कम्प्यूटेशनल एयरोकॉस्टिक्स: Difference between revisions

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कम्प्यूटेशनल एयरोकॉस्टिक्स एयरोकॉस्टिक्स की एक शाखा है जिसका उद्देश्य संख्यात्मक विधियों के माध्यम से अशांति प्रवाह द्वारा ध्वनि की पीढ़ी का विश्लेषण करना होता है।

इतिहास

कम्प्यूटेशनल एयरोकॉस्टिक्स की उत्पत्ति संभवतः 1980 के समय के मध्य में, हार्डिन और लैमकिन के प्रकाशन से की जा सकती है।^[1] जिसने दावा किया, कि

[...] कम्प्यूटेशनल द्रव यांत्रिकी का क्षेत्र पिछले कुछ वर्षों में शीघ्रता से आगे बढ़ रहा है और अब यह आशा प्रदान करता है कि कम्प्यूटेशनल एयरोकॉस्टिक्स, जहां ध्वनि की गणना सीधे पहले सिद्धांतों से की जाती है जो निरंतर वेग और भंवर क्षेत्रों का निर्धारण करते हैं, संभव हो सकता है, [...]

पश्चात् में 1986 में एक प्रकाशन में^[2] उन्हीं लेखकों ने संक्षिप्त नाम सीएए प्रस्तुत किया। इस शब्द का उपयोग प्रारम्भ में कम मैक संख्या दृष्टिकोण (एक असम्पीडित प्रवाह के बारे में ध्वनिक समस्या क्षेत्र का विस्तार) के लिए किया गया था, जैसा कि कम्प्यूटेशनल एरोकॉस्टिक्स ईआईएफ के अनुसार वर्णित है। पश्चात् में 1990 के समय के प्रारम्भ में बढ़ते सीएए समुदाय ने इस शब्द को अपनाया और बड़े मापदंड पर किसी भी प्रकार की संख्यात्मक विधि के लिए इसका उपयोग किया, जो किसी एयरोकॉस्टिक स्रोत से ध्वनि विकिरण या एक अमानवीय प्रवाह क्षेत्र में ध्वनि तरंगों के प्रसार का वर्णन करता है। इस तरह की संख्यात्मक विधियाँ सुदूर क्षेत्र एकीकरण विधियाँ हो सकती हैं (उदा के लिए एफडब्ल्यू-एच^[3]^[4]) के साथ-साथ वायुगतिकीय ध्वनि उत्पादन और/या प्रसार का वर्णन करने वाले गणितीय मॉडल के समाधान (उदाहरण के लिए)^[5]) के लिए अनुकूलित प्रत्यक्ष संख्यात्मक विधियां भी हो सकती हैं। कम्प्यूटेशनल संसाधनों के शीघ्रता से विकास के साथ पिछले तीन समयों के की अवधि में इस क्षेत्र में आश्चर्यजनक प्रगति हुई है।

विधियाँ

सीएए के लिए प्रत्यक्ष संख्यात्मक अनुकरण (डीएनएस) दृष्टिकोण

संपीड़ित नेवियर-स्टोक्स समीकरण प्रवाह क्षेत्र और वायुगतिकीय रूप से उत्पन्न ध्वनिक क्षेत्र दोनों का वर्णन करता है। इस प्रकार दोनों को प्रत्यक्ष रूप से हल किया जा सकता है। ध्वनिक चर और प्रवाह चर के मध्य उपस्थित लंबाई मापदंड में बड़े अंतर के कारण इसके लिए बहुत उच्च संख्यात्मक रिज़ॉल्यूशन की आवश्यकता होती है। यह कम्प्यूटेशनल रूप से बहुत अधिक मांग वाला होता है और किसी भी व्यावसायिक उपयोग के लिए अनुपयुक्त होता है।

हाइब्रिड दृष्टिकोण

इस दृष्टिकोण में कम्प्यूटेशनल कार्यक्षेत्र को विभिन्न क्षेत्रों में विभाजित किया गया है, जिससें नियंत्रित ध्वनिक या प्रवाह क्षेत्र को विभिन्न समीकरणों और संख्यात्मक विधियों के साथ हल किया जा सके। इसमें दो भिन्न-भिन्न संख्यात्मक समाधानकर्ता का उपयोग करना सम्मिलित होता है, पहला एक समर्पित कम्प्यूटेशनल तरल गतिशीलता (सीएफडी) उपकरण और दूसरा एक ध्वनिक समाधानकर्ता। फिर प्रवाह क्षेत्र का उपयोग ध्वनिक स्रोतों की गणना के लिए किया जाता है। स्थिर अवस्था (आरएएनएस, एसएनजीआर (स्टोकेस्टिक ध्वनि सृजन और विकिरण), ...) और क्षणिक (डीएनएस, एलईएस, डीईएस, यूआरएएनएस, ...) द्रव क्षेत्र समाधान दोनों का उपयोग किया जा सकता है। ये ध्वनिक स्रोत दूसरे समाधानकर्ता को प्रदान किए जाते हैं जो ध्वनिक प्रसार की गणना करता है। ध्वनिक प्रसार की गणना निम्न विधियों में से किसी एक का उपयोग करके की जा सकती है:

अभिन्न विधियाँ
1. लाइटहिल की उपमा
2. किरचॉफ अभिन्न
3. एफडब्ल्यू-एच
ली
स्यूडोस्पेक्ट्रल
ईआईएफ
एपीई

अभिन्न विधियाँ

ध्वनि स्रोत के ध्वनिक सुदूर क्षेत्र की गणना करने के लिए कई विधियाँ होती हैं, जो ध्वनिक तरंग समीकरण के ज्ञात समाधान पर आधारित होती हैं। क्योंकि मुक्त स्थान में तरंग प्रसार के लिए एक सामान्य समाधान को सभी स्रोतों पर एक अभिन्न के रूप में लिखा जा सकता है, इन समाधानों को अभिन्न विधियों के रूप में संक्षेपित किया गया है। ध्वनिक स्रोतों को कुछ भिन्न स्रोतों से जाना जाना चाहिए (उदाहरण के लिए एक चलती यांत्रिक प्रणाली का एक परिमित तत्व अनुकरण या एक चलती माध्यम में स्रोतों का एक द्रव गतिशील सीएफडी अनुकरण)। अभिन्न को मंद समय (स्रोत समय) पर सभी स्रोतों पर ले लिया जाता है, जो वह समय होता है जब स्रोत को संकेत भेजा जाता है, जो अब किसी दिए गए पर्यवेक्षक की स्थिति में आता है। सभी अभिन्न विधियों में सामान्य बात यह है कि वे ध्वनि की गति या स्रोत और पर्यवेक्षक स्थिति के मध्य औसत प्रवाह गति में परिवर्तन की गणना नहीं कर सकते है क्योंकि वे तरंग समीकरण के सैद्धांतिक समाधान का उपयोग करते हैं। लाइटहिल के सिद्धांत को प्रयुक्त करते समय ^[6]^[7] द्रव यांत्रिकी के नेवियर स्टोक्स समीकरणों में से एक वॉल्यूमेट्रिक स्रोत प्राप्त करता है, जबकि अन्य दो सादृश्य सतह अभिन्न के आधार पर दूर क्षेत्र की जानकारी प्रदान करते हैं। ध्वनिक उपमाएँ बहुत कुशल और उत्तम हो सकती हैं, क्योंकि तरंग समीकरण के ज्ञात समाधान का उपयोग किया जाता है। एक दूर स्थित पर्यवेक्षक को एक बहुत समीप पर्यवेक्षक जितना ही समय लगता है। सभी उपमाओं के अनुप्रयोग के लिए सधारण बात बड़ी संख्या में योगदानों पर एकीकरण है, जिससे अतिरिक्त संख्यात्मक समस्याएं हो सकती हैं (शून्य के समीप परिणाम के साथ कई बड़ी संख्याओं का जोड़/घटाव।) इसके अतिरिक्त, एक अभिन्न विधि प्रयुक्त करते समय, सामान्यतः स्रोत क्षेत्र किसी तरह सीमित होता है। जबकि सिद्धांत रूप में बाहर के स्रोतों को शून्य होना चाहिए, अनुप्रयोग सदैव इस उद्देश्य को पूरा नहीं कर सकता है। विशेष रूप से सीएफडी अनुकरण के संबंध में, इससे बड़ी कट-ऑफ त्रुटियां होती हैं। क्षेत्र के बाहर निकलने पर स्रोत को धीरे-धीरे शून्य करके या इस अंतिम प्रभाव को ठीक करने के लिए कुछ अतिरिक्त शब्द जोड़कर, इन कट-ऑफ त्रुटियों को कम किया जा सकता है।

लाइटहिल की सादृश्यता

इसे 'ध्वनिक सादृश्य' भी कहा जाता है। लाइटहिल की एयरोकॉस्टिक सादृश्य प्राप्त करने के लिए गवर्निंग नेवियर-स्टोक्स समीकरणों को पुनर्व्यवस्थित किया गया है। बायीं ओर एक तरंग प्रचालक होता है, जिसे क्रमशः घनत्व समस्या या दबाव समस्या पर प्रयुक्त किया जाता है। दाहिनी ओर की पहचान द्रव प्रवाह में ध्वनिक स्रोतों के रूप में की जाती है। चूँकि लाइटहिल की सादृश्यता बिना सरलीकरण के सीधे नेवियर-स्टोक्स समीकरणों से अनुसरण करती है, सभी स्रोत उपस्थित हैं। फिर कुछ स्रोतों की पहचान अशांत या लामिना ध्वनि के रूप में की जाती है। दूर-क्षेत्र का ध्वनि दबाव तब ध्वनि स्रोत वाले क्षेत्र पर वॉल्यूम अभिन्न के संदर्भ में दिया जाता है। स्रोत शब्द में सदैव भौतिक स्रोत और ऐसे स्रोत सम्मिलित होते हैं, जो एक अमानवीय माध्यम में प्रसार का वर्णन करते हैं।

लाइटहिल की सादृश्यता का तरंग संचालक स्रोत क्षेत्र के बाहर निरंतर प्रवाह स्थितियों तक सीमित होती है। घनत्व, ध्वनि की गति और मच संख्या में कोई परिवर्तन की अनुमति नहीं है। एक बार जब कोई ध्वनिक तरंग इसके पास से निकलती है, तो सादृश्य द्वारा विपरीत संकेत वाले सशक्त स्रोतों के रूप में विभिन्न माध्य प्रवाह स्थितियों की पहचान की जाती है। ध्वनिक तरंग का एक भाग एक स्रोत द्वारा हटा दिया जाता है और विभिन्न तरंग गति को ठीक करने के लिए एक नई तरंग उत्सर्जित की जाती है। यह अधिकांशतः सशक्त स्रोतों के साथ बहुत बड़ी मात्रा में होता है। ध्वनि-प्रवाह अंतःक्रिया या अन्य प्रभावों को ध्यान में रखते हुए लाइटहिल के मूल सिद्धांत में कई संशोधन प्रस्तावित किए गए हैं। लाइटहिल की सादृश्यता को उच्चतम बनाने के लिए तरंग संचालक के अंदर विभिन्न मात्राओं के साथ-साथ विभिन्न तरंग संचालकों पर निम्नलिखित उपमाओं द्वारा विचार किया जाता है। वे सभी संशोधित स्रोत शब्द प्राप्त करते हैं, जो कभी-कभी वास्तविक स्रोतों पर अधिक स्पष्ट दृष्टि की अनुमति देते हैं। लिली की ध्वनिक उपमाएँ,^[8] पियर्स,^[9] होवे^[10] और मोहरिंग^[11] लाइटहिल के विचारों पर आधारित एयरोकॉस्टिक उपमाओं के कुछ उदाहरण मात्र हैं। सभी ध्वनिक उपमाओं को स्रोत शब्द पर वॉल्यूम एकीकरण की आवश्यकता होती है।

यद्यपि, ध्वनिक सादृश्य के साथ बड़ी कठिनाई यह है कि ध्वनि स्रोत सुपरसोनिक प्रवाह में सघन नहीं होती है। ध्वनि क्षेत्र की गणना करने में त्रुटियां सामने आ सकती हैं, जब तक कि कम्प्यूटेशनल क्षेत्र को उस स्थान से परे अनुप्रवाह दिशा में नहीं बढ़ाया जा सकता जहाँ ध्वनि स्रोत पूरी तरह से नष्ट हो जाती है। इसके अतिरिक्त, मंद समय-प्रभाव के स्पष्ट गणना के लिए ध्वनि स्रोत के एकत्रित समाधानों के समय-इतिहास का एक लंबे रिकॉर्ड रखने की आवश्यकता होती है, जो फिर से एक संग्रह समस्या का प्रतिनिधित्व करता है। यथार्थवादी समस्याओं के लिए, आवश्यक संग्रह 1 टेराबाइट डेटा के क्रम तक पहुँच सकता है।

किरचॉफ अभिन्न

किरचॉफ और हरमन वॉन हेल्महोल्ट्ज़ ने दिखाया कि एक सीमित स्रोत क्षेत्र से ध्वनि के विकिरण को इस स्रोत क्षेत्र को एक नियंत्रण सतह - तथाकथित किरचॉफ सतह - से घेरकर वर्णित किया जा सकता है। फिर सतह के अंदर या बाहर ध्वनि क्षेत्र, जहां किसी भी स्रोत की अनुमति नहीं होती है और बाईं ओर तरंग प्रचालक प्रयुक्त होता है, को सतह पर एकध्रुवों और द्विध्रुव के सुपरपोजिशन के रूप में उत्पादित किया जा सकता है। सिद्धांत सीधे तरंग समीकरण से अनुसरण करता है। सतह पर एकध्रुवों और द्विध्रुव की स्रोत शक्ति की गणना की जा सकती है यदि सतह पर सामान्य वेग (एकध्रुवों के लिए) और दबाव (द्विध्रुव के लिए) क्रमशः ज्ञात हो। विधि का एक संशोधन मात्र सामान्य वेग के आधार पर सतह पर दबाव की गणना करने की अनुमति देता है। उदाहरण के लिए, सामान्य वेग किसी गतिशील संरचना के FE-अनुकरण द्वारा दिया जा सकता है। यद्यपि, ज्ञात होने वाली सतह पर ध्वनिक दबाव से बचने के लिए किए गए संशोधन से गुंजयमान आवृत्तियों पर एक संलग्न मात्रा पर विचार करते समय समस्याएं उत्पन्न होती हैं, जो उनकी पद्धति के कार्यान्वयन का एक प्रमुख विषय होता है। उदाहरण के लिए, किरचॉफ अभिन्न विधि का उपयोग सीमा तत्व विधियों (बीईएम) में किया जाता है। एक गैर-शून्य प्रवाह वेग की गणना बाहरी प्रवाह गति के साथ एक गतिशील संदर्भ फ्रेम पर विचार करके लगाया जाता है, जिसमें ध्वनिक तरंग का प्रसार होता है। विधि का बार-बार उपयोग बाधाओं का कारण बन सकता है। सर्वप्रथम बाधा की सतह पर ध्वनि क्षेत्र की गणना की जाती है और फिर बाधा की सतह पर सामान्य वेग को रद्द करने के लिए इसकी सतह पर स्रोत जोड़कर बाधा को प्रस्तुत किया जाता है। औसत प्रवाह क्षेत्र (ध्वनि की गति, घनत्व और वेग) की भिन्नता को एक समान विधि (उदाहरण के लिए दोहरी पारस्परिकता बीईएम) द्वारा ध्यान में रखा जा सकता है।

एफडब्ल्यू-एच

जॉन फ़फ़ॉक्स विलियम्स और हॉकिंग्स की एकीकरण पद्धति लाइटहिल की ध्वनिक सादृश्य पर आधारित है। यद्यपि, एक सीमित स्रोत क्षेत्र की धारणा के अनुसार कुछ गणितीय संशोधनों द्वारा, जो एक नियंत्रण सतह (एफडब्ल्यू-एच सतह) से घिरा होता है, वॉल्यूम अभिन्न से बचा जाता है। एकध्रुवों और द्विध्रुव स्रोतों पर सतही अभिन्न अंग बने रहते हैं। किरचॉफ पद्धति से भिन्न, ये स्रोत लाइटहिल की सादृश्यता के माध्यम से सीधे नेवियर-स्टोक्स समीकरणों का अनुसरण करते हैं। एफडब्ल्यू-एच सतह के बाहर के स्रोतों को लाइटहिल टेन्सर से प्राप्त चौगुनी स्रोतों पर एक अतिरिक्त वॉल्यूम अभिन्न द्वारा उत्तरदायी बताया जा सकता है। यद्यपि, जब किरचॉफ के रैखिक सिद्धांत के समान मान्यताओं पर विचार किया जाता है, तो एफडब्ल्यू-एच विधि किरचॉफ विधि के समान होती है।

रैखिकीकृत यूलर समीकरण

घनत्व $\rho _{0}$ के एक समान माध्य प्रवाह पर आरोपित छोटी-छोटी गड़बड़ियों पर विचार करना, दबाव $p_{0}$ और x-अक्ष पर वेग $u_{0}$ , दो आयामी मॉडल के लिए यूलर समीकरण इस प्रकार प्रस्तुत किया गया है:

{\frac {\partial \mathbf {U} }{\partial t}}+{\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial x}}+{\frac {\partial \mathbf {G} }{\partial y}}=\mathbf {S}

,

जहाँ

\mathbf {U} ={\begin{bmatrix}\rho \\u\\v\\p\\\end{bmatrix}}\ ,\ \mathbf {F} ={\begin{bmatrix}\rho _{0}u+\rho u_{0}\\u_{0}u+p/\rho _{0}\\u_{0}v\\u_{0}p+\gamma p_{0}u\\\end{bmatrix}}\ ,\ \mathbf {G} ={\begin{bmatrix}\rho _{0}v\\0\\p/\rho _{0}\\\gamma p_{0}v\\\end{bmatrix}},

जहाँ $\rho$ , $u$ , $v$ और $p$ ध्वनिक क्षेत्र चर हैं, $\gamma$ विशिष्ट ऊष्मा का अनुपात $c_{p}/c_{v}$ , 20°C पर हवा के लिए $c_{p}/c_{v}=1.4$ , और स्रोत शब्द $\mathbf {S}$ दाईं ओर वितरित अस्थिर स्रोतों का प्रतिनिधित्व करता है।

एलईई का अनुप्रयोग इंजन ध्वनि अध्ययन में पाया जा सकता है।^[12]संपीड़ित नियमों में उच्च मैक संख्या प्रवाह के लिए, ध्वनिक प्रसार गैर-रैखिकता से प्रभावित हो सकता है और एलईई अब उपयुक्त गणितीय मॉडल नहीं हो सकता है।

स्यूडोस्पेक्ट्रल

कम्प्यूटेशनल एयरोकॉस्टिक्स से संबंधित तरंग प्रसार समस्याओं के लिए फूरियर स्यूडोस्पेक्ट्रल टाइम-क्षेत्र विधि प्रयुक्त की जा सकती है। फूरियर छद्म वर्णक्रमीय समय क्षेत्र विधि का मूल कलन विधि भौतिक सीमाओं के साथ अन्तःक्रिया के बिना आवधिक समस्याओं के लिए काम करता है। कुछ गैर-आवधिक एयरोकॉस्टिक समस्याओं को हल करने के लिए मध्यवर्ती क्षेत्र विधि के साथ संयुक्त एक स्लिप वॉल सीमा स्थिति प्रस्तावित की गई है।^[13] अन्य कम्प्यूटेशनल विधियों की तुलना में, स्यूडोस्पेक्ट्रल विधि को इसकी उच्च-क्रम स्पष्टता के लिए वरीयता दी जाती है।

ईआईएफ

असंपीड्य प्रवाह के बारे में विस्तार

एपीई

ध्वनिक समस्या समीकरण

आर.इवर्ट और डब्ल्यू.श्रोडर द्वारा लिखित पेपर "स्रोत फ़िल्टरिंग के माध्यम से प्रवाह अपघटन पर आधारित ध्वनिक समस्या समीकरण" का संदर्भ लें।^[14]

यह भी देखें

वायुध्वनिकी
ध्वनिक सिद्धांत

संदर्भ

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↑ Hardin, J. C. and Lamkin, S. L., "Computational aeroacoustics - Present status and future promise," IN: Aero- and hydro-acoustics; Proceedings of the Symposium, Ecully, France, July 3–6, 1985 (A87-13585 03-71). Berlin and New York, Springer-Verlag, 1986, p. 253-259.
↑ Ffowcs Williams, "The Noise from Turbulence Convected at High Speed", Philosophical Transactions of the Royal Society, Vol. A255, 1963, pp. 496-503
↑ Ffowcs Williams, J. E., and Hawkings, D. L., "Sound Generated by Turbulence and Surfaces in Arbitrary Motion", Philosophical Transactions of the Royal Society, Vol. A264, 1969, pp. 321-342
↑ C. K. W. Tam, and J. C. Webb, "Dispersion-Relation-Preserving Finite Difference Schemes for Computational Acoustics", Journal of Computational Physics, Vol. 107, 1993, pp. 262-281
↑ Lighthill, M. J., "On Sound Generated Aerodynamically, i", Proc. Roy. Soc. A, Vol. 211, 1952, pp 564-587
↑ Lighthill, M. J., "On Sound Generated Aerodynamically, ii", Proc. Roy. Soc. A, Vol. 222, 1954, pp 1-32
↑ Lilley, G. M., "On the noise from air jets",AGARD CP 131, 13.1-13.12
↑ Pierce, A. D., "Wave equation for the sound in fluids with unsteady inhomogeneous flow", J. Acoust. Soc. Am., 87:2292-2299, 1990
↑ Howe, M. S., "Contributions to the theory of aerodynamic sound, with application to excess jet noise and the theory of the flute", J. Fluid Mech., 71:625-673, 1975
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स्रोत

लाइटहिल, एम.जे., ए जनरल इंट्रोडक्शन टू एरोअकॉस्टिक्स एंड एटमॉस्फेरिक साउंड्स, आईसीएएसई रिपोर्ट 92-52, नासा लैंगली रिसर्च सेंटर, हैम्पटन, वीए, 1992

बाहरी संबंध

[1] Hardin, J.C. and Lamkin, S. L., "Aeroacoustic Computation of Cylinder Wake Flow," AIAA Journal, 22(1):51-57, 1984

[2] Hardin, J. C. and Lamkin, S. L., "Computational aeroacoustics - Present status and future promise," IN: Aero- and hydro-acoustics; Proceedings of the Symposium, Ecully, France, July 3–6, 1985 (A87-13585 03-71). Berlin and New York, Springer-Verlag, 1986, p. 253-259.

[3] Ffowcs Williams, "The Noise from Turbulence Convected at High Speed", Philosophical Transactions of the Royal Society, Vol. A255, 1963, pp. 496-503

[4] Ffowcs Williams, J. E., and Hawkings, D. L., "Sound Generated by Turbulence and Surfaces in Arbitrary Motion", Philosophical Transactions of the Royal Society, Vol. A264, 1969, pp. 321-342

[5] C. K. W. Tam, and J. C. Webb, "Dispersion-Relation-Preserving Finite Difference Schemes for Computational Acoustics", Journal of Computational Physics, Vol. 107, 1993, pp. 262-281

[Lighthill1952-6] Lighthill, M. J., "On Sound Generated Aerodynamically, i", Proc. Roy. Soc. A, Vol. 211, 1952, pp 564-587

[Lighthill1954-7] Lighthill, M. J., "On Sound Generated Aerodynamically, ii", Proc. Roy. Soc. A, Vol. 222, 1954, pp 1-32

[8] Lilley, G. M., "On the noise from air jets",AGARD CP 131, 13.1-13.12

[9] Pierce, A. D., "Wave equation for the sound in fluids with unsteady inhomogeneous flow", J. Acoust. Soc. Am., 87:2292-2299, 1990

[10] Howe, M. S., "Contributions to the theory of aerodynamic sound, with application to excess jet noise and the theory of the flute", J. Fluid Mech., 71:625-673, 1975

[11] Mohring, W. A well posed acoustic analogy based on a moving acoustic medium. 2010, arXiv preprint arXiv:1009.3766.

[12] X. X. Chen, X. Huang and X. Zhang, "Sound Radiation from a Bypass Duct with Bifurcations", AIAA Journal, Vol. 47, No. 2, 2009. pp.429-436.

[13] X. Huang and X. Zhang, "A Fourier Pseudospectral Method for Some Computational Aeroacoustics Problems", International Journal of Aeroacoustics, Vol 5, No 3, 2006. pp.279-294.

[14] Ewert, R.; Schröder, W. (July 2003). "स्रोत फ़िल्टरिंग के माध्यम से प्रवाह अपघटन पर आधारित ध्वनिक गड़बड़ी समीकरण". Journal of Computational Physics. 188 (2): 365–398. Bibcode:2003JCoPh.188..365E. doi:10.1016/S0021-9991(03)00168-2.

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