सदिश क्षेत्रफल

3-आयामी ज्यामिति और सदिश गणना में, क्षेत्र सदिश एक सदिश होता है जो क्षेत्र की मात्रा को दिशा के साथ जोड़ता है, इस प्रकार तीन आयामों में अभिविन्यस्त क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करता है।

तीन आयामों में परिबद्ध प्रत्येक सतह को अद्वितीय क्षेत्र सदिश से जोड़ा जा सकता है जिसे इसका सदिश क्षेत्र कहा जाता है। यह सामान्य सतह के सतह समाकल के बराबर है, और सामान्य (अदिश) सतह क्षेत्र से अलग है।

सदिश क्षेत्र को दो आयामों में सांकेतिक क्षेत्र के त्रि-आयामी सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है।

परिभाषा

अदिश क्षेत्र S और इकाई सामान्य n̂ की परिमित समतल सतह के लिए, सदिश क्षेत्र S को क्षेत्र द्वारा मापी गई इकाई सामान्य के रूप में परिभाषित किया गया है-

$$\mathbf {S} =\mathbf {\hat {n}} S$$

समतल फलक क्षेत्रों के समुच्चय S_i से संघटित अभिविन्यस्त सतह S के लिए, सतह का सदिश क्षेत्र इस प्रकार दिया गया है

$$\mathbf {S} =\sum _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}S_{i}$$

जहां n̂_i क्षेत्र S_i के लिए इकाई सामान्य सदिश है।

परिबद्ध, अभिविन्यस्त वक्र सतहों के लिए जो पर्याप्त रूप से अच्छी तरह से व्यवहार की जाती हैं, हम अभी भी सदिश क्षेत्र को परिभाषित कर सकते हैं। सबसे पहले, हम सतह को अतिसूक्ष्म तत्वों में विभाजित करते हैं, जिनमें से प्रत्येक प्रभावी रूप से समतल है। क्षेत्रफल के प्रत्येक अतिसूक्ष्म तत्व के लिए, हमारे पास एक क्षेत्रफल सदिश है, वह भी अतिसूक्ष्म।

$$d\mathbf {S} =\mathbf {\hat {n}} dS$$

जहां n̂ dS के लंबवत स्थानीय इकाई सदिश है। एकीकृत करने से सतह के लिए सदिश क्षेत्र प्राप्त होता है।

$$\mathbf {S} =\int d\mathbf {S}$$

गुण

किसी सतह के सदिश क्षेत्र की व्याख्या (सांकेतिक) प्रक्षेपित क्षेत्र या उस तल में सतह की "छाया" के रूप में की जा सकती है जिसमें यह सबसे बड़ा है इसकी दिशा उस तल के सामान्य द्वारा दी जाती है।

वक्रित या फलकित (अर्थात् असमतलीय) सतह के लिए, सदिश क्षेत्र वास्तविक सतह क्षेत्र की तुलना में परिमाण में छोटा होता है। एक चरम उदाहरण के रूप में, संवृत्त सतह में मनमाने ढंग से बड़ा क्षेत्र हो सकता है, लेकिन इसका सदिश क्षेत्र आवश्यक रूप से शून्य है। जो सतहें सीमा साझा करती हैं, उनके क्षेत्र बहुत भिन्न हो सकते हैं, लेकिन उनका सदिश क्षेत्र एक ही होना चाहिए—सदिश क्षेत्र पूरी तरह से सीमा द्वारा निर्धारित होता है। ये स्टोक्स की प्रमेय के परिणाम हैं।

समांतर चतुर्भुज का सदिश क्षेत्रफल इसे विस्तार करने वाले दो सदिशों के सदिश गुणनफल द्वारा दिया जाता है यह समान सदिशों द्वारा निर्मित त्रिभुज के (सदिश) क्षेत्रफल का दोगुना है। सामान्य तौर पर, किसी भी सतह का सदिश क्षेत्र जिसकी सीमा में सरल रेखा खंडों (दो आयामों में बहुभुज के अनुरूप) का अनुक्रम होता है की गणना सतह के त्रिकोणीयकरण के अनुरूप सदिश गुणनफलों की श्रृंखला का उपयोग करके की जा सकती है। यह तीन आयामों के लिए शूलेस सूत्र का सामान्यीकरण है।

उचित रूप से चुने गए सदिश क्षेत्र पर लागू स्टोक्स प्रमेय का उपयोग करके, सदिश क्षेत्र के लिए एक सीमा समाकल प्राप्त किया जा सकता है-

$$\mathbf {S} ={\frac {1}{2}}\oint _{\partial S}\mathbf {r} \times d\mathbf {r}$$

जहाँ $\partial S$, S की सीमा है, अर्थात एक या अधिक अभिविन्यस्त संवृत्त स्थान वक्र। यह ग्रीन की प्रमेय का उपयोग करके दो आयामी क्षेत्र गणना के अनुरूप है।

अनुप्रयोग

सतह समाकलों की गणना करते समय क्षेत्र सदिश का उपयोग किया जाता है, जैसे सतह के माध्यम से सदिश क्षेत्र के प्रवाह का निर्धारण करते समय। प्रवाह क्षेत्र के अदिश गुणनफल और (अतिसूक्ष्म) क्षेत्र सदिश के समाकल द्वारा दिया जाता है। जब क्षेत्र सतह पर स्थिर होता है तो समाकल क्षेत्र के अदिश गुणनफल और सतह के सदिश क्षेत्र को सरल बनाता है।

समतलों पर क्षेत्र का प्रक्षेपण

किसी समतल पर प्रक्षेपित क्षेत्र सदिश क्षेत्र S के अदिश गुणनफल और लक्ष्य समतल इकाई सामान्य m̂ द्वारा दिया जाता है-

$$A_{\parallel }=\mathbf {S} \cdot {\hat {\mathbf {m} }}$$

उदाहरण के लिए, xy-समतल पर प्रक्षेपित क्षेत्र सदिश क्षेत्र के z-घटक के बराबर है, और इसके बराबर भी है

$$\mathbf {S} _{z}=\left|\mathbf {S} \right|\cos \theta$$

जहां θ समतल सामान्य n̂ और z-अक्ष के बीच का कोण है।

यह भी देखें

• बाइवेक्टर किसी भी संख्या में आयामों में अभिविन्यस्त क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करता है
• डे गुआ की प्रमेय, सदिश क्षेत्र के लंबकोणीय घटकों में अपघटन पर
• सदिश गुणनफल
• सतह सामान्य
• सतह समाकल

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