मार्सिंकिविज़ इंटरपोलेशन प्रमेय: Difference between revisions

Revision as of 23:26, 13 August 2023

गणित में, जोज़ेफ़ मार्सिंकिविज़ (1939) द्वारा खोजा गया मार्सिंकिविज़ अंतर्वेशन (इंटरपोलेशन) प्रमेय, L^p समष्टि पर फलन करने वाले गैर-रेखीय ऑपरेटरों के मानदंडों को सीमित करने का परिणाम है।

मार्सिंकीविज़ का प्रमेय रैखिक ऑपरेटरों के बारे में रिज़्ज़-थोरिन प्रमेय के समान है, लेकिन गैर-रेखीय ऑपरेटरों पर भी लागू होता है।

प्रारंभिक

मान लीजिए f वास्तविक या सम्मिश्र मानों वाला एक मापने योग्य फलन है, जो माप स्थान (X, F, ω) पर परिभाषित है। f का वितरण फलन किसके द्वारा परिभाषित किया गया है

\lambda _{f}(t)=\omega \left\{x\in X\mid |f(x)|>t\right\}.

तब f को दुर्बल $L^{1}$ कहा जाता है यदि एक स्थिरांक C उपस्थित है जैसे कि f का वितरण फलन सभी t > 0 के लिए निम्नलिखित असमानता को संतुष्ट करता है:

\lambda _{f}(t)\leq {\frac {C}{t}}.

उपरोक्त असमानता में सबसे छोटे स्थिरांक C को 'दुर्बल $L^{1}$ ' कहा जाता है आदर्श और साधारणतया इसके द्वारा निरूपित किया जाता है $\|f\|_{1,w}$ या $\|f\|_{1,\infty }.$ इसी प्रकार स्थान को साधारणतया L^1,w or L^1,∞ द्वारा निरूपित किया जाता है।

(नोट: यह शब्दावली थोड़ी भ्रामक है क्योंकि दुर्बल मानदंड त्रिकोण असमानता को संतुष्ट नहीं करता है जैसा कि फलनों के योग पर विचार करके देखा जा सकता है $(0,1)$ द्वारा दिए गए $1/x$ और $1/(1-x)$ , जिसका मानक 2 नहीं 4 है।)

कोई $L^{1}$ फलन L का है^1,wऔर इसके अतिरिक्त एक में असमानता है

\|f\|_{1,w}\leq \|f\|_{1}.

यह मार्कोव की असमानता (अका चेबीशेव की असमानता) के अतिरिक्त और कुछ नहीं है। इसका विपरीत सत्य नहीं है. उदाहरण के लिए, फलन 1/x L¹,w से संबंधित है लेकिन L¹ से नहीं है।

इसी प्रकार, कोई दुर्बल $L^{p}$ समष्टि को सभी फलन f के समष्टि के रूप में परिभाषित कर सकता है, जैसे कि $|f|^{p}$ से L^1,w संबंधित है, और दुर्बल $L^{p}$ मानदंड का उपयोग कर रहा है

\|f\|_{p,w}=\left\||f|^{p}\right\|_{1,w}^{\frac {1}{p}}.

अधिकांश सीधे तौर पर, L^p^,w मानदंड को असमानता में सर्वोत्तम स्थिरांक C के रूप में परिभाषित किया गया है

\lambda _{f}(t)\leq {\frac {C^{p}}{t^{p}}}

सभी t > 0 के लिए.

निरूपण

अनौपचारिक रूप से, मार्सिंकिविज़ का प्रमेय है

प्रमेय. मान लीजिए T एक परिबद्ध रैखिक संचालिका है

L^{p}

को

L^{p,w}

और साथ ही साथ

L^{q}

को

L^{q,w}

. तब T भी एक परिबद्ध संचालिका है

L^{r}

को

L^{r}

p और q के बीच किसी भी r के लिए।

दूसरे शब्दों में, भले ही किसी को चरम p और q पर केवल दुर्बल सीमा की आवश्यकता हो, नियमित सीमा अभी भी कायम है। इसे और अधिक औपचारिक बनाने के लिए, किसी को यह समझाना होगा कि T केवल सघन उपसमुच्चय पर घिरा है और इसे पूरा किया जा सकता है। इन विवरणों के लिए रिज़्ज़-थोरिन प्रमेय देखें।

मानक के अनुमानों में जहां मार्सिंकिविज़ का प्रमेय रीज़-थोरिन प्रमेय से दुर्बल है। प्रमेय इसके लिए सीमा देता है $L^{r}$ T का मानदंड लेकिन यह सीमा अनंत तक बढ़ जाती है क्योंकि r या तो p या q में परिवर्तित हो जाता है। विशेष रूप से (डिबेनेडेटो 2002, प्रमेय VIII.9.2), लगता है कि

\|Tf\|_{p,w}\leq N_{p}\|f\|_{p},

\|Tf\|_{q,w}\leq N_{q}\|f\|_{q},

ताकि Lp से Lp,w तक T का ऑपरेटर मानदंड अधिकतम N_p पर हो, और L^q से L^q^,w तक T का ऑपरेटर मानदंड अधिकतम N_q पर हो। फिर निम्नलिखित अंतर्वेशन असमानता p और q और सभी f ∈ L^r के बीच सभी r के लिए लागू होती है:

\|Tf\|_{r}\leq \gamma N_{p}^{\delta }N_{q}^{1-\delta }\|f\|_{r}

जहाँ

\delta ={\frac {p(q-r)}{r(q-p)}}

और

\gamma =2\left({\frac {r(q-p)}{(r-p)(q-r)}}\right)^{1/r}.

सीमा तक जाकर q = ∞ के लिए स्थिरांक δ और γ भी दिए जा सकते हैं।

प्रमेय का एक संस्करण अधिक सामान्यतः तब भी लागू होता है जब T को केवल निम्नलिखित अर्थों में एक रैखिककल्प ऑपरेटर माना जाता है: एक स्थिरांक C > 0 उपस्थित होता है जिससे T संतुष्ट होता है

|T(f+g)(x)|\leq C(|Tf(x)|+|Tg(x)|)

लगभग हर जगह के लिए x. प्रमेय बिल्कुल वैसा ही है जैसा कहा गया है, इसके अतिरिक्त कि γ द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है

\gamma =2C\left({\frac {r(q-p)}{(r-p)(q-r)}}\right)^{1/r}.

एक ऑपरेटर T (संभवतः क्वासिलिनियर) फॉर्म के अनुमान को संतुष्ट करता है

\|Tf\|_{q,w}\leq C\|f\|_{p}

दुर्बल प्रकार (p,q) का कहा जाता है। यदि T, L^p से L^q तक एक परिबद्ध परिवर्तन है तो एक ऑपरेटर केवल (p,q) प्रकार का होता है:

\|Tf\|_{q}\leq C\|f\|_{p}.

अंतर्वेशन प्रमेय का अधिक सामान्य सूत्रीकरण इस प्रकार है:

यदि T दुर्बल प्रकार (p₀, q₀) और दुर्बल प्रकार (p₁, q₁) का एक रैखिककल्पऑपरेटर है जहां q₀ ≠ q₁ है, तो प्रत्येक θ ∈ (0,1) के लिए, T प्रकार (p,q) का है, p और q फॉर्म के p ≤ q के साथ

{\frac {1}{p}}={\frac {1-\theta }{p_{0}}}+{\frac {\theta }{p_{1}}},\quad {\frac {1}{q}}={\frac {1-\theta }{q_{0}}}+{\frac {\theta }{q_{1}}}.

बाद वाला सूत्रीकरण होल्डर की असमानता और द्वैत तर्क के अनुप्रयोग के माध्यम से पूर्व से अनुसरण करता है।^{[citation needed]}

अनुप्रयोग और उदाहरण

एक प्रसिद्ध एप्लिकेशन उदाहरण हिल्बर्ट ट्रांसफॉर्म है। गुणक (फूरियर विश्लेषण) के रूप में देखे जाने पर, किसी फलन f के हिल्बर्ट ट्रांसफ़ॉर्म की गणना पहले f के फूरियर रूपांतरण को लेकर, फिर साइन फलन द्वारा गुणा करके और अंत में व्युत्क्रम फ़ोरियर ट्रांसफ़ॉर्म को लागू करके की जा सकती है।

इसलिए पार्सेवल का प्रमेय आसानी से दिखाता है कि हिल्बर्ट परिवर्तन से घिरा हुआ है $L^{2}$ को $L^{2}$ . एक बहुत कम स्पष्ट तथ्य यह है कि यह सीमाबद्ध है $L^{1}$ को $L^{1,w}$ . इसलिए मार्सिंकिविज़ के प्रमेय से पता चलता है कि यह से घिरा हुआ है $L^{p}$ को $L^{p}$ किसी भी 1 < p < 2 के लिए है। दोहरे समष्टि तर्क दर्शाते हैं कि यह 2 < p < ∞ के लिए भी परिबद्ध है। वास्तव में, हिल्बर्ट रूपांतरण वास्तव में 1 या ∞ के बराबर p के लिए असीमित है।

एक अन्य प्रसिद्ध उदाहरण हार्डी-लिटिलवुड मैक्सिमम फलन है, जो रैखिक के बजाय केवल सबलीनियर ऑपरेटर है। जबकि $L^{p}$ को $L^{p}$ सीमा तुरंत से प्राप्त की जा सकती है $L^{1}$ दुर्बल होना $L^{1}$ चरों के एक चतुर परिवर्तन द्वारा अनुमान लगाने के लिए, मार्सिंकिविज़ अंतर्वेशन एक अधिक सहज दृष्टिकोण है। चूंकि हार्डी-लिटलवुड मैक्सिमल फलन तुच्छ रूप से सीमित है $L^{\infty }$ को $L^{\infty }$ , सभी के लिए सशक्त बाध्यता $p>1$ दुर्बल (1,1) अनुमान और अंतर्वेशन से तुरंत अनुसरण करता है। दुर्बल (1,1) अनुमान विटाली लेम्मा को कवर कर रहा है से प्राप्त किया जा सकता है।

इतिहास

प्रमेय की घोषणा सबसे पहले किसके द्वारा की गई थी? मारसिंकेविच (1939), जिन्होंने द्वितीय विश्व युद्ध में मरने से कुछ समय पहले एंटोनी ज़िगमंड को यह परिणाम दिखाया था। ज़िगमंड द्वारा प्रमेय को लगभग भुला दिया गया था, और एकवचन अभिन्न ऑपरेटरों के सिद्धांत पर उनके मूल फलनों से यह अनुपस्थित था। बाद में ज़िग्मुंड (1956) ने अनुभव किया कि मार्सिंक्यूविक्ज़ का परिणाम उनके काम को बहुत सरल बना सकता है, जिस समय उन्होंने अपने पूर्व छात्र के प्रमेय को अपने स्वयं के सामान्यीकरण के साथ प्रकाशित किया।

1964 में रिचर्ड एलन हंट|रिचर्ड ए. हंट और गुइडो वीस ने मार्सिंकिविज़ अंतर्वेशन प्रमेय का एक नया प्रमाण प्रकाशित किया।^[1]

यह भी देखें

अंतर्वेशन समष्टि

संदर्भ

↑ Hunt, Richard A.; Weiss, Guido (1964). "मार्सिंकिविज़ इंटरपोलेशन सिद्धांत". Proceedings of the American Mathematical Society. 15 (6): 996–998. doi:10.1090/S0002-9939-1964-0169038-4. ISSN 0002-9939.

DiBenedetto, Emmanuele (2002), Real analysis, Birkhäuser, ISBN 3-7643-4231-5.
Gilbarg, David; Trudinger, Neil S. (2001), Elliptic partial differential equations of second order, Springer-Verlag, ISBN 3-540-41160-7.
Marcinkiewicz, J. (1939), "Sur l'interpolation d'operations", C. R. Acad. Sci. Paris, 208: 1272–1273
Stein, Elias; Weiss, Guido (1971), Introduction to Fourier analysis on Euclidean spaces, Princeton University Press, ISBN 0-691-08078-X.
Zygmund, A. (1956), "On a theorem of Marcinkiewicz concerning interpolation of operations", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, Neuvième Série, 35: 223–248, ISSN 0021-7824, MR 0080887

[HuntWeiss1964-1] Hunt, Richard A.; Weiss, Guido (1964). "मार्सिंकिविज़ इंटरपोलेशन सिद्धांत". Proceedings of the American Mathematical Society. 15 (6): 996–998. doi:10.1090/S0002-9939-1964-0169038-4. ISSN 0002-9939.

[1]

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 {{Short description|Mathematical theory by discovered by Józef Marcinkiewicz}}
-गणित में, मार्सिंकीविज़ इंटरपोलेशन प्रमेय, द्वारा खोजा गया {{harvs|txt|authorlink=Józef Marcinkiewicz|first=Józef |last=Marcinkiewicz|year=1939}}, एलपी स्पेस|एल पर कार्य करने वाले गैर-रेखीय ऑपरेटरों के मानदंडों को सीमित करने वाला परिणाम है<sup>पी</sup>रिक्त स्थान।
+गणित में, जोज़ेफ़ मार्सिंकिविज़ (1939) द्वारा खोजा गया '''मार्सिंकिविज़ अंतर्वेशन (इंटरपोलेशन) प्रमेय''', ''L''<sup>p</sup> समष्टि पर फलन करने वाले गैर-रेखीय ऑपरेटरों के मानदंडों को सीमित करने का परिणाम है।
-मार्सिंकिविज़ का प्रमेय [[रैखिक ऑपरेटर]]ों के बारे में रिज़्ज़-थोरिन प्रमेय के समान है, लेकिन गैर-रेखीय ऑपरेटरों पर भी लागू होता है।
+मार्सिंकीविज़ का प्रमेय रैखिक ऑपरेटरों के बारे में रिज़्ज़-थोरिन प्रमेय के समान है, लेकिन गैर-रेखीय ऑपरेटरों पर भी लागू होता है।
 ==प्रारंभिक==
-मान लीजिए f वास्तविक या जटिल मानों वाला एक मापने योग्य फ़ंक्शन है, जो माप स्थान (X,F,ω) पर परिभाषित है। एफ का संचयी वितरण फ़ंक्शन द्वारा परिभाषित किया गया है
+मान लीजिए f वास्तविक या सम्मिश्र मानों वाला एक मापने योग्य फलन है, जो माप स्थान (X, F, ω) पर परिभाषित है। f का वितरण फलन किसके द्वारा परिभाषित किया गया है
 :<math>\lambda_f(t) = \omega\left\{x\in X\mid |f(x)| > t\right\}.</math>
-तब f को 'कमजोर' कहा जाता है <math>L^1</math>यदि कोई स्थिर ''सी'' मौजूद है जैसे कि ''एफ'' का वितरण फ़ंक्शन सभी ''टी''>0 के लिए निम्नलिखित असमानता को संतुष्ट करता है:
+तब f को '''दुर्बल''' <math>L^1</math> कहा जाता है यदि एक स्थिरांक C उपस्थित है जैसे कि f का वितरण फलन सभी t > 0 के लिए निम्नलिखित असमानता को संतुष्ट करता है:
 :<math>\lambda_f(t)\leq \frac{C}{t}.</math>
-उपरोक्त असमानता में सबसे छोटे स्थिरांक C को 'कमजोर' कहा जाता है <math>L^1</math> आदर्श और आमतौर पर इसके द्वारा निरूपित किया जाता है <math>\|f\|_{1,w}</math> या <math>\|f\|_{1,\infty}.</math> इसी प्रकार स्थान को आमतौर पर L द्वारा दर्शाया जाता है<sup>1,w</sup>या एल<sup>1,∞</sup>.
+उपरोक्त असमानता में सबसे छोटे स्थिरांक C को ''''दुर्बल''' <math>L^1</math>' कहा जाता है आदर्श और साधारणतया इसके द्वारा निरूपित किया जाता है <math>\|f\|_{1,w}</math> या <math>\|f\|_{1,\infty}.</math> इसी प्रकार स्थान को साधारणतया ''L''<sup>1,''w''</sup> or ''L''<sup>1,∞</sup> द्वारा निरूपित किया जाता है।
-(नोट: यह शब्दावली थोड़ी भ्रामक है क्योंकि कमजोर मानदंड त्रिकोण असमानता को संतुष्ट नहीं करता है जैसा कि कार्यों के योग पर विचार करके देखा जा सकता है <math> (0,1) </math> द्वारा दिए गए <math> 1/x </math> और <math> 1/(1-x) </math>, जिसका मानक 2 नहीं 4 है।)
-कोई <math>L^1</math> फ़ंक्शन L का है<sup>1,w</sup>और इसके अतिरिक्त एक में असमानता है
+(नोट: यह शब्दावली थोड़ी भ्रामक है क्योंकि '''दुर्बल मानदंड त्रिकोण''' असमानता को संतुष्ट नहीं करता है जैसा कि फलनों के योग पर विचार करके देखा जा सकता है <math> (0,1) </math> द्वारा दिए गए <math> 1/x </math> और <math> 1/(1-x) </math>, जिसका मानक 2 नहीं 4 है।)
+कोई <math>L^1</math> फलन L का है<sup>1,w</sup>और इसके अतिरिक्त एक में असमानता है
 :<math>\|f\|_{1,w}\leq \|f\|_1.</math>
-यह मार्कोव की असमानता (उर्फ चेबीशेव की असमानता) के अलावा और कुछ नहीं है। इसका उलट सत्य नहीं है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन 1/x L से संबंधित है<sup>1,w</sup>लेकिन L को नहीं<sup>1</sup>.
+यह मार्कोव की असमानता (अका चेबीशेव की असमानता) के अतिरिक्त और कुछ नहीं है। इसका विपरीत सत्य नहीं है. उदाहरण के लिए, फलन 1/x  ''L''<sup>1</sup>,w से संबंधित है लेकिन  ''L''<sup>1</sup> से नहीं है।
-इसी प्रकार, कोई एलपी स्पेस#कमजोर एलपी|कमजोर को परिभाषित कर सकता है <math>L^p</math> सभी कार्यों के स्थान के रूप में स्थान ''f'' जैसे कि <math>|f|^p</math> एल के हैं<sup>1,w</sup>, और 'कमज़ोर' <math>L^p</math> मानक का उपयोग करना
+इसी प्रकार, कोई '''दुर्बल <math>L^p</math>''' समष्टि को सभी फलन f के समष्टि के रूप में परिभाषित कर सकता है, जैसे कि <math>|f|^p</math> से ''L''<sup>1,''w''</sup>  संबंधित है, और '''दुर्बल''' <math>L^p</math> मानदंड का उपयोग कर रहा है
 :<math>\|f\|_{p,w}= \left \||f|^p  \right \|_{1,w}^{\frac{1}{p}}.</math>
-अधिक सीधे तौर पर, एल<sup>p,w</sup> मानदंड को असमानता में सर्वोत्तम स्थिरांक C के रूप में परिभाषित किया गया है
+अधिकांश सीधे तौर पर, ''L<sup>p</sup>''<sup>,''w''</sup> मानदंड को असमानता में सर्वोत्तम स्थिरांक C के रूप में परिभाषित किया गया है
 :<math>\lambda_f(t) \le \frac{C^p}{t^p}</math>
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 अनौपचारिक रूप से, मार्सिंकिविज़ का प्रमेय है
-:प्रमेय. मान लीजिए ''T'' एक [[परिबद्ध रैखिक संचालिका]] है <math>L^p</math> को <math>L^{p,w}</math> और साथ ही साथ <math>L^q</math> को <math>L^{q,w}</math>. तब T भी एक परिबद्ध संचालिका है <math>L^r</math> को <math>L^r</math> p और q के बीच किसी भी r के लिए।
+:प्रमेय. मान लीजिए ''T'' एक परिबद्ध रैखिक संचालिका है <math>L^p</math> को <math>L^{p,w}</math> और साथ ही साथ <math>L^q</math> को <math>L^{q,w}</math>. तब T भी एक परिबद्ध संचालिका है <math>L^r</math> को <math>L^r</math> p और q के बीच किसी भी r के लिए।
-दूसरे शब्दों में, भले ही किसी को चरम पी और क्यू पर केवल कमजोर सीमा की आवश्यकता हो, नियमित सीमा अभी भी कायम है। इसे और अधिक औपचारिक बनाने के लिए, किसी को यह समझाना होगा कि टी केवल [[सघन सेट]] उपसमुच्चय पर घिरा है और इसे पूरा किया जा सकता है। इन विवरणों के लिए [[रिज़्ज़-थोरिन प्रमेय]] देखें।
+दूसरे शब्दों में, भले ही किसी को चरम ''p'' और ''q'' पर केवल दुर्बल सीमा की आवश्यकता हो, नियमित सीमा अभी भी कायम है। इसे और अधिक औपचारिक बनाने के लिए, किसी को यह समझाना होगा कि T केवल [[सघन सेट|सघन]] उपसमुच्चय पर घिरा है और इसे पूरा किया जा सकता है। इन विवरणों के लिए रिज़्ज़-थोरिन प्रमेय देखें।
-मानक के अनुमानों में जहां मार्सिंकिविज़ का प्रमेय रीज़-थोरिन प्रमेय से कमजोर है। प्रमेय इसके लिए सीमा देता है <math>L^r</math> T का मानदंड लेकिन यह सीमा अनंत तक बढ़ जाती है क्योंकि r या तो p या q में परिवर्तित हो जाता है। विशेष रूप से {{harv|DiBenedetto|2002|loc=Theorem VIII.9.2}}, लगता है कि
+मानक के अनुमानों में जहां मार्सिंकिविज़ का प्रमेय रीज़-थोरिन प्रमेय से दुर्बल है। प्रमेय इसके लिए सीमा देता है <math>L^r</math> T का मानदंड लेकिन यह सीमा अनंत तक बढ़ जाती है क्योंकि r या तो p या q में परिवर्तित हो जाता है। विशेष रूप से {{harv|डिबेनेडेटो|2002|loc=प्रमेय VIII.9.2}}, लगता है कि
 :<math>\|Tf\|_{p,w} \le N_p\|f\|_p,</math>
 :<math>\|Tf\|_{q,w} \le N_q\|f\|_q,</math>
-ताकि एल से टी का [[ऑपरेटर मानदंड]]<sup>पी</sup>से एल<sup>p,w</sup>अधिकतम N है<sub>''p''</sub>, और एल से टी का ऑपरेटर मानदंड<sup>q</sup>से L<sup>q,w</sup> अधिकतम N है<sub>''q''</sub>. फिर निम्नलिखित प्रक्षेप असमानता ''पी'' और ''क्यू'' के बीच सभी ''आर'' और सभी ''एफ'' ∈ ''एल'' के लिए लागू होती है<sup>आर</sup>:
+ताकि Lp से Lp,w तक T का ऑपरेटर मानदंड अधिकतम ''N<sub>p</sub>'' पर हो, और ''L<sup>q</sup>'' से ''L<sup>q</sup>''<sup>,''w''</sup> तक T का ऑपरेटर मानदंड अधिकतम ''N<sub>q</sub>'' पर हो। फिर निम्नलिखित अंतर्वेशन असमानता ''p'' और ''q'' और सभी ''f'' ∈ ''L<sup>r</sup>'' के बीच सभी ''r'' के लिए लागू होती है:
 :<math>\|Tf\|_r\le \gamma N_p^\delta N_q^{1-\delta}\|f\|_r</math>
-कहाँ
+जहाँ
 :<math>\delta=\frac{p(q-r)}{r(q-p)}</math>
 और
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 सीमा तक जाकर q = ∞ के लिए स्थिरांक δ और γ भी दिए जा सकते हैं।
-प्रमेय का एक संस्करण अधिक सामान्यतः तब भी लागू होता है जब T को केवल निम्नलिखित अर्थों में एक क्वासिलिनियर ऑपरेटर माना जाता है: एक स्थिरांक C > 0 मौजूद होता है जिससे T संतुष्ट होता है
+प्रमेय का एक संस्करण अधिक सामान्यतः तब भी लागू होता है जब T को केवल निम्नलिखित अर्थों में एक रैखिककल्प ऑपरेटर माना जाता है: एक स्थिरांक C > 0 उपस्थित होता है जिससे T संतुष्ट होता है
 :<math>|T(f+g)(x)| \le C(|Tf(x)|+|Tg(x)|)</math>
-[[लगभग हर जगह]] के लिए x. प्रमेय बिल्कुल वैसा ही है जैसा कहा गया है, सिवाय इसके कि γ द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है
+लगभग हर जगह के लिए x. प्रमेय बिल्कुल वैसा ही है जैसा कहा गया है, इसके अतिरिक्त कि γ द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है
 :<math>\gamma=2C\left(\frac{r(q-p)}{(r-p)(q-r)}\right)^{1/r}.</math>
-एक ऑपरेटर टी (संभवतः क्वासिलिनियर) फॉर्म के अनुमान को संतुष्ट करता है
+एक ऑपरेटर T (संभवतः क्वासिलिनियर) फॉर्म के अनुमान को संतुष्ट करता है
 :<math>\|Tf\|_{q,w}\le C\|f\|_p</math>
-कमजोर प्रकार का कहा जाता है (''पी'',''क्यू'')। एक ऑपरेटर केवल प्रकार का होता है (''पी'',''क्यू'') यदि ''टी'' ''एल'' से एक सीमित परिवर्तन है<sup>पी</sup>से एल<sup>प्र</sup>:
+'''दुर्बल प्रकार (''p,q'')''' का कहा जाता है। यदि T, ''L<sup>p</sup>'' से  ''L<sup>q</sup>'' तक एक परिबद्ध परिवर्तन है तो एक ऑपरेटर केवल (''p,q'') प्रकार का होता है:
 :<math>\|Tf\|_q\le C\|f\|_p.</math>
-प्रक्षेप प्रमेय का अधिक सामान्य सूत्रीकरण इस प्रकार है:
+अंतर्वेशन प्रमेय का अधिक सामान्य सूत्रीकरण इस प्रकार है:
-* यदि टी कमजोर प्रकार का एक क्वासिलिनियर ऑपरेटर है (पी<sub>0</sub>, क्यू<sub>0</sub>) और कमजोर प्रकार का (पृ<sub>1</sub>, क्यू<sub>1</sub>) कहां क्यू<sub>0</sub>≠q<sub>1</sub>, फिर प्रत्येक θ ∈ (0,1) के लिए, T प्रकार (p,q) का है, p और q के लिए p ≤ q रूप का है
+* यदि T दुर्बल प्रकार (''p''<sub>0</sub>, ''q''<sub>0</sub>) और दुर्बल प्रकार (''p''<sub>1</sub>, ''q''<sub>1</sub>) का एक रैखिककल्पऑपरेटर है जहां ''q''<sub>0</sub> ≠ ''q''<sub>1</sub> है, तो प्रत्येक θ ∈ (0,1) के लिए, T प्रकार (''p'',''q'') का है, ''p'' और ''q'' फॉर्म के ''p'' ≤ ''q'' के साथ
 ::<math>\frac{1}{p} = \frac{1-\theta}{p_0}+\frac{\theta}{p_1},\quad \frac{1}{q} = \frac{1-\theta}{q_0} + \frac{\theta}{q_1}.</math>
 बाद वाला सूत्रीकरण होल्डर की असमानता और द्वैत तर्क के अनुप्रयोग के माध्यम से पूर्व से अनुसरण करता है।{{Citation needed|reason=How to use Hölder's inequality and the special case?|date=June 2016}}
 ==अनुप्रयोग और उदाहरण==
-एक प्रसिद्ध एप्लिकेशन उदाहरण हिल्बर्ट ट्रांसफॉर्म है। [[गुणक (फूरियर विश्लेषण)]] के रूप में देखे जाने पर, फ़ंक्शन एफ के हिल्बर्ट ट्रांसफॉर्म की गणना पहले एफ [[उलटा [[फूरियर रूपांतरण]]]] को लेकर, फिर [[साइन फ़ंक्शन]] द्वारा गुणा करके, और अंत में व्युत्क्रम फूरियर ट्रांसफॉर्म को लागू करके की जा सकती है।
+एक प्रसिद्ध एप्लिकेशन उदाहरण हिल्बर्ट ट्रांसफॉर्म है। [[गुणक (फूरियर विश्लेषण)]] के रूप में देखे जाने पर, किसी फलन f के हिल्बर्ट ट्रांसफ़ॉर्म की गणना पहले f के [[फूरियर रूपांतरण]] को लेकर, फिर [[साइन फ़ंक्शन|साइन फलन]] द्वारा गुणा करके और अंत में व्युत्क्रम फ़ोरियर ट्रांसफ़ॉर्म को लागू करके की जा सकती है।
-इसलिए पार्सेवल का प्रमेय आसानी से दिखाता है कि [[हिल्बर्ट परिवर्तन]] से घिरा हुआ है <math>L^2</math> को <math>L^2</math>. एक बहुत कम स्पष्ट तथ्य यह है कि यह सीमाबद्ध है <math>L^1</math> को <math>L^{1,w}</math>. इसलिए मार्सिंकिविज़ के प्रमेय से पता चलता है कि यह से घिरा हुआ है <math>L^p</math> को <math>L^p</math> किसी भी 1 < p < 2 के लिए। दोहरे स्थान तर्क दर्शाते हैं कि यह 2 < p < ∞ के लिए भी परिबद्ध है। वास्तव में, हिल्बर्ट रूपांतरण वास्तव में 1 या ∞ के बराबर p के लिए असीमित है।
+इसलिए पार्सेवल का प्रमेय आसानी से दिखाता है कि [[हिल्बर्ट परिवर्तन]] से घिरा हुआ है <math>L^2</math> को <math>L^2</math>. एक बहुत कम स्पष्ट तथ्य यह है कि यह सीमाबद्ध है <math>L^1</math> को <math>L^{1,w}</math>. इसलिए मार्सिंकिविज़ के प्रमेय से पता चलता है कि यह से घिरा हुआ है <math>L^p</math> को <math>L^p</math> किसी भी 1 < p < 2 के लिए है। दोहरे समष्टि तर्क दर्शाते हैं कि यह 2 < p < ∞ के लिए भी परिबद्ध है। वास्तव में, हिल्बर्ट रूपांतरण वास्तव में 1 या ∞ के बराबर p के लिए असीमित है।
-एक अन्य प्रसिद्ध उदाहरण हार्डी-लिटिलवुड मैक्सिमम फ़ंक्शन है, जो रैखिक के बजाय केवल [[ सबलीनियर ऑपरेटर ]] है। जबकि <math>L^p</math> को <math>L^p</math> सीमा तुरंत से प्राप्त की जा सकती है <math>L^1</math> कमज़ोर होना <math>L^1</math> चरों के एक चतुर परिवर्तन द्वारा अनुमान लगाने के लिए, मार्सिंकिविज़ इंटरपोलेशन एक अधिक सहज दृष्टिकोण है। चूंकि हार्डी-लिटलवुड मैक्सिमल फ़ंक्शन तुच्छ रूप से सीमित है <math>L^\infty</math> को <math>L^\infty</math>, सभी के लिए मजबूत बाध्यता <math>p>1</math> कमजोर (1,1) अनुमान और प्रक्षेप से तुरंत अनुसरण करता है। कमजोर (1,1) अनुमान [[विटाली लेम्मा को कवर कर रहा है]] से प्राप्त किया जा सकता है।
+एक अन्य प्रसिद्ध उदाहरण हार्डी-लिटिलवुड मैक्सिमम फलन है, जो रैखिक के बजाय केवल सबलीनियर ऑपरेटर है। जबकि <math>L^p</math> को <math>L^p</math> सीमा तुरंत से प्राप्त की जा सकती है <math>L^1</math> दुर्बल होना <math>L^1</math> चरों के एक चतुर परिवर्तन द्वारा अनुमान लगाने के लिए, मार्सिंकिविज़ अंतर्वेशन एक अधिक सहज दृष्टिकोण है। चूंकि हार्डी-लिटलवुड मैक्सिमल फलन तुच्छ रूप से सीमित है <math>L^\infty</math> को <math>L^\infty</math>, सभी के लिए सशक्त बाध्यता <math>p>1</math> दुर्बल (1,1) अनुमान और अंतर्वेशन से तुरंत अनुसरण करता है। दुर्बल (1,1) अनुमान विटाली लेम्मा को कवर कर रहा है से प्राप्त किया जा सकता है।
 ==इतिहास==
-प्रमेय की घोषणा सबसे पहले किसके द्वारा की गई थी? {{harvtxt|Marcinkiewicz|1939}}, जिन्होंने द्वितीय विश्व युद्ध में मरने से कुछ समय पहले [[एंटोनी ज़िगमंड]] को यह परिणाम दिखाया था। ज़िगमंड द्वारा प्रमेय को लगभग भुला दिया गया था, और एकवचन अभिन्न ऑपरेटरों के सिद्धांत पर उनके मूल कार्यों से यह अनुपस्थित था। बाद में {{harvtxt|Zygmund|1956}} ने महसूस किया कि मार्सिंक्यूविक्ज़ का परिणाम उनके काम को बहुत सरल बना सकता है, जिस समय उन्होंने अपने पूर्व छात्र के प्रमेय को अपने स्वयं के सामान्यीकरण के साथ प्रकाशित किया।
+प्रमेय की घोषणा सबसे पहले किसके द्वारा की गई थी? {{harvtxt|मारसिंकेविच|1939}}, जिन्होंने द्वितीय विश्व युद्ध में मरने से कुछ समय पहले एंटोनी ज़िगमंड को यह परिणाम दिखाया था। ज़िगमंड द्वारा प्रमेय को लगभग भुला दिया गया था, और एकवचन अभिन्न ऑपरेटरों के सिद्धांत पर उनके मूल फलनों से यह अनुपस्थित था। बाद में {{harvtxt|ज़िग्मुंड|1956}} ने अनुभव किया कि मार्सिंक्यूविक्ज़ का परिणाम उनके काम को बहुत सरल बना सकता है, जिस समय उन्होंने अपने पूर्व छात्र के प्रमेय को अपने स्वयं के सामान्यीकरण के साथ प्रकाशित किया।
+में रिचर्ड एलन हंट|रिचर्ड ए. हंट और [[गुइडो वीस]] ने मार्सिंकिविज़ अंतर्वेशन प्रमेय का एक नया प्रमाण प्रकाशित किया।<ref name="HuntWeiss1964">{{cite journal|last1=Hunt|first1=Richard A.|last2=Weiss|first2=Guido|title=मार्सिंकिविज़ इंटरपोलेशन सिद्धांत|journal=Proceedings of the American Mathematical Society|volume=15|issue=6|year=1964|pages=996–998|issn=0002-9939|doi=10.1090/S0002-9939-1964-0169038-4|doi-access=free}}</ref>
-में रिचर्ड एलन हंट|रिचर्ड ए. हंट और [[गुइडो वीस]] ने मार्सिंकिविज़ इंटरपोलेशन प्रमेय का एक नया प्रमाण प्रकाशित किया।<ref name="HuntWeiss1964">{{cite journal|last1=Hunt|first1=Richard A.|last2=Weiss|first2=Guido|title=मार्सिंकिविज़ इंटरपोलेशन सिद्धांत|journal=Proceedings of the American Mathematical Society|volume=15|issue=6|year=1964|pages=996–998|issn=0002-9939|doi=10.1090/S0002-9939-1964-0169038-4|doi-access=free}}</ref>
 == यह भी देखें ==
-* [[अंतर्वेशन स्थान]]
+* [[अंतर्वेशन स्थान|अंतर्वेशन समष्टि]]
 ==संदर्भ==

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