निष्क्रिय आव्यूह

रैखिक बीजगणित में, निष्क्रिय आव्यूह ऐसा आव्यूह होता है, जिसे जब स्वयं से गुणा किया जाता है, तो स्वयं ही परिणाम प्राप्त होता है। अर्थात आव्यूह $A$ निष्क्रिय है यदि और केवल $A^{2}=A$ होता है। इस उत्पाद के लिए $A^{2}$ को परिभाषित किया जाना है, $A$ आवश्यक रूप से वर्ग आव्यूह होना चाहिए। इस प्रकार से देखने पर, निष्क्रिय आव्यूह, आव्यूह वलय के निष्क्रिय तत्व हैं।

उदाहरण

इसके उदाहरण $2\times 2$ निष्क्रिय आव्यूह हैं:

$${\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}3&-6\\1&-2\end{bmatrix}}$$

इसके उदाहरण $3\times 3$ निष्क्रिय आव्यूह हैं:

$${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}2&-2&-4\\-1&3&4\\1&-2&-3\end{bmatrix}}$$

वास्तविक 2 × 2 स्थिति

यदि आव्यूह ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ निष्क्रिय है, तो

• $a=a^{2}+bc,$
• $b=ab+bd,$ जिसका अर्थ $b(1-a-d)=0$ इसलिए $b=0$ या $d=1-a$ है।
• $c=ca+cd,$ जिसका अर्थ $c(1-a-d)=0$ इसलिए $c=0$ या $d=1-a$ है।
• $d=bc+d^{2}.$

इस प्रकार, a के लिए आवश्यक नियम $2\times 2$ आव्यूह का निष्क्रिय होना यह है कि या तो यह विकर्ण आव्यूह है या इसका ट्रेस 1 के समान है। निष्क्रिय विकर्ण आव्यूह के लिए, $a$ और $d$ या तो 1 या 0 होना चाहिए।

यदि $b=c$, गणित का सवाल ${\begin{pmatrix}a&b\\b&1-a\end{pmatrix}}$ निष्क्रिय प्रदान किया जाएगा $a^{2}+b^{2}=a,$ अतः a द्विघात समीकरण को संतुष्ट करता है।

$a^{2}-a+b^{2}=0,$ या $\left(a-{\frac {1}{2}}\right)^{2}+b^{2}={\frac {1}{4}}$

जो केंद्र (1/2, 0) और त्रिज्या 1/2 वाला वृत्त है। कोण θ के संदर्भ में,

$A={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1-\cos \theta &\sin \theta \\\sin \theta &1+\cos \theta \end{pmatrix}}$ निष्क्रिय है।

चूँकि, $b=c$ कोई आवश्यक नियम नहीं है: कोई भी आव्यूह;

${\begin{pmatrix}a&b\\c&1-a\end{pmatrix}}$ साथ $a^{2}+bc=a$ निष्क्रिय है।

गुण

विलक्षणता और नियमितता

मात्र गैर-वचन आव्यूह शिनाख्त सांचा पहचान आव्यूह है; अर्थात्, यदि गैर-पहचान आव्यूह निष्क्रिय है, तो इसकी स्वतंत्र पंक्तियों (और स्तंभों) की संख्या इसकी पंक्तियों (और स्तंभों) की संख्या से कम है।

इसे लेखन से देखा जा सकता है $A^{2}=A$, ये मानते हुए A की पूर्ण रैंक है (गैर-वचन है), और पूर्व-गुणा है $A^{-1}$ प्राप्त करने के लिए $A=IA=A^{-1}A^{2}=A^{-1}A=I$.

जब निष्क्रिय आव्यूह को पहचान आव्यूह से घटा दिया जाता है, तो परिणाम भी निष्क्रिय होता है। यह तब से कायम है

$(I-A)(I-A)=I-A-A+A^{2}=I-A-A+A=I-A.$

यदि आव्यूह A सभी धनात्मक पूर्णांक n के लिए निष्क्रिय है, $A^{n}=A$. इसे प्रेरण द्वारा प्रमाण का उपयोग करके दिखाया जा सकता है। स्पष्ट रूप से हमारे पास इसका परिणाम है $n=1$, जैसा $A^{1}=A$. लगता है कि $A^{k-1}=A$. तब, $A^{k}=A^{k-1}A=AA=A$, तब से A नपुंसक है. अत: प्रेरण के सिद्धांत से परिणाम अनुसरण करता है।

आइजेनवैल्यू

निष्क्रिय आव्यूह हमेशा विकर्णीय होता है। इसके eigenvalues ​​या तो 0 या 1 हैं: यदि $\mathbf {x}$ कुछ निष्क्रिय आव्यूह का गैर-शून्य आइजनवेक्टर है $A$ और $\lambda$ तो फिर, इससे जुड़ा eigenvalue ${\textstyle \lambda \mathbf {x} =A\mathbf {x} =A^{2}\mathbf {x} =A\lambda \mathbf {x} =\lambda A\mathbf {x} =\lambda ^{2}\mathbf {x} ,}$ जो ये दर्शाता हे $\lambda \in \{0,1\}.$ इसका तात्पर्य यह है कि निष्क्रिय आव्यूह का निर्धारक हमेशा 0 या 1 होता है। जैसा कि ऊपर बताया गया है, यदि निर्धारक के बराबर है, तो आव्यूह Invertible_matrix#The_invertible_matrix_theorem है और इसलिए यह पहचान आव्यूह है।

ट्रेस

इडेम्पोटेंट आव्यूह का ट्रेस (रैखिक बीजगणित) - इसके मुख्य विकर्ण पर तत्वों का योग - आव्यूह की रैंक (रैखिक बीजगणित) के बराबर होता है और इस प्रकार हमेशा पूर्णांक होता है। यह रैंक की गणना करने का आसान तरीका प्रदान करता है, या वैकल्पिक रूप से आव्यूह के ट्रेस को निर्धारित करने का आसान तरीका प्रदान करता है जिसके तत्व विशेष रूप से ज्ञात नहीं हैं (जो आंकड़ों में सहायक है, उदाहरण के लिए, उपयोग में पूर्वाग्रह (सांख्यिकी) की डिग्री स्थापित करने में) विचरण के अनुमान के रूप में विचरण)।

निष्क्रिय आव्यूहों के बीच संबंध

प्रतिगमन विश्लेषण में, आव्यूह $M=I-X(X'X)^{-1}X'$ अवशिष्टों का उत्पादन करने के लिए जाना जाता है $e$ आश्रित चरों के वेक्टर के प्रतिगमन से $y$ सहसंयोजकों के आव्यूह पर $X$. (एप्लिकेशन पर अनुभाग देखें।) अब, चलिए $X_{1}$ के स्तंभों के उपसमुच्चय से बना आव्यूह बनें $X$, और जाने $M_{1}=I-X_{1}(X_{1}'X_{1})^{-1}X_{1}'$. ये दोनों दिखाना आसान है $M$ और $M_{1}$ नपुंसक हैं, लेकिन कुछ हद तक आश्चर्यजनक तथ्य यह है $MM_{1}=M$. यह है क्योंकि $MX_{1}=0$, या दूसरे शब्दों में, के स्तंभों के प्रतिगमन से अवशेष $X_{1}$ पर $X$ तब से 0 हैं $X_{1}$ इसे पूरी तरह से प्रक्षेपित किया जा सकता है क्योंकि यह इसका उपसमूह है $X$ (प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन द्वारा यह दर्शाना भी सरल है $MX=0$). इससे दो अन्य महत्वपूर्ण परिणाम सामने आते हैं: तो वह है $(M_{1}-M)$ सममित और निष्क्रिय है, और दूसरा वह है $(M_{1}-M)M=0$, अर्थात।, $(M_{1}-M)$ यह ऑर्थोगोनल है $M$. ये परिणाम महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं, उदाहरण के लिए, एफ परीक्षण की व्युत्पत्ति में।

निष्क्रिय आव्यूह का कोई भी आव्यूह_समानता आव्यूह भी निष्क्रिय होता है। आधार परिवर्तन के तहत निष्क्रियता को संरक्षित किया जाता है। इसे परिवर्तित आव्यूह के गुणन के माध्यम से दिखाया जा सकता है नपुंसक होना: गणित> (एस ए एस^{-1})^2 =(एस ए एस^{-1})(एस ए एस^{-1}) = एस ए (एस^{-1}एस) ए एस^{-1} = एस ए^2 एस^{-1} = एस ए एस^{-1} </गणित>.

अनुप्रयोग

प्रतिगमन विश्लेषण और अर्थमिति में निष्क्रिय आव्यूह अक्सर उत्पन्न होते हैं। उदाहरण के लिए, सामान्य न्यूनतम वर्गों में, प्रतिगमन समस्या वेक्टर चुनना है βगुणांक अनुमानों का ताकि चुकता अवशेषों (गलत पूर्वानुमानों) के योग को कम किया जा सके_i: आव्यूह रूप में,

छोटा करना $(y-X\beta )^{\textsf {T}}(y-X\beta )$

कहाँ $y$ आश्रित और स्वतंत्र चर#सांख्यिकी अवलोकनों का वेक्टर है, और $X$ आव्यूह है जिसका प्रत्येक कॉलम आश्रित और स्वतंत्र चर#सांख्यिकी में से पर टिप्पणियों का कॉलम है। परिणामी अनुमानक है

${\hat {\beta }}=\left(X^{\textsf {T}}X\right)^{-1}X^{\textsf {T}}y$

जहां सुपरस्क्रिप्ट टी स्थानान्तरण को इंगित करता है, और अवशेषों का वेक्टर है

${\hat {e}}=y-X{\hat {\beta }}=y-X\left(X^{\textsf {T}}X\right)^{-1}X^{\textsf {T}}y=\left[I-X\left(X^{\textsf {T}}X\right)^{-1}X^{\textsf {T}}\right]y=My.$

यहाँ दोनों $M$ और $X\left(X^{\textsf {T}}X\right)^{-1}X^{\textsf {T}}$(बाद वाले को टोपी आव्यूह के रूप में जाना जाता है) निष्क्रिय और सममित आव्यूह हैं, तथ्य जो वर्ग अवशेषों के योग की गणना करते समय सरलीकरण की अनुमति देता है:

${\hat {e}}^{\textsf {T}}{\hat {e}}=(My)^{\textsf {T}}(My)=y^{\textsf {T}}M^{\textsf {T}}My=y^{\textsf {T}}MMy=y^{\textsf {T}}My.$

की निष्क्रियता $M$ अन्य गणनाओं में भी भूमिका निभाता है, जैसे अनुमानक के विचरण को निर्धारित करने में ${\hat {\beta }}$.

निष्क्रिय रैखिक ऑपरेटर $P$ स्तंभ स्थान पर प्रक्षेपण ऑपरेटर है $R(P)$ इसके शून्य स्थान के साथ $N(P)$. $P$ ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण ऑपरेटर है यदि और केवल यदि यह निष्क्रिय और सममित आव्यूह है।

यह भी देखें

• निष्क्रियता
• निलपोटेंट
• प्रक्षेपण (रैखिक बीजगणित)
• हैट आव्यूह