उच्च-क्रम एकवचन मूल्य अपघटन: Difference between revisions

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बहुरेखीय बीजगणित में, टेंसर का उच्च-क्रम एकवचन मूल्य अपघटन (एचओएसवीडी) एक विशेष निर्देशीय टकर विघटन है। इसे एक प्रकार के आव्यूह एकवचन मूल्य विघटन के सामान्यीकरण के रूप में भी देखा जा सकता है। यह कंप्यूटर विजन, कंप्यूटर आरेख, यंत्र अधिगम, वैज्ञानिक कंप्यूटिंग, और संकेत प्रसंस्करण में अनुप्रयोगों के साथ उपयोग होता है।

कुछ पहलुओं का पता 1928 में एफ. एल. हिचकॉक से लगाया जा सकता है,^[1] परंतु यह एल. आर. टकर ही थे जिन्होंने 1960 के दशक में तीसरे क्रम के टेंसरों के लिए सामान्य टकर अपघटन विकसित किया था,^[2]^[3]^[4] आगे लिवेन डी लाथौवर एल द्वारा वकालत की गई। डी लाथौवर एट अल।^[5] उनके मल्टीलिनियर एसवीडी कार्य में जो पावर विधि को नियोजित करता है, या वासिलेस्कु और टेरज़ोपोलोस द्वारा समर्थित है जिसने एम-मोड एसवीडी को एक समानांतर कलन विधि विकसित किया है जो आव्यूह एसवीडी को नियोजित करता है।

उच्च क्रम एकवचन मूल्य अपघटन एचओएसवीडी शब्द डेलाथौवर के नाम से निर्मित किया गया था, परंतु साहित्य में सामान्यतः एचओएसवीडी के रूप में संदर्भित कलन विधि और टकर या डेलाथौवर को स्पष्टीकरणीय ठहराया गया था, जिसे वासिलेस्कु और टेरज़ोपोलोस द्वारा विकसित किया गया था।^[6]^[7]^[8] के प्रतिस्थानीय और L1-नॉर्म-आधारित विभिन्न प्रकार भी प्रस्तावित किए गए हैं।^[9]^[10]^[11]^[12]

परिभाषा

इस आलेख के प्रयोजन के लिए, अमूर्त टेंसर ${\mathcal {A}}$ यह मान लिया गया है कि किसी आधार के संबंध में निर्देशांक में Tensor#As बहुआयामी सारणी|एम-वे सारणी के रूप में दिया गया है, जिसे इसके द्वारा भी दर्शाया जाता है ${\mathcal {A}}\in \mathbb {C} ^{I_{1}\times I_{2}\cdots \times \cdots I_{m}\cdots \times I_{M}}$ , जहां एम मोड की संख्या और टेंसर का क्रम है। $\mathbb {C}$ सम्मिश्र संख्याएँ हैं और इसमें दोनों वास्तविक संख्याएँ शामिल हैं $\mathbb {R}$ और शुद्ध काल्पनिक संख्याएँ।

होने देना ${\bf {U}}_{m}\in \mathbb {C} ^{I_{m}\times R_{m}}$ एक एकात्मक आव्यूह बनें जिसमें टेन्सर रीशेपिंग के बाएँ एकवचन वैक्टर का आधार हो | मानक मोड-एम फ़्लैटनिंग ${\mathcal {A}}_{[m]}$ का ${\mathcal {A}}$ जैसे कि jth कॉलम $\mathbf {u} _{j}$ का ${\bf {U}}_{m}$ के jवें सबसे बड़े एकवचन मान से मेल खाता है ${\mathcal {A}}_{[m]}$ . ध्यान दें कि मोड/कारक आव्यूह ${\bf {U}}_{m}$ मोड एम फ़्लैटनिंग की विशिष्ट परिभाषा पर विशेष पर निर्भर नहीं करता है। बहुरेखीय गुणन के गुणों से, हमारे पास है

{\begin{array}{rcl}{\mathcal {A}}&=&{\mathcal {A}}\times ({\bf {I}},{\bf {I}},\ldots ,{\bf {I}})\\&=&{\mathcal {A}}\times ({\bf {U}}_{1}{\bf {U}}_{1}^{H},{\bf {U}}_{2}{\bf {U}}_{2}^{H},\ldots ,{\bf {U}}_{M}{\bf {U}}_{M}^{H})\\&=&\left({\mathcal {A}}\times ({\bf {U}}_{1}^{H},{\bf {U}}_{2}^{H},\ldots ,{\bf {U}}_{M}^{H})\right)\times ({\bf {U}}_{1},{\bf {U}}_{2},\ldots ,{\bf {U}}_{M}),\end{array}}

कहाँ

\cdot ^{H}

संयुग्म स्थानान्तरण को दर्शाता है। दूसरी समानता इसलिए है क्योंकि

{\bf {U}}_{m}

'एकात्मक आव्यूह हैं। अब कोर टेंसर को परिभाषित करें

{\mathcal {S}}:={\mathcal {A}}\times ({\bf {U}}_{1}^{H},{\bf {U}}_{2}^{H},\ldots ,{\bf {U}}_{M}^{H}).

फिर, एचओएसवीडी^[5]का

{\mathcal {A}}

विघटन है

{\mathcal {A}}={\mathcal {S}}\times ({\bf {U}}_{1},{\bf {U}}_{2},\ldots ,{\bf {U}}_{M}).

उपरोक्त निर्माण से पता चलता है कि प्रत्येक टेंसर में एक एचओएसवीडी होता है।

कॉम्पैक्ट एचओएसवीडी

जैसा कि एक आव्यूह के कॉम्पैक्ट एकवचन मूल्य अपघटन के मामले में, एक कॉम्पैक्ट एचओएसवीडी पर विचार करना भी संभव है, जो अनुप्रयोगों में बहुत उपयोगी है।

ये मान लीजिए ${\bf {U}}_{m}\in \mathbb {C} ^{I_{m}\times R_{m}}$ एकात्मक स्तंभों वाला एक आव्यूह है जिसमें मानक कारक-एम फ़्लैटनिंग के गैर-शून्य एकवचन मानों के अनुरूप बाएं एकवचन वैक्टर का आधार होता है ${\mathcal {A}}_{[m]}$ का ${\mathcal {A}}$ . के कॉलम दें ${\bf {U}}_{m}$ इस प्रकार क्रमबद्ध किया जाए कि $r_{m}$ वां स्तंभ ${\bf {u}}_{r_{m}}$ का ${\bf {U}}_{m}$ से मेल खाता है $r_{m}$ का सबसे बड़ा गैर शून्य एकवचन मान ${\mathcal {A}}_{[m]}$ . के कॉलम के बाद से ${\bf {U}}_{m}$ की छवि के लिए एक आधार तैयार करें ${\mathcal {A}}_{[m]}$ , अपने पास

{\mathcal {A}}_{[m]}={\bf {U}}_{m}{\bf {U}}_{m}^{H}{\mathcal {A}}_{[m]}={\bigl (}{\mathcal {A}}\times _{m}({\bf {U}}_{m}{\bf {U}}_{m}^{H}){\bigr )}_{[m]},

जहां पहली समानता प्रक्षेपण (रैखिक बीजगणित) (हर्मिटियन आंतरिक उत्पाद में) के गुणों के कारण है और अंतिम समानता बहुरेखीय गुणन के गुणों के कारण है। चूँकि फ़्लैटनिंग विशेषणात्मक मानचित्र हैं और उपरोक्त सूत्र सभी के लिए मान्य है

m=1,2,\ldots ,m,\ldots ,M

, हम उससे पहले जैसा पाते हैं

{\begin{array}{rcl}{\mathcal {A}}&=&{\mathcal {A}}\times ({\bf {U}}_{1}{\bf {U}}_{1}^{H},{\bf {U}}_{2}{\bf {U}}_{2}^{H},\ldots ,{\bf {U}}_{M}{\bf {U}}_{M}^{H})\\&=&\left({\mathcal {A}}\times ({\bf {U}}_{1}^{H},{\bf {U}}_{2}^{H},\ldots ,{\bf {U}}_{M}^{H})\right)\times ({\bf {U}}_{1},{\bf {U}}_{2},\ldots ,{\bf {U}}_{M})\\&=&{\mathcal {S}}\times ({\bf {U}}_{1},{\bf {U}}_{2},\ldots ,{\bf {U}}_{M}),\end{array}}

जहां कोर टेंसर

{\mathcal {S}}

अब आकार का है

R_{1}\times R_{2}\times \cdots \times R_{M}

.

बहुरेखीय रैंक

बहुरेखीय रैंक^[1]का ${\mathcal {A}}$ रैंक से दर्शाया जाता है- $(R_{1},R_{2},\ldots ,R_{M})$ . मल्टीलिनियर रैंक एक टपल है $\mathbb {N} ^{M}$ कहाँ $R_{m}:=\mathrm {rank} ({\mathcal {A}}_{[m]})$ . सभी टुपल्स अंदर नहीं हैं $\mathbb {N} ^{M}$ बहुरेखीय रैंक हैं।^[13] बहुरेखीय रैंकों से बंधे हैं $1\leq R_{m}\leq I_{m}$ और यह बाधा को संतुष्ट करता है ${\textstyle R_{m}\leq \prod _{i\neq m}R_{i}}$ अवश्य होल्ड करें।^[13]

कॉम्पैक्ट एचओएसवीडी इस अर्थ में एक रैंक-खुलासा विघटन है कि इसके कोर टेंसर के आयाम टेंसर के मल्टीलाइनर रैंक के घटकों के अनुरूप हैं।

व्याख्या

निम्नलिखित ज्यामितीय व्याख्या पूर्ण और कॉम्पैक्ट एचओएसवीडी दोनों के लिए मान्य है। होने देना $(R_{1},R_{2},\ldots ,R_{M})$ टेंसर की बहुरेखीय रैंक बनें ${\mathcal {A}}$ . तब से ${\mathcal {S}}\in {\mathbb {C} }^{R_{1}\times R_{2}\times \cdots \times R_{M}}$ एक बहुआयामी सरणी है, हम इसे निम्नानुसार विस्तारित कर सकते हैं

{\mathcal {S}}=\sum _{r_{1}=1}^{R_{1}}\sum _{r_{2}=1}^{R_{2}}\cdots \sum _{r_{M}=1}^{R_{M}}s_{r_{1},r_{2},\ldots ,r_{M}}\mathbf {e} _{r_{1}}\otimes \mathbf {e} _{r_{2}}\otimes \cdots \otimes \mathbf {e} _{r_{M}},

कहाँ

\mathbf {e} _{r_{m}}

है

r_{m}

का मानक आधार वेक्टर

{\mathbb {C} }^{I_{m}}

. बहुरेखीय गुणन की परिभाषा के अनुसार, यह ऐसा मानता है

{\mathcal {A}}=\sum _{r_{1}=1}^{R_{1}}\sum _{r_{2}=1}^{R_{2}}\cdots \sum _{r_{M}=1}^{R_{M}}s_{r_{1},r_{2},\ldots ,r_{M}}\mathbf {u} _{r_{1}}\otimes \mathbf {u} _{r_{2}}\otimes \cdots \otimes \mathbf {u} _{r_{M}},

जहां

\mathbf {u} _{r_{m}}

के कॉलम हैं

{\bf {U}}_{m}\in {\mathbb {C} }^{I_{m}\times R_{m}}

. इसे सत्यापित करना आसान है

B=\{\mathbf {u} _{r_{1}}\otimes \mathbf {u} _{r_{2}}\otimes \cdots \otimes \mathbf {u} _{r_{M}}\}_{r_{1},r_{2},\ldots ,r_{M}}

टेंसरों का एक ऑर्थोनॉर्मल सेट है। इसका मतलब यह है कि एचओएसवीडी की व्याख्या टेंसर को व्यक्त करने के एक तरीके के रूप में की जा सकती है

{\mathcal {A}}

विशेष रूप से चुने गए ऑर्थोनॉर्मल आधार के संबंध में

B

बहुआयामी सरणी के रूप में दिए गए गुणांकों के साथ

{\mathcal {S}}

.

गणना

होने देना ${\mathcal {A}}\in {\mathbb {C} }^{I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{M}}$ एक रैंक के साथ एक टेंसर बनें- $(R_{1},R_{2},\ldots ,R_{M})$ , कहाँ $\mathbb {C}$ वास्तविक शामिल हैं $\mathbb {R}$ एक उपसमुच्चय के रूप में.

क्लासिक गणना

मल्टीलिनियर एसवीडी और एम-मोड एसवीडी की गणना करने की रणनीति 1960 के दशक में एल. आर. टकर द्वारा पेश की गई थी,^[3]आगे लिवेन डी लाथौवर|एल द्वारा वकालत की गई। डी लाथौवर एट अल।^[5]और वासिलेस्कु और टेरज़ोपुलस द्वारा।^[8]^[6] एचओएसवीडी शब्द लिवेन डी लाथौवर द्वारा गढ़ा गया था, परंतु साहित्य में आमतौर पर एचओएसवीडी के रूप में संदर्भित कलन विधि को वासिलेस्कु और टेरज़ोपोलोस द्वारा पेश किया गया था।^[6]^[8]एम-मोड एसवीडी नाम के साथ। यह एक समानांतर गणना है जो ऑर्थोनॉर्मल मोड आव्यूह की गणना करने के लिए आव्यूह एसवीडी को नियोजित करती है।

एम-मोड एसवीडी:^[6]^[8]

के लिए $m=0,1,\ldots ,M$ , निम्न कार्य करें:

मोड-एम फ़्लैटनिंग का निर्माण करें ${\mathcal {A}}_{[m]}$ ;
(कॉम्पैक्ट) एकवचन मूल्य अपघटन की गणना करें ${\mathcal {A}}_{[m]}={\bf {U}}_{m}{\bf {\Sigma }}_{m}{\bf {V}}_{m}^{T}$ , और बाएँ एकवचन वैक्टर को संग्रहीत करें ${\bf {U}}\in \mathbb {C} ^{I_{m}\times R_{m}}$ ;

कोर टेंसर की गणना करें ${\mathcal {S}}$ बहुरेखीय गुणन के माध्यम से ${\mathcal {S}}={\mathcal {A}}\times _{0}{\bf {U}}_{0}^{H}\times _{1}{\bf {U}}_{1}^{H}\times _{2}{\bf {U}}_{2}^{H}\ldots \times _{m}{\bf {U}}_{m}^{H}\ldots \times _{M}{\bf {U}}_{M}^{H}$

इंटरलेसिंग गणना

एक ऐसी रणनीति जो कुछ या सभी होने पर काफी तेज़ होती है $r_{k}\ll n_{k}$ इसमें कोर टेंसर और कारक आव्यूह की गणना को निम्नानुसार शामिल किया गया है:^[14]^[15]^[16]

तय करना ${\mathcal {A}}^{0}={\mathcal {A}}$ ;
के लिए $m=0,1,2\ldots ,M$ $m=0,1,2\ldots ,M$ निम्नलिखित कार्य करें:
1. मानक मोड-एम फ़्लैटनिंग का निर्माण करें ${\mathcal {A}}_{[m]}^{m-1}$ ;
2. (कॉम्पैक्ट) एकवचन मूल्य अपघटन की गणना करें ${\mathcal {A}}_{[m]}^{m-1}=U_{m}\Sigma _{m}V_{m}^{T}$ , और बाएँ एकवचन वैक्टर को संग्रहीत करें $U_{m}\in F^{I_{m}\times R_{m}}$ ;
3. तय करना ${\mathcal {A}}^{m}=U_{m}^{H}\times _{m}{\mathcal {A}}^{m-1}$ , या, समकक्ष, ${\mathcal {A}}_{[m]}^{m}=\Sigma _{m}V_{m}^{T}$ .

इन-प्लेस गणना

एचओएसवीडी की गणना फ़्यूज्ड इन-प्लेस सीक्वेंशियली ट्रंकेटेड हायर ऑर्डर सिंगुलर वैल्यू डीकंपोजिशन (FIST-एचओएसवीडी) के माध्यम से की जा सकती है। ^[16]एचओएसवीडी कोर टेंसर द्वारा मूल टेंसर को ओवरराइट करके कलन विधि , एचओएसवीडी की गणना करने की मेमोरी खपत को काफी कम कर देता है।

अनुमान

अनुप्रयोगों में, जैसे कि नीचे उल्लिखित हैं, एक सामान्य समस्या किसी दिए गए टेंसर का अनुमान लगाना है ${\mathcal {A}}\in \mathbb {C} ^{I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{m}\cdots \times I_{M}}$ एक कम बहुरेखीय रैंक के साथ। औपचारिक रूप से, यदि बहुरेखीय रैंक ${\mathcal {A}}$ द्वारा निरूपित किया जाता है $\mathrm {rank-} (R_{1},R_{2},\ldots ,R_{m},\ldots ,R_{M})$ , फिर इष्टतम की गणना करें ${\mathcal {\bar {A}}}$ वह अनुमानित है ${\mathcal {A}}$ किसी दिए गए कम के लिए $\mathrm {rank-} ({\bar {R}}_{1},{\bar {R}}_{2},\ldots ,{\bar {R}}_{m},\ldots ,{\bar {R}}_{M})$ एक अरैखिक गैर-उत्तल है $\ell _{2}$ -अनुकूलन समस्या

\min _{{\mathcal {\bar {A}}}\in \mathbb {C} ^{I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{M}}}{\frac {1}{2}}\|{\mathcal {A}}-{\mathcal {\bar {A}}}\|_{F}^{2}\quad {\text{s.t.}}\quad \mathrm {rank-} ({\bar {R}}_{1},{\bar {R}}_{2},\ldots ,{\bar {R}}_{M}),

कहाँ

({\bar {R}}_{1},{\bar {R}}_{2},\ldots ,{\bar {R}}_{M})\in \mathbb {N} ^{M}

के साथ घटी हुई बहुरेखीय रैंक है

1\leq {\bar {R}}_{m}<R_{m}\leq I_{m}

, और आदर्श

\|.\|_{F}

फ्रोबेनियस मानदंड है.

इस अनुकूलन समस्या को हल करने का प्रयास करने का एक सरल विचार क्लासिक या इंटरलेस्ड गणना के चरण 2 में (कॉम्पैक्ट) एसवीडी को छोटा करना है। क्लासिक गणना में चरण 2 को प्रतिस्थापित करके एक शास्त्रीय रूप से काट दिया गया एचओएसवीडी प्राप्त किया जाता है

एक रैंक की गणना करें- ${\bar {R}}_{m}$ छोटा किया गया एसवीडी ${\mathcal {A}}_{[m]}\approx U_{m}\Sigma _{m}V_{m}^{T}$ , और शीर्ष पर स्टोर करें ${\bar {R}}_{m}$ बाएं एकवचन सदिश $U_{m}\in F^{I_{m}\times {\bar {R}}_{m}}$ ;

जबकि क्रमिक रूप से काटे गए एचओएसवीडी (या क्रमिक रूप से काटे गए एचओएसवीडी) को इंटरलेस्ड गणना में चरण 2 को प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है

एक रैंक की गणना करें- ${\bar {R}}_{m}$ छोटा किया गया एसवीडी ${\mathcal {A}}_{[m]}^{m-1}\approx U_{m}\Sigma _{m}V_{m}^{T}$ , और शीर्ष पर स्टोर करें ${\bar {R}}_{m}$ बाएं एकवचन सदिश $U_{m}\in F^{I_{m}\times {\bar {R}}_{m}}$ . दुर्भाग्य से, ट्रंकेशन के परिणामस्वरूप सर्वोत्तम निम्न बहुरेखीय रैंक अनुकूलन समस्या का इष्टतम समाधान नहीं मिलता है,^[5]^[6]^[14]^[16] हालाँकि, शास्त्रीय और इंटरलीव्ड काटे गए एचओएसवीडी दोनों का परिणाम अर्ध-इष्टतम समाधान में होता है:^[14]^[16]^[7]^[15]^[17] अगर ${\mathcal {\bar {A}}}_{t}$ शास्त्रीय या क्रमिक रूप से काटे गए एचओएसवीडी को दर्शाता है ${\mathcal {\bar {A}}}^{*}$ तब, सर्वोत्तम निम्न बहुरेखीय रैंक सन्निकटन समस्या के इष्टतम समाधान को दर्शाता है $\|{\mathcal {A}}-{\mathcal {\bar {A}}}_{t}\|_{F}\leq {\sqrt {M}}\|{\mathcal {A}}-{\mathcal {\bar {A}}}^{*}\|_{F};$ व्यवहार में इसका मतलब यह है कि यदि एक छोटी सी त्रुटि के साथ एक इष्टतम समाधान मौजूद है, तो कई इच्छित उद्देश्यों के लिए एक छोटा एचओएसवीडी भी पर्याप्त रूप से अच्छा समाधान देगा।

अनुप्रयोग

एचओएसवीडी का उपयोग आमतौर पर बहु-मार्गीय सरणियों से प्रासंगिक जानकारी निकालने के लिए किया जाता है।

2000 के दशक की शुरुआत में, वासिलेस्कु ने डेटा विश्लेषण, पहचान और संश्लेषण समस्याओं को मल्टीलाइनर टेंसर समस्याओं के रूप में पुनः परिभाषित करके कारण संबंधी प्रश्नों को संबोधित किया। गति पहचान के लिए ह्यूमन मोशन सिग्नेचर के संदर्भ में, डेटा निर्माण के कारण कारकों के संदर्भ में एक छवि को विघटित और प्रस्तुत करके टेंसर ढांचे की शक्ति का प्रदर्शन किया गया था।^[18] चेहरे की पहचान—TensorFaces^[19]^[20] और कंप्यूटर ग्राफ़िक्स—TensorTextures।^[21] एचओएसवीडी को सिग्नल प्रोसेसिंग और बड़े डेटा, जैसे जीनोमिक सिग्नल प्रोसेसिंग में सफलतापूर्वक लागू किया गया है।^[22]^[23]^[24] इन अनुप्रयोगों ने उच्च-क्रम वाले जीएसवीडी (एचओ जीएसवीडी) को भी प्रेरित किया।^[25] और एक टेंसर जीएसवीडी।^[26] रोग निगरानी में जटिल डेटा स्ट्रीम (स्थान और समय आयामों के साथ बहुभिन्नरूपी डेटा) से वास्तविक समय में घटना का पता लगाने के लिए एचओएसवीडी और SVD का संयोजन भी लागू किया गया है।^[27] इसका उपयोग टेंसर उत्पाद मॉडल परिवर्तन-आधारित नियंत्रक डिज़ाइन में भी किया जाता है।^[28]^[29] एचओएसवीडी की अवधारणा को टीपी मॉडल परिवर्तन के माध्यम से बरनी और यम द्वारा कार्यों में ले जाया गया था।^[28]^[29]इस विस्तार ने टेंसर उत्पाद फ़ंक्शंस और लीनियर पैरामीटर वेरिंग सिस्टम मॉडल के एचओएसवीडी-आधारित विहित रूप की परिभाषा को जन्म दिया।^[30] और उत्तल पतवार हेरफेर आधारित नियंत्रण अनुकूलन सिद्धांत के लिए, नियंत्रण सिद्धांतों में टीपी मॉडल परिवर्तन देखें।

एचओएसवीडी को बहु-दृश्य डेटा विश्लेषण पर लागू करने का प्रस्ताव दिया गया था^[31] और जीन अभिव्यक्ति से सिलिको दवा की खोज में इसे सफलतापूर्वक लागू किया गया।^[32]

मजबूत एल1-मानक संस्करण

L1-टकर टकर अपघटन का Lp_space|L1-मानदंड-आधारित, मजबूत_सांख्यिकी संस्करण है।^[10]^[11]L1-एचओएसवीडी, L1-टकर के समाधान के लिए एचओएसवीडी के समान है।^[10]^[12]

संदर्भ

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[canon12-30] P. Baranyi; L. Szeidl; P. Várlaki; Y. Yam (July 3–5, 2006). बहुविषयक गतिशील मॉडल के HOSVD-आधारित विहित रूप की परिभाषा. 3rd International Conference on Mechatronics (ICM 2006). Budapest, Hungary. pp. 660–665.

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[32] Y-h. Taguchi (October 2017). "रोगों और ड्रगमैट्रिक्स डेटासेट के बीच जीन अभिव्यक्ति के एकीकृत विश्लेषण में टेंसर-अपघटन-आधारित अनपर्यवेक्षित फ़ीचर निष्कर्षण का उपयोग करके उम्मीदवार दवाओं की पहचान". Scientific Reports. 7 (1): 13733. Bibcode:2017NatSR...713733T. doi:10.1038/s41598-017-13003-0. PMC 5653784. PMID 29062063.

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-[[बहुरेखीय बीजगणित]] में, एक [[ टेन्सर ]] का उच्च-क्रम एकवचन मूल्य अपघटन (HOSVD) एक विशिष्ट ऑर्थोगोनल [[टकर अपघटन]] है। इसे मैट्रिक्स एकवचन मूल्य अपघटन के एक प्रकार के सामान्यीकरण के रूप में माना जा सकता है। इसमें [[कंप्यूटर दृष्टि]], [[ कंप्यूटर चित्रलेख ]], [[ यंत्र अधिगम ]], [[वैज्ञानिक कंप्यूटिंग]] और [[ संकेत आगे बढ़ाना ]] में अनुप्रयोग हैं। कुछ पहलुओं का पता 1928 में एफ. एल. हिचकॉक से लगाया जा सकता है,<ref name=":0">{{Cite journal|last=Hitchcock|first=Frank L|date=1928-04-01|title=एम-वे ऐरे या टेन्सर के एकाधिक अपरिवर्तनीय और सामान्यीकृत रैंक|journal=Journal of Mathematics and Physics|language=en|volume=7|issue=1–4|pages=39–79|doi=10.1002/sapm19287139|issn=1467-9590}}</ref> लेकिन यह एल. आर. टकर ही थे जिन्होंने 1960 के दशक में तीसरे क्रम के टेंसरों के लिए सामान्य टकर अपघटन विकसित किया था,<ref name=":1">{{Cite journal|last=Tucker|first=Ledyard R.|date=1966-09-01|title=तीन-मोड कारक विश्लेषण पर कुछ गणितीय नोट्स|journal=Psychometrika|language=en|volume=31|issue=3|pages=279–311|doi=10.1007/bf02289464|pmid=5221127|s2cid=44301099|issn=0033-3123}}</ref><ref name="Tucker1963">{{Cite journal|last=Tucker|first=L. R.|date=1963|title=परिवर्तन की माप के लिए तीन-तरफा मैट्रिक्स के कारक विश्लेषण के निहितार्थ|journal=In C. W. Harris (Ed.), Problems in Measuring Change. Madison, Wis.: Univ. Wis. Press.|pages=122–137}}</ref><ref name="Tucker1964">{{Cite journal|last=Tucker|first=L. R.|date=1964|title=त्रि-आयामी मैट्रिक्स तक कारक विश्लेषण का विस्तार|journal=In N. Frederiksen and H. Gulliksen (Eds.), Contributions to Mathematical Psychology. New York: Holt, Rinehart and Winston|pages=109–127}}</ref> आगे लिवेन डी लाथौवर|एल द्वारा वकालत की गई। डी लाथौवर एट अल।<ref name=":2">{{Cite journal|last1=De Lathauwer|first1=L.|last2=De Moor|first2=B.|last3=Vandewalle|first3=J.|date=2000-01-01|title=एक बहुरेखीय एकवचन मूल्य अपघटन|journal=SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications|volume=21|issue=4|pages=1253–1278|doi=10.1137/s0895479896305696|issn=0895-4798|citeseerx=10.1.1.102.9135}}</ref> उनके मल्टीलिनियर एसवीडी कार्य में जो पावर विधि को नियोजित करता है, या वासिलेस्कु और टेरज़ोपोलोस द्वारा समर्थित है जिसने एम-मोड एसवीडी को एक समानांतर एल्गोरिदम विकसित किया है जो मैट्रिक्स एसवीडी को नियोजित करता है।
+[[बहुरेखीय बीजगणित]] में, टेंसर का '''उच्च-क्रम एकवचन मूल्य अपघटन''' (एचओएसवीडी) एक विशेष निर्देशीय टकर विघटन है। इसे एक प्रकार के  आव्यूह एकवचन मूल्य विघटन के सामान्यीकरण के रूप में भी देखा जा सकता है। यह कंप्यूटर विजन, कंप्यूटर आरेख, [[ यंत्र अधिगम |यंत्र अधिगम]], [[वैज्ञानिक कंप्यूटिंग]], और [[ संकेत आगे बढ़ाना |संकेत]] प्रसंस्करण में अनुप्रयोगों के साथ उपयोग होता है।
-उच्च क्रम एकवचन मूल्य अपघटन (HOSVD) शब्द डेलाथौवर के नाम से गढ़ा गया था, लेकिन साहित्य में आमतौर पर HOSVD के रूप में संदर्भित एल्गोरिथ्म और टकर या डेलाथौवर को जिम्मेदार ठहराया गया था, जिसे वासिलेस्कु और टेरज़ोपोलोस द्वारा विकसित किया गया था।<ref name=":Vasilescu2002">M. A. O. Vasilescu, D. Terzopoulos (2002) with the name M-mode SVD.  The M-mode SVD is suitable for parallel computation and employs the matrix SVD  [http://www.cs.toronto.edu/~maov/tensorfaces/Springer%20ECCV%202002_files/eccv02proceeding_23500447.pdf "Multilinear Analysis of Image Ensembles: TensorFaces"],  Proc. 7th European Conference on Computer Vision (ECCV'02), Copenhagen, Denmark, May, 2002</ref><ref name="Vasilescu2003">M. A. O. Vasilescu, D. Terzopoulos (2003) [http://www.cs.toronto.edu/~maov/tensorfaces/cvpr03.pdf "Multilinear Subspace Analysis of Image Ensembles"], "Proceedings of the IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition (CVPR’03), Madison, WI, June, 2003"</ref><ref name=":Vasilescu2005">M. A. O. Vasilescu, D. Terzopoulos (2005) [http://www.media.mit.edu/~maov/mica/mica05.pdf "Multilinear Independent Component Analysis"], "Proceedings of the IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition (CVPR’05), San Diego, CA, June 2005, vol.1, 547–553."</ref> [[मजबूत आँकड़े]] और HOSVD के Lp_space|L1-मानदंड-आधारित संस्करण भी प्रस्तावित किए गए हैं।<ref name="robustHOSVD">{{Cite journal|last1=Godfarb|first1=Donald|last2=Zhiwei|first2=Qin|title=Robust low-rank tensor recovery: Models and algorithms|
+कुछ पहलुओं का पता 1928 में एफ. एल. हिचकॉक से लगाया जा सकता है,<ref name=":0">{{Cite journal|last=Hitchcock|first=Frank L|date=1928-04-01|title=एम-वे ऐरे या टेन्सर के एकाधिक अपरिवर्तनीय और सामान्यीकृत रैंक|journal=Journal of Mathematics and Physics|language=en|volume=7|issue=1–4|pages=39–79|doi=10.1002/sapm19287139|issn=1467-9590}}</ref> परंतु यह एल. आर. टकर ही थे जिन्होंने 1960 के दशक में तीसरे क्रम के टेंसरों के लिए सामान्य टकर अपघटन विकसित किया था,<ref name=":1">{{Cite journal|last=Tucker|first=Ledyard R.|date=1966-09-01|title=तीन-मोड कारक विश्लेषण पर कुछ गणितीय नोट्स|journal=Psychometrika|language=en|volume=31|issue=3|pages=279–311|doi=10.1007/bf02289464|pmid=5221127|s2cid=44301099|issn=0033-3123}}</ref><ref name="Tucker1963">{{Cite journal|last=Tucker|first=L. R.|date=1963|title=परिवर्तन की माप के लिए तीन-तरफा मैट्रिक्स के कारक विश्लेषण के निहितार्थ|journal=In C. W. Harris (Ed.), Problems in Measuring Change. Madison, Wis.: Univ. Wis. Press.|pages=122–137}}</ref><ref name="Tucker1964">{{Cite journal|last=Tucker|first=L. R.|date=1964|title=त्रि-आयामी मैट्रिक्स तक कारक विश्लेषण का विस्तार|journal=In N. Frederiksen and H. Gulliksen (Eds.), Contributions to Mathematical Psychology. New York: Holt, Rinehart and Winston|pages=109–127}}</ref> आगे लिवेन डी लाथौवर एल द्वारा वकालत की गई। डी लाथौवर एट अल।<ref name=":2">{{Cite journal|last1=De Lathauwer|first1=L.|last2=De Moor|first2=B.|last3=Vandewalle|first3=J.|date=2000-01-01|title=एक बहुरेखीय एकवचन मूल्य अपघटन|journal=SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications|volume=21|issue=4|pages=1253–1278|doi=10.1137/s0895479896305696|issn=0895-4798|citeseerx=10.1.1.102.9135}}</ref> उनके मल्टीलिनियर एसवीडी कार्य में जो पावर विधि को नियोजित करता है, या वासिलेस्कु और टेरज़ोपोलोस द्वारा समर्थित है जिसने एम-मोड एसवीडी को एक समानांतर कलन विधि विकसित किया है जो आव्यूह एसवीडी को नियोजित करता है।
+उच्च क्रम एकवचन मूल्य अपघटन एचओएसवीडी शब्द डेलाथौवर के नाम से निर्मित किया गया था, परंतु साहित्य में सामान्यतः एचओएसवीडी के रूप में संदर्भित कलन विधि और टकर या डेलाथौवर को स्पष्टीकरणीय ठहराया गया था, जिसे वासिलेस्कु और टेरज़ोपोलोस द्वारा विकसित किया गया था।<ref name=":Vasilescu2002">M. A. O. Vasilescu, D. Terzopoulos (2002) with the name M-mode SVD.  The M-mode SVD is suitable for parallel computation and employs the matrix SVD  [http://www.cs.toronto.edu/~maov/tensorfaces/Springer%20ECCV%202002_files/eccv02proceeding_23500447.pdf "Multilinear Analysis of Image Ensembles: TensorFaces"],  Proc. 7th European Conference on Computer Vision (ECCV'02), Copenhagen, Denmark, May, 2002</ref><ref name="Vasilescu2003">M. A. O. Vasilescu, D. Terzopoulos (2003) [http://www.cs.toronto.edu/~maov/tensorfaces/cvpr03.pdf "Multilinear Subspace Analysis of Image Ensembles"], "Proceedings of the IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition (CVPR’03), Madison, WI, June, 2003"</ref><ref name=":Vasilescu2005">M. A. O. Vasilescu, D. Terzopoulos (2005) [http://www.media.mit.edu/~maov/mica/mica05.pdf "Multilinear Independent Component Analysis"], "Proceedings of the IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition (CVPR’05), San Diego, CA, June 2005, vol.1, 547–553."</ref> के प्रतिस्थानीय और L1-नॉर्म-आधारित विभिन्न प्रकार भी प्रस्तावित किए गए हैं।<ref name="robustHOSVD">{{Cite journal|last1=Godfarb|first1=Donald|last2=Zhiwei|first2=Qin|title=Robust low-rank tensor recovery: Models and algorithms|
    journal=SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications|volume=35|number=1|pages=225–253|date=2014|doi=10.1137/130905010|arxiv=1311.6182|s2cid=1051205}}</ref><ref name="l1tucker">{{cite journal|last1=Chachlakis|first1=Dimitris G.|last2=Prater-Bennette|first2=Ashley|last3=Markopoulos|first3=Panos P.|title=L1-मानदंड टकर टेंसर अपघटन|journal=IEEE Access|date=22 November 2019|volume=7|pages=178454–178465|doi=10.1109/ACCESS.2019.2955134|doi-access=free}}</ref><ref name="l1tucker3">{{cite journal|last1=Markopoulos|first1=Panos P.|last2=Chachlakis|first2=Dimitris G.|last3=Papalexakis|first3=Evangelos|title=The Exact Solution to Rank-1 L1-Norm TUCKER2 Decomposition|journal=IEEE Signal Processing Letters|volume=25|issue=4|date=April 2018|pages=511–515|doi=10.1109/LSP.2018.2790901|arxiv=1710.11306|bibcode=2018ISPL...25..511M|s2cid=3693326}}</ref><ref name="l1tucker2">{{cite book|last1=Markopoulos|first1=Panos P.|last2=Chachlakis|first2=Dimitris G.|last3=Prater-Bennette|first3=Ashley|title=2018 IEEE Global Conference on Signal and Information Processing (GlobalSIP) |chapter=L1-Norm Higher-Order Singular-Value Decomposition |date=21 February 2019|pages=1353–1357|doi=10.1109/GlobalSIP.2018.8646385|isbn=978-1-7281-1295-4|s2cid=67874182}}</ref>
 == परिभाषा ==
 इस आलेख के प्रयोजन के लिए, अमूर्त टेंसर <math>\mathcal{A}</math> यह मान लिया गया है कि किसी आधार के संबंध में निर्देशांक में Tensor#As बहुआयामी सारणी|एम-वे सारणी के रूप में दिया गया है, जिसे इसके द्वारा भी दर्शाया जाता है <math>\mathcal{A}\in\mathbb{C}^{I_1 \times I_2 \cdots \times \cdots I_m \cdots\times I_M}</math>, जहां एम मोड की संख्या और टेंसर का क्रम है। <math>\mathbb{C}</math> सम्मिश्र संख्याएँ हैं और इसमें दोनों वास्तविक संख्याएँ शामिल हैं <math>\mathbb{R}</math> और शुद्ध काल्पनिक संख्याएँ।
-होने देना <math>{\bf U}_m \in \mathbb{C}^{I_m \times R_m}</math>एक [[एकात्मक मैट्रिक्स]] बनें जिसमें टेन्सर रीशेपिंग के बाएँ एकवचन वैक्टर का आधार हो | मानक मोड-एम फ़्लैटनिंग <math>\mathcal{A}_{[m]}</math> का <math>\mathcal{A}</math> जैसे कि jth कॉलम <math>\mathbf{u}_j</math> का <math>{\bf U}_m</math> के jवें सबसे बड़े एकवचन मान से मेल खाता है <math>\mathcal{A}_{[m]}</math>. ध्यान दें कि मोड/कारक मैट्रिक्स <math>{\bf U}_m</math> मोड एम फ़्लैटनिंग की विशिष्ट परिभाषा पर विशेष पर निर्भर नहीं करता है। [[बहुरेखीय गुणन]] के गुणों से, हमारे पास है<math display="block">\begin{array}{rcl}
+होने देना <math>{\bf U}_m \in \mathbb{C}^{I_m \times R_m}</math>एक [[एकात्मक मैट्रिक्स|एकात्मक आव्यूह]] बनें जिसमें टेन्सर रीशेपिंग के बाएँ एकवचन वैक्टर का आधार हो | मानक मोड-एम फ़्लैटनिंग <math>\mathcal{A}_{[m]}</math> का <math>\mathcal{A}</math> जैसे कि jth कॉलम <math>\mathbf{u}_j</math> का <math>{\bf U}_m</math> के jवें सबसे बड़े एकवचन मान से मेल खाता है <math>\mathcal{A}_{[m]}</math>. ध्यान दें कि मोड/कारक आव्यूह <math>{\bf U}_m</math> मोड एम फ़्लैटनिंग की विशिष्ट परिभाषा पर विशेष पर निर्भर नहीं करता है। [[बहुरेखीय गुणन]] के गुणों से, हमारे पास है<math display="block">\begin{array}{rcl}
 \mathcal{A}
 &=& \mathcal{A}\times ({\bf I}, {\bf I}, \ldots, {\bf I})  \\
 &=& \mathcal{A} \times ({\bf U}_1 {\bf U}_1^H, {\bf U}_2 {\bf U}_2^H, \ldots, {\bf U}_M {\bf U}_M^H) \\
 &=&  \left(\mathcal{A} \times ({\bf U}_1^H, {\bf U}_2^H, \ldots, {\bf U}_M^H) \right) \times ({\bf U}_1, {\bf U}_2, \ldots, {\bf U}_M),
-\end{array}</math>कहाँ <math>\cdot^H</math> संयुग्म स्थानान्तरण को दर्शाता है। दूसरी समानता इसलिए है क्योंकि <math>{\bf U}_m</math>'एकात्मक आव्यूह हैं। अब कोर टेंसर को परिभाषित करें<math display="block">\mathcal{S} := \mathcal{A} \times ({\bf U}_1^H, {\bf U}_2^H, \ldots, {\bf U}_M^H).</math>फिर, HOSVD<ref name=":2" />का <math>\mathcal{A}</math> विघटन है<math display="block">\mathcal{A} = \mathcal{S}\times ({\bf U}_1, {\bf U}_2, \ldots, {\bf U}_M).</math> उपरोक्त निर्माण से पता चलता है कि प्रत्येक टेंसर में एक HOSVD होता है।
+\end{array}</math>कहाँ <math>\cdot^H</math> संयुग्म स्थानान्तरण को दर्शाता है। दूसरी समानता इसलिए है क्योंकि <math>{\bf U}_m</math>'एकात्मक आव्यूह हैं। अब कोर टेंसर को परिभाषित करें<math display="block">\mathcal{S} := \mathcal{A} \times ({\bf U}_1^H, {\bf U}_2^H, \ldots, {\bf U}_M^H).</math>फिर, एचओएसवीडी<ref name=":2" />का <math>\mathcal{A}</math> विघटन है<math display="block">\mathcal{A} = \mathcal{S}\times ({\bf U}_1, {\bf U}_2, \ldots, {\bf U}_M).</math> उपरोक्त निर्माण से पता चलता है कि प्रत्येक टेंसर में एक एचओएसवीडी होता है।
-== कॉम्पैक्ट HOSVD ==
+== कॉम्पैक्ट एचओएसवीडी ==
-जैसा कि एक मैट्रिक्स के कॉम्पैक्ट एकवचन मूल्य अपघटन के मामले में, एक कॉम्पैक्ट HOSVD पर विचार करना भी संभव है, जो अनुप्रयोगों में बहुत उपयोगी है।
+जैसा कि एक आव्यूह के कॉम्पैक्ट एकवचन मूल्य अपघटन के मामले में, एक कॉम्पैक्ट एचओएसवीडी पर विचार करना भी संभव है, जो अनुप्रयोगों में बहुत उपयोगी है।
-ये मान लीजिए <math>{\bf U}_m \in \mathbb{C}^{I_m \times R_m}</math> एकात्मक स्तंभों वाला एक मैट्रिक्स है जिसमें मानक कारक-एम फ़्लैटनिंग के गैर-शून्य एकवचन मानों के अनुरूप बाएं एकवचन वैक्टर का आधार होता है <math>\mathcal{A}_{[m]}</math> का <math>\mathcal{A}</math>. के कॉलम दें <math>{\bf U}_m</math> इस प्रकार क्रमबद्ध किया जाए कि <math>r_m</math> वां स्तंभ <math>{\bf u}_{r_m}</math> का <math>{\bf U}_m</math> से मेल खाता है<math>r_m</math>का सबसे बड़ा गैर शून्य एकवचन मान <math>\mathcal{A}_{[m]}</math>. के कॉलम के बाद से <math>{\bf U}_m</math> की छवि के लिए एक आधार तैयार करें <math>\mathcal{A}_{[m]}</math>, अपने पास<math display="block">\mathcal{A}_{[m]} = {\bf U}_m {\bf U}_m^H \mathcal{A}_{[m]} = \bigl( \mathcal{A} \times_m ({\bf U}_m {\bf U}_m^H)  \bigr)_{[m]},</math>जहां पहली समानता [[प्रक्षेपण (रैखिक बीजगणित)]] (हर्मिटियन आंतरिक उत्पाद में) के गुणों के कारण है और अंतिम समानता बहुरेखीय गुणन के गुणों के कारण है। चूँकि फ़्लैटनिंग विशेषणात्मक मानचित्र हैं और उपरोक्त सूत्र सभी के लिए मान्य है <math>m=1,2,\ldots,m,\ldots,M</math>, हम उससे पहले जैसा पाते हैं<math display="block">\begin{array}{rcl}
+ये मान लीजिए <math>{\bf U}_m \in \mathbb{C}^{I_m \times R_m}</math> एकात्मक स्तंभों वाला एक आव्यूह है जिसमें मानक कारक-एम फ़्लैटनिंग के गैर-शून्य एकवचन मानों के अनुरूप बाएं एकवचन वैक्टर का आधार होता है <math>\mathcal{A}_{[m]}</math> का <math>\mathcal{A}</math>. के कॉलम दें <math>{\bf U}_m</math> इस प्रकार क्रमबद्ध किया जाए कि <math>r_m</math> वां स्तंभ <math>{\bf u}_{r_m}</math> का <math>{\bf U}_m</math> से मेल खाता है<math>r_m</math>का सबसे बड़ा गैर शून्य एकवचन मान <math>\mathcal{A}_{[m]}</math>. के कॉलम के बाद से <math>{\bf U}_m</math> की छवि के लिए एक आधार तैयार करें <math>\mathcal{A}_{[m]}</math>, अपने पास<math display="block">\mathcal{A}_{[m]} = {\bf U}_m {\bf U}_m^H \mathcal{A}_{[m]} = \bigl( \mathcal{A} \times_m ({\bf U}_m {\bf U}_m^H)  \bigr)_{[m]},</math>जहां पहली समानता [[प्रक्षेपण (रैखिक बीजगणित)]] (हर्मिटियन आंतरिक उत्पाद में) के गुणों के कारण है और अंतिम समानता बहुरेखीय गुणन के गुणों के कारण है। चूँकि फ़्लैटनिंग विशेषणात्मक मानचित्र हैं और उपरोक्त सूत्र सभी के लिए मान्य है <math>m=1,2,\ldots,m,\ldots,M</math>, हम उससे पहले जैसा पाते हैं<math display="block">\begin{array}{rcl}
 \mathcal{A}
 &=&  \mathcal{A} \times ({\bf U}_1 {\bf U}_1^H, {\bf U}_2 {\bf U}_2^H, \ldots, {\bf U}_M {\bf U}_M^H)\\
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 बहुरेखीय रैंक<ref name=":0" />का <math>\mathcal{A}</math> रैंक से दर्शाया जाता है-<math>(R_1, R_2, \ldots, R_M) </math>. मल्टीलिनियर रैंक एक टपल है <math>\mathbb{N}^M</math> कहाँ <math>R_m := \mathrm{rank}( \mathcal{A}_{[m]} )</math>. सभी टुपल्स अंदर नहीं हैं <math>\mathbb{N}^M</math> बहुरेखीय रैंक हैं।<ref name=":3">{{Cite journal|last1=Carlini|first1=Enrico|last2=Kleppe|first2=Johannes|title=बहुरेखीय मानचित्रों से प्राप्त रैंक|journal=Journal of Pure and Applied Algebra|volume=215|issue=8|pages=1999–2004|doi=10.1016/j.jpaa.2010.11.010|year=2011|doi-access=free}}</ref> बहुरेखीय रैंकों से बंधे हैं <math>1 \le R_m \le I_m</math> और यह बाधा को संतुष्ट करता है <math display="inline">R_m \le \prod_{i \ne m} R_i</math> अवश्य होल्ड करें।<ref name=":3" />
-कॉम्पैक्ट HOSVD इस अर्थ में एक रैंक-खुलासा विघटन है कि इसके कोर टेंसर के आयाम टेंसर के मल्टीलाइनर रैंक के घटकों के अनुरूप हैं।
+कॉम्पैक्ट एचओएसवीडी इस अर्थ में एक रैंक-खुलासा विघटन है कि इसके कोर टेंसर के आयाम टेंसर के मल्टीलाइनर रैंक के घटकों के अनुरूप हैं।
 == व्याख्या ==
-निम्नलिखित ज्यामितीय व्याख्या पूर्ण और कॉम्पैक्ट HOSVD दोनों के लिए मान्य है। होने देना <math>(R_1, R_2, \ldots, R_M)</math> टेंसर की बहुरेखीय रैंक बनें <math>\mathcal{A}</math>. तब से <math>\mathcal{S} \in {\mathbb C}^{R_1 \times R_2 \times \cdots \times R_M}</math> एक बहुआयामी सरणी है, हम इसे निम्नानुसार विस्तारित कर सकते हैं<math display="block">\mathcal{S} = \sum_{r_1=1}^{R_1} \sum_{r_2=1}^{R_2} \cdots \sum_{r_M=1}^{R_M} s_{r_1,r_2,\ldots,r_M} \mathbf{e}_{r_1} \otimes \mathbf{e}_{r_2} \otimes \cdots \otimes \mathbf{e}_{r_M},</math>कहाँ <math>\mathbf{e}_{r_m}</math> है <math>r_m</math>का मानक आधार वेक्टर <math>{\mathbb C}^{I_m}</math>. बहुरेखीय गुणन की परिभाषा के अनुसार, यह ऐसा मानता है<math display="block">\mathcal{A} = \sum_{r_1=1}^{R_1} \sum_{r_2=1}^{R_2} \cdots \sum_{r_M=1}^{R_M} s_{r_1,r_2,\ldots,r_M}
+निम्नलिखित ज्यामितीय व्याख्या पूर्ण और कॉम्पैक्ट एचओएसवीडी दोनों के लिए मान्य है। होने देना <math>(R_1, R_2, \ldots, R_M)</math> टेंसर की बहुरेखीय रैंक बनें <math>\mathcal{A}</math>. तब से <math>\mathcal{S} \in {\mathbb C}^{R_1 \times R_2 \times \cdots \times R_M}</math> एक बहुआयामी सरणी है, हम इसे निम्नानुसार विस्तारित कर सकते हैं<math display="block">\mathcal{S} = \sum_{r_1=1}^{R_1} \sum_{r_2=1}^{R_2} \cdots \sum_{r_M=1}^{R_M} s_{r_1,r_2,\ldots,r_M} \mathbf{e}_{r_1} \otimes \mathbf{e}_{r_2} \otimes \cdots \otimes \mathbf{e}_{r_M},</math>कहाँ <math>\mathbf{e}_{r_m}</math> है <math>r_m</math>का मानक आधार वेक्टर <math>{\mathbb C}^{I_m}</math>. बहुरेखीय गुणन की परिभाषा के अनुसार, यह ऐसा मानता है<math display="block">\mathcal{A} = \sum_{r_1=1}^{R_1} \sum_{r_2=1}^{R_2} \cdots \sum_{r_M=1}^{R_M} s_{r_1,r_2,\ldots,r_M}
-\mathbf{u}_{r_1} \otimes \mathbf{u}_{r_2} \otimes \cdots \otimes \mathbf{u}_{r_M},</math>जहां <math>\mathbf{u}_{r_m}</math> के कॉलम हैं <math>{\bf U}_m \in {\mathbb C}^{I_m \times R_m}</math>. इसे सत्यापित करना आसान है <math>B = \{ \mathbf{u}_{r_1} \otimes \mathbf{u}_{r_2} \otimes \cdots \otimes \mathbf{u}_{r_M} \}_{r_1,r_2,\ldots,r_M}</math> टेंसरों का एक ऑर्थोनॉर्मल सेट है। इसका मतलब यह है कि HOSVD की व्याख्या टेंसर को व्यक्त करने के एक तरीके के रूप में की जा सकती है <math>\mathcal{A}</math> विशेष रूप से चुने गए ऑर्थोनॉर्मल आधार के संबंध में <math>B</math> बहुआयामी सरणी के रूप में दिए गए गुणांकों के साथ <math>\mathcal{S}</math>.
+\mathbf{u}_{r_1} \otimes \mathbf{u}_{r_2} \otimes \cdots \otimes \mathbf{u}_{r_M},</math>जहां <math>\mathbf{u}_{r_m}</math> के कॉलम हैं <math>{\bf U}_m \in {\mathbb C}^{I_m \times R_m}</math>. इसे सत्यापित करना आसान है <math>B = \{ \mathbf{u}_{r_1} \otimes \mathbf{u}_{r_2} \otimes \cdots \otimes \mathbf{u}_{r_M} \}_{r_1,r_2,\ldots,r_M}</math> टेंसरों का एक ऑर्थोनॉर्मल सेट है। इसका मतलब यह है कि एचओएसवीडी की व्याख्या टेंसर को व्यक्त करने के एक तरीके के रूप में की जा सकती है <math>\mathcal{A}</math> विशेष रूप से चुने गए ऑर्थोनॉर्मल आधार के संबंध में <math>B</math> बहुआयामी सरणी के रूप में दिए गए गुणांकों के साथ <math>\mathcal{S}</math>.
 == गणना ==
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 === क्लासिक गणना ===
-मल्टीलिनियर एसवीडी और एम-मोड एसवीडी की गणना करने की रणनीति 1960 के दशक में एल. आर. टकर द्वारा पेश की गई थी,<ref name="Tucker1963" />आगे लिवेन डी लाथौवर|एल द्वारा वकालत की गई। डी लाथौवर एट अल।<ref name=":2" />और वासिलेस्कु और टेरज़ोपुलस द्वारा।<ref name=":Vasilescu2005" /><ref name=":Vasilescu2002" />  HOSVD शब्द लिवेन डी लाथौवर द्वारा गढ़ा गया था, लेकिन साहित्य में आमतौर पर HOSVD के रूप में संदर्भित एल्गोरिथ्म को वासिलेस्कु और टेरज़ोपोलोस द्वारा पेश किया गया था।<ref name=":Vasilescu2002"/><ref name=":Vasilescu2005" />एम-मोड एसवीडी नाम के साथ। यह एक समानांतर गणना है जो ऑर्थोनॉर्मल मोड मैट्रिक्स की गणना करने के लिए मैट्रिक्स एसवीडी को नियोजित करती है।
+मल्टीलिनियर एसवीडी और एम-मोड एसवीडी की गणना करने की रणनीति 1960 के दशक में एल. आर. टकर द्वारा पेश की गई थी,<ref name="Tucker1963" />आगे लिवेन डी लाथौवर|एल द्वारा वकालत की गई। डी लाथौवर एट अल।<ref name=":2" />और वासिलेस्कु और टेरज़ोपुलस द्वारा।<ref name=":Vasilescu2005" /><ref name=":Vasilescu2002" />  एचओएसवीडी शब्द लिवेन डी लाथौवर द्वारा गढ़ा गया था, परंतु  साहित्य में आमतौर पर एचओएसवीडी के रूप में संदर्भित कलन विधि  को वासिलेस्कु और टेरज़ोपोलोस द्वारा पेश किया गया था।<ref name=":Vasilescu2002"/><ref name=":Vasilescu2005" />एम-मोड एसवीडी नाम के साथ। यह एक समानांतर गणना है जो ऑर्थोनॉर्मल मोड आव्यूह की गणना करने के लिए आव्यूह एसवीडी को नियोजित करती है।
 ==== एम-मोड एसवीडी:<ref name=":Vasilescu2002"/><ref name=":Vasilescu2005"/>====
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 === इंटरलेसिंग गणना ===
-एक ऐसी रणनीति जो कुछ या सभी होने पर काफी तेज़ होती है <math>r_k \ll n_k </math> इसमें कोर टेंसर और कारक मैट्रिक्स की गणना को निम्नानुसार शामिल किया गया है:<ref name=":4">{{Cite journal|last1=Vannieuwenhoven|first1=N.|last2=Vandebril|first2=R.|last3=Meerbergen|first3=K.|date=2012-01-01|title=उच्च-क्रम एकवचन मूल्य अपघटन के लिए एक नई ट्रंकेशन रणनीति|journal=SIAM Journal on Scientific Computing|volume=34|issue=2|pages=A1027–A1052|doi=10.1137/110836067|bibcode=2012SJSC...34A1027V |s2cid=15318433 |issn=1064-8275|url=https://lirias.kuleuven.be/handle/123456789/337210}}</ref><ref name=":5">{{Cite book|title=Tensor Spaces and Numerical Tensor Calculus {{!}} SpringerLink|volume = 42|last=Hackbusch|first=Wolfgang|language=en-gb|doi=10.1007/978-3-642-28027-6|series = Springer Series in Computational Mathematics|year = 2012|isbn = 978-3-642-28026-9| s2cid=117253621 }}</ref><ref name=":fist_hosvd">{{Cite conference|last1=Cobb|first1=Benjamin|last2=Kolla|first2=Hemanth|last3=Phipps|first3=Eric|last4=Çatalyürek|first4=Ümit V.|date=2022|title=FIST-HOSVD: जगह में जुड़े हुए अनुक्रमिक रूप से उच्च क्रम वाले एकवचन मूल्य अपघटन को काट दिया गया|conference=Platform for Advanced Scientific Computing(PASC) |language=en|isbn=9781450394109|doi=10.1145/3539781.3539798|url=https://doi.org/10.1145/3539781.3539798}}</ref>
+एक ऐसी रणनीति जो कुछ या सभी होने पर काफी तेज़ होती है <math>r_k \ll n_k </math> इसमें कोर टेंसर और कारक आव्यूह की गणना को निम्नानुसार शामिल किया गया है:<ref name=":4">{{Cite journal|last1=Vannieuwenhoven|first1=N.|last2=Vandebril|first2=R.|last3=Meerbergen|first3=K.|date=2012-01-01|title=उच्च-क्रम एकवचन मूल्य अपघटन के लिए एक नई ट्रंकेशन रणनीति|journal=SIAM Journal on Scientific Computing|volume=34|issue=2|pages=A1027–A1052|doi=10.1137/110836067|bibcode=2012SJSC...34A1027V |s2cid=15318433 |issn=1064-8275|url=https://lirias.kuleuven.be/handle/123456789/337210}}</ref><ref name=":5">{{Cite book|title=Tensor Spaces and Numerical Tensor Calculus {{!}} SpringerLink|volume = 42|last=Hackbusch|first=Wolfgang|language=en-gb|doi=10.1007/978-3-642-28027-6|series = Springer Series in Computational Mathematics|year = 2012|isbn = 978-3-642-28026-9| s2cid=117253621 }}</ref><ref name=":fist_hosvd">{{Cite conference|last1=Cobb|first1=Benjamin|last2=Kolla|first2=Hemanth|last3=Phipps|first3=Eric|last4=Çatalyürek|first4=Ümit V.|date=2022|title=FIST-HOSVD: जगह में जुड़े हुए अनुक्रमिक रूप से उच्च क्रम वाले एकवचन मूल्य अपघटन को काट दिया गया|conference=Platform for Advanced Scientific Computing(PASC) |language=en|isbn=9781450394109|doi=10.1145/3539781.3539798|url=https://doi.org/10.1145/3539781.3539798}}</ref>
 * तय करना <math>\mathcal{A}^0 = \mathcal{A}</math>;
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 === इन-प्लेस गणना ===
-HOSVD की गणना फ़्यूज्ड इन-प्लेस सीक्वेंशियली ट्रंकेटेड हायर ऑर्डर सिंगुलर वैल्यू डीकंपोजिशन (FIST-HOSVD) के माध्यम से की जा सकती है। <ref name=":fist_hosvd" />HOSVD कोर टेंसर द्वारा मूल टेंसर को ओवरराइट करके एल्गोरिदम, HOSVD की गणना करने की मेमोरी खपत को काफी कम कर देता है।
+एचओएसवीडी की गणना फ़्यूज्ड इन-प्लेस सीक्वेंशियली ट्रंकेटेड हायर ऑर्डर सिंगुलर वैल्यू डीकंपोजिशन (FIST-एचओएसवीडी) के माध्यम से की जा सकती है। <ref name=":fist_hosvd" />एचओएसवीडी कोर टेंसर द्वारा मूल टेंसर को ओवरराइट करके कलन विधि , एचओएसवीडी की गणना करने की मेमोरी खपत को काफी कम कर देता है।
 ==अनुमान ==
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 \quad\text{s.t.}\quad \mathrm{rank-}(\bar R_1, \bar R_2, \ldots, \bar R_M), </math>कहाँ <math>(\bar R_1, \bar R_2, \ldots, \bar R_M) \in \mathbb{N}^M </math> के साथ घटी हुई बहुरेखीय रैंक है <math>1 \le \bar R_m < R_m \le I_m </math>, और आदर्श <math>\|.\|_F</math> [[फ्रोबेनियस मानदंड]] है.
-इस अनुकूलन समस्या को हल करने का प्रयास करने का एक सरल विचार क्लासिक या इंटरलेस्ड गणना के चरण 2 में (कॉम्पैक्ट) एसवीडी को छोटा करना है। क्लासिक गणना में चरण 2 को प्रतिस्थापित करके एक शास्त्रीय रूप से काट दिया गया HOSVD प्राप्त किया जाता है
+इस अनुकूलन समस्या को हल करने का प्रयास करने का एक सरल विचार क्लासिक या इंटरलेस्ड गणना के चरण 2 में (कॉम्पैक्ट) एसवीडी को छोटा करना है। क्लासिक गणना में चरण 2 को प्रतिस्थापित करके एक शास्त्रीय रूप से काट दिया गया एचओएसवीडी प्राप्त किया जाता है
 * एक रैंक की गणना करें-<math>\bar R_m </math> छोटा किया गया एसवीडी <math>\mathcal{A}_{[m]} \approx U_m \Sigma_m V^T_m </math>, और शीर्ष पर स्टोर करें <math>\bar R_m </math> बाएं एकवचन सदिश <math>U_m \in F^{I_m \times \bar R_m}</math>;
-जबकि क्रमिक रूप से काटे गए HOSVD (या क्रमिक रूप से काटे गए HOSVD) को इंटरलेस्ड गणना में चरण 2 को प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है
+जबकि क्रमिक रूप से काटे गए एचओएसवीडी (या क्रमिक रूप से काटे गए एचओएसवीडी) को इंटरलेस्ड गणना में चरण 2 को प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है
-* एक रैंक की गणना करें-<math>\bar R_m </math> छोटा किया गया एसवीडी <math>\mathcal{A}_{[m]}^{m-1} \approx U_m \Sigma_m V^T_m </math>, और शीर्ष पर स्टोर करें <math>\bar R_m </math> बाएं एकवचन सदिश <math>U_m \in F^{I_m \times \bar R_m}</math>. दुर्भाग्य से, ट्रंकेशन के परिणामस्वरूप सर्वोत्तम निम्न बहुरेखीय रैंक अनुकूलन समस्या का इष्टतम समाधान नहीं मिलता है,<ref name=":2" /><ref name=":Vasilescu2002"/><ref name=":4" /><ref name=":fist_hosvd" /> हालाँकि, शास्त्रीय और इंटरलीव्ड काटे गए HOSVD दोनों का परिणाम अर्ध-इष्टतम समाधान में होता है:<ref name=":4" /><ref name=":fist_hosvd" /><ref name="Vasilescu2003" /><ref name=":5" /><ref>{{Cite journal|last=Grasedyck|first=L.|date=2010-01-01|title=टेंसरों का पदानुक्रमित एकवचन मान अपघटन|journal=SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications|volume=31|issue=4|pages=2029–2054|doi=10.1137/090764189|issn=0895-4798|citeseerx=10.1.1.660.8333}}</ref> अगर <math>\mathcal{\bar A}_t </math> शास्त्रीय या क्रमिक रूप से काटे गए HOSVD को दर्शाता है <math>\mathcal{\bar A}^* </math> तब, सर्वोत्तम निम्न बहुरेखीय रैंक सन्निकटन समस्या के इष्टतम समाधान को दर्शाता है<math display="block">\| \mathcal{A} - \mathcal{\bar A}_t \|_F \le \sqrt{M} \| \mathcal{A} - \mathcal{\bar A}^* \|_F; </math>व्यवहार में इसका मतलब यह है कि यदि एक छोटी सी त्रुटि के साथ एक इष्टतम समाधान मौजूद है, तो कई इच्छित उद्देश्यों के लिए एक छोटा HOSVD भी पर्याप्त रूप से अच्छा समाधान देगा।
+* एक रैंक की गणना करें-<math>\bar R_m </math> छोटा किया गया एसवीडी <math>\mathcal{A}_{[m]}^{m-1} \approx U_m \Sigma_m V^T_m </math>, और शीर्ष पर स्टोर करें <math>\bar R_m </math> बाएं एकवचन सदिश <math>U_m \in F^{I_m \times \bar R_m}</math>. दुर्भाग्य से, ट्रंकेशन के परिणामस्वरूप सर्वोत्तम निम्न बहुरेखीय रैंक अनुकूलन समस्या का इष्टतम समाधान नहीं मिलता है,<ref name=":2" /><ref name=":Vasilescu2002"/><ref name=":4" /><ref name=":fist_hosvd" /> हालाँकि, शास्त्रीय और इंटरलीव्ड काटे गए एचओएसवीडी दोनों का परिणाम अर्ध-इष्टतम समाधान में होता है:<ref name=":4" /><ref name=":fist_hosvd" /><ref name="Vasilescu2003" /><ref name=":5" /><ref>{{Cite journal|last=Grasedyck|first=L.|date=2010-01-01|title=टेंसरों का पदानुक्रमित एकवचन मान अपघटन|journal=SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications|volume=31|issue=4|pages=2029–2054|doi=10.1137/090764189|issn=0895-4798|citeseerx=10.1.1.660.8333}}</ref> अगर <math>\mathcal{\bar A}_t </math> शास्त्रीय या क्रमिक रूप से काटे गए एचओएसवीडी को दर्शाता है <math>\mathcal{\bar A}^* </math> तब, सर्वोत्तम निम्न बहुरेखीय रैंक सन्निकटन समस्या के इष्टतम समाधान को दर्शाता है<math display="block">\| \mathcal{A} - \mathcal{\bar A}_t \|_F \le \sqrt{M} \| \mathcal{A} - \mathcal{\bar A}^* \|_F; </math>व्यवहार में इसका मतलब यह है कि यदि एक छोटी सी त्रुटि के साथ एक इष्टतम समाधान मौजूद है, तो कई इच्छित उद्देश्यों के लिए एक छोटा एचओएसवीडी भी पर्याप्त रूप से अच्छा समाधान देगा।
 == अनुप्रयोग ==
-HOSVD का उपयोग आमतौर पर बहु-मार्गीय सरणियों से प्रासंगिक जानकारी निकालने के लिए किया जाता है।
+एचओएसवीडी का उपयोग आमतौर पर बहु-मार्गीय सरणियों से प्रासंगिक जानकारी निकालने के लिए किया जाता है।
 के दशक की शुरुआत में, वासिलेस्कु ने डेटा विश्लेषण, पहचान और संश्लेषण समस्याओं को मल्टीलाइनर टेंसर समस्याओं के रूप में पुनः परिभाषित करके कारण संबंधी प्रश्नों को संबोधित किया। गति पहचान के लिए ह्यूमन मोशन सिग्नेचर के संदर्भ में, डेटा निर्माण के कारण कारकों के संदर्भ में एक छवि को विघटित और प्रस्तुत करके टेंसर ढांचे की शक्ति का प्रदर्शन किया गया था।<ref name="Vasilescu2002b2">M. A. O. Vasilescu (2002) [http://www.media.mit.edu/~maov/motionsignatures/hms_icpr02_corrected.pdf "Human Motion Signatures: Analysis, Synthesis, Recognition," Proceedings of International Conference on Pattern Recognition (ICPR 2002), Vol. 3, Quebec City, Canada, Aug, 2002, 456–460.]</ref> चेहरे की पहचान—[[TensorFaces]]<ref name="Vasilescu20032">M.A.O. Vasilescu, D. Terzopoulos (2003) [http://www.media.mit.edu/~maov/tensorfaces/cvpr03.pdf "Multilinear Subspace Analysis for Image Ensembles,'' M. A. O. Vasilescu, D. Terzopoulos, Proc. Computer Vision and Pattern Recognition Conf. (CVPR '03), Vol.2, Madison, WI, June, 2003, 93–99.'']</ref><ref name="Vasilescu2002a2">M.A.O. Vasilescu, D. Terzopoulos (2002) [http://www.media.mit.edu/~maov/tensorfaces/eccv02_corrected.pdf "Multilinear Analysis of Image Ensembles: TensorFaces," Proc. 7th European Conference on Computer Vision (ECCV'02), Copenhagen, Denmark, May, 2002, in Computer Vision -- ECCV 2002, Lecture Notes in Computer Science, Vol. 2350, A. Heyden et al. (Eds.), Springer-Verlag, Berlin, 2002, 447–460.]</ref> और कंप्यूटर ग्राफ़िक्स—TensorTextures।<ref name="Vasilescu20042">M.A.O. Vasilescu, D. Terzopoulos (2004) [http://www.media.mit.edu/~maov/tensortextures/Vasilescu_siggraph04.pdf "TensorTextures: Multilinear Image-Based Rendering", M. A. O. Vasilescu and D. Terzopoulos, Proc. ACM SIGGRAPH 2004 Conference Los Angeles, CA, August, 2004, in Computer Graphics Proceedings, Annual Conference Series, 2004, 336–342.]</ref>
-HOSVD को सिग्नल प्रोसेसिंग और बड़े डेटा, जैसे जीनोमिक सिग्नल प्रोसेसिंग में सफलतापूर्वक लागू किया गया है।<ref>{{Cite journal|author1=L. Omberg|author2=G. H. Golub|author3=O. Alter|date=November 2007|title=विभिन्न अध्ययनों से डीएनए माइक्रोएरे डेटा के एकीकृत विश्लेषण के लिए एक टेंसर उच्च-क्रम एकवचन मूल्य अपघटन|journal=PNAS|volume=104|issue=47|pages=18371–18376|doi=10.1073/pnas.0709146104|pmc=2147680|pmid=18003902|bibcode=2007PNAS..10418371O|doi-access=free}}</ref><ref>{{Cite journal|author1=L. Omberg|author2=J. R. Meyerson|author3=K. Kobayashi|author4=L. S. Drury|author5=J. F. X. Diffley|author6=O. Alter|date=October 2009|title=यूकेरियोटिक जीन अभिव्यक्ति पर डीएनए प्रतिकृति और डीएनए प्रतिकृति मूल गतिविधि के वैश्विक प्रभाव|journal=Molecular Systems Biology|volume=5|pages=312|doi=10.1038/msb.2009.70|pmc=2779084|pmid=19888207|id=[http://www.alterlab.org/research/highlights/msb.2009.70_Highlight.pdf Highlight]}}</ref><ref>{{Cite journal|author1=C. Muralidhara|author2=A. M. Gross|author3=R. R. Gutell|author4=O. Alter|date=April 2011|title=टेंसर अपघटन राइबोसोमल आरएनए में संरचनात्मक रूपांकनों के साथ समवर्ती विकासवादी अभिसरण और विचलन और सहसंबंध को प्रकट करता है|journal=PLOS ONE|volume=6|issue=4|pages=e18768|doi=10.1371/journal.pone.0018768|pmc=3094155|pmid=21625625|id=[http://www.alterlab.org/research/highlights/pone.0018768_Highlight.pdf Highlight]|bibcode=2011PLoSO...618768M|doi-access=free}}</ref> इन अनुप्रयोगों ने उच्च-क्रम वाले जीएसवीडी (एचओ जीएसवीडी) को भी प्रेरित किया।<ref>{{Cite journal|author1=S. P. Ponnapalli|author2=M. A. Saunders|author3=C. F. Van Loan|author4=O. Alter|date=December 2011|title=एकाधिक जीवों से वैश्विक एमआरएनए अभिव्यक्ति की तुलना के लिए एक उच्च-क्रम सामान्यीकृत एकवचन मूल्य अपघटन|journal=PLOS ONE|volume=6|issue=12|pages=e28072|doi=10.1371/journal.pone.0028072|pmc=3245232|pmid=22216090|id=[http://www.alterlab.org/research/highlights/pone.0028072_Highlight.pdf Highlight]|bibcode=2011PLoSO...628072P|doi-access=free}}</ref> और एक टेंसर जीएसवीडी।<ref>{{Cite journal|author1=P. Sankaranarayanan|author2=T. E. Schomay|author3=K. A. Aiello|author4=O. Alter|date=April 2015|title=रोगी और प्लेटफ़ॉर्म-मिलान वाले ट्यूमर और सामान्य डीएनए कॉपी-नंबर प्रोफाइल का टेंसर जीएसवीडी ट्यूमर के क्रोमोसोम आर्म-वाइड पैटर्न को उजागर करता है-सेल परिवर्तन के लिए विशिष्ट प्लेटफ़ॉर्म-संगत परिवर्तन एन्कोडिंग और डिम्बग्रंथि के कैंसर के अस्तित्व की भविष्यवाणी करता है।|journal=PLOS ONE|volume=10|issue=4|pages=e0121396|doi=10.1371/journal.pone.0121396|pmc=4398562|pmid=25875127|id=[http://www.eurekalert.org/pub_releases/2015-04/uouh-nmi040915.php AAAS EurekAlert! Press Release] and [https://www.nae.edu/Projects/20730/wtop/134897.aspx NAE Podcast Feature]|bibcode=2015PLoSO..1021396S|doi-access=free}}</ref>
+एचओएसवीडी को सिग्नल प्रोसेसिंग और बड़े डेटा, जैसे जीनोमिक सिग्नल प्रोसेसिंग में सफलतापूर्वक लागू किया गया है।<ref>{{Cite journal|author1=L. Omberg|author2=G. H. Golub|author3=O. Alter|date=November 2007|title=विभिन्न अध्ययनों से डीएनए माइक्रोएरे डेटा के एकीकृत विश्लेषण के लिए एक टेंसर उच्च-क्रम एकवचन मूल्य अपघटन|journal=PNAS|volume=104|issue=47|pages=18371–18376|doi=10.1073/pnas.0709146104|pmc=2147680|pmid=18003902|bibcode=2007PNAS..10418371O|doi-access=free}}</ref><ref>{{Cite journal|author1=L. Omberg|author2=J. R. Meyerson|author3=K. Kobayashi|author4=L. S. Drury|author5=J. F. X. Diffley|author6=O. Alter|date=October 2009|title=यूकेरियोटिक जीन अभिव्यक्ति पर डीएनए प्रतिकृति और डीएनए प्रतिकृति मूल गतिविधि के वैश्विक प्रभाव|journal=Molecular Systems Biology|volume=5|pages=312|doi=10.1038/msb.2009.70|pmc=2779084|pmid=19888207|id=[http://www.alterlab.org/research/highlights/msb.2009.70_Highlight.pdf Highlight]}}</ref><ref>{{Cite journal|author1=C. Muralidhara|author2=A. M. Gross|author3=R. R. Gutell|author4=O. Alter|date=April 2011|title=टेंसर अपघटन राइबोसोमल आरएनए में संरचनात्मक रूपांकनों के साथ समवर्ती विकासवादी अभिसरण और विचलन और सहसंबंध को प्रकट करता है|journal=PLOS ONE|volume=6|issue=4|pages=e18768|doi=10.1371/journal.pone.0018768|pmc=3094155|pmid=21625625|id=[http://www.alterlab.org/research/highlights/pone.0018768_Highlight.pdf Highlight]|bibcode=2011PLoSO...618768M|doi-access=free}}</ref> इन अनुप्रयोगों ने उच्च-क्रम वाले जीएसवीडी (एचओ जीएसवीडी) को भी प्रेरित किया।<ref>{{Cite journal|author1=S. P. Ponnapalli|author2=M. A. Saunders|author3=C. F. Van Loan|author4=O. Alter|date=December 2011|title=एकाधिक जीवों से वैश्विक एमआरएनए अभिव्यक्ति की तुलना के लिए एक उच्च-क्रम सामान्यीकृत एकवचन मूल्य अपघटन|journal=PLOS ONE|volume=6|issue=12|pages=e28072|doi=10.1371/journal.pone.0028072|pmc=3245232|pmid=22216090|id=[http://www.alterlab.org/research/highlights/pone.0028072_Highlight.pdf Highlight]|bibcode=2011PLoSO...628072P|doi-access=free}}</ref> और एक टेंसर जीएसवीडी।<ref>{{Cite journal|author1=P. Sankaranarayanan|author2=T. E. Schomay|author3=K. A. Aiello|author4=O. Alter|date=April 2015|title=रोगी और प्लेटफ़ॉर्म-मिलान वाले ट्यूमर और सामान्य डीएनए कॉपी-नंबर प्रोफाइल का टेंसर जीएसवीडी ट्यूमर के क्रोमोसोम आर्म-वाइड पैटर्न को उजागर करता है-सेल परिवर्तन के लिए विशिष्ट प्लेटफ़ॉर्म-संगत परिवर्तन एन्कोडिंग और डिम्बग्रंथि के कैंसर के अस्तित्व की भविष्यवाणी करता है।|journal=PLOS ONE|volume=10|issue=4|pages=e0121396|doi=10.1371/journal.pone.0121396|pmc=4398562|pmid=25875127|id=[http://www.eurekalert.org/pub_releases/2015-04/uouh-nmi040915.php AAAS EurekAlert! Press Release] and [https://www.nae.edu/Projects/20730/wtop/134897.aspx NAE Podcast Feature]|bibcode=2015PLoSO..1021396S|doi-access=free}}</ref>
-[[रोग निगरानी]] में जटिल डेटा स्ट्रीम (स्थान और समय आयामों के साथ बहुभिन्नरूपी डेटा) से वास्तविक समय में घटना का पता लगाने के लिए HOSVD और SVD का संयोजन भी लागू किया गया है।<ref>{{Cite journal|author1=Hadi Fanaee-T|author2=João Gama|date=May 2015|title=EigenEvent: An algorithm for event detection from complex data streams in Syndromic surveillance|journal=Intelligent Data Analysis|volume=19|issue=3|pages=597–616|arxiv=1406.3496|bibcode=2014arXiv1406.3496F|doi=10.3233/IDA-150734|s2cid=17966555}}</ref>
+[[रोग निगरानी]] में जटिल डेटा स्ट्रीम (स्थान और समय आयामों के साथ बहुभिन्नरूपी डेटा) से वास्तविक समय में घटना का पता लगाने के लिए एचओएसवीडी और SVD का संयोजन भी लागू किया गया है।<ref>{{Cite journal|author1=Hadi Fanaee-T|author2=João Gama|date=May 2015|title=EigenEvent: An algorithm for event detection from complex data streams in Syndromic surveillance|journal=Intelligent Data Analysis|volume=19|issue=3|pages=597–616|arxiv=1406.3496|bibcode=2014arXiv1406.3496F|doi=10.3233/IDA-150734|s2cid=17966555}}</ref>
-इसका उपयोग [[टेंसर उत्पाद मॉडल परिवर्तन]]-आधारित नियंत्रक डिज़ाइन में भी किया जाता है।<ref name="Baranyi042">{{cite journal|author=P. Baranyi|date=April 2004|title=एलएमआई आधारित नियंत्रक डिजाइन के एक तरीके के रूप में टीपी मॉडल परिवर्तन|journal=IEEE Transactions on Industrial Electronics|volume=51|pages=387&ndash;400|doi=10.1109/tie.2003.822037|number=2|s2cid=7957799}}</ref><ref name="compind2">{{cite journal|author1=P. Baranyi|author2=D. Tikk|author3=Y. Yam|author4=R. J. Patton|year=2003|title=विभेदक समीकरणों से लेकर संख्यात्मक परिवर्तन के माध्यम से पीडीसी नियंत्रक डिजाइन तक|journal=Computers in Industry|volume=51|issue=3|pages=281&ndash;297|doi=10.1016/s0166-3615(03)00058-7}}</ref> HOSVD की अवधारणा को [[टीपी मॉडल परिवर्तन]] के माध्यम से बरनी और यम द्वारा कार्यों में ले जाया गया था।<ref name="Baranyi042" /><ref name="compind2" />इस विस्तार ने टेंसर उत्पाद फ़ंक्शंस और लीनियर पैरामीटर वेरिंग सिस्टम मॉडल के HOSVD-आधारित विहित रूप की परिभाषा को जन्म दिया।<ref name="canon12">{{cite conference|title=बहुविषयक गतिशील मॉडल के HOSVD-आधारित विहित रूप की परिभाषा|author1=P. Baranyi|author2=L. Szeidl|author3=P. Várlaki|author4=Y. Yam|date=July 3–5, 2006|location=Budapest, Hungary|pages=660–665|conference=3rd International Conference on Mechatronics (ICM 2006)}}</ref> और उत्तल पतवार हेरफेर आधारित नियंत्रण अनुकूलन सिद्धांत के लिए, [[नियंत्रण सिद्धांतों में टीपी मॉडल परिवर्तन]] देखें।
+इसका उपयोग [[टेंसर उत्पाद मॉडल परिवर्तन]]-आधारित नियंत्रक डिज़ाइन में भी किया जाता है।<ref name="Baranyi042">{{cite journal|author=P. Baranyi|date=April 2004|title=एलएमआई आधारित नियंत्रक डिजाइन के एक तरीके के रूप में टीपी मॉडल परिवर्तन|journal=IEEE Transactions on Industrial Electronics|volume=51|pages=387&ndash;400|doi=10.1109/tie.2003.822037|number=2|s2cid=7957799}}</ref><ref name="compind2">{{cite journal|author1=P. Baranyi|author2=D. Tikk|author3=Y. Yam|author4=R. J. Patton|year=2003|title=विभेदक समीकरणों से लेकर संख्यात्मक परिवर्तन के माध्यम से पीडीसी नियंत्रक डिजाइन तक|journal=Computers in Industry|volume=51|issue=3|pages=281&ndash;297|doi=10.1016/s0166-3615(03)00058-7}}</ref> एचओएसवीडी की अवधारणा को [[टीपी मॉडल परिवर्तन]] के माध्यम से बरनी और यम द्वारा कार्यों में ले जाया गया था।<ref name="Baranyi042" /><ref name="compind2" />इस विस्तार ने टेंसर उत्पाद फ़ंक्शंस और लीनियर पैरामीटर वेरिंग सिस्टम मॉडल के एचओएसवीडी-आधारित विहित रूप की परिभाषा को जन्म दिया।<ref name="canon12">{{cite conference|title=बहुविषयक गतिशील मॉडल के HOSVD-आधारित विहित रूप की परिभाषा|author1=P. Baranyi|author2=L. Szeidl|author3=P. Várlaki|author4=Y. Yam|date=July 3–5, 2006|location=Budapest, Hungary|pages=660–665|conference=3rd International Conference on Mechatronics (ICM 2006)}}</ref> और उत्तल पतवार हेरफेर आधारित नियंत्रण अनुकूलन सिद्धांत के लिए, [[नियंत्रण सिद्धांतों में टीपी मॉडल परिवर्तन]] देखें।
-HOSVD को बहु-दृश्य डेटा विश्लेषण पर लागू करने का प्रस्ताव दिया गया था<ref>{{Cite journal|author1=Y-h. Taguchi|date=August 2017|title=मल्टी-व्यू डेटा प्रोसेसिंग के लिए मैट्रिक्स उत्पादों पर टेन्सर अपघटन-आधारित अप्रशिक्षित सुविधा निष्कर्षण लागू किया गया|journal=PLOS ONE|volume=12|issue=8|pages=e0183933|doi=10.1371/journal.pone.0183933|pmc=5571984|pmid=28841719|bibcode=2017PLoSO..1283933T|doi-access=free}}</ref> और जीन अभिव्यक्ति से सिलिको दवा की खोज में इसे सफलतापूर्वक लागू किया गया।<ref>{{Cite journal|author1=Y-h. Taguchi|date=October 2017|title=रोगों और ड्रगमैट्रिक्स डेटासेट के बीच जीन अभिव्यक्ति के एकीकृत विश्लेषण में टेंसर-अपघटन-आधारित अनपर्यवेक्षित फ़ीचर निष्कर्षण का उपयोग करके उम्मीदवार दवाओं की पहचान|journal=Scientific Reports|volume=7|issue=1|pages=13733|doi=10.1038/s41598-017-13003-0|pmc=5653784|pmid=29062063|bibcode=2017NatSR...713733T}}</ref>
+एचओएसवीडी को बहु-दृश्य डेटा विश्लेषण पर लागू करने का प्रस्ताव दिया गया था<ref>{{Cite journal|author1=Y-h. Taguchi|date=August 2017|title=मल्टी-व्यू डेटा प्रोसेसिंग के लिए मैट्रिक्स उत्पादों पर टेन्सर अपघटन-आधारित अप्रशिक्षित सुविधा निष्कर्षण लागू किया गया|journal=PLOS ONE|volume=12|issue=8|pages=e0183933|doi=10.1371/journal.pone.0183933|pmc=5571984|pmid=28841719|bibcode=2017PLoSO..1283933T|doi-access=free}}</ref> और जीन अभिव्यक्ति से सिलिको दवा की खोज में इसे सफलतापूर्वक लागू किया गया।<ref>{{Cite journal|author1=Y-h. Taguchi|date=October 2017|title=रोगों और ड्रगमैट्रिक्स डेटासेट के बीच जीन अभिव्यक्ति के एकीकृत विश्लेषण में टेंसर-अपघटन-आधारित अनपर्यवेक्षित फ़ीचर निष्कर्षण का उपयोग करके उम्मीदवार दवाओं की पहचान|journal=Scientific Reports|volume=7|issue=1|pages=13733|doi=10.1038/s41598-017-13003-0|pmc=5653784|pmid=29062063|bibcode=2017NatSR...713733T}}</ref>
 == मजबूत एल1-मानक संस्करण ==
-L1-टकर टकर अपघटन का Lp_space|L1-मानदंड-आधारित, मजबूत_सांख्यिकी संस्करण है।<ref name="l1tucker"/><ref name="l1tucker3"/>L1-HOSVD, L1-टकर के समाधान के लिए HOSVD के समान है।<ref name="l1tucker"/><ref name="l1tucker2"/>
+L1-टकर टकर अपघटन का Lp_space|L1-मानदंड-आधारित, मजबूत_सांख्यिकी संस्करण है।<ref name="l1tucker"/><ref name="l1tucker3"/>L1-एचओएसवीडी, L1-टकर के समाधान के लिए एचओएसवीडी के समान है।<ref name="l1tucker"/><ref name="l1tucker2"/>

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