श्रेणियों की समरूपता: Difference between revisions

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{{Short description|Relation of categories in category theory}}
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[[श्रेणी सिद्धांत]] में, दो श्रेणियां सी और डी 'आइसोमोर्फिक' हैं यदि [[ऑपरेटर]] एफ: सी → डी और जी: डी → सी मौजूद हैं जो परस्पर दूसरे के विपरीत हैं, यानी एफजी = 1<sub>''D''</sub> (डी पर पहचान फ़ैक्टर) और जीएफ = 1<sub>''C''</sub>.<ref name="catswork">{{cite book |last=Mac Lane |first=Saunders |title=[[Categories for the Working Mathematician]] |publisher=Springer-Verlag |year=1998 |edition=2nd |series=Graduate Texts in Mathematics | volume=5 |author-link=Saunders Mac Lane |isbn=0-387-98403-8 | mr=1712872 | page=14}}</ref> इसका मतलब यह है कि दोनों [[वस्तु (श्रेणी सिद्धांत)]] और सी और डी के रूपवाद दूसरे के साथ -से- पत्राचार में खड़े हैं। दो समरूपी श्रेणियां उन सभी गुणों को साझा करती हैं जिन्हें केवल श्रेणी सिद्धांत के संदर्भ में परिभाषित किया गया है; सभी व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए, वे समान हैं और केवल उनकी वस्तुओं और आकारिकी के संकेतन में भिन्न हैं।
[[श्रेणी सिद्धांत]] में, दो श्रेणियां C और D 'आइसोमोर्फिक' हैं यदि [[ऑपरेटर|फ़ंक्टर]] ''F'' : ''C'' → ''D'' और ''G'' : ''D'' → ''C'' उपस्तिथ हैं जो परस्पर एक दूसरे के विपरीत हैं, अर्थात ''FG'' = 1<sub>''D''</sub> (D पर पहचान फ़ंक्टर) और ''GF'' = 1<sub>''C''</sub><ref name="catswork">{{cite book |last=Mac Lane |first=Saunders |title=[[Categories for the Working Mathematician]] |publisher=Springer-Verlag |year=1998 |edition=2nd |series=Graduate Texts in Mathematics | volume=5 |author-link=Saunders Mac Lane |isbn=0-387-98403-8 | mr=1712872 | page=14}}</ref> इसका तात्पर्य यह है कि Cऔर D की [[वस्तु (श्रेणी सिद्धांत)|वस्तुएं (श्रेणी सिद्धांत)]] और रूपवाद दोनों एक-दूसरे के साथ एक-से-एक पत्राचार हैं। दो समरूपी श्रेणियां उन सभी गुणों को भागित करती हैं जिन्हें केवल श्रेणी सिद्धांत के संदर्भ में परिभाषित किया गया है; सभी व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए, वे समान हैं और केवल उनकी वस्तुओं और आकारिकी के संकेतन में भिन्न हैं।


श्रेणियों की समरूपता बहुत मजबूत स्थिति है और व्यवहार में शायद ही कभी संतुष्ट होती है। श्रेणियों की तुल्यता की धारणा कहीं अधिक महत्वपूर्ण है; मोटे तौर पर कहें तो, श्रेणियों की समतुल्यता के लिए हमें इसकी आवश्यकता नहीं है <math>FG</math> इसके बराबर <math>1_D</math>, लेकिन केवल [[प्राकृतिक परिवर्तन]] के लिए <math>1_D</math>, और इसी तरह वह भी <math>GF</math> स्वाभाविक रूप से समरूपी होना <math>1_C</math>.
'''श्रेणियों की समरूपता''' अधिक स्थिर स्थिति है और व्यवहार में संभवतः ही कभी संतुष्ट होती है। श्रेणियों की तुल्यता की धारणा कहीं अधिक महत्वपूर्ण है; सामान्यतः कहें तो, श्रेणियों की समतुल्यता के लिए हमें इसकी आवश्यकता नहीं है <math>FG</math> के समान <math>1_D</math>, किंतु केवल [[प्राकृतिक परिवर्तन|प्राकृतिक रूप]] से समरूपी <math>1_D</math>, और इसी प्रकार वह भी <math>GF</math> स्वाभाविक रूप से <math>1_C</math> समरूपी होता हैं।


==गुण==
==गुण==
जैसा कि समरूपता की किसी भी धारणा के लिए सच है, हमारे पास औपचारिक रूप से तुल्यता संबंध के समान निम्नलिखित सामान्य गुण हैं:
जैसा कि समरूपता की किसी भी धारणा के लिए सत्य है, हमारे पास औपचारिक रूप से तुल्यता संबंध के समान निम्नलिखित सामान्य गुण हैं:
* कोई भी श्रेणी C अपने आप में समरूपी है
* कोई भी श्रेणी C अपने आप में समरूपी है।
* यदि C, D का समरूपी है, तो D, C का समरूपी है
* यदि C, D का समरूपी है, तो D, C का समरूपी है।
* यदि C, D के लिए समरूपी है और D, E के लिए समरूपी है, तो C, E के लिए समरूपी है।
* यदि C, D के लिए समरूपी है और D, E के लिए समरूपी है, तो C, E के लिए समरूपी है।


फ़ंक्टर F: C → D श्रेणियों का समरूपता उत्पन्न करता है यदि और केवल यदि यह वस्तुओं और [[ आदमी सेट ]] पर विशेषण है।<ref name="catswork"/>यह मानदंड सुविधाजनक हो सकता है क्योंकि यह व्युत्क्रम फ़ंक्टर G के निर्माण की आवश्यकता से बचाता है।
फ़ंक्टर F: C → D श्रेणियों का समरूपता उत्पन्न करता है यदि केवल यह वस्तुओं और [[ आदमी सेट |रूपवाद समुच्चय]] पर विशेषण है।<ref name="catswork"/>यह पैरामीटर सुविधाजनक हो सकता है क्योंकि यह व्युत्क्रम फ़ंक्टर G के निर्माण की आवश्यकता से बचाता है।


==उदाहरण==
==उदाहरण==
* परिमित [[समूह (गणित)]] G, [[फ़ील्ड (गणित)]] k और परिमित समूह kG पर समूह रिंग#समूह बीजगणित पर विचार करें। जी के के-रेखीय [[समूह प्रतिनिधित्व]] की श्रेणी केजी पर [[मॉड्यूल (गणित)]] की श्रेणी के लिए आइसोमोर्फिक है। समरूपता को इस प्रकार वर्णित किया जा सकता है: समूह प्रतिनिधित्व ρ: G → GL(V) दिया गया है, जहां V, k के ऊपर सदिश स्थान है, GL(V) इसके k-रेखीय [[ स्वचालितता ]] का समूह है, और ρ [[समूह समरूपता]] है, हम V को परिभाषित करके बाएं kG मॉड्यूल में बदल देते हैं। <math display="block">\left(\sum_{g\in G} a_g g\right) v = \sum_{g\in G} a_g \rho(g)(v)</math> V में प्रत्येक v और प्रत्येक तत्व Σ a के लिए<sub>g</sub>जी किलो में. इसके विपरीत,  बायाँ kG मॉड्यूल M दिया गया है, तो M k वेक्टर स्पेस है, और G के तत्व g के साथ गुणा करने पर M का k-रैखिक ऑटोमोर्फिज्म प्राप्त होता है (चूंकि g kG में उलटा होता है), जो समूह समरूपता G → GL(M) का वर्णन करता है। (जांच करने के लिए अभी भी कई चीजें हैं: ये दोनों असाइनमेंट फ़ैक्टर हैं, यानी उन्हें समूह प्रतिनिधित्व संबंधित केजी मॉड्यूल के बीच मानचित्रों पर लागू किया जा सकता है, और वे ऑब्जेक्ट्स और मॉर्फिज्म दोनों पर -दूसरे के विपरीत हैं)। यह सभी देखें {{slink|Representation theory of finite groups#Representations, modules and the convolution algebra}}.
* परिमित [[समूह (गणित)]] G, [[फ़ील्ड (गणित)|क्षेत्र (गणित)]] k और परिमित समूह kG पर विचार किया जाता है। G के k-रेखीय [[समूह प्रतिनिधित्व]] की श्रेणी ''kG'' पर [[मॉड्यूल (गणित)]] की श्रेणी के लिए आइसोमोर्फिक है। समरूपता को इस प्रकार वर्णित किया जा सकता है: समूह प्रतिनिधित्व ρ: G → GL(V) दिया गया है, जहां V, k के ऊपर सदिश समिष्ट है, GL(V) इसके k-रेखीय [[ स्वचालितता |स्वचालितता]] का समूह है, और ρ [[समूह समरूपता]] है, हम V को परिभाषित करके बाएं kG मॉड्यूल में परिवर्तित कर देते हैं। <math display="block">\left(\sum_{g\in G} a_g g\right) v = \sum_{g\in G} a_g \rho(g)(v)</math> V में प्रत्येक v के लिए और kG में प्रत्येक तत्व Σ ''a<sub>g</sub>'' ''g'' है।
* प्रत्येक रिंग (गणित) को ही वस्तु के साथ [[प्रीएडिटिव श्रेणी]] के रूप में देखा जा सकता है। इस श्रेणी से लेकर [[एबेलियन समूहों की श्रेणी]] तक के सभी [[योगात्मक फ़नकार]] की [[फ़ैक्टर श्रेणी]] रिंग के ऊपर बाएं मॉड्यूल की श्रेणी के लिए आइसोमोर्फिक है।
*इसके विपरीत,  बायाँ kG मॉड्यूल M दिया गया है, तो M, k सदिश समिष्ट है, और G के तत्व g के साथ गुणा करने पर M का k-रैखिक ऑटोमोर्फिज्म प्राप्त होता है (चूंकि g, kG में विपरीत होता है), जो समूह समरूपता G → GL(M) का वर्णन करता है। (परीक्षण करने के लिए अभी भी कई चीजें हैं: ये दोनों असाइनमेंट फ़ंक्टर हैं, अर्थात उन्हें समूह प्रतिनिधित्व संबंधित ''kG'' मॉड्यूल के मध्य मानचित्रों पर प्रारम्भ किया जा सकता है, और वे ऑब्जेक्ट्स और मॉर्फिज्म दोनों के विपरीत हैं)। यह सभी देखें {{slink|परिमित समूहों का प्रतिनिधित्व सिद्धांत#प्रतिनिधित्व, मॉड्यूल और कनवल्शन बीजगणित}}.
* श्रेणियों की और समरूपता [[बूलियन बीजगणित (संरचना)]] के सिद्धांत में उत्पन्न होती है: बूलियन बीजगणित की श्रेणी [[बूलियन रिंग]]ों की श्रेणी के लिए समरूपी है। बूलियन बीजगणित बी को देखते हुए, हम जोड़ और मीट ऑपरेशन के रूप में [[सममित अंतर]] का उपयोग करके बी को बूलियन रिंग में बदल देते हैं <math>\land</math> गुणन के रूप में. इसके विपरीत, बूलियन रिंग R को देखते हुए, हम जॉइन ऑपरेशन को a द्वारा परिभाषित करते हैं<math>\lor</math>b = a + b + ab, और गुणन के रूप में मिलन संक्रिया। फिर, इन दोनों असाइनमेंट को फ़ैक्टर्स उत्पन्न करने के लिए रूपवाद तक बढ़ाया जा सकता है, और ये फ़ैक्टर्स  दूसरे के विपरीत हैं।
* प्रत्येक वलय (गणित) को वस्तु के साथ [[प्रीएडिटिव श्रेणी]] के रूप में देखा जा सकता है। इस श्रेणी से लेकर [[एबेलियन समूहों की श्रेणी]] तक के सभी [[योगात्मक फ़नकार|योगात्मक फ़ंक्टर]] की [[फ़ैक्टर श्रेणी|फ़ंक्टर श्रेणी]] वलय के ऊपर बाएं मॉड्यूल की श्रेणी के लिए आइसोमोर्फिक है।
* यदि C प्रारंभिक ऑब्जेक्ट s के साथ श्रेणी है, तो स्लाइस श्रेणी (s↓C) C के लिए समरूपी है। दोहरी (श्रेणी सिद्धांत), यदि t C में [[ टर्मिनल वस्तु ]] है, तो फ़नकार श्रेणी (C↓t) C के लिए समरूपी है। इसी तरह, यदि '1'  ऑब्जेक्ट वाली श्रेणी है और केवल इसकी पहचान रूपवाद है (वास्तव में, '1' टर्मिनल ऑब्जेक्ट है), और C कोई भी श्रेणी है, तो फ़नकार श्रेणी C<sup>1</sup>, ऑब्जेक्ट फ़ैक्टर्स ''c'': 1 → ''C'' के साथ, ऑब्जेक्ट ''c''∈Ob(''C'') का चयन करना, और तीर प्राकृतिक परिवर्तन ''f'': ''c'' → ''d'' इन फ़ैक्टर्स के बीच, ''f'': ''c'' → ''d'' को ''C'' में चुनना, फिर से ''C'' के समरूपी है।
* श्रेणियों की समरूपता [[बूलियन बीजगणित (संरचना)]] के सिद्धांत में उत्पन्न होती है: बूलियन बीजगणित की श्रेणी [[बूलियन रिंग|बूलियन वलय]] की श्रेणी के लिए समरूपी है। बूलियन बीजगणित B को देखते हुए, हम जोड़ और मीट ऑपरेशन के रूप में [[सममित अंतर]] का उपयोग करके B को बूलियन वलय में परिवर्तित कर देते हैं <math>\land</math> गुणन के रूप में इसके विपरीत, बूलियन वलय R को देखते हुए, जॉइन ऑपरेशन को a द्वारा परिभाषित करते हैं <math>\lor</math>b = a + b + ab, और गुणन के रूप में मिलन संक्रिया है। फिर, इन दोनों असाइनमेंट को फ़ंक्टर्स उत्पन्न करने के लिए रूपवाद तक बढ़ाया जा सकता है, और ये फ़ंक्टर्स विपरीत हैं।
* यदि C प्रारंभिक ऑब्जेक्ट s के साथ श्रेणी है, तो स्लाइस श्रेणी (s↓C) C के लिए समरूपी है। डबल (श्रेणी सिद्धांत), यदि t, C में [[ टर्मिनल वस्तु |टर्मिनल वस्तु]] है, तो फ़नकार श्रेणी (C↓t) C के लिए समरूपी है। इसी प्रकार, यदि '1'  ऑब्जेक्ट वाली श्रेणी है और केवल इसकी पहचान रूपवाद है (वास्तव में, '1' टर्मिनल ऑब्जेक्ट है), और C कोई भी श्रेणी है, तो फ़नकार श्रेणी C<sup>1</sup>, ऑब्जेक्ट फ़ंक्टर्स ''c'': 1 → ''C'' के साथ, ऑब्जेक्ट ''c''∈Ob(''C'') का चयन करना, और एरो प्राकृतिक परिवर्तन ''f'': ''c'' → ''d'' इन फ़ंक्टर्स के मध्य, ''f'': ''c'' → ''d'' को ''C'' में चयन किया जाता है, फिर से ''C'' के समरूपी है।


== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==

Revision as of 18:55, 2 August 2023

श्रेणी सिद्धांत में, दो श्रेणियां C और D 'आइसोमोर्फिक' हैं यदि फ़ंक्टर F : C → D और G : D → C उपस्तिथ हैं जो परस्पर एक दूसरे के विपरीत हैं, अर्थात FG = 1D (D पर पहचान फ़ंक्टर) और GF = 1C[1] इसका तात्पर्य यह है कि Cऔर D की वस्तुएं (श्रेणी सिद्धांत) और रूपवाद दोनों एक-दूसरे के साथ एक-से-एक पत्राचार हैं। दो समरूपी श्रेणियां उन सभी गुणों को भागित करती हैं जिन्हें केवल श्रेणी सिद्धांत के संदर्भ में परिभाषित किया गया है; सभी व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए, वे समान हैं और केवल उनकी वस्तुओं और आकारिकी के संकेतन में भिन्न हैं।

श्रेणियों की समरूपता अधिक स्थिर स्थिति है और व्यवहार में संभवतः ही कभी संतुष्ट होती है। श्रेणियों की तुल्यता की धारणा कहीं अधिक महत्वपूर्ण है; सामान्यतः कहें तो, श्रेणियों की समतुल्यता के लिए हमें इसकी आवश्यकता नहीं है के समान , किंतु केवल प्राकृतिक रूप से समरूपी , और इसी प्रकार वह भी स्वाभाविक रूप से समरूपी होता हैं।

गुण

जैसा कि समरूपता की किसी भी धारणा के लिए सत्य है, हमारे पास औपचारिक रूप से तुल्यता संबंध के समान निम्नलिखित सामान्य गुण हैं:

  • कोई भी श्रेणी C अपने आप में समरूपी है।
  • यदि C, D का समरूपी है, तो D, C का समरूपी है।
  • यदि C, D के लिए समरूपी है और D, E के लिए समरूपी है, तो C, E के लिए समरूपी है।

फ़ंक्टर F: C → D श्रेणियों का समरूपता उत्पन्न करता है यदि केवल यह वस्तुओं और रूपवाद समुच्चय पर विशेषण है।[1]यह पैरामीटर सुविधाजनक हो सकता है क्योंकि यह व्युत्क्रम फ़ंक्टर G के निर्माण की आवश्यकता से बचाता है।

उदाहरण

  • परिमित समूह (गणित) G, क्षेत्र (गणित) k और परिमित समूह kG पर विचार किया जाता है। G के k-रेखीय समूह प्रतिनिधित्व की श्रेणी kG पर मॉड्यूल (गणित) की श्रेणी के लिए आइसोमोर्फिक है। समरूपता को इस प्रकार वर्णित किया जा सकता है: समूह प्रतिनिधित्व ρ: G → GL(V) दिया गया है, जहां V, k के ऊपर सदिश समिष्ट है, GL(V) इसके k-रेखीय स्वचालितता का समूह है, और ρ समूह समरूपता है, हम V को परिभाषित करके बाएं kG मॉड्यूल में परिवर्तित कर देते हैं।
    V में प्रत्येक v के लिए और kG में प्रत्येक तत्व Σ ag g है।
  • इसके विपरीत, बायाँ kG मॉड्यूल M दिया गया है, तो M, k सदिश समिष्ट है, और G के तत्व g के साथ गुणा करने पर M का k-रैखिक ऑटोमोर्फिज्म प्राप्त होता है (चूंकि g, kG में विपरीत होता है), जो समूह समरूपता G → GL(M) का वर्णन करता है। (परीक्षण करने के लिए अभी भी कई चीजें हैं: ये दोनों असाइनमेंट फ़ंक्टर हैं, अर्थात उन्हें समूह प्रतिनिधित्व संबंधित kG मॉड्यूल के मध्य मानचित्रों पर प्रारम्भ किया जा सकता है, और वे ऑब्जेक्ट्स और मॉर्फिज्म दोनों के विपरीत हैं)। यह सभी देखें परिमित समूहों का प्रतिनिधित्व सिद्धांत § प्रतिनिधित्व, मॉड्यूल और कनवल्शन बीजगणित.
  • प्रत्येक वलय (गणित) को वस्तु के साथ प्रीएडिटिव श्रेणी के रूप में देखा जा सकता है। इस श्रेणी से लेकर एबेलियन समूहों की श्रेणी तक के सभी योगात्मक फ़ंक्टर की फ़ंक्टर श्रेणी वलय के ऊपर बाएं मॉड्यूल की श्रेणी के लिए आइसोमोर्फिक है।
  • श्रेणियों की समरूपता बूलियन बीजगणित (संरचना) के सिद्धांत में उत्पन्न होती है: बूलियन बीजगणित की श्रेणी बूलियन वलय की श्रेणी के लिए समरूपी है। बूलियन बीजगणित B को देखते हुए, हम जोड़ और मीट ऑपरेशन के रूप में सममित अंतर का उपयोग करके B को बूलियन वलय में परिवर्तित कर देते हैं गुणन के रूप में इसके विपरीत, बूलियन वलय R को देखते हुए, जॉइन ऑपरेशन को a द्वारा परिभाषित करते हैं b = a + b + ab, और गुणन के रूप में मिलन संक्रिया है। फिर, इन दोनों असाइनमेंट को फ़ंक्टर्स उत्पन्न करने के लिए रूपवाद तक बढ़ाया जा सकता है, और ये फ़ंक्टर्स विपरीत हैं।
  • यदि C प्रारंभिक ऑब्जेक्ट s के साथ श्रेणी है, तो स्लाइस श्रेणी (s↓C) C के लिए समरूपी है। डबल (श्रेणी सिद्धांत), यदि t, C में टर्मिनल वस्तु है, तो फ़नकार श्रेणी (C↓t) C के लिए समरूपी है। इसी प्रकार, यदि '1' ऑब्जेक्ट वाली श्रेणी है और केवल इसकी पहचान रूपवाद है (वास्तव में, '1' टर्मिनल ऑब्जेक्ट है), और C कोई भी श्रेणी है, तो फ़नकार श्रेणी C1, ऑब्जेक्ट फ़ंक्टर्स c: 1 → C के साथ, ऑब्जेक्ट c∈Ob(C) का चयन करना, और एरो प्राकृतिक परिवर्तन f: c → d इन फ़ंक्टर्स के मध्य, f: c → d को C में चयन किया जाता है, फिर से C के समरूपी है।

यह भी देखें

  • श्रेणियों की समानता

संदर्भ

  1. ↑ 1.0 1.1 Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 5 (2nd ed.). Springer-Verlag. p. 14. ISBN 0-387-98403-8. MR 1712872.
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