अशक्त सूत्रीकरण: Difference between revisions

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कमजोर सूत्रीकरण गणितीय [[समीकरण]]ों के विश्लेषण के लिए महत्वपूर्ण उपकरण हैं जो आंशिक अंतर समीकरणों जैसे अन्य क्षेत्रों में समस्याओं को हल करने के लिए रैखिक बीजगणित की [[अवधारणा]]ओं के हस्तांतरण की अनुमति देते हैं। एक कमजोर फॉर्मूलेशन में, समीकरणों या शर्तों को अब पूरी तरह से धारण करने की आवश्यकता नहीं है (और यह अच्छी तरह से परिभाषित भी नहीं है) और इसके बजाय केवल कुछ परीक्षण वैक्टर या परीक्षण कार्यों के संबंध में [[कमजोर समाधान]] हैं। एक मजबूत सूत्रीकरण में, समाधान स्थान का निर्माण इस तरह किया जाता है कि ये समीकरण या शर्तें पहले से ही पूरी हो जाती हैं।
अशक्त सूत्रीकरण गणितीय [[समीकरण]] के विश्लेषण के लिए महत्वपूर्ण उपकरण हैं जो आंशिक अंतर समीकरणों जैसे अन्य क्षेत्रों में समस्याओं को हल करने के लिए रैखिक बीजगणित की [[अवधारणा]]ओं के हस्तांतरण की अनुमति देते हैं। एक अशक्त सूत्रीकरण में, समीकरणों या नियमों को अब पूरी तरह से धारण करने की आवश्यकता नहीं है (और यह अच्छी तरह से परिभाषित भी नहीं है) और इसके अतिरिक्त केवल कुछ परीक्षण सदिश या परीक्षण कार्यों के संबंध में [[कमजोर समाधान|अशक्त समाधान]] हैं। एक शसक्त सूत्रीकरण में, समाधान स्थान का निर्माण इस तरह किया जाता है कि ये समीकरण या नियम पहले से ही पूरी हो जाती हैं।


लैक्स-मिलग्राम प्रमेय, जिसका नाम [[पीटर लैक्स]] और [[आर्थर मिलग्राम]] के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने इसे 1954 में सिद्ध किया था, [[हिल्बर्ट स्थान]]ों पर कुछ प्रणालियों के लिए कमजोर फॉर्मूलेशन प्रदान करता है।
लैक्स-मिलग्राम प्रमेय, जिसका नाम [[पीटर लैक्स]] और [[आर्थर मिलग्राम]] के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने इसे 1954 में सिद्ध किया था, [[हिल्बर्ट स्थान]] पर कुछ प्रणालियों के लिए अशक्त सूत्रीकरण प्रदान करता है।


==सामान्य अवधारणा==
==सामान्य अवधारणा==
होने देना <math>V</math> एक बानाच स्थान बनें, <math>V'</math> इसका दोहरा स्थान, <math>A\colon V \to V'</math>, और <math>f \in V'</math>. समाधान ढूँढना <math>u \in V</math> समीकरण का
मान लीजिए कि <math>V</math> एक बैनाच स्पेस है, <math>V'</math> इसका दोहरा स्पेस है, <math>A\colon V \to V'</math>, और <math>f \in V'</math> समीकरण का हल <math>u \in V</math> खोजा जाता है


<math display=block>Au = f</math>
<math display=block>Au = f</math>
खोजने के बराबर है <math>u\in V</math> ऐसा कि, सभी के लिए <math>v \in V</math>,
यह <math>u\in V</math>को इस प्रकार खोजने के समान है कि, सभी <math>v \in V</math> के लिए।


<math display=block>[Au](v) = f(v).</math>
<math display=block>[Au](v) = f(v).</math>
यहाँ, <math>v</math> परीक्षण वेक्टर या परीक्षण फ़ंक्शन कहा जाता है।
यहाँ, <math>v</math> परीक्षण सदिश या परीक्षण फलन कहा जाता है।


इसे कमजोर फॉर्मूलेशन के सामान्य रूप में लाने के लिए, खोजें <math>u\in V</math> ऐसा है कि
इसे एक अशक्त सूत्रीकरण के सामान्य रूप में लाने के लिए, <math>u\in V</math> को ऐसे खोजें


<math display=block>a(u,v) = f(v) \quad \forall v \in V,</math>
<math display=block>a(u,v) = f(v) \quad \forall v \in V,</math>
[[द्विरेखीय रूप]] को परिभाषित करके
[[द्विरेखीय रूप]] को परिभाषित करते है


<math display=block>a(u,v) := [Au](v).</math>
<math display=block>a(u,v) := [Au](v).</math>
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==उदाहरण 1: समीकरणों की रैखिक प्रणाली==
==उदाहरण 1: समीकरणों की रैखिक प्रणाली==
अब चलो <math>V = \mathbb R^n</math> और <math>A:V \to V</math> एक रेखीय मानचित्रण हो. फिर, समीकरण का कमजोर सूत्रीकरण
अब, मान लीजिए कि <math>V = \mathbb R^n</math> और <math>A:V \to V</math> एक रैखिक मानचित्रण है। फिर, समीकरण का अशक्त सूत्रीकरण है
 
<math display=block>Au = f</math>इसमें <math>u\in V</math> को इस प्रकार खोजना सम्मिलित है कि सभी <math>v \in V</math> के लिए निम्नलिखित समीकरण मान्य हो:
 
<math display="block">\langle Au,v \rangle = \langle f,v \rangle,</math>


<math display=block>Au = f</math>
खोजना शामिल है <math>u\in V</math> ऐसा कि सभी के लिए <math>v \in V</math> निम्नलिखित समीकरण धारण करता है:


<math display=block>\langle Au,v \rangle = \langle f,v \rangle,</math>
जहाँ <math>\langle \cdot,\cdot \rangle</math> एक आंतरिक उत्पाद को दर्शाता है.
कहाँ <math>\langle \cdot,\cdot \rangle</math> एक आंतरिक उत्पाद को दर्शाता है.


तब से <math>A</math> एक रेखीय मानचित्रण है, यह आधार वैक्टर के साथ परीक्षण करने के लिए पर्याप्त है, और हमें मिलता है
चूंकि <math>A</math> एक रैखिक मानचित्रण है, यह आधार सदिश के साथ परीक्षण करने के लिए पर्याप्त है, और हमें मिलता है


<math display=block>\langle Au,e_i\rangle = \langle f,e_i\rangle, \quad i=1,\ldots,n.</math>
<math display="block">\langle Au,e_i\rangle = \langle f,e_i\rangle, \quad i=1,\ldots,n.</math>
दरअसल, विस्तार {{nowrap|<math>u = \sum_{j=1}^n u_je_j</math>,}} हमें समीकरण का [[मैट्रिक्स (गणित)]] रूप प्राप्त होता है
इसलिए , {{nowrap|<math>u = \sum_{j=1}^n u_je_j</math>,}} का विस्तार करने पर, हमें समीकरण का आव्यूह रूप प्राप्त होता है


<math display=block>\mathbf{A}\mathbf{u} = \mathbf{f},</math>
<math display="block">\mathbf{A}\mathbf{u} = \mathbf{f},</math>
कहाँ <math>a_{ij} = \langle Ae_j, e_i\rangle </math> और {{nowrap|<math>f_i = \langle f,e_i \rangle</math>.}}
जहाँ <math>a_{ij} = \langle Ae_j, e_i\rangle </math> और {{nowrap|<math>f_i = \langle f,e_i \rangle</math>.}}


इस कमजोर सूत्रीकरण से जुड़ा द्विरेखीय रूप है
इस अशक्त सूत्रीकरण से जुड़ा द्विरेखीय रूप है


<math display=block>a(u,v) = \mathbf{v}^T\mathbf{A} \mathbf{u}.</math>
<math display="block">a(u,v) = \mathbf{v}^T\mathbf{A} \mathbf{u}.</math>




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  <math display=block>-\nabla^2 u = f,</math>
  <math display=block>-\nabla^2 u = f,</math>
एक डोमेन पर <math>\Omega\subset \mathbb R^d</math> साथ <math>u=0</math> इसकी [[सीमा (टोपोलॉजी)]] पर, और समाधान स्थान निर्दिष्ट करने के लिए <math>V</math> बाद में, कोई इसका उपयोग कर सकता है {{nowrap|<math>L^2</math>-}}अदिश उत्पाद
एक डोमेन <math>\Omega\subset \mathbb R^d</math> पर जिसकी सीमा पर <math>u=0</math> है, और बाद में समाधान स्थान <math>V</math> निर्दिष्ट करने के लिए, कोई {{nowrap|<math>L^2</math>-}}स्केलर उत्पाद का उपयोग कर सकता है


<math display=block>\langle u,v\rangle = \int_\Omega uv\,dx</math>
<math display=block>\langle u,v\rangle = \int_\Omega uv\,dx</math>
कमजोर सूत्रीकरण प्राप्त करने के लिए. फिर, अलग-अलग कार्यों के साथ परीक्षण {{nowrap|<math>v</math>}} पैदावार
अशक्त सूत्रीकरण प्राप्त करने के लिए. फिर, भिन्न-भिन्न फलन {{nowrap|<math>v</math>}} के साथ परीक्षण से परिणाम मिलते हैं


<math display=block>-\int_\Omega ( \nabla^2 u ) v \,dx = \int_\Omega fv \,dx.</math>
<math display=block>-\int_\Omega ( \nabla^2 u ) v \,dx = \int_\Omega fv \,dx.</math>
इस समीकरण के बाईं ओर को ग्रीन की पहचान का उपयोग करके [[भागों द्वारा एकीकरण]] करके अधिक सममित बनाया जा सकता है|ग्रीन की पहचान और यह मानते हुए कि <math>v=0</math> पर {{nowrap|<math>\partial\Omega</math>:}}
इस समीकरण के बाईं ओर को ग्रीन की पहचान का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकरण करके और यह मानकर अधिक सममित बनाया जा सकता है कि <math>v=0</math> पर {{nowrap|<math>\partial\Omega</math>:}}
 
 <math display="block">\int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v \,dx = \int_\Omega f v \,dx.</math>


<math display=block>\int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v \,dx = \int_\Omega f v \,dx.</math>
 
इसे ही आमतौर पर पॉइसन समीकरण का कमजोर सूत्रीकरण कहा जाता है। समाधान स्थान में [[फ़ंक्शन (गणित)]]। <math>V</math> सीमा पर शून्य होना चाहिए, और वर्ग-अभिन्न व्युत्पन्न होना चाहिए। इन आवश्यकताओं को पूरा करने के लिए उपयुक्त स्थान [[सोबोलेव स्थान]] है <math>H^1_0(\Omega)</math> [[कमजोर व्युत्पन्न]] वाले कार्यों का <math>L^2(\Omega)</math> और शून्य सीमा शर्तों के साथ, इसलिए {{nowrap|<math>V = H^1_0(\Omega)</math>.}}
इसे ही समान्यत: पॉइसन समीकरण का कमजोर सूत्रीकरण कहा जाता है। समाधान स्थान <math>V</math> में फलन सीमा पर शून्य होना चाहिए, और इसमें वर्ग-अभिन्न व्युत्पन्न होना चाहिए। इन आवश्यकताओं को पूरा करने के लिए उपयुक्त स्थान <math>H^1_0(\Omega)</math> में कमजोर डेरिवेटिव और शून्य सीमा नियमों के साथ कार्यों का सोबोलेव स्पेस <math>L^2(\Omega)</math> है, इसलिए {{nowrap|<math>V = H^1_0(\Omega)</math>.}}


सामान्य प्रपत्र असाइन करके प्राप्त किया जाता है
सामान्य प्रपत्र असाइन करके प्राप्त किया जाता है
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होने देना <math>V</math> एक हिल्बर्ट स्थान बनें और <math>a( \cdot ,\cdot )</math> एक द्विरेखीय रूप पर {{nowrap|<math>V</math>,}} जो है
होने देना <math>V</math> एक हिल्बर्ट स्थान बनें और <math>a( \cdot ,\cdot )</math> एक द्विरेखीय रूप पर {{nowrap|<math>V</math>,}} जो है
# द्विरेखीय रूप#मानक सदिश स्थानों पर: <math>|a(u,v)| \le C \|u\| \|v\|\,;</math> और
# द्विरेखीय रूप या मानक सदिश स्थानों पर: <math>|a(u,v)| \le C \|u\| \|v\|\,;</math> और
#जबरदस्ती कार्य#जबरदस्ती संचालक और रूप: <math>a(u,u) \ge c \|u\|^2\,.</math>
#जबरदस्ती कार्य या जबरदस्ती संचालक और रूप: <math>a(u,u) \ge c \|u\|^2\,.</math>
फिर, किसी के लिए {{nowrap|<math>f\in V'</math>,}} एक अनोखा उपाय है <math>u\in V</math> समीकरण के लिए
फिर, किसी भी {{nowrap|<math>f\in V'</math>,}} के लिए, समीकरण का एक अद्वितीय समाधान <math>u\in V</math> है


<math display=block>a(u,v) = f(v) \quad \forall v \in V</math>
<math display=block>a(u,v) = f(v) \quad \forall v \in V</math>
और यह कायम है
और यह बना रहता  है


<math display=block>\|u\| \le \frac1c \|f\|_{V'}\,.</math>
<math display=block>\|u\| \le \frac1c \|f\|_{V'}\,.</math>


 
=== उदाहरण 1 पर आवेदन ===
===उदाहरण 1=== पर आवेदन
यहां, लैक्स-मिलग्राम प्रमेय का अनुप्रयोग आवश्यकता से अधिक शसक्त परिणाम है।
यहां, लैक्स-मिलग्राम प्रमेय का अनुप्रयोग आवश्यकता से अधिक मजबूत परिणाम है।


*सीमाबद्धता: सभी द्विरेखीय रूप <math>\R^n</math> बंधे हुए हैं. विशेष रूप से, हमारे पास है <math display="block">|a(u,v)| \le \|A\|\,\|u\|\,\|v\|</math>
*सीमाबद्धता: सभी द्विरेखीय रूप <math>\R^n</math> बंधे हुए हैं. विशेष रूप से, हमारे पास है <math display="block">|a(u,v)| \le \|A\|\,\|u\|\,\|v\|</math>
*जबरदस्ती: इसका वास्तव में मतलब है कि [[eigenvalue]]s ​​​​की [[जटिल संख्या]] <math>A</math> से छोटे नहीं हैं <math>c</math>. चूँकि इसका तात्पर्य विशेष रूप से यह है कि कोई भी eigenvalue शून्य नहीं है, सिस्टम हल करने योग्य है।
*ज़बरदस्ती: इसका वास्तव में अर्थ यह है कि <math>A</math> के आइजेनवैल्यू ​​के वास्तविक भाग <math>c</math> से छोटे नहीं हैं। चूँकि इसका तात्पर्य विशेष रूप से यह है कि कोई भी आइजेनवैल्यू शून्य नहीं है, प्रणाली हल करने योग्य है।


इसके अतिरिक्त, इससे अनुमान प्राप्त होता है
इसके अतिरिक्त, इससे अनुमान प्राप्त होता है
<math display="block">\|u\| \le \frac1c \|f\|,</math>
<math display="block">\|u\| \le \frac1c \|f\|,</math>
कहाँ <math>c</math> के एक eigenvalue का न्यूनतम वास्तविक भाग है {{nowrap|<math>A</math>.}}
जहाँ <math>c</math> , {{nowrap|<math>A</math>.}}के एक आइजेनवैल्यू का न्यूनतम वास्तविक भाग है


===उदाहरण 2=== पर अनुप्रयोग
=== उदाहरण 2 पर अनुप्रयोग ===
यहाँ, चुनें <math>V = H^1_0(\Omega)</math> आदर्श के साथ
यहां, मानदंड के साथ <math>V = H^1_0(\Omega)</math> चुनें
<math display=block>\|v\|_V := \|\nabla v\|,</math>
<math display="block">\|v\|_V := \|\nabla v\|,</math>
जहां दाहिनी ओर मानक है {{nowrap|<math>L^2</math>-}}आदर्श चालू <math>\Omega</math> (यह एक सच्चा मानदंड प्रदान करता है <math>V</math> पोंकारे असमानता द्वारा)।
जहां दाईं ओर का मानदंड ओमेगा पर {{nowrap|<math>L^2</math>-}}मानदंड है (यह पोंकारे असमानता द्वारा <math>V</math> पर एक सही मानदंड प्रदान करता है)। किंतु , हम देखते हैं कि <math>|a(u,u)| = \|\nabla u\|^2</math> और कॉची-श्वार्ज़ असमानता {{nowrap|<math>|a(u,v)| \le \|\nabla u\|\,\|\nabla v\|</math>.}} द्वारा है ।
लेकिन, हम ऐसा देखते हैं <math>|a(u,u)| = \|\nabla u\|^2</math> और कॉची-श्वार्ज़ असमानता द्वारा, {{nowrap|<math>|a(u,v)| \le \|\nabla u\|\,\|\nabla v\|</math>.}}


इसलिए, किसी के लिए {{nowrap|<math>f \in [H^1_0(\Omega)]'</math>,}} एक अनोखा उपाय है <math>u\in V</math> पॉइसन के समीकरण का और हमारे पास अनुमान है
इसलिए, किसी भी {{nowrap|<math>f \in [H^1_0(\Omega)]'</math>,}} के लिए, पॉइसन समीकरण के <math>u\in V</math> में एक अद्वितीय समाधान है और हमारे पास अनुमान है


<math display=block>\|\nabla u\| \le \|f\|_{[H^1_0(\Omega)]'}.</math>
<math display="block">\|\nabla u\| \le \|f\|_{[H^1_0(\Omega)]'}.</math>





Revision as of 10:19, 5 August 2023

अशक्त सूत्रीकरण गणितीय समीकरण के विश्लेषण के लिए महत्वपूर्ण उपकरण हैं जो आंशिक अंतर समीकरणों जैसे अन्य क्षेत्रों में समस्याओं को हल करने के लिए रैखिक बीजगणित की अवधारणाओं के हस्तांतरण की अनुमति देते हैं। एक अशक्त सूत्रीकरण में, समीकरणों या नियमों को अब पूरी तरह से धारण करने की आवश्यकता नहीं है (और यह अच्छी तरह से परिभाषित भी नहीं है) और इसके अतिरिक्त केवल कुछ परीक्षण सदिश या परीक्षण कार्यों के संबंध में अशक्त समाधान हैं। एक शसक्त सूत्रीकरण में, समाधान स्थान का निर्माण इस तरह किया जाता है कि ये समीकरण या नियम पहले से ही पूरी हो जाती हैं।

लैक्स-मिलग्राम प्रमेय, जिसका नाम पीटर लैक्स और आर्थर मिलग्राम के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने इसे 1954 में सिद्ध किया था, हिल्बर्ट स्थान पर कुछ प्रणालियों के लिए अशक्त सूत्रीकरण प्रदान करता है।

सामान्य अवधारणा

मान लीजिए कि एक बैनाच स्पेस है, इसका दोहरा स्पेस है, , और समीकरण का हल खोजा जाता है

यह को इस प्रकार खोजने के समान है कि, सभी के लिए।

यहाँ, परीक्षण सदिश या परीक्षण फलन कहा जाता है।

इसे एक अशक्त सूत्रीकरण के सामान्य रूप में लाने के लिए, को ऐसे खोजें

द्विरेखीय रूप को परिभाषित करते है


उदाहरण 1: समीकरणों की रैखिक प्रणाली

अब, मान लीजिए कि और एक रैखिक मानचित्रण है। फिर, समीकरण का अशक्त सूत्रीकरण है

इसमें को इस प्रकार खोजना सम्मिलित है कि सभी के लिए निम्नलिखित समीकरण मान्य हो:


जहाँ एक आंतरिक उत्पाद को दर्शाता है.

चूंकि एक रैखिक मानचित्रण है, यह आधार सदिश के साथ परीक्षण करने के लिए पर्याप्त है, और हमें मिलता है

इसलिए , , का विस्तार करने पर, हमें समीकरण का आव्यूह रूप प्राप्त होता है

जहाँ और .

इस अशक्त सूत्रीकरण से जुड़ा द्विरेखीय रूप है


उदाहरण 2: पॉइसन का समीकरण

पॉइसन के समीकरण को हल करने के लिए

एक डोमेन पर जिसकी सीमा पर है, और बाद में समाधान स्थान निर्दिष्ट करने के लिए, कोई -स्केलर उत्पाद का उपयोग कर सकता है

अशक्त सूत्रीकरण प्राप्त करने के लिए. फिर, भिन्न-भिन्न फलन के साथ परीक्षण से परिणाम मिलते हैं

इस समीकरण के बाईं ओर को ग्रीन की पहचान का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकरण करके और यह मानकर अधिक सममित बनाया जा सकता है कि पर :

 


इसे ही समान्यत: पॉइसन समीकरण का कमजोर सूत्रीकरण कहा जाता है। समाधान स्थान में फलन सीमा पर शून्य होना चाहिए, और इसमें वर्ग-अभिन्न व्युत्पन्न होना चाहिए। इन आवश्यकताओं को पूरा करने के लिए उपयुक्त स्थान में कमजोर डेरिवेटिव और शून्य सीमा नियमों के साथ कार्यों का सोबोलेव स्पेस है, इसलिए .

सामान्य प्रपत्र असाइन करके प्राप्त किया जाता है

और


लैक्स-मिलग्राम प्रमेय

यह लैक्स-मिलग्राम प्रमेय का एक सूत्रीकरण है जो द्विरेखीय रूप के सममित भाग के गुणों पर निर्भर करता है। यह सबसे सामान्य रूप नहीं है.

होने देना एक हिल्बर्ट स्थान बनें और एक द्विरेखीय रूप पर , जो है

  1. द्विरेखीय रूप या मानक सदिश स्थानों पर: और
  2. जबरदस्ती कार्य या जबरदस्ती संचालक और रूप:

फिर, किसी भी , के लिए, समीकरण का एक अद्वितीय समाधान है

और यह बना रहता है

उदाहरण 1 पर आवेदन

यहां, लैक्स-मिलग्राम प्रमेय का अनुप्रयोग आवश्यकता से अधिक शसक्त परिणाम है।

  • सीमाबद्धता: सभी द्विरेखीय रूप बंधे हुए हैं. विशेष रूप से, हमारे पास है
  • ज़बरदस्ती: इसका वास्तव में अर्थ यह है कि के आइजेनवैल्यू ​​के वास्तविक भाग से छोटे नहीं हैं। चूँकि इसका तात्पर्य विशेष रूप से यह है कि कोई भी आइजेनवैल्यू शून्य नहीं है, प्रणाली हल करने योग्य है।

इसके अतिरिक्त, इससे अनुमान प्राप्त होता है

जहाँ , .के एक आइजेनवैल्यू का न्यूनतम वास्तविक भाग है

उदाहरण 2 पर अनुप्रयोग

यहां, मानदंड के साथ चुनें

जहां दाईं ओर का मानदंड ओमेगा पर -मानदंड है (यह पोंकारे असमानता द्वारा पर एक सही मानदंड प्रदान करता है)। किंतु , हम देखते हैं कि और कॉची-श्वार्ज़ असमानता . द्वारा है ।

इसलिए, किसी भी , के लिए, पॉइसन समीकरण के में एक अद्वितीय समाधान है और हमारे पास अनुमान है


यह भी देखें

  • बाबुस्का-लैक्स-मिलग्राम प्रमेय
  • लायंस-लैक्स-मिलग्राम प्रमेय

संदर्भ

  • Lax, Peter D.; Milgram, Arthur N. (1954), "Parabolic equations", Contributions to the theory of partial differential equations, Annals of Mathematics Studies, vol. 33, Princeton, N. J.: Princeton University Press, pp. 167–190, doi:10.1515/9781400882182-010, ISBN 9781400882182, MR 0067317, Zbl 0058.08703


बाहरी संबंध