अशक्त सूत्रीकरण

अशक्त सूत्रीकरण गणितीय समीकरण के विश्लेषण के लिए महत्वपूर्ण उपकरण हैं जो आंशिक अंतर समीकरणों जैसे अन्य क्षेत्रों में समस्याओं को हल करने के लिए रैखिक बीजगणित की अवधारणाओं के हस्तांतरण की अनुमति देते हैं। एक अशक्त सूत्रीकरण में, समीकरणों या नियमों को अब पूरी तरह से धारण करने की आवश्यकता नहीं है (और यह अच्छी तरह से परिभाषित भी नहीं है) और इसके अतिरिक्त केवल कुछ परीक्षण सदिश या परीक्षण कार्यों के संबंध में अशक्त समाधान हैं। एक शसक्त सूत्रीकरण में, समाधान स्थान का निर्माण इस तरह किया जाता है कि ये समीकरण या नियम पहले से ही पूरी हो जाती हैं।

लैक्स-मिलग्राम प्रमेय, जिसका नाम पीटर लैक्स और आर्थर मिलग्राम के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने इसे 1954 में सिद्ध किया था, हिल्बर्ट स्थान पर कुछ प्रणालियों के लिए अशक्त सूत्रीकरण प्रदान करता है।

सामान्य अवधारणा

मान लीजिए कि $V$ एक बैनाच स्पेस है, $V'$ इसका दोहरा स्पेस है, $A\colon V\to V'$, और $f\in V'$ समीकरण का हल $u\in V$ खोजा जाता है

$$Au=f$$

यह $u\in V$को इस प्रकार खोजने के समान है कि, सभी $v\in V$ के लिए।

$$[Au](v)=f(v).$$

यहाँ, $v$ परीक्षण सदिश या परीक्षण फलन कहा जाता है।

इसे एक अशक्त सूत्रीकरण के सामान्य रूप में लाने के लिए, $u\in V$ को ऐसे खोजें

$$a(u,v)=f(v)\quad \forall v\in V,$$

द्विरेखीय रूप को परिभाषित करते है

$$a(u,v):=[Au](v).$$

उदाहरण 1: समीकरणों की रैखिक प्रणाली

अब, मान लीजिए कि $V=\mathbb {R} ^{n}$ और $A:V\to V$ एक रैखिक मानचित्रण है। फिर, समीकरण का अशक्त सूत्रीकरण है

$$Au=f$$

इसमें $u\in V$ को इस प्रकार खोजना सम्मिलित है कि सभी $v\in V$ के लिए निम्नलिखित समीकरण मान्य हो:

$$\langle Au,v\rangle =\langle f,v\rangle ,$$

जहाँ $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ एक आंतरिक उत्पाद को दर्शाता है.

चूंकि $A$ एक रैखिक मानचित्रण है, यह आधार सदिश के साथ परीक्षण करने के लिए पर्याप्त है, और हमें मिलता है

$$\langle Au,e_{i}\rangle =\langle f,e_{i}\rangle ,\quad i=1,\ldots ,n.$$

इसलिए , $u=\sum _{j=1}^{n}u_{j}e_{j}$, का विस्तार करने पर, हमें समीकरण का आव्यूह रूप प्राप्त होता है

$$\mathbf {A} \mathbf {u} =\mathbf {f} ,$$

जहाँ $a_{ij}=\langle Ae_{j},e_{i}\rangle$ और $f_{i}=\langle f,e_{i}\rangle$.

इस अशक्त सूत्रीकरण से जुड़ा द्विरेखीय रूप है

$$a(u,v)=\mathbf {v} ^{T}\mathbf {A} \mathbf {u} .$$

उदाहरण 2: पॉइसन का समीकरण

पॉइसन के समीकरण को हल करने के लिए

$$-\nabla ^{2}u=f,$$

एक डोमेन $\Omega \subset \mathbb {R} ^{d}$ पर जिसकी सीमा पर $u=0$ है, और बाद में समाधान स्थान $V$ निर्दिष्ट करने के लिए, कोई $L^{2}$-स्केलर उत्पाद का उपयोग कर सकता है

$$\langle u,v\rangle =\int _{\Omega }uv\,dx$$

अशक्त सूत्रीकरण प्राप्त करने के लिए. फिर, भिन्न-भिन्न फलन $v$ के साथ परीक्षण से परिणाम मिलते हैं

$$-\int _{\Omega }(\nabla ^{2}u)v\,dx=\int _{\Omega }fv\,dx.$$

इस समीकरण के बाईं ओर को ग्रीन की पहचान का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकरण करके और यह मानकर अधिक सममित बनाया जा सकता है कि $v=0$ पर $\partial \Omega$:

 

$$\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\,dx=\int _{\Omega }fv\,dx.$$

इसे ही समान्यत: पॉइसन समीकरण का कमजोर सूत्रीकरण कहा जाता है। समाधान स्थान $V$ में फलन सीमा पर शून्य होना चाहिए, और इसमें वर्ग-अभिन्न व्युत्पन्न होना चाहिए। इन आवश्यकताओं को पूरा करने के लिए उपयुक्त स्थान $H_{0}^{1}(\Omega )$ में कमजोर डेरिवेटिव और शून्य सीमा नियमों के साथ कार्यों का सोबोलेव स्पेस $L^{2}(\Omega )$ है, इसलिए $V=H_{0}^{1}(\Omega )$.।

सामान्य प्रपत्र असाइन करके प्राप्त किया जाता है

$$a(u,v)=\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\,dx$$

और

$$f(v)=\int _{\Omega }fv\,dx.$$

लैक्स-मिलग्राम प्रमेय

यह लैक्स-मिलग्राम प्रमेय का एक सूत्रीकरण है जो द्विरेखीय रूप के सममित भाग के गुणों पर निर्भर करता है। यह सबसे सामान्य रूप नहीं है.

होने देना $V$ एक हिल्बर्ट स्थान बनें और $a(\cdot ,\cdot )$ एक द्विरेखीय रूप पर $V$, जो है

1. द्विरेखीय रूप या मानक सदिश स्थानों पर: $|a(u,v)|\leq C\|u\|\|v\|\,;$ और
2. जबरदस्ती कार्य या जबरदस्ती संचालक और रूप: $a(u,u)\geq c\|u\|^{2}\,.$

फिर, किसी भी $f\in V'$, के लिए, समीकरण का एक अद्वितीय समाधान $u\in V$ है

$$a(u,v)=f(v)\quad \forall v\in V$$

और यह बना रहता है

$$\|u\|\leq {\frac {1}{c}}\|f\|_{V'}\,.$$

उदाहरण 1 पर आवेदन

यहां, लैक्स-मिलग्राम प्रमेय का अनुप्रयोग आवश्यकता से अधिक शसक्त परिणाम है।

• सीमाबद्धता: सभी द्विरेखीय रूप $\mathbb {R} ^{n}$ बंधे हुए हैं. विशेष रूप से, हमारे पास है
  $$|a(u,v)|\leq \|A\|\,\|u\|\,\|v\|$$
• ज़बरदस्ती: इसका वास्तव में अर्थ यह है कि $A$ के आइजेनवैल्यू ​​के वास्तविक भाग $c$ से छोटे नहीं हैं। चूँकि इसका तात्पर्य विशेष रूप से यह है कि कोई भी आइजेनवैल्यू शून्य नहीं है, प्रणाली हल करने योग्य है।

इसके अतिरिक्त, इससे अनुमान प्राप्त होता है

$$\|u\|\leq {\frac {1}{c}}\|f\|,$$

जहाँ $c$ , $A$.के एक आइजेनवैल्यू का न्यूनतम वास्तविक भाग है

उदाहरण 2 पर अनुप्रयोग

यहां, मानदंड के साथ $V=H_{0}^{1}(\Omega )$ चुनें

$$\|v\|_{V}:=\|\nabla v\|,$$

जहां दाईं ओर का मानदंड ओमेगा पर $L^{2}$-मानदंड है (यह पोंकारे असमानता द्वारा $V$ पर एक सही मानदंड प्रदान करता है)। किंतु , हम देखते हैं कि $|a(u,u)|=\|\nabla u\|^{2}$ और कॉची-श्वार्ज़ असमानता $|a(u,v)|\leq \|\nabla u\|\,\|\nabla v\|$. द्वारा है ।

इसलिए, किसी भी $f\in [H_{0}^{1}(\Omega )]'$, के लिए, पॉइसन समीकरण के $u\in V$ में एक अद्वितीय समाधान है और हमारे पास अनुमान है

$$\|\nabla u\|\leq \|f\|_{[H_{0}^{1}(\Omega )]'}.$$

यह भी देखें

• बाबुस्का-लैक्स-मिलग्राम प्रमेय
• लायंस-लैक्स-मिलग्राम प्रमेय

संदर्भ

• Lax, Peter D.; Milgram, Arthur N. (1954), "Parabolic equations", Contributions to the theory of partial differential equations, Annals of Mathematics Studies, vol. 33, Princeton, N. J.: Princeton University Press, pp. 167–190, doi:10.1515/9781400882182-010, ISBN 9781400882182, MR 0067317, Zbl 0058.08703

बाहरी संबंध

• MathWorld page on Lax–Milgram theorem