मॉर्ले रैंक: Difference between revisions
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इस प्रकार से मॉडल M के साथ सिद्धांत T को ठीक करें। M के [[निश्चित सेट|निश्चित समुच्चय]] (मापदंडों के साथ) उपसमुच्चय S को परिभाषित करने वाले सूत्र φ के मॉर्ले पद एक क्रमसूचक या −1 या ∞ है, जिसे पहले पुनरावर्ती रूप से यह परिभाषित करके परिभाषित किया जाता है कि किसी सूत्र के लिए कुछ क्रमसूचक α के लिए कम से कम α पद रखने का क्या अर्थ है। | इस प्रकार से मॉडल M के साथ सिद्धांत T को ठीक करें। M के [[निश्चित सेट|निश्चित समुच्चय]] (मापदंडों के साथ) उपसमुच्चय S को परिभाषित करने वाले सूत्र φ के मॉर्ले पद एक क्रमसूचक या −1 या ∞ है, जिसे पहले पुनरावर्ती रूप से यह परिभाषित करके परिभाषित किया जाता है कि किसी सूत्र के लिए कुछ क्रमसूचक α के लिए कम से कम α पद रखने का क्या अर्थ है। | ||
*यदि S गैर-रिक्त है तो मॉर्ले पद कम से कम 0 है। | *यदि S गैर-रिक्त है तो मॉर्ले पद कम से कम 0 है। | ||
* α के [[उत्तराधिकारी क्रमसूचक|परवर्ती क्रमसूचक]] के लिए, मॉर्ले पद कम से कम α है यदि M के कुछ [[प्राथमिक विस्तार]] N में, समुच्चय S में अगणनीय असंयुक्त निश्चित उपसमुच्चय S<sub>i</sub> हैं, अतः प्रत्येक पद कम से कम α − 1 है। | * α के [[उत्तराधिकारी क्रमसूचक|परवर्ती क्रमसूचक]] के लिए, मॉर्ले पद कम से कम α है यदि M के कुछ [[प्राथमिक विस्तार]] N में, समुच्चय S में अगणनीय असंयुक्त निश्चित उपसमुच्चय S<sub>i</sub> हैं, अतः प्रत्येक पद पूर्ण रूप से कम से कम α − 1 है। | ||
*α के लिए गैर-शून्य [[सीमा क्रमसूचक]], मॉर्ले पद कम से कम α है यदि यह α से कम सभी β के लिए कम से कम β है। | *α के लिए गैर-शून्य [[सीमा क्रमसूचक]], मॉर्ले पद कम से कम α है यदि यह α से कम सभी β के लिए पूर्ण रूप से कम से कम β है। | ||
इस प्रकार से मॉर्ले पद को तब α के रूप में परिभाषित किया जाता है यदि यह कम से कम α है परन्तु कम से कम α + 1 नहीं है, और इसे ∞ के रूप में परिभाषित किया गया है यदि यह सभी क्रमसूचक α के लिए कम से कम α है, और यदि S रिक्त है तो इसे −1 के रूप में परिभाषित किया गया है। | इस प्रकार से मॉर्ले पद को तब α के रूप में परिभाषित किया जाता है यदि यह कम से कम α है परन्तु कम से कम α + 1 नहीं है, और इसे ∞ के रूप में पूर्ण रूप से परिभाषित किया गया है यदि यह सभी क्रमसूचक α के लिए कम से कम α है, और यदि S रिक्त है तो इसे −1 के रूप में परिभाषित किया गया है। | ||
अतः मॉडल M (सूत्र φ द्वारा परिभाषित) के निश्चित उपसमुच्चय के लिए मॉर्ले पद को M के किसी भी ℵ<sub>0</sub>-[[संतृप्त मॉडल]] के प्राथमिक विस्तार में φ के मॉर्ले पद के रूप में परिभाषित किया गया है। इस प्रकार से विशेष रूप से ℵ<sub>0</sub>-संतृप्त मॉडल के लिए उपसमुच्चय के मॉर्ले पद उपसमुच्चय को परिभाषित करने वाले किसी भी सूत्र के मॉर्ले पद है। | अतः मॉडल M (सूत्र φ द्वारा परिभाषित) के निश्चित उपसमुच्चय के लिए मॉर्ले पद को M के किसी भी ℵ<sub>0</sub>-[[संतृप्त मॉडल]] के प्राथमिक विस्तार में φ के मॉर्ले पद के रूप पूर्ण रूप से में परिभाषित किया गया है। इस प्रकार से विशेष रूप से ℵ<sub>0</sub>-संतृप्त मॉडल के लिए उपसमुच्चय के मॉर्ले पद उपसमुच्चय को परिभाषित करने वाले किसी भी सूत्र के मॉर्ले पद है। | ||
यदि S को परिभाषित करने वाले φ की पद α है, और S पद α के n < ω उपसमुच्चय से अधिक में नहीं टूटता है, तो φ को 'मॉर्ले घात' n कहा जाता है। अतः परिमित समुच्चय को परिभाषित करने वाले सूत्र में मॉर्ले पद 0 है। मॉर्ले पद 1 और मॉर्ले घात 1 वाले सूत्र को [[दृढ़तापूर्वक न्यूनतम सिद्धांत]] कहा जाता है। 'दृढ़ता से न्यूनतम' संरचना वह है जहां तुच्छ सूत्र x = x दृढ़ता से न्यूनतम है। इस प्रकार से मॉर्ले पद और दृढ़ता से न्यूनतम संरचनाएं मॉर्ले की श्रेणीबद्धता प्रमेय के प्रमाण और मॉडल सैद्धांतिक [[स्थिरता सिद्धांत (मॉडल सिद्धांत)]] के बड़े क्षेत्र में महत्वपूर्ण उपकरण हैं। | यदि S को परिभाषित करने वाले φ की पद α है, और S पद α के n < ω उपसमुच्चय से अधिक में नहीं टूटता है, तो φ को 'मॉर्ले घात' n कहा जाता है। अतः परिमित समुच्चय को परिभाषित करने वाले सूत्र में मॉर्ले पद 0 है। इस प्रकार से मॉर्ले पद 1 और मॉर्ले घात 1 वाले सूत्र को [[दृढ़तापूर्वक न्यूनतम सिद्धांत]] कहा जाता है। अतः 'दृढ़ता से न्यूनतम' संरचना वह है जहां तुच्छ सूत्र x = x दृढ़ता से न्यूनतम है। इस प्रकार से मॉर्ले पद और दृढ़ता से न्यूनतम संरचनाएं मॉर्ले की श्रेणीबद्धता प्रमेय के प्रमाण और मॉडल सैद्धांतिक [[स्थिरता सिद्धांत (मॉडल सिद्धांत)]] के बड़े क्षेत्र में महत्वपूर्ण उपकरण हैं। | ||
==उदाहरण== | ==उदाहरण== | ||
*रिक्त समुच्चय में मॉर्ले पद -1 है, और इसके विपरीत मॉर्ले पद -1 में से कुछ भी रिक्त है। | *रिक्त समुच्चय में मॉर्ले पद -1 है, और इसके विपरीत मॉर्ले पद -1 में से कुछ भी रिक्त है। | ||
*एक उपसमुच्चय में मॉर्ले पद 0 है यदि और मात्र यदि यह परिमित और गैर-रिक्त है। | *एक उपसमुच्चय में मॉर्ले पद 0 है यदि और मात्र यदि यह परिमित और गैर-रिक्त है। | ||
*यदि [[बीजगणितीय रूप से बंद फ़ील्ड|बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र]] K के लिए V, ''K<sup>n</sup>'' में एक बीजगणितीय समुच्चय है, तो V के मॉर्ले पद इसके सामान्य [[क्रुल आयाम|क्रुल विमा]] के समान है। V की मॉर्ले घात अधिकतम विमा के अपरिवर्तनीय घटकों की संख्या है; यह इसकी [[डिग्री (बीजगणितीय ज्यामिति)|घात (बीजगणितीय ज्यामिति)]] के समान नहीं है, इसके अतिरिक्त कि जब इसकी अधिकतम विमा के घटक रैखिक समष्टि हों। | *यदि [[बीजगणितीय रूप से बंद फ़ील्ड|बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र]] K के लिए V, ''K<sup>n</sup>'' में एक बीजगणितीय समुच्चय है, तो V के मॉर्ले पद इसके सामान्य [[क्रुल आयाम|क्रुल विमा]] के समान है। V की मॉर्ले घात अधिकतम विमा के अपरिवर्तनीय घटकों की संख्या है; इस प्रकार से यह इसकी [[डिग्री (बीजगणितीय ज्यामिति)|घात (बीजगणितीय ज्यामिति)]] के समान नहीं है, इसके अतिरिक्त कि जब इसकी अधिकतम विमा के घटक रैखिक समष्टि हों। | ||
*तर्कसंगत संख्याएँ, जिन्हें क्रमबद्ध समुच्चय माना जाता है, इसमें मॉर्ले पद ∞ है, क्योंकि इसमें स्वयं के लिए समरूपी निश्चित उपसमुच्चय का गणनीय [[असंयुक्त संघ]] सम्मिलित है। | *तर्कसंगत संख्याएँ, जिन्हें पूर्ण रूप से क्रमबद्ध समुच्चय माना जाता है, इसमें मॉर्ले पद ∞ है, क्योंकि इसमें स्वयं के लिए समरूपी निश्चित उपसमुच्चय का गणनीय [[असंयुक्त संघ]] सम्मिलित है। | ||
==यह भी देखें== | ==यह भी देखें== | ||
Revision as of 18:02, 3 August 2023
गणितीय तर्क में, Michael D. Morley (1965) प्रस्तुत मॉर्ले पद, सिद्धांत (तर्क) के मॉडल सिद्धांत के उपसमुच्चय के आकार को मापने का एक ऐसा साधन है, जो बीजगणितीय ज्यामिति में विमा की धारणा को सामान्य बनाता है।
परिभाषा
इस प्रकार से मॉडल M के साथ सिद्धांत T को ठीक करें। M के निश्चित समुच्चय (मापदंडों के साथ) उपसमुच्चय S को परिभाषित करने वाले सूत्र φ के मॉर्ले पद एक क्रमसूचक या −1 या ∞ है, जिसे पहले पुनरावर्ती रूप से यह परिभाषित करके परिभाषित किया जाता है कि किसी सूत्र के लिए कुछ क्रमसूचक α के लिए कम से कम α पद रखने का क्या अर्थ है।
- यदि S गैर-रिक्त है तो मॉर्ले पद कम से कम 0 है।
- α के परवर्ती क्रमसूचक के लिए, मॉर्ले पद कम से कम α है यदि M के कुछ प्राथमिक विस्तार N में, समुच्चय S में अगणनीय असंयुक्त निश्चित उपसमुच्चय Si हैं, अतः प्रत्येक पद पूर्ण रूप से कम से कम α − 1 है।
- α के लिए गैर-शून्य सीमा क्रमसूचक, मॉर्ले पद कम से कम α है यदि यह α से कम सभी β के लिए पूर्ण रूप से कम से कम β है।
इस प्रकार से मॉर्ले पद को तब α के रूप में परिभाषित किया जाता है यदि यह कम से कम α है परन्तु कम से कम α + 1 नहीं है, और इसे ∞ के रूप में पूर्ण रूप से परिभाषित किया गया है यदि यह सभी क्रमसूचक α के लिए कम से कम α है, और यदि S रिक्त है तो इसे −1 के रूप में परिभाषित किया गया है।
अतः मॉडल M (सूत्र φ द्वारा परिभाषित) के निश्चित उपसमुच्चय के लिए मॉर्ले पद को M के किसी भी ℵ0-संतृप्त मॉडल के प्राथमिक विस्तार में φ के मॉर्ले पद के रूप पूर्ण रूप से में परिभाषित किया गया है। इस प्रकार से विशेष रूप से ℵ0-संतृप्त मॉडल के लिए उपसमुच्चय के मॉर्ले पद उपसमुच्चय को परिभाषित करने वाले किसी भी सूत्र के मॉर्ले पद है।
यदि S को परिभाषित करने वाले φ की पद α है, और S पद α के n < ω उपसमुच्चय से अधिक में नहीं टूटता है, तो φ को 'मॉर्ले घात' n कहा जाता है। अतः परिमित समुच्चय को परिभाषित करने वाले सूत्र में मॉर्ले पद 0 है। इस प्रकार से मॉर्ले पद 1 और मॉर्ले घात 1 वाले सूत्र को दृढ़तापूर्वक न्यूनतम सिद्धांत कहा जाता है। अतः 'दृढ़ता से न्यूनतम' संरचना वह है जहां तुच्छ सूत्र x = x दृढ़ता से न्यूनतम है। इस प्रकार से मॉर्ले पद और दृढ़ता से न्यूनतम संरचनाएं मॉर्ले की श्रेणीबद्धता प्रमेय के प्रमाण और मॉडल सैद्धांतिक स्थिरता सिद्धांत (मॉडल सिद्धांत) के बड़े क्षेत्र में महत्वपूर्ण उपकरण हैं।
उदाहरण
- रिक्त समुच्चय में मॉर्ले पद -1 है, और इसके विपरीत मॉर्ले पद -1 में से कुछ भी रिक्त है।
- एक उपसमुच्चय में मॉर्ले पद 0 है यदि और मात्र यदि यह परिमित और गैर-रिक्त है।
- यदि बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र K के लिए V, Kn में एक बीजगणितीय समुच्चय है, तो V के मॉर्ले पद इसके सामान्य क्रुल विमा के समान है। V की मॉर्ले घात अधिकतम विमा के अपरिवर्तनीय घटकों की संख्या है; इस प्रकार से यह इसकी घात (बीजगणितीय ज्यामिति) के समान नहीं है, इसके अतिरिक्त कि जब इसकी अधिकतम विमा के घटक रैखिक समष्टि हों।
- तर्कसंगत संख्याएँ, जिन्हें पूर्ण रूप से क्रमबद्ध समुच्चय माना जाता है, इसमें मॉर्ले पद ∞ है, क्योंकि इसमें स्वयं के लिए समरूपी निश्चित उपसमुच्चय का गणनीय असंयुक्त संघ सम्मिलित है।
यह भी देखें
- चेर्लिन-ज़िल्बर अनुमान
- परिमित मॉर्ले पद का समूह
- यू-पद
संदर्भ
- Alexandre Borovik, Ali Nesin, "Groups of finite Morley rank", Oxford Univ. Press (1994)
- B. Hart Stability theory and its variants (2000) pp. 131–148 in Model theory, algebra and geometry, edited by D. Haskell et al., Math. Sci. Res. Inst. Publ. 39, Cambridge Univ. Press, New York, 2000. Contains a formal definition of Morley rank.
- David Marker Model Theory of Differential Fields (2000) pp. 53–63 in Model theory, algebra and geometry, edited by D. Haskell et al., Math. Sci. Res. Inst. Publ. 39, Cambridge Univ. Press, New York, 2000.
- Morley, M.D. (1965), "Categoricity in power", Trans. Amer. Math. Soc., American Mathematical Society, 114 (2): 514–538, doi:10.2307/1994188, JSTOR 1994188
- Pillay, Anand (2001) [1994], "Group of finite Morley rank", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
- Pillay, Anand (2001) [1994], "मॉर्ले रैंक", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
