⁱ सेमीमार्टिंगेल है।

वैकल्पिक परिभाषा

सबसे पहले, सरल पूर्वानुमेय प्रक्रियाओं को समय T और F_T-मापने योग्य यादृच्छिक चर A को रोकने के लिए रूप H_t = A1_{{t > T}} की प्रक्रियाओं के रैखिक संयोजन के रूप में परिभाषित किया गया है। समाकल H है। ऐसी किसी भी सरल पूर्वानुमेय प्रक्रिया H के लिए X और वास्तविक मान वाली प्रक्रिया X है

H\cdot X_{t}\equiv 1_{\{t>T\}}A(X_{t}-X_{T}).

इसे H की रैखिकता द्वारा सभी सरल पूर्वानुमेय प्रक्रियाओं तक विस्तारित किया जाता है। X में H है।

वास्तविक मान वाली प्रक्रिया X सेमीमार्टिंगेल है यदि यह कैडलैग, अनुकूलित है, और प्रत्येक t ≥ 0 के लिए है,

\left\{H\cdot X_{t}:H{\rm {\ is\ simple\ predictable\ and\ }}|H|\leq 1\right\}

संभाव्यता में बंधा हुआ है. बिचटेलर-डेलाचेरी प्रमेय में कहा गया है कि ये दो परिभाषाएँ समतुल्य (प्रॉटर 2004, p. 144) हैं।

उदाहरण

अनुकूलित और सतत भिन्न प्रक्रियाएं निरंतर परिमित भिन्नता प्रक्रियाएं हैं, और इसलिए सेमीमार्टिंगेल्स हैं।
ब्राउनियन गति सेमीमार्टिंगेल है।
सभी कैडलैग मार्टिंगेल्स, सबमार्टिंगेल्स और सुपरमार्टिंगेल्स सेमीमार्टिंगेल्स हैं।
ईटो प्रक्रियाएं, जो रूप dX = σdW + μdt के प्रसंभाव्यता अवकल समीकरण को संतुष्ट करती हैं, सेमीमार्टिंगेल्स हैं। यहां, W एक ब्राउनियन गति है और σ, μ अनुकूलित प्रक्रियाएं हैं।
प्रत्येक लेवी प्रक्रिया सेमीमार्टिंगेल है।

हालाँकि साहित्य में अध्ययन की गई अधिकांश निरंतर और अनुकूलित प्रक्रियाएँ सेमीमार्टिंगेल्स हैं, लेकिन हमेशा ऐसी स्थिति नहीं होती है।

हर्स्ट पैरामीटर H ≠ 1/2 के साथ आंशिक ब्राउनियन गति सेमीमार्टिंगेल नहीं है।

गुण

सेमीमार्टिंगेल्स प्रक्रियाओं का सबसे बड़ा वर्ग बनाते हैं जिसके लिए इटो समाकल को परिभाषित किया जा सकता है।
सेमीमार्टिंगेल्स के रैखिक संयोजन सेमीमार्टिंगेल्स हैं।
सेमीमार्टिंगेल्स के उत्पाद सेमीमार्टिंगेल्स हैं, जो कि इटो समाकल के लिए भागों के सूत्र द्वारा समाकलन का परिणाम है।
प्रत्येक सेमीमार्टिंगेल के लिए द्विघात भिन्नता उपस्थित है।
सेमीमार्टिंगेल्स का वर्ग वैकल्पिक अवरोध, स्थानीयकरण, समय के परिवर्तन और माप के पूर्ण निरंतर परिवर्तन के तहत संवृत्त है।
यदि X एक R^m मान वाला सेमीमार्टिंगेल है और f, R^m से Rⁿ तक दो बार लगातार भिन्न होने वाला फ़ंक्शन है, तो f(X) सेमीमार्टिंगेल है। यह इटो के लेम्मा का परिणाम है।
सेमिमार्टिंगेल होने का गुण निस्पंदन को सिकोड़ने के तहत संरक्षित रहता है। अधिक सटीक रूप से, यदि X निस्पंदन F_t के संबंध में सेमीमार्टिंगेल है, और उपनिस्पंदन G_t के संबंध में अनुकूलित है, तो X एक G_t-सेमीमार्टिंगेल है।
(जैकोड का गणनीय विस्तार) सेमीमार्टिंगेल होने के गुण को असंबद्ध समुच्चयों के गणनीय समुच्चय द्वारा निस्पंदन को बढ़ाने के तहत संरक्षित किया जाता है। मान लीजिए कि F_t निस्पंदन है, और G_t, F_t द्वारा उत्पन्न निस्पंदन है और असंयुक्त मापनीय समुच्चयों का एक गणनीय समुच्चय है। फिर, प्रत्येक F_t-सेमीमार्टिंगेल भी G_t-सेमीमार्टिंगेल है। (प्रॉटर 2004, p. 53)

सेमीमार्टिंगेल अपघटन

परिभाषा के अनुसार, प्रत्येक सेमीमार्टिंगेल स्थानीय मार्टिंगेल और परिमित भिन्नता प्रक्रिया का योग है। हालाँकि, यह अपघटन विशिष्ट नहीं है।

सतत सेमीमार्टिंगेल्स

सतत सेमीमार्टिंगेल विशिष्ट रूप से X = M + A के रूप में विघटित होता है, जहां M सतत स्थानीय मार्टिंगेल है और A शून्य से प्रारम्भ होने वाली एक सतत परिमित भिन्नता प्रक्रिया है। (रोजर्स एंड & विलियम्स 1987, p. 358)

उदाहरण के लिए, यदि X प्रसंभाव्यता अवकल समीकरण dX_t = σ_t dW_t + b_t dt को संतुष्ट करने वाली एक इटो प्रक्रिया है, तो

M_{t}=X_{0}+\int _{0}^{t}\sigma _{s}\,dW_{s},\ A_{t}=\int _{0}^{t}b_{s}\,ds.

विशेष सेमीमार्टिंगेल्स

विशेष सेमीमार्टिंगेल अपघटन $X=M^{X}+B^{X}$ के साथ वास्तविक मान वाली प्रक्रिया $X$ है, जहां $M^{X}$ एक स्थानीय मार्टिंगेल है और $B^{X}$ शून्य से प्रारम्भ होने वाली एक अनुमानित परिमित भिन्नता प्रक्रिया है। यदि यह अपघटन उपस्थित है, तो यह पी-नल (P-null) समुच्चय तक विशिष्ट है।

प्रत्येक विशेष सेमीमार्टिंगेल एक सेमीमार्टिंगेल है। इसके विपरीत, सेमीमार्टिंगेल एक विशेष सेमीमार्टिंगेल है यदि और केवल तभी जब प्रक्रिया X_t^* ≡ sup_{s ≤ t} |X_s| स्थानीय रूप से समाकलनीय हो (प्रॉटर 2004, p. 130)।

उदाहरण के लिए, प्रत्येक सतत सेमीमार्टिंगेल एक विशेष सेमीमार्टिंगेल है, इस स्थिति में M और A दोनों सतत प्रक्रियाएं हैं।

गुणात्मक अपघटन

याद रखें कि ${\mathcal {E}}(X)$ सेमीमार्टिंगेल $X$ के प्रसंभाव्यता घातांक को दर्शाता है। यदि $X$ विशेष सेमीमार्टिंगेल है जैसे कि $\Delta B^{X}\neq -1$ , तो ${\mathcal {E}}(B^{X})\neq 0$ और ${\mathcal {E}}(X)/{\mathcal {E}}(B^{X})={\mathcal {E}}\left(\int _{0}^{\cdot }{\frac {M_{u}^{X}}{1+\Delta B_{u}^{X}}}\right)$ एक स्थानीय मार्टिंगेल है।^[1] प्रक्रिया ${\mathcal {E}}(B^{X})$ को ${\mathcal {E}}(X)$ का गुणक प्रतिपूरक कहा जाता है और पहचान ${\mathcal {E}}(X)={\mathcal {E}}\left(\int _{0}^{\cdot }{\frac {M_{u}^{X}}{1+\Delta B_{u}^{X}}}\right){\mathcal {E}}(B^{X})$ को ${\mathcal {E}}(X)$ का गुणक अपघटन कहा जाता है।

पूर्णतः असतत सेमीमार्टिंगेल्स / द्विघात शुद्ध-विषयांतर सेमीमार्टिंगेल्स

सेमीमार्टिंगेल को पूरी तरह से असतत (कलेनबर्ग 2002) कहा जाता है यदि इसकी द्विघात भिन्नता [X] परिमित भिन्नता शुद्ध-विषयांतर प्रक्रिया है, अर्थात,

[X]_{t}=\sum _{s\leq t}(\Delta X_{s})^{2}

.

इस परिभाषा के अनुसार, समय पूरी तरह से असतत सेमीमार्टिंगेल है, भले ही यह बिल्कुल भी कोई विषयांतर नहीं दिखाता है। वैकल्पिक (और अधिमानित) शब्दावली द्विघात शुद्ध-विषयांतर सेमीमार्टिंगेल (प्रॉटर 2004, p. 71) इस तथ्य को संदर्भित करती है कि विशुद्ध रूप से असतत सेमीमार्टिंगेल की द्विघात भिन्नता शुद्ध विषयांतर प्रक्रिया है। प्रत्येक परिमित भिन्नता सेमीमार्टिंगेल द्विघात शुद्ध-विषयांतर सेमीमार्टिंगेल है। अनुकूलित सतत प्रक्रिया द्विघात शुद्ध-विषयांतर सेमीमार्टिंगेल है यदि और केवल यदि यह परिमित भिन्नता का है।

प्रत्येक सेमीमार्टिंगेल X के लिए शून्य से प्रारम्भ होने वाला एक विशिष्ट सतत स्थानीय मार्टिंगेल $X^{c}$ होता है, जैसे कि $X-X^{c}$ द्विघात शुद्ध-विषयांतर सेमीमार्टिंगेल (हे, वांग & यान 1992, p. 209, कलेनबर्ग 2002, p. 527) है। स्थानीय मार्टिंगेल $X^{c}$ को X का सतत मार्टिंगेल भाग कहा जाता है।

ध्यान दें कि $X^{c}$ माप-विशिष्ट है। यदि $P$ और $Q$ दो समतुल्य माप हैं तो $X^{c}(P)$ प्रायः $X^{c}(Q)$ से भिन्न होता है, जबकि $X-X^{c}(P)$ और $X-X^{c}(Q)$ दोनों द्विघात शुद्ध-विषयांतर सेमीमार्टिंगेल्स हैं। गिरसनोव की प्रमेय के अनुसार $X^{c}(P)-X^{c}(Q)$ सतत परिमित भिन्नता प्रक्रिया है, जिससे $[X^{c}(P)]=[X^{c}(Q)]=[X]-\sum _{s\leq \cdot }(\Delta X_{s})^{2}$ प्राप्त होता है।

सेमीमार्टिंगेल के सतत-समय और असतत-समय घटक

प्रत्येक सेमीमार्टिंगेल $X$ में एक विशिष्ट अपघटन होता है

X=X_{0}+X^{\mathrm {qc} }+X^{\mathrm {dp} },

जहां

X_{0}^{\mathrm {qc} }=X_{0}^{\mathrm {dp} }=0

, सतत-समय घटक

X^{\mathrm {qc} }

पूर्वानुमानित समय पर विषयांतर नहीं है, और असतत-समय घटक

X^{\mathrm {dp} }

सेमीमार्टिंगेल सांस्थितिकी में पूर्वानुमानित समय पर इसके विषयांतर के योग के बराबर है। एक तो

[X^{\mathrm {qc} },X^{\mathrm {dp} }]=0

है।^[2] सतत समय घटक के विशिष्ट उदाहरण इटो प्रक्रिया और लेवी प्रक्रिया हैं। असतत-समय घटक को प्रायः मार्कोव श्रृंखला के रूप में लिया जाता है, लेकिन सामान्य तौर पर पूर्वानुमानित विषयांतर समय अच्छी तरह से व्यवस्थित नहीं हो सकता है, अर्थात, सैद्धांतिक रूप में

X^{\mathrm {dp} }

प्रत्येक तर्कसंगत समय पर विषयांतर हो सकता है। यह भी ध्यान दें कि

X^{\mathrm {dp} }

आवश्यक रूप से सीमित भिन्नता का नहीं है, भले ही यह इसके विषयांतर (सेमीमार्टिंगेल सांस्थितिकी में) के योग के बराबर है। उदाहरण के लिए, समय अंतराल

[0,\infty )

पर स्वतंत्र वृद्धि के लिए

X^{\mathrm {dp} }

लें, समय

\{\tau _{n}=2-1/n\}_{n\in \mathbb {N} }

पर विषयांतर के साथ समान संभावना के साथ मान

\pm 1/n

लें।

बहुरूपता पर सेमीमार्टिंगेल्स

सेमीमार्टिंगेल्स की अवधारणा, और प्रसंभाव्यता गणना का संबंधित सिद्धांत, विभेदक बहुरूपता में मानों को लेने वाली प्रक्रियाओं तक फैला हुआ है। बहुरूपता M पर प्रक्रिया X सेमीमार्टिंगेल है यदि f(X) M से R तक प्रत्येक सुचारू फलन f के लिए सेमीमार्टिंगेल है। (रोजर्स 1987, p. 24) सामान्य बहुरूपताओं पर सेमीमार्टिंगेल्स के लिए प्रसंभाव्यता गणना के लिए स्ट्रैटोनोविच समाकल के उपयोग की आवश्यकता होती है।

यह भी देखें

सिग्मा-मार्टिंगेल

संदर्भ

↑ Lépingle, Dominique; Mémin, Jean (1978). "Sur l'integrabilité uniforme des martingales exponentielles". Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Gebiete (in français). 42 (3). Proposition II.1. doi:10.1007/BF00641409. ISSN 0044-3719.
↑ Černý, Aleš; Ruf, Johannes (2021-11-01). "प्योर-जंप सेमीमार्टिंगेल्स". Bernoulli. 27 (4): 2631. doi:10.3150/21-BEJ1325. ISSN 1350-7265.

He, Sheng-wu; Wang, Jia-gang; Yan, Jia-an (1992), Semimartingale Theory and Stochastic Calculus, Science Press, CRC Press Inc., ISBN 0-8493-7715-3
Kallenberg, Olav (2002), Foundations of Modern Probability (2nd ed.), Springer, ISBN 0-387-95313-2
Protter, Philip E. (2004), Stochastic Integration and Differential Equations (2nd ed.), Springer, ISBN 3-540-00313-4
Rogers, L.C.G.; Williams, David (1987), Diffusions, Markov Processes, and Martingales, vol. 2, John Wiley & Sons Ltd, ISBN 0-471-91482-7
Karandikar, Rajeeva L.; Rao, B.V. (2018), Introduction to Stochastic Calculus, Springer Ltd, ISBN 978-981-10-8317-4

[1] Lépingle, Dominique; Mémin, Jean (1978). "Sur l'integrabilité uniforme des martingales exponentielles". Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Gebiete (in français). 42 (3). Proposition II.1. doi:10.1007/BF00641409. ISSN 0044-3719.

[2] Černý, Aleš; Ruf, Johannes (2021-11-01). "प्योर-जंप सेमीमार्टिंगेल्स". Bernoulli. 27 (4): 2631. doi:10.3150/21-BEJ1325. ISSN 1350-7265.

[1]

[2]

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 {{Short description|Type of stochastic process}}
-संभाव्यता सिद्धांत में, एक वास्तविक मूल्यवान स्टोकेस्टिक प्रक्रिया सेमीमार्टिंगेल्स अच्छे इंटीग्रेटर्स हैं, जो प्रक्रियाओं का सबसे बड़ा वर्ग बनाते हैं जिसके संबंध में इटो इंटीग्रल और [[स्ट्रैटोनोविच इंटीग्रल]] को परिभाषित किया जा सकता है।
+संभाव्यता सिद्धांत में, वास्तविक मान वाले प्रसंभाव्यता प्रक्रिया ''X'' को '''सेमीमार्टिंगेल''' कहा जाता है यदि इसे [[स्थानीय मार्टिंगेल]] और कैडलैग अनुकूलित परिमित-विचरण प्रक्रिया के योग के रूप में विघटित किया जा सकता है। सेमीमार्टिंगेल्स "अच्छे समाकलक" हैं, जो प्रक्रियाओं के सबसे बड़े वर्ग का निर्माण करते हैं जिसके संबंध में इटो समाकल और [[स्ट्रैटोनोविच इंटीग्रल|स्ट्रैटोनोविच समाकल]] को परिभाषित किया जा सकता है।
-सेमीमार्टिंगेल्स का वर्ग काफी बड़ा है (उदाहरण के लिए, सभी निरंतर भिन्न प्रक्रियाएं, [[वीनर प्रक्रिया]] और [[पॉइसन प्रक्रिया]]एं)[[स्थानीय मार्टिंगेल]] (संभावना सिद्धांत)#सबमार्टिंगेल्स और सुपरमार्टिंगेल्स और मार्टिंगेल (संभावना सिद्धांत)#सबमार्टिंगेल्स और सुपरमार्टिंगेल्स मिलकर सेमीमार्टिंगेल्स के एक उपसमूह का प्रतिनिधित्व करते हैं।
+सेमीमार्टिंगेल्स का वर्ग अत्यन्त बड़ा (उदाहरण के लिए, सभी सतत भिन्न प्रक्रियाएं, [[वीनर प्रक्रिया|ब्राउनियन गति]] और [[पॉइसन प्रक्रिया|पॉइसन प्रक्रियाएं]] सम्मिलित हैं) है। सबमार्टिंगेल्स और सुपरमार्टिंगेल्स एक साथ सेमीमार्टिंगेल्स के उपसमूह का प्रतिनिधित्व करते हैं।
 ==परिभाषा==
-फ़िल्टर किए गए संभाव्यता स्थान (Ω,F,(F) पर परिभाषित एक वास्तविक मूल्यवान प्रक्रिया X<sub>''t''</sub>)<sub>''t''&nbsp;&ge;&nbsp;0</sub>,P) को सेमीमार्टिंगेल कहा जाता है यदि इसे विघटित किया जा सकता है
+फ़िल्टर किए गए संभाव्यता स्थान (Ω,''F'',(''F<sub>t</sub>'')<sub>''t'' ≥ 0</sub>,P) पर परिभाषित वास्तविक मान वाली प्रक्रिया ''X'' को '''सेमीमार्टिंगेल''' कहा जाता है यदि इसे इस प्रकार विघटित किया जा सकता है
 :<math>X_t = M_t + A_t</math>
-जहां एम एक स्थानीय मार्टिंगेल है और ए स्थानीय रूप से सीमित भिन्नता की एक कैडलैग [[अनुकूलित प्रक्रिया]] है।
+जहां ''M'' एक स्थानीय मार्टिंगेल है और ''A'' स्थानीय रूप से सीमित भिन्नता की कैडलैग [[अनुकूलित प्रक्रिया]] है।
-एक 'आर'<sup>n</sup>-मूल्यवान प्रक्रिया X = (X<sup>1</sup>,…,एक्स<sup>n</sup>) एक सेमीमार्टिंगेल है यदि इसका प्रत्येक घटक X है<sup>मैं एक सेमीमार्टिंगेल है।
+'''R'''<sup>''n''</sup>-मान वाली प्रक्रिया ''X'' = (''X''<sup>1</sup>,…,''X<sup>n</sup>'') सेमीमार्टिंगेल है यदि इसका प्रत्येक घटक ''X<sup>i</sup>'' सेमीमार्टिंगेल है।
 ==वैकल्पिक परिभाषा==
-सबसे पहले, सरल [[पूर्वानुमेय प्रक्रिया]]ओं को फॉर्म एच की प्रक्रियाओं के रैखिक संयोजन के रूप में परिभाषित किया गया है<sub>''t''</sub> = ए1<sub>{''t'' > ''T''}</sub> रुकने के समय T और F के लिए<sub>''T''</sub> -मापने योग्य यादृच्छिक चर ए। ऐसी किसी भी सरल पूर्वानुमानित प्रक्रिया एच और वास्तविक मूल्यवान प्रक्रिया एक्स के लिए अभिन्न एच · एक्स है
+सबसे पहले, सरल [[पूर्वानुमेय प्रक्रिया|पूर्वानुमेय प्रक्रियाओं]] को समय ''T'' और ''F<sub>T</sub>''-मापने योग्य यादृच्छिक चर ''A'' को रोकने के लिए रूप ''H<sub>t</sub>'' = ''A''1<sub>{''t'' > ''T''}</sub> की प्रक्रियाओं के रैखिक संयोजन के रूप में परिभाषित किया गया है। समाकल ''H है।''  ऐसी किसी भी सरल पूर्वानुमेय प्रक्रिया ''H'' के लिए ''X'' और वास्तविक मान वाली प्रक्रिया ''X'' है
 :<math>H\cdot X_t\equiv 1_{\{t>T\}}A(X_t-X_T).</math>
-इसे एच में एच · एक्स की रैखिकता द्वारा सभी सरल पूर्वानुमेय प्रक्रियाओं तक विस्तारित किया गया है।
+इसे ''H'' की रैखिकता द्वारा सभी सरल पूर्वानुमेय प्रक्रियाओं तक विस्तारित किया जाता है। ''X'' में ''H'' है।
-एक वास्तविक मूल्यवान प्रक्रिया
+वास्तविक मान वाली प्रक्रिया ''X'' सेमीमार्टिंगेल है यदि यह कैडलैग, अनुकूलित है, और प्रत्येक ''t'' ≥ 0 के लिए है,
 :<math>\left\{H\cdot X_t:H{\rm\ is\ simple\ predictable\ and\ }|H|\le 1\right\}</math>
-संभाव्यता में बंधा हुआ है. बिचटेलर-डेलाचेरी प्रमेय में कहा गया है कि ये दो परिभाषाएँ समकक्ष हैं {{Harv|Protter|2004|p=144}}.
+:संभाव्यता में बंधा हुआ है. बिचटेलर-डेलाचेरी प्रमेय में कहा गया है कि ये दो परिभाषाएँ समतुल्य {{Harv|प्रॉटर|2004|p=144}} हैं।
 ==उदाहरण==
-* अनुकूलित और निरंतर भिन्न प्रक्रियाएं निरंतर परिमित भिन्नता प्रक्रियाएं हैं, और इसलिए सेमीमार्टिंगेल्स हैं।
+* अनुकूलित और सतत भिन्न प्रक्रियाएं निरंतर परिमित भिन्नता प्रक्रियाएं हैं, और इसलिए सेमीमार्टिंगेल्स हैं।
-* वीनर प्रक्रिया एक सेमीमार्टिंगेल है।
+* ब्राउनियन गति सेमीमार्टिंगेल है।
-* सभी कैडलैग [[मार्टिंगेल (संभावना सिद्धांत)]], सबमार्टिंगेल्स और सुपरमार्टिंगेल्स सेमीमार्टिंगेल्स हैं।
+* सभी कैडलैग [[मार्टिंगेल (संभावना सिद्धांत)|मार्टिंगेल्स]], सबमार्टिंगेल्स और सुपरमार्टिंगेल्स सेमीमार्टिंगेल्स हैं।
-* आईटीओ कैलकुलस#आईटीओ प्रक्रियाएं|आईटीओ प्रक्रियाएं, जो फॉर्म डीएक्स = σdW + μdt के स्टोकेस्टिक अंतर समीकरण को संतुष्ट करती हैं, सेमीमार्टिंगेल्स हैं। यहां, W एक ब्राउनियन गति है और σ, μ अनुकूलित प्रक्रियाएं हैं।
+*ईटो प्रक्रियाएं, जो रूप ''dX'' = ''σdW'' + ''μdt'' के प्रसंभाव्यता अवकल समीकरण को संतुष्ट करती हैं, सेमीमार्टिंगेल्स हैं। यहां, ''W'' एक ब्राउनियन गति है और ''σ, μ'' अनुकूलित प्रक्रियाएं हैं।
-* प्रत्येक लेवी प्रक्रिया एक सेमीमार्टिंगेल है।
+*प्रत्येक लेवी प्रक्रिया सेमीमार्टिंगेल है।
-हालाँकि साहित्य में अध्ययन की गई अधिकांश निरंतर और अनुकूलित प्रक्रियाएँ सेमीमार्टिंगेल्स हैं, लेकिन हमेशा ऐसा नहीं होता है।
+हालाँकि साहित्य में अध्ययन की गई अधिकांश निरंतर और अनुकूलित प्रक्रियाएँ सेमीमार्टिंगेल्स हैं, लेकिन हमेशा ऐसी स्थिति नहीं होती है।
-* हर्स्ट पैरामीटर एच ≠ 1/2 के साथ [[आंशिक ब्राउनियन गति]] सेमीमार्टिंगेल नहीं है।
+* हर्स्ट पैरामीटर ''H'' ≠ 1/2 के साथ [[आंशिक ब्राउनियन गति]] सेमीमार्टिंगेल नहीं है।
 ==गुण==
-* सेमीमार्टिंगेल्स प्रक्रियाओं का सबसे बड़ा वर्ग बनाते हैं जिसके लिए इटो कैलकुलस|इटो इंटीग्रल को परिभाषित किया जा सकता है।
+* सेमीमार्टिंगेल्स प्रक्रियाओं का सबसे बड़ा वर्ग बनाते हैं जिसके लिए इटो समाकल को परिभाषित किया जा सकता है।
-* सेमीमार्टिंगेल्स के रैखिक संयोजन सेमीमार्टिंगेल्स हैं।
+*सेमीमार्टिंगेल्स के रैखिक संयोजन सेमीमार्टिंगेल्स हैं।
-* सेमीमार्टिंगेल्स के उत्पाद सेमीमार्टिंगेल्स हैं, जो स्टोकेस्टिक कैलकुलस|इटो इंटीग्रल के लिए भागों के फार्मूले द्वारा एकीकरण का परिणाम है।
+*सेमीमार्टिंगेल्स के उत्पाद सेमीमार्टिंगेल्स हैं, जो कि इटो समाकल के लिए भागों के सूत्र द्वारा समाकलन का परिणाम है।
-* प्रत्येक सेमीमार्टिंगेल के लिए [[द्विघात भिन्नता]] मौजूद है।
+*प्रत्येक सेमीमार्टिंगेल के लिए [[द्विघात भिन्नता]] उपस्थित है।
-* सेमीमार्टिंगेल्स का वर्ग [[रुकी हुई प्रक्रिया]], स्टॉपिंग टाइम#स्थानीयकरण, समय परिवर्तन और बिल्कुल निरंतर बिल्कुल निरंतर#पूर्ण निरंतरता उपायों के तहत बंद है।
+*सेमीमार्टिंगेल्स का वर्ग वैकल्पिक [[रुकी हुई प्रक्रिया|अवरोध]], स्थानीयकरण, समय के परिवर्तन और माप के पूर्ण निरंतर परिवर्तन के तहत संवृत्त है।
-* यदि X एक 'R' है<sup>एम</sup> मूल्यवान सेमीमार्टिंगेल और एफ 'आर' से दो बार लगातार भिन्न होने वाला फ़ंक्शन है<sup>म</sup> से 'R'<sup>n</sup>, तो f(X) एक सेमीमार्टिंगेल है। यह इटो की लेम्मा का परिणाम है।
+*यदि ''X'' एक '''R'''<sup>''m''</sup> मान वाला सेमीमार्टिंगेल है और ''f'', '''R'''<sup>''m''</sup> से '''R'''<sup>''n''</sup> तक दो बार लगातार भिन्न होने वाला फ़ंक्शन है, तो ''f''(''X'') सेमीमार्टिंगेल है। यह इटो के लेम्मा का परिणाम है।
-* सेमीमार्टिंगेल होने का गुण निस्पंदन को सिकोड़कर संरक्षित किया जाता है। अधिक सटीक रूप से, यदि निस्पंदन एफ के संबंध में एक्स एक सेमीमार्टिंगेल है<sub>t</sub>, और सबफ़िल्टरेशन जी के संबंध में अनुकूलित किया गया है<sub>t</sub>, तो X एक G है<sub>t</sub>-सेमीमार्टिंगेल.
+*सेमिमार्टिंगेल होने का गुण निस्पंदन को सिकोड़ने के तहत संरक्षित रहता है। अधिक सटीक रूप से, यदि ''X'' निस्पंदन ''F''<sub>t</sub> के संबंध में सेमीमार्टिंगेल है, और उपनिस्पंदन ''G''<sub>t</sub> के संबंध में अनुकूलित है, तो ''X'' एक ''G''<sub>t</sub>-सेमीमार्टिंगेल है।
-* (जैकोड का गणनीय विस्तार) सेमीमार्टिंगेल होने की संपत्ति को असंयुक्त सेटों के गणनीय सेट द्वारा निस्पंदन को बढ़ाने के तहत संरक्षित किया जाता है। मान लीजिए कि एफ<sub>t</sub> एक निस्पंदन है, और जी<sub>t</sub> एफ द्वारा उत्पन्न निस्पंदन है<sub>t</sub> और असंयुक्त मापन योग्य सेटों का एक गणनीय सेट। फिर, हर एफ<sub>t</sub>-सेमीमार्टिंगेल भी एक जी है<sub>t</sub>-सेमीमार्टिंगेल्स। {{Harv|Protter|2004|p=53}}
+*(जैकोड का गणनीय विस्तार) सेमीमार्टिंगेल होने के गुण को असंबद्ध समुच्चयों के गणनीय समुच्चय द्वारा निस्पंदन को बढ़ाने के तहत संरक्षित किया जाता है। मान लीजिए कि ''F''<sub>t</sub> निस्पंदन है, और ''G''<sub>t</sub>, ''F''<sub>t</sub> द्वारा उत्पन्न निस्पंदन है और असंयुक्त मापनीय समुच्चयों का एक गणनीय समुच्चय है। फिर, प्रत्येक ''F''<sub>t</sub>-सेमीमार्टिंगेल भी ''G''<sub>t</sub>-सेमीमार्टिंगेल है। {{Harv|प्रॉटर|2004|p=53}}
-==सेमीमार्टिंगेल डिकम्पोजिशन==
+==सेमीमार्टिंगेल अपघटन==
-परिभाषा के अनुसार, प्रत्येक सेमीमार्टिंगेल एक स्थानीय मार्टिंगेल और एक सीमित भिन्नता प्रक्रिया का योग है। हालाँकि, यह अपघटन अद्वितीय नहीं है।
+परिभाषा के अनुसार, प्रत्येक सेमीमार्टिंगेल स्थानीय मार्टिंगेल और परिमित भिन्नता प्रक्रिया का योग है। हालाँकि, यह अपघटन विशिष्ट नहीं है।
-===निरंतर सेमीमार्टिंगेल्स===
+===सतत सेमीमार्टिंगेल्स===
-एक सतत सेमीमार्टिंगेल विशिष्ट रूप से एक्स = एम + ए के रूप में विघटित होता है जहां एम एक सतत स्थानीय मार्टिंगेल है और ए शून्य से शुरू होने वाली एक सतत परिमित भिन्नता प्रक्रिया है। {{Harv|Rogers|Williams|1987|p=358}}
+सतत सेमीमार्टिंगेल विशिष्ट रूप से ''X'' = ''M'' + ''A'' के रूप में विघटित होता है, जहां ''M'' सतत स्थानीय मार्टिंगेल है और ''A'' शून्य से प्रारम्भ होने वाली एक सतत परिमित भिन्नता प्रक्रिया है। {{Harv|रोजर्स एंड |विलियम्स|1987|p=358}}
-उदाहरण के लिए, यदि X एक Itō प्रक्रिया है जो स्टोकेस्टिक विभेदक समीकरण dX को संतुष्ट करती है<sub>t</sub> = पी<sub>t</sub> डीडब्लू<sub>t</sub> + बी<sub>t</sub> डीटी, फिर
+उदाहरण के लिए, यदि ''X'' प्रसंभाव्यता अवकल समीकरण d''X''<sub>t</sub> = σ<sub>t</sub> d''W''<sub>t</sub> + ''b''<sub>t</sub> dt को संतुष्ट करने वाली एक इटो प्रक्रिया है, तो
 :<math>M_t=X_0+\int_0^t\sigma_s\,dW_s,\ A_t=\int_0^t b_s\,ds.</math>
+===विशेष सेमीमार्टिंगेल्स===
+विशेष सेमीमार्टिंगेल अपघटन <math>X = M^X +B^X</math> के साथ वास्तविक मान वाली प्रक्रिया <math>X</math> है, जहां <math>M^X</math> एक स्थानीय मार्टिंगेल है और <math>B^X</math> शून्य से प्रारम्भ होने वाली एक अनुमानित परिमित भिन्नता प्रक्रिया है। यदि यह अपघटन उपस्थित है, तो यह पी-नल (P-null) समुच्चय तक विशिष्ट है।
+प्रत्येक विशेष सेमीमार्टिंगेल एक सेमीमार्टिंगेल है। इसके विपरीत, सेमीमार्टिंगेल एक विशेष सेमीमार्टिंगेल है यदि और केवल तभी जब प्रक्रिया ''X''<sub>t</sub><sup>*</sup> ≡ sup<sub>''s'' ≤ ''t''</sub> |X<sub>''s''</sub>| स्थानीय रूप से समाकलनीय हो {{Harv|प्रॉटर|2004|p=130}}।
-===विशेष अर्ध-मार्टिंगेल्स{{Anchor|Special semimartingale}}===
+उदाहरण के लिए, प्रत्येक सतत सेमीमार्टिंगेल एक विशेष सेमीमार्टिंगेल है, इस स्थिति में ''M'' और ''A'' दोनों सतत प्रक्रियाएं हैं।
-एक विशेष सेमीमार्टिंगेल एक वास्तविक मूल्यवान प्रक्रिया है<math>X</math>विघटन के साथ <math>X = M^X +B^X</math>, कहाँ <math>M^X</math> एक स्थानीय मार्टिंगेल है और <math>B^X</math> शून्य से शुरू होने वाली एक पूर्वानुमेय परिमित भिन्नता प्रक्रिया है। यदि यह अपघटन मौजूद है, तो यह पी-नल सेट तक अद्वितीय है।
-प्रत्येक विशेष सेमीमार्टिंगेल एक सेमीमार्टिंगेल है। इसके विपरीत, एक सेमीमार्टिंगेल एक विशेष सेमीमार्टिंगेल है यदि और केवल यदि प्रक्रिया एक्स हो<sub>t</sub><sup>*</sup> ≡ सूप<sub>''s''&nbsp;&le;&nbsp;''t''</sub>|एक्स<sub>''s''</sub>| समय को रोकना#स्थानीयकरण है {{Harv|Protter|2004|p=130}}.
-उदाहरण के लिए, प्रत्येक सतत सेमीमार्टिंगेल एक विशेष सेमीमार्टिंगेल है, इस स्थिति में एम और ए दोनों निरंतर प्रक्रियाएं हैं।
 ===गुणात्मक अपघटन ===
-याद करें कि <math>\mathcal{E}(X)</math> सेमीमार्टिंगेल के डोलेन्स-डेड घातांक को दर्शाता है <math>X</math>. अगर <math>X</math> ऐसा एक [[विशेष रूप से सेमीमार्टिंगेल्स]] है <math>\Delta B^X \neq -1</math>, तब <math>\mathcal{E}(B^X)\neq 0</math> और <math>\mathcal{E}(X)/\mathcal{E}(B^X)=\mathcal{E}\left(\int_0^\cdot \frac{M^X_u}{1+\Delta B^X_u}\right)</math> एक स्थानीय मार्टिंगेल है।<ref>{{Cite journal|last=Lépingle|first=Dominique|last2=Mémin|first2=Jean|date=1978|title=Sur l'integrabilité uniforme des martingales exponentielles|url=|journal=Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Gebiete|language=fr|volume=42|issue=3|at=Proposition II.1|doi=10.1007/BF00641409|issn=0044-3719}}</ref> प्रक्रिया <math>\mathcal{E}(B^X)</math> का गुणक प्रतिपूरक कहलाता है <math>\mathcal{E}(X)</math> और पहचान <math>\mathcal{E}(X)=\mathcal{E}\left(\int_0^\cdot \frac{M^X_u}{1+\Delta B^X_u}\right)\mathcal{E}(B^X)</math> का गुणात्मक अपघटन <math>\mathcal{E}(X)</math>.
+याद रखें कि <math>\mathcal{E}(X)</math> सेमीमार्टिंगेल <math>X</math> के प्रसंभाव्यता घातांक को दर्शाता है। यदि <math>X</math> [[विशेष रूप से सेमीमार्टिंगेल्स|विशेष सेमीमार्टिंगेल]] है जैसे कि <math>\Delta B^X \neq -1</math>, तो <math>\mathcal{E}(B^X)\neq 0</math> और <math>\mathcal{E}(X)/\mathcal{E}(B^X)=\mathcal{E}\left(\int_0^\cdot \frac{M^X_u}{1+\Delta B^X_u}\right)</math> एक स्थानीय मार्टिंगेल है।<ref>{{Cite journal|last=Lépingle|first=Dominique|last2=Mémin|first2=Jean|date=1978|title=Sur l'integrabilité uniforme des martingales exponentielles|url=|journal=Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Gebiete|language=fr|volume=42|issue=3|at=Proposition II.1|doi=10.1007/BF00641409|issn=0044-3719}}</ref> प्रक्रिया <math>\mathcal{E}(B^X)</math> को <math>\mathcal{E}(X)</math> का गुणक प्रतिपूरक कहा जाता है और पहचान <math>\mathcal{E}(X)=\mathcal{E}\left(\int_0^\cdot \frac{M^X_u}{1+\Delta B^X_u}\right)\mathcal{E}(B^X)</math> को <math>\mathcal{E}(X)</math> का गुणक अपघटन कहा जाता है।
-===विशुद्ध रूप से असंतत सेमीमार्टिंगेल्स / द्विघात शुद्ध-कूद सेमीमार्टिंगेल्स ===
+===पूर्णतः असतत सेमीमार्टिंगेल्स / द्विघात शुद्ध-विषयांतर सेमीमार्टिंगेल्स ===
-एक सेमीमार्टिंगेल को पूरी तरह से असंतत कहा जाता है (सेमीमार्टिंगेल#CITEREFKallberg2002) यदि इसका द्विघात भिन्नता [X] एक सीमित भिन्नता शुद्ध-कूद प्रक्रिया है, यानी,
+सेमीमार्टिंगेल को पूरी तरह से असतत (कलेनबर्ग 2002) कहा जाता है यदि इसकी द्विघात भिन्नता [''X''] परिमित भिन्नता शुद्ध-विषयांतर प्रक्रिया है, अर्थात,
 :<math>[X]_t=\sum_{s\le t}(\Delta X_s)^2</math>.
-इस परिभाषा के अनुसार, समय पूरी तरह से असंतत सेमीमार्टिंगेल है, भले ही यह बिल्कुल भी छलांग नहीं दिखाता है। वैकल्पिक (और पसंदीदा) शब्दावली द्विघात शुद्ध-कूद सेमीमार्टिंगेल {{Harv|Protter|2004|p=71}} इस तथ्य को संदर्भित करता है कि पूरी तरह से असंतत सेमीमार्टिंगेल की द्विघात भिन्नता एक शुद्ध छलांग प्रक्रिया है। प्रत्येक परिमित भिन्नता सेमीमार्टिंगेल एक द्विघात शुद्ध-कूद सेमीमार्टिंगेल है। एक अनुकूलित निरंतर प्रक्रिया एक द्विघात शुद्ध-कूद सेमीमार्टिंगेल है यदि और केवल यदि यह सीमित भिन्नता का है।
+इस परिभाषा के अनुसार, समय पूरी तरह से असतत सेमीमार्टिंगेल है, भले ही यह बिल्कुल भी कोई विषयांतर नहीं दिखाता है। वैकल्पिक (और अधिमानित) शब्दावली ''द्विघात शुद्ध-विषयांतर'' सेमीमार्टिंगेल {{Harv|प्रॉटर|2004|p=71}} इस तथ्य को संदर्भित करती है कि विशुद्ध रूप से असतत सेमीमार्टिंगेल की द्विघात भिन्नता शुद्ध विषयांतर प्रक्रिया है। प्रत्येक परिमित भिन्नता सेमीमार्टिंगेल द्विघात शुद्ध-विषयांतर सेमीमार्टिंगेल है। अनुकूलित सतत प्रक्रिया द्विघात शुद्ध-विषयांतर सेमीमार्टिंगेल है यदि और केवल यदि यह परिमित भिन्नता का है।
-प्रत्येक सेमीमार्टिंगेल एक्स के लिए एक अद्वितीय निरंतर स्थानीय मार्टिंगेल होता है <math>X^c</math> शून्य से शुरू करना जैसे कि <math>X-X^c</math> एक द्विघात शुद्ध-कूद सेमीमार्टिंगेल है ({{Harvnb|He|Wang|Yan|1992|p=209}}; {{Harvnb|Kallenberg|2002|p=527}}). स्थानीय मार्टिंगेल <math>X^c</math> X का सतत मार्टिंगेल भाग कहलाता है।
+प्रत्येक सेमीमार्टिंगेल X के लिए शून्य से प्रारम्भ होने वाला एक विशिष्ट सतत स्थानीय मार्टिंगेल <math>X^c</math> होता है, जैसे कि <math>X-X^c</math> द्विघात शुद्ध-विषयांतर सेमीमार्टिंगेल ({{Harvnb|हे|वांग | यान|1992|p=209}}, {{Harvnb|कलेनबर्ग|2002|p=527}}) है। स्थानीय मार्टिंगेल <math>X^c</math> को ''X'' का सतत मार्टिंगेल भाग कहा जाता है।
-उसका अवलोकन करो <math>X^c</math> माप-विशिष्ट है. अगर<math>P</math>और<math>Q</math>तो ये दो समतुल्य उपाय हैं <math>X^c(P)</math> आम तौर पर अलग है <math>X^c(Q)</math>, जबकि दोनों <math>X-X^c(P)</math> और <math>X-X^c(Q)</math> द्विघात शुद्ध-कूद सेमीमार्टिंगेल्स हैं। गिरसानोव प्रमेय द्वारा|गिरसानोव प्रमेय <math>X^c(P)-X^c(Q)</math> एक सतत परिमित परिवर्तन प्रक्रिया है, जो उपज देती है <math>[X^c(P)]=[X^c(Q)] = [X]-\sum_{s\leq\cdot}(\Delta X_s)^2</math>.
+ध्यान दें कि <math>X^c</math> माप-विशिष्ट है। यदि <math>P</math> और <math>Q</math> दो समतुल्य माप हैं तो <math>X^c(P)</math> प्रायः <math>X^c(Q)</math> से भिन्न होता है, जबकि <math>X-X^c(P)</math> और <math>X-X^c(Q)</math> दोनों द्विघात शुद्ध-विषयांतर सेमीमार्टिंगेल्स हैं। गिरसनोव की प्रमेय के अनुसार <math>X^c(P)-X^c(Q)</math> सतत परिमित भिन्नता प्रक्रिया है, जिससे <math>[X^c(P)]=[X^c(Q)] = [X]-\sum_{s\leq\cdot}(\Delta X_s)^2</math> प्राप्त होता है।
-=== सेमीमार्टिंगेल के निरंतर-समय और असतत-समय घटक ===
+=== सेमीमार्टिंगेल के सतत-समय और असतत-समय घटक ===
-प्रत्येक सेमीमार्टिंगेल <math>X</math> एक अद्वितीय अपघटन है <math display="block">X = X_0 + X^{\mathrm{qc}} +X^{\mathrm{dp}},</math>कहाँ <math>X^{\mathrm{qc}}_0=X^{\mathrm{dp}}_0=0</math>, सतत-समय घटक <math>X^{\mathrm{qc}}</math> पूर्वानुमानित समय और असतत-समय घटक पर छलांग नहीं लगाता है  <math>X^{\mathrm{dp}}</math> सेमीमार्टिंगेल टोपोलॉजी में पूर्वानुमानित समय पर इसकी छलांग के योग के बराबर है। एक तो है <math>[X^{\mathrm{qc}},X^{\mathrm{dp}}]=0</math>.<ref>{{Cite journal|last=Černý|first=Aleš|last2=Ruf|first2=Johannes|date=2021-11-01|title=प्योर-जंप सेमीमार्टिंगेल्स|url=https://projecteuclid.org/journals/bernoulli/volume-27/issue-4/Pure-jump-semimartingales/10.3150/21-BEJ1325.full|journal=Bernoulli|volume=27|issue=4|pages=2631|doi=10.3150/21-BEJ1325|issn=1350-7265}}</ref> सतत-समय घटक के विशिष्ट उदाहरण इटो कैलकुलस|इटो प्रक्रिया और लेवी प्रक्रिया हैं। असतत-समय घटक को अक्सर [[मार्कोव श्रृंखला]] के रूप में लिया जाता है, लेकिन सामान्य तौर पर अनुमानित छलांग समय अच्छी तरह से क्रम में नहीं हो सकता है, अर्थात, सिद्धांत रूप में <math>X^{\mathrm{dp}}</math> हर तर्कसंगत समय पर छलांग लगा सकता है। उस पर भी गौर करें <math>X^{\mathrm{dp}}</math> जरूरी नहीं कि यह सीमित भिन्नता वाला हो, भले ही यह इसकी छलांगों के योग के बराबर हो (एमरी टोपोलॉजी में)। उदाहरण के लिए, समय अंतराल पर <math>[0,\infty)</math> लेना <math>X^{\mathrm{dp}}</math> समय-समय पर उछाल के साथ, स्वतंत्र वेतन वृद्धि करना <math>\{\tau_n = 2-1/n\}_{n\in\mathbb{N}}</math> मान लेना <math>\pm 1/n</math> समान संभावना के साथ.
+प्रत्येक सेमीमार्टिंगेल <math>X</math> में एक विशिष्ट अपघटन होता है<math display="block">X = X_0 + X^{\mathrm{qc}} +X^{\mathrm{dp}},</math>जहां <math>X^{\mathrm{qc}}_0=X^{\mathrm{dp}}_0=0</math>, सतत-समय घटक <math>X^{\mathrm{qc}}</math> पूर्वानुमानित समय पर विषयांतर नहीं है, और असतत-समय घटक <math>X^{\mathrm{dp}}</math> सेमीमार्टिंगेल सांस्थितिकी में पूर्वानुमानित समय पर इसके विषयांतर के योग के बराबर है। एक तो <math>[X^{\mathrm{qc}},X^{\mathrm{dp}}]=0</math> है।<ref>{{Cite journal|last=Černý|first=Aleš|last2=Ruf|first2=Johannes|date=2021-11-01|title=प्योर-जंप सेमीमार्टिंगेल्स|url=https://projecteuclid.org/journals/bernoulli/volume-27/issue-4/Pure-jump-semimartingales/10.3150/21-BEJ1325.full|journal=Bernoulli|volume=27|issue=4|pages=2631|doi=10.3150/21-BEJ1325|issn=1350-7265}}</ref> सतत समय घटक के विशिष्ट उदाहरण इटो प्रक्रिया और लेवी प्रक्रिया हैं। असतत-समय घटक को प्रायः [[मार्कोव श्रृंखला]] के रूप में लिया जाता है, लेकिन सामान्य तौर पर पूर्वानुमानित विषयांतर समय अच्छी तरह से व्यवस्थित नहीं हो सकता है, अर्थात, सैद्धांतिक रूप में <math>X^{\mathrm{dp}}</math> प्रत्येक तर्कसंगत समय पर विषयांतर हो सकता है। यह भी ध्यान दें कि <math>X^{\mathrm{dp}}</math> आवश्यक रूप से सीमित भिन्नता का नहीं है, भले ही यह इसके विषयांतर (सेमीमार्टिंगेल सांस्थितिकी में) के योग के बराबर है। उदाहरण के लिए, समय अंतराल <math>[0,\infty)</math> पर स्वतंत्र वृद्धि के लिए <math>X^{\mathrm{dp}}</math> लें, समय <math>\{\tau_n = 2-1/n\}_{n\in\mathbb{N}}</math> पर विषयांतर के साथ समान संभावना के साथ मान <math>\pm 1/n</math> लें।
-==सेमीमार्टिंगेल्स ऑन अ मैनिफोल्ड==
+==बहुरूपता पर सेमीमार्टिंगेल्स==
-सेमीमार्टिंगेल्स की अवधारणा, और स्टोकेस्टिक कैलकुलस का संबंधित सिद्धांत, विभिन्न प्रकार के मूल्यों को लेने वाली प्रक्रियाओं तक फैला हुआ है। मैनिफोल्ड एम पर एक प्रक्रिया एक्स एक सेमीमार्टिंगेल है यदि एफ (एक्स) एम से 'आर' तक प्रत्येक सुचारू फ़ंक्शन एफ के लिए एक सेमीमार्टिंगेल है। {{Harv|Rogers|1987|p=24}} सामान्य मैनिफोल्ड्स पर सेमीमार्टिंगेल्स के लिए स्टोकेस्टिक कैलकुलस के लिए स्ट्रैटोनोविच इंटीग्रल के उपयोग की आवश्यकता होती है।
+सेमीमार्टिंगेल्स की अवधारणा, और प्रसंभाव्यता गणना का संबंधित सिद्धांत, विभेदक बहुरूपता में मानों को लेने वाली प्रक्रियाओं तक फैला हुआ है। बहुरूपता ''M'' पर प्रक्रिया ''X'' सेमीमार्टिंगेल है यदि ''f''(''X'') ''M'' से '''R''' तक प्रत्येक सुचारू फलन ''f'' के लिए सेमीमार्टिंगेल है। {{Harv|रोजर्स|1987|p=24}} सामान्य बहुरूपताओं पर सेमीमार्टिंगेल्स के लिए प्रसंभाव्यता गणना के लिए स्ट्रैटोनोविच समाकल के उपयोग की आवश्यकता होती है।
 ==यह भी देखें==

v t e Stochastic processes
Discrete time	Bernoulli process Branching process Chinese restaurant process Galton–Watson process Independent and identically distributed random variables Markov chain Moran process Random walk Loop-erased Self-avoiding Biased Maximal entropy
Continuous time	Additive process Bessel process Birth–death process pure birth Brownian motion Bridge Excursion Fractional Geometric Meander Cauchy process Contact process Continuous-time random walk Cox process Diffusion process Empirical process Feller process Fleming–Viot process Gamma process Geometric process Hawkes process Hunt process Interacting particle systems Itô diffusion Itô process Jump diffusion Jump process Lévy process Local time Markov additive process McKean–Vlasov process Ornstein–Uhlenbeck process Poisson process Compound Non-homogeneous Schramm–Loewner evolution Semimartingale Sigma-martingale Stable process Superprocess Telegraph process Variance gamma process Wiener process Wiener sausage
Both	Branching process Galves–Löcherbach model Gaussian process Hidden Markov model (HMM) Markov process Martingale Differences Local Sub- Super- Random dynamical system Regenerative process Renewal process Stochastic chains with memory of variable length White noise
Fields and other	Dirichlet process Gaussian random field Gibbs measure Hopfield model Ising model Potts model Boolean network Markov random field Percolation Pitman–Yor process Point process Cox Poisson Random field Random graph
Time series models	Autoregressive conditional heteroskedasticity (ARCH) model Autoregressive integrated moving average (ARIMA) model Autoregressive (AR) model Autoregressive–moving-average (ARMA) model Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity (GARCH) model Moving-average (MA) model
Financial models	Binomial options pricing model Black–Derman–Toy Black–Karasinski Black–Scholes Chan–Karolyi–Longstaff–Sanders (CKLS) Chen Constant elasticity of variance (CEV) Cox–Ingersoll–Ross (CIR) Garman–Kohlhagen Heath–Jarrow–Morton (HJM) Heston Ho–Lee Hull–White LIBOR market Rendleman–Bartter SABR volatility Vašíček Wilkie
Actuarial models	Bühlmann Cramér–Lundberg Risk process Sparre–Anderson
Queueing models	Bulk Fluid Generalized queueing network M/G/1 M/M/1 M/M/c
Properties	Càdlàg paths Continuous Continuous paths Ergodic Exchangeable Feller-continuous Gauss–Markov Markov Mixing Piecewise deterministic Predictable Progressively measurable Self-similar Stationary Time-reversible
Limit theorems	Central limit theorem Donsker's theorem Doob's martingale convergence theorems Ergodic theorem Fisher–Tippett–Gnedenko theorem Large deviation principle Law of large numbers (weak/strong) Law of the iterated logarithm Maximal ergodic theorem Sanov's theorem Zero–one laws (Blumenthal, Borel–Cantelli, Engelbert–Schmidt, Hewitt–Savage, Kolmogorov, Lévy)
Inequalities	Burkholder–Davis–Gundy Doob's martingale Doob's upcrossing Kunita–Watanabe Marcinkiewicz–Zygmund
Tools	Cameron–Martin formula Convergence of random variables Doléans-Dade exponential Doob decomposition theorem Doob–Meyer decomposition theorem Doob's optional stopping theorem Dynkin's formula Feynman–Kac formula Filtration Girsanov theorem Infinitesimal generator Itô integral Itô's lemma Karhunen–Loève theorem Kolmogorov continuity theorem Kolmogorov extension theorem Lévy–Prokhorov metric Malliavin calculus Martingale representation theorem Optional stopping theorem Prokhorov's theorem Quadratic variation Reflection principle Skorokhod integral Skorokhod's representation theorem Skorokhod space Snell envelope Stochastic differential equation Tanaka Stopping time Stratonovich integral Uniform integrability Usual hypotheses Wiener space Classical Abstract
Disciplines	Actuarial mathematics Control theory Econometrics Ergodic theory Extreme value theory (EVT) Large deviations theory Mathematical finance Mathematical statistics Probability theory Queueing theory Renewal theory Ruin theory Signal processing Statistics Stochastic analysis Time series analysis Machine learning
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