पीटर प्रमेय

गणित में, (रैखिक) पीटर प्रमेय, जिसका नाम जाक पीटर के नाम पर रखा गया है, कार्यात्मक विश्लेषण का परिणाम है जो सामान्यीकृत फ़ंक्शन स्थानों पर उनके प्रभाव के संदर्भ में अंतर ऑपरेटरों का लक्षण वर्णन देता है, और स्पष्ट शब्दों में व्युत्पन्न का उल्लेख किए बिना। पेत्रे प्रमेय परिमित क्रम प्रमेय का उदाहरण है जिसमें फ़ंक्शन या फ़ैक्टर, जिसे बहुत सामान्य तरीके से परिभाषित किया गया है, वास्तव में उस पर लगाए गए कुछ बाहरी स्थिति या समरूपता के कारण बहुपद के रूप में दिखाया जा सकता है।

यह लेख पीटर प्रमेय के दो रूपों पर विचार करता है। पहला मूल संस्करण है, जो हालांकि अपने आप में काफी उपयोगी है, वास्तव में अधिकांश अनुप्रयोगों के लिए बहुत सामान्य है।

मूल पीटर प्रमेय

मान लीजिए कि M एक चिकनी कई गुना है और E और F, M पर दो वेक्टर बंडल हैं। मान लीजिए

$\Gamma ^{\infty }(E),\ {\hbox{and}}\ \Gamma ^{\infty }(F)$

ई और एफ के चिकने खंडों के स्थान बनें। ऑपरेटर

$D:\Gamma ^{\infty }(E)\rightarrow \Gamma ^{\infty }(F)$

एक शीफ (गणित) है जो खंडों पर रैखिक है जैसे कि डी का समर्थन (गणित) गैर-बढ़ रहा है: ई के प्रत्येक चिकनी अनुभाग के लिए सप्लिमेंट डीएस ⊆ सप्लिमेंट एस। मूल पेत्रे प्रमेय का दावा है कि, एम में प्रत्येक बिंदु पी के लिए, पी का पड़ोस यू और पूर्णांक के (यू पर निर्भर करता है) जैसे कि डी, यू पर ऑर्डर के का अंतर ऑपरेटर है। इसका मतलब है कि डी रैखिक मैपिंग के माध्यम से कारक है I_D E के k-जेट (गणित) से F के चिकने खंडों के स्थान में:

$D=i_{D}\circ j^{k}$

कहाँ

$j^{k}:\Gamma ^{\infty }E\rightarrow J^{k}E$

के-जेट ऑपरेटर है और

$i_{D}:J^{k}E\rightarrow F$

वेक्टर बंडलों का रैखिक मानचित्रण है।

प्रमाण

स्थानीय भिन्नता के तहत समस्या अपरिवर्तनीय है, इसलिए इसे साबित करना पर्याप्त है जब एम 'आर' में खुला सेट हैⁿऔर E और F तुच्छ बंडल हैं। इस बिंदु पर, यह मुख्य रूप से दो लेम्मा पर निर्भर करता है:

• 'लेम्मा 1.' यदि प्रमेय की परिकल्पनाएँ संतुष्ट हैं, तो प्रत्येक x∈M और C > 0 के लिए, x का पड़ोस V और सकारात्मक पूर्णांक k मौजूद है जैसे कि किसी भी y∈V\{x} के लिए और E के किसी भी अनुभाग s के लिए जिसका k-जेट y (j) पर गायब हो जाता है^ks(y)=0), हमारे पास |Ds(y)|<C है।
• 'लेम्मा 2.' प्रमेय को सिद्ध करने के लिए पहली प्रमेयिका पर्याप्त है।

हम लेम्मा 1 के प्रमाण से शुरू करते हैं।

मान लीजिए कि लेम्मा गलत है। फिर क्रम है x_k x की ओर रुझान, और बहुत असंयुक्त गेंदों का क्रम बी_k एक्स के आसपास_k (जिसका अर्थ है कि किन्हीं दो ऐसी गेंदों के बीच जियोडेसिक दूरी गैर-शून्य है), और अनुभाग एस_k प्रत्येक B के ऊपर E का_k ऐसे कि जे^कs_k(एक्स_k)=0 लेकिन |Ds_k(एक्स_k)|≥C>0.

मान लें कि ρ(x) मूल बिंदु पर यूनिट बॉल के लिए मानक टक्कर समारोह को दर्शाता है: सुचारू वास्तविक-मूल्य वाला फ़ंक्शन जो B पर 1 के बराबर है_1/2(0), जो यूनिट बॉल की सीमा पर अनंत क्रम में गायब हो जाता है।

प्रत्येक अन्य अनुभाग पर विचार करें_2k. एक्स पर_2k, ये संतुष्ट करते हैं

जे^2ks_2k(एक्स_2k)=0.

मान लीजिए कि 2k दिए गए हैं। फिर, चूँकि ये कार्य सुचारु हैं और प्रत्येक j को संतुष्ट करते हैं^2k(s_2k)(एक्स_2k)=0, छोटी गेंद B' निर्दिष्ट करना संभव है_δ(एक्स_2k) जैसे कि उच्च क्रम के डेरिवेटिव निम्नलिखित अनुमान का पालन करते हैं:

$\sum _{|\alpha |\leq k}\ \sup _{y\in B'_{\delta }(x_{2k})}|\nabla ^{\alpha }s_{k}(y)|\leq {\frac {1}{M_{k}}}\left({\frac {\delta }{2}}\right)^{k}$

कहाँ

$M_{k}=\sum _{|\alpha |\leq k}\sup |\nabla ^{\alpha }\rho |.$

अब

$\rho _{2k}(y):=\rho \left({\frac {y-x_{2k}}{\delta }}\right)$

बी' में समर्थित मानक बम्प फ़ंक्शन है_δ(एक्स_2k), और उत्पाद का व्युत्पन्न s_2kआर_2k इस तरह से घिरा हुआ है कि

$\max _{|\alpha |\leq k}\ \sup _{y\in B'_{\delta }(x_{2k})}|\nabla ^{\alpha }(\rho _{2k}s_{2k})|\leq 2^{-k}.$

परिणामस्वरूप, क्योंकि निम्नलिखित श्रृंखला और इसके डेरिवेटिव के सभी आंशिक योग समान रूप से अभिसरित होते हैं

$q(y)=\sum _{k=1}^{\infty }\rho _{2k}(y)s_{2k}(y),$ :q(y) सभी V पर सुचारू कार्य है।

अब हम देखते हैं कि चूंकि एस_2k और $\rho$_2ks_2k x के पड़ोस में बराबर हैं_2k,

$\lim _{k\rightarrow \infty }|Dq(x_{2k})|\geq C$

तो निरंतरता से |Dq(x)|≥ C>0. वहीं दूसरी ओर,

$\lim _{k\rightarrow \infty }Dq(x_{2k+1})=0$

चूंकि Dq(x_2k+1)=0 क्योंकि q, B में समान रूप से शून्य है_2k+1 और डी गैर-बढ़ने वाला समर्थन है। तो Dq(x)=0. यह विरोधाभास है.

अब हम लेम्मा 2 को सिद्ध करते हैं।

सबसे पहले, आइए हम पहले लेम्मा से स्थिरांक C को हटा दें। हम दिखाते हैं कि, लेम्मा 1 जैसी समान परिकल्पना के तहत, |Ds(y)|=0। V\{x} में a y चुनें ताकि j^ks(y)=0 लेकिन |Ds(y)|=g>0. 2C/g के कारक द्वारा पुनर्स्केल करें। फिर यदि g गैर-शून्य है, तो D की रैखिकता से |Ds(y)|=2C>C, जो लेम्मा 1 द्वारा असंभव है। यह छिद्रित पड़ोस V\{x} में प्रमेय को सिद्ध करता है।

अब, हमें विभेदक ऑपरेटर को छिद्रित पड़ोस में केंद्रीय बिंदु x तक जारी रखना चाहिए। डी सुचारू गुणांक वाला रैखिक अंतर ऑपरेटर है। इसके अलावा, यह x पर सुचारू कार्यों के कीटाणुओं को भी सुचारू कार्यों के कीटाणुओं को भेजता है। इस प्रकार D के गुणांक भी x पर सहज हैं।

एक विशेष अनुप्रयोग

मान लीजिए कि M कॉम्पैक्ट (टोपोलॉजी) स्मूथ कई गुना (संभवतः मैनिफोल्ड के साथ) है, और E और F, M पर परिमित आयामी वेक्टर बंडल हैं।

$\Gamma ^{\infty }(E)$ई के सुचारू अनुभागों का संग्रह हो। ऑपरेटर

$D:\Gamma ^{\infty }(E)\rightarrow \Gamma ^{\infty }(F)$

एक सुचारू कार्य है (फ़्रेचेट मैनिफोल्ड्स का) जो तंतुओं पर रैखिक है और एम पर आधार बिंदु का सम्मान करता है:

$\pi \circ D_{p}=p.$

पेत्रे प्रमेय का दावा है कि प्रत्येक ऑपरेटर डी के लिए, पूर्णांक k मौजूद है जैसे कि D ऑर्डर k का अंतर ऑपरेटर है। विशेष रूप से, हम विघटित कर सकते हैं

$D=i_{D}\circ j^{k}$

कहाँ $i_{D}$ ई के अनुभागों के जेट (गणित) से बंडल एफ तक मैपिंग है। डिफरेंशियल ऑपरेटर#कोऑर्डिनेट-इंडिपेंडेंट_डिस्क्रिप्शन भी देखें।

उदाहरण: लाप्लासियन

निम्नलिखित ऑपरेटर पर विचार करें:

$(Lf)(x_{0})=\lim _{r\to 0}{\frac {2d}{r^{2}}}{\frac {1}{|S_{r}|}}\int _{S_{r}}(f(x)-f(x_{0}))dx$

कहाँ $f\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{d})$ और $S_{r}$ वह क्षेत्र जिस पर केन्द्रित है $x_{0}$ त्रिज्या के साथ $r$. यह वास्तव में लाप्लासियन है। हम दिखाएंगे दिखाएंगे $L$ पीटर के प्रमेय द्वारा विभेदक संचालिका है। मुख्य विचार यह है कि तब से $Lf(x_{0})$ के संदर्भ में ही परिभाषित किया गया है $f$पास का व्यवहार $x_{0}$, यह प्रकृति में स्थानीय है; विशेषकर, यदि $f$ स्थानीय रूप से शून्य है, इसलिए है $Lf$, और इसलिए समर्थन नहीं बढ़ सकता।

तकनीकी प्रमाण इस प्रकार है।

होने देना $M=\mathbb {R} ^{d}$ और $E$ और $F$ रैंक हो $1$ तुच्छ बंडल.

तब $\Gamma ^{\infty }(E)$ और $\Gamma ^{\infty }(F)$ बस स्थान हैं $C^{\infty }(\mathbb {R} ^{d})$ सुचारू कार्यों पर $\mathbb {R} ^{d}$. पूले के रूप में, ${\mathcal {F}}(U)$ खुले सेट पर सुचारू कार्यों का सेट है $U$ और प्रतिबंध कार्य प्रतिबंध है।

देखने के लिए $L$ वास्तव में यह रूपवाद है, हमें इसकी जाँच करने की आवश्यकता है $(Lu)|V=L(u|V)$ खुले सेट के लिए $U$ और $V$ ऐसा है कि $V\subseteq U$ और $u\in C^{\infty }(U)$. यह स्पष्ट है क्योंकि $x\in V$, दोनों $[(Lu)|V](x)$ और $[L(u|V)](x)$ बस हैं $\lim _{r\to 0}{\frac {2d}{r^{2}}}{\frac {1}{|S_{r}|}}\int _{S_{r}}(u(y)-u(x))dy$, के रूप में $S_{r}$ अंततः दोनों के अंदर बैठ जाता है $U$ और $V$ फिर भी।

इसे जांचना आसान है $L$ रैखिक है:

$L(f+g)=L(f)+L(g)$ और $L(af)=aL(f)$

अंत में, हम इसकी जाँच करते हैं $L$ इस अर्थ में स्थानीय है $suppLf\subseteq suppf$. अगर $x_{0}\notin supp(f)$, तब $\exists r>0$ ऐसा है कि $f=0$ त्रिज्या की गेंद में $r$ पर केन्द्रित $x_{0}$. इस प्रकार, के लिए $x\in B(x_{0},r)$,

$\int _{S_{r'}}(f(y)-f(x))dy=0$

के लिए $r'<r-|x-x_{0}|$, और इसलिए $(Lf)(x)=0$. इसलिए, $x_{0}\notin suppLf$.

तो पीटर के प्रमेय से, $L$ विभेदक संचालिका है.

संदर्भ

• Peetre, J., Une caractérisation abstraite des opérateurs différentiels, Math. Scand. 7 (1959), 211-218.
• Peetre, J., Rectification à l'article Une caractérisation abstraite des opérateurs différentiels, Math. Scand. 8 (1960), 116-120.
• Terng, C.L., Natural vector bundles and natural differential operators, Am. J. Math. 100 (1978), 775-828.