स्केल्ड व्युत्क्रम ची-वर्ग वितरण

Scaled inverse chi-squared

Probability density function
Cumulative distribution function
Parameters	$\nu >0\,$ $\tau ^{2}>0\,$
Support	$x\in (0,\infty )$
PDF	${\frac {(\tau ^{2}\nu /2)^{\nu /2}}{\Gamma (\nu /2)}}~{\frac {\exp \left[{\frac {-\nu \tau ^{2}}{2x}}\right]}{x^{1+\nu /2}}}$
CDF	$\Gamma \left({\frac {\nu }{2}},{\frac {\tau ^{2}\nu }{2x}}\right)\left/\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)\right.$
Mean	${\frac {\nu \tau ^{2}}{\nu -2}}$ for $\nu >2\,$
Mode	${\frac {\nu \tau ^{2}}{\nu +2}}$
Variance	${\frac {2\nu ^{2}\tau ^{4}}{(\nu -2)^{2}(\nu -4)}}$for $\nu >4\,$
Skewness	${\frac {4}{\nu -6}}{\sqrt {2(\nu -4)}}$for $\nu >6\,$
Ex. kurtosis	${\frac {12(5\nu -22)}{(\nu -6)(\nu -8)}}$for $\nu >8\,$
Entropy	${\frac {\nu }{2}}\!+\!\ln \left({\frac {\tau ^{2}\nu }{2}}\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)\right)$ $\!-\!\left(1\!+\!{\frac {\nu }{2}}\right)\psi \left({\frac {\nu }{2}}\right)$
MGF	${\frac {2}{\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\left({\frac {-\tau ^{2}\nu t}{2}}\right)^{\!\!{\frac {\nu }{4}}}\!\!K_{\frac {\nu }{2}}\left({\sqrt {-2\tau ^{2}\nu t}}\right)$
CF	${\frac {2}{\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\left({\frac {-i\tau ^{2}\nu t}{2}}\right)^{\!\!{\frac {\nu }{4}}}\!\!K_{\frac {\nu }{2}}\left({\sqrt {-2i\tau ^{2}\nu t}}\right)$

स्केल्ड व्युत्क्रम ची-वर्ग वितरण x = 1/s के लिए वितरण है², जहां एस² ν स्वतंत्र सामान्य वितरण यादृच्छिक चर के वर्गों का नमूना माध्य है जिसका माध्य 0 और व्युत्क्रम विचरण 1/σ है² = टी². इसलिए वितरण दो मात्राओं ν और τ द्वारा परिचालित है², जिसे क्रमशः स्वतंत्रता की ची-वर्ग डिग्री की संख्या और स्केलिंग पैरामीटर के रूप में जाना जाता है।

स्केल किए गए व्युत्क्रम ची-वर्ग वितरण का यह परिवार दो अन्य वितरण परिवारों से निकटता से संबंधित है, व्युत्क्रम-ची-वर्ग वितरण और व्युत्क्रम-गामा वितरण। व्युत्क्रम-ची-वर्ग वितरण की तुलना में, स्केल किए गए वितरण में अतिरिक्त पैरामीटर τ होता है², जो वितरण को क्षैतिज और लंबवत रूप से मापता है, जो मूल अंतर्निहित प्रक्रिया के व्युत्क्रम-विचरण का प्रतिनिधित्व करता है। साथ ही, स्केल किए गए व्युत्क्रम ची-वर्ग वितरण को उनके योग के व्युत्क्रम के बजाय ν वर्ग विचलन के माध्य के व्युत्क्रम के वितरण के रूप में प्रस्तुत किया जाता है। इस प्रकार दोनों वितरणों में यह संबंध है कि यदि

$X\sim {\mbox{Scale-inv-}}\chi ^{2}(\nu ,\tau ^{2})$ तब ${\frac {X}{\tau ^{2}\nu }}\sim {\mbox{inv-}}\chi ^{2}(\nu )$

व्युत्क्रम गामा वितरण की तुलना में, स्केल्ड व्युत्क्रम ची-वर्ग वितरण समान डेटा वितरण का वर्णन करता है, लेकिन अलग सांख्यिकीय पैरामीटर का उपयोग करता है, जो कुछ परिस्थितियों में अधिक सुविधाजनक हो सकता है। विशेष रूप से, यदि

$X\sim {\mbox{Scale-inv-}}\chi ^{2}(\nu ,\tau ^{2})$ तब $X\sim {\textrm {Inv-Gamma}}\left({\frac {\nu }{2}},{\frac {\nu \tau ^{2}}{2}}\right)$

किसी भी रूप का उपयोग निश्चित प्रथम व्युत्क्रम क्षण (गणित) के लिए अधिकतम एन्ट्रापी संभाव्यता वितरण वितरण का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जा सकता है। $(E(1/X))$ और पहला लघुगणक क्षण $(E(\ln(X))$.

स्केल किए गए व्युत्क्रम ची-वर्ग वितरण का बायेसियन सांख्यिकी में भी विशेष उपयोग होता है, जो x = 1/s के लिए पूर्वानुमानित वितरण के रूप में इसके उपयोग से कुछ हद तक असंबंधित है।². विशेष रूप से, स्केल किए गए व्युत्क्रम ची-वर्ग वितरण का उपयोग सामान्य वितरण के विचरण पैरामीटर के लिए संयुग्म पूर्व के रूप में किया जा सकता है। इस संदर्भ में स्केलिंग पैरामीटर को σ द्वारा दर्शाया गया है₀^{τ के बजाय 22}, और इसकी अलग व्याख्या है। इसके बजाय एप्लिकेशन को आमतौर पर व्युत्क्रम-गामा वितरण फॉर्मूलेशन का उपयोग करके प्रस्तुत किया गया है; हालाँकि, कुछ लेखक, विशेष रूप से गेलमैन एट अल का अनुसरण कर रहे हैं। (1995/2004) का तर्क है कि व्युत्क्रम ची-स्क्वेर्ड पैरामीट्रिज़ेशन अधिक सहज है।

विशेषता

स्केल किए गए व्युत्क्रम ची-वर्ग वितरण की संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन डोमेन पर फैली हुई है $x>0$ और है

$f(x;\nu ,\tau ^{2})={\frac {(\tau ^{2}\nu /2)^{\nu /2}}{\Gamma (\nu /2)}}~{\frac {\exp \left[{\frac {-\nu \tau ^{2}}{2x}}\right]}{x^{1+\nu /2}}}$

कहाँ $\nu$ स्वतंत्रता की डिग्री (सांख्यिकी) पैरामीटर है और $\tau ^{2}$ स्केल पैरामीटर है. संचयी वितरण फलन है

$F(x;\nu ,\tau ^{2})=\Gamma \left({\frac {\nu }{2}},{\frac {\tau ^{2}\nu }{2x}}\right)\left/\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)\right.$

$=Q\left({\frac {\nu }{2}},{\frac {\tau ^{2}\nu }{2x}}\right)$

कहाँ $\Gamma (a,x)$ अधूरा गामा फ़ंक्शन है, $\Gamma (x)$ गामा फ़ंक्शन है और $Q(a,x)$ नियमित गामा फ़ंक्शन है। विशेषता फलन (संभावना सिद्धांत) है

$\varphi (t;\nu ,\tau ^{2})=$

${\frac {2}{\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\left({\frac {-i\tau ^{2}\nu t}{2}}\right)^{\!\!{\frac {\nu }{4}}}\!\!K_{\frac {\nu }{2}}\left({\sqrt {-2i\tau ^{2}\nu t}}\right),$

कहाँ $K_{\frac {\nu }{2}}(z)$ दूसरे प्रकार का संशोधित बेसेल फ़ंक्शन है।

पैरामीटर अनुमान

की अधिकतम संभावना अनुमान $\tau ^{2}$ है

$\tau ^{2}=n/\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}.$

की अधिकतम संभावना अनुमान ${\frac {\nu }{2}}$ न्यूटन की विधि का उपयोग करके पाया जा सकता है:

$\ln \left({\frac {\nu }{2}}\right)-\psi \left({\frac {\nu }{2}}\right)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln \left(x_{i}\right)-\ln \left(\tau ^{2}\right),$

कहाँ $\psi (x)$ डिगामा फ़ंक्शन है। माध्य का सूत्र लेकर और इसे हल करके प्रारंभिक अनुमान पाया जा सकता है $\nu .$ होने देना ${\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}$ नमूना माध्य हो. फिर प्रारंभिक अनुमान $\nu$ द्वारा दिया गया है:

${\frac {\nu }{2}}={\frac {\bar {x}}{{\bar {x}}-\tau ^{2}}}.$

सामान्य वितरण के विचरण का बायेसियन अनुमान

सामान्य वितरण के विचरण के बायेसियन अनुमान में स्केल्ड व्युत्क्रम ची-वर्ग वितरण का दूसरा महत्वपूर्ण अनुप्रयोग है।

बेयस प्रमेय के अनुसार, ब्याज की मात्राओं के लिए पश्च संभाव्यता वितरण, मात्राओं और संभावना फ़ंक्शन के लिए पूर्व वितरण के उत्पाद के समानुपाती होता है:

$p(\sigma ^{2}|D,I)\propto p(\sigma ^{2}|I)\;p(D|\sigma ^{2})$ जहां D डेटा का प्रतिनिधित्व करता है और I σ के बारे में किसी प्रारंभिक जानकारी का प्रतिनिधित्व करता है²जो हमारे पास पहले से ही हो सकता है।

सबसे सरल परिदृश्य तब उत्पन्न होता है जब माध्य μ पहले से ही ज्ञात हो; या, वैकल्पिक रूप से, यदि यह σ की सशर्त संभावना है²जो कि μ के विशेष कल्पित मान के लिए मांगा गया है।

तब संभाव्यता पद L(σ)²|D) = p(D|p²) का परिचित रूप है

${\mathcal {L}}(\sigma ^{2}|D,\mu )={\frac {1}{\left({\sqrt {2\pi }}\sigma \right)^{n}}}\;\exp \left[-{\frac {\sum _{i}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]$

इसे रीस्केलिंग-इनवेरिएंट पूर्व p(σ) के साथ संयोजित करना²|I) = 1/s², जिसके बारे में तर्क दिया जा सकता है (उदाहरण के लिए मानक विचलन पैरामीटर के साथ जेफरीज़ पूर्व#गॉसियन वितरण) σ के लिए पूर्व संभव सबसे कम जानकारीपूर्ण है²इस समस्या में, संयुक्त पश्चवर्ती संभावना देता है

$p(\sigma ^{2}|D,I,\mu )\propto {\frac {1}{\sigma ^{n+2}}}\;\exp \left[-{\frac {\sum _{i}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]$

इस फॉर्म को स्केल किए गए व्युत्क्रम ची-वर्ग वितरण के रूप में पहचाना जा सकता है, पैरामीटर ν = n और τ के साथ²=s² = (1/n) Σ (x_i-एम)²

गेलमैन एट अल की टिप्पणी है कि इस वितरण की पुन: उपस्थिति, जिसे पहले नमूना संदर्भ में देखा गया था, उल्लेखनीय लग सकता है; लेकिन पहले के विकल्प को देखते हुए परिणाम आश्चर्यजनक नहीं है। विशेष रूप से, σ के लिए पहले रीस्केलिंग-इनवेरिएंट का विकल्प² का परिणाम यह है कि σ के अनुपात की संभावना है²/s² का रूप समान होता है (कंडीशनिंग चर से स्वतंत्र) जब एस पर वातानुकूलित किया जाता है²जैसे कि जब σ पर वातानुकूलित किया जाता है²:

$p({\tfrac {\sigma ^{2}}{s^{2}}}|s^{2})=p({\tfrac {\sigma ^{2}}{s^{2}}}|\sigma ^{2})$

नमूना-सिद्धांत मामले में, σ पर वातानुकूलित², (1/एस) के लिए संभाव्यता वितरण²) स्केल्ड व्युत्क्रम ची-वर्ग वितरण है; और इसलिए σ के लिए संभाव्यता वितरण²एस पर वातानुकूलित², जिसे स्केल-अज्ञेयवादी पूर्व दिया गया है, स्केल्ड व्युत्क्रम ची-वर्ग वितरण भी है।

पूर्व सूचनात्मक के रूप में उपयोग करें

यदि σ के संभावित मूल्यों के बारे में अधिक जानकारी है², स्केल्ड व्युत्क्रम ची-स्क्वायर परिवार से वितरण, जैसे स्केल-इनव-χ²(एन₀, एस₀²) σ के लिए अधिक जानकारीपूर्ण पूर्व का प्रतिनिधित्व करने के लिए सुविधाजनक रूप हो सकता है², मानो n के परिणाम से₀ पिछले अवलोकन (हालांकि n₀ आवश्यक नहीं कि पूर्ण संख्या हो):

$p(\sigma ^{2}|I^{\prime },\mu )\propto {\frac {1}{\sigma ^{n_{0}+2}}}\;\exp \left[-{\frac {n_{0}s_{0}^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]$

इस तरह के पूर्व से पश्चवर्ती वितरण को बढ़ावा मिलेगा

$p(\sigma ^{2}|D,I^{\prime },\mu )\propto {\frac {1}{\sigma ^{n+n_{0}+2}}}\;\exp \left[-{\frac {ns^{2}+n_{0}s_{0}^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]$

जो स्वयं स्केल्ड व्युत्क्रम ची-वर्ग वितरण है। इस प्रकार स्केल किए गए व्युत्क्रम ची-वर्ग वितरण σ के लिए सुविधाजनक संयुग्मित पूर्व परिवार हैं²अनुमान.

माध्य अज्ञात होने पर विचरण का अनुमान

यदि माध्य ज्ञात नहीं है, तो इसके लिए जो सबसे असूचनात्मक पूर्व लिया जा सकता है, वह संभवतः अनुवाद-अपरिवर्तनीय पूर्व p(μ|I) ∝ स्थिरांक है, जो μ और σ के लिए निम्नलिखित संयुक्त पश्च वितरण देता है।²,

${\begin{aligned}p(\mu ,\sigma ^{2}\mid D,I)&\propto {\frac {1}{\sigma ^{n+2}}}\exp \left[-{\frac {\sum _{i}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]\\&={\frac {1}{\sigma ^{n+2}}}\exp \left[-{\frac {\sum _{i}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]\exp \left[-{\frac {n(\mu -{\bar {x}})^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]\end{aligned}}$

σ के लिए सीमांत पश्च वितरण²μ पर ीकृत करके संयुक्त पश्च वितरण से प्राप्त किया जाता है,

${\begin{aligned}p(\sigma ^{2}|D,I)\;\propto \;&{\frac {1}{\sigma ^{n+2}}}\;\exp \left[-{\frac {\sum _{i}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]\;\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left[-{\frac {n(\mu -{\bar {x}})^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]d\mu \\=\;&{\frac {1}{\sigma ^{n+2}}}\;\exp \left[-{\frac {\sum _{i}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]\;{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}/n}}\\\propto \;&(\sigma ^{2})^{-(n+1)/2}\;\exp \left[-{\frac {(n-1)s^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]\end{aligned}}$

यह फिर से मापदंडों के साथ स्केल्ड व्युत्क्रम ची-वर्ग वितरण है $\scriptstyle {n-1}\;$ और $\scriptstyle {s^{2}=\sum (x_{i}-{\bar {x}})^{2}/(n-1)}$.

संबंधित वितरण

• अगर $X\sim {\mbox{Scale-inv-}}\chi ^{2}(\nu ,\tau ^{2})$ तब $kX\sim {\mbox{Scale-inv-}}\chi ^{2}(\nu ,k\tau ^{2})\,$
• अगर $X\sim {\mbox{inv-}}\chi ^{2}(\nu )\,$ (उलटा-ची-वर्ग वितरण) तो $X\sim {\mbox{Scale-inv-}}\chi ^{2}(\nu ,1/\nu )\,$
• अगर $X\sim {\mbox{Scale-inv-}}\chi ^{2}(\nu ,\tau ^{2})$ तब ${\frac {X}{\tau ^{2}\nu }}\sim {\mbox{inv-}}\chi ^{2}(\nu )\,$ (व्युत्क्रम-ची-वर्ग वितरण)
• अगर $X\sim {\mbox{Scale-inv-}}\chi ^{2}(\nu ,\tau ^{2})$ तब $X\sim {\textrm {Inv-Gamma}}\left({\frac {\nu }{2}},{\frac {\nu \tau ^{2}}{2}}\right)$ (उलटा-गामा वितरण)
• स्केल्ड व्युत्क्रम ची वर्ग वितरण टाइप 5 पियर्सन वितरण का विशेष मामला है

संदर्भ

• Gelman A. et al (1995), Bayesian Data Analysis, pp 474–475; also pp 47, 480