जाली गैस ऑटोमेटन

गैस प्रवाह का एचपीपी सिमुलेशन। भिन्न-भिन्न पिक्सेल के ग्रे रंग उस पिक्सेल पर गैस कण घनत्व (0 एवं 4 के मध्य) के समानुपाती होते हैं। गैस पीली कोशिकाओं के आवरण से घिरी होती है जो संवृत समष्टि बनाने के लिए परावर्तक के रूप में कार्य करती है।

लैटिस गैस ऑटोमेटा (एलजीसीए), या लैटिस गैस सेल्युलर ऑटोमेटा, ऐसा सेलुलर ऑटोमेटन है जिसका उपयोग द्रव प्रवाह को अनुकरण करने के लिए किया जाता है, जो एचपीपी प्रारूप द्वारा अग्रणी है। वे लैटिस बोल्ट्ज़मैन विधियों के अग्रदूत थे। लैटिस गैस ऑटोमेटा से, मैक्रोस्कोपिक नेवियर-स्टोक्स समीकरण प्राप्त करना संभव है।1990 के दशक की प्रारम्भ में लैटिस गैस ऑटोमेटन विधियों में रुचि कम हो गई, क्योंकि लैटिस बोल्ट्ज़मैन में रुचि बढ़ने लगी है। चूँकि, एलजीसीए वैरिएंट, जिसे बायो- एलजीसीए कहा जाता है, जीव विज्ञान में सामूहिक प्रवास के प्रारूप का निर्माण करने के लिए अभी भी व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

बुनियादी सिद्धांत

सेलुलर ऑटोमेटन के रूप में, इन प्रारूपों में लैटिस सम्मिलित होती है, जहां लैटिस पर स्थित साइटें निश्चित संख्या में विभिन्न अवस्थाएं ले सकती हैं। लैटिस गैस में, विभिन्न अवस्थाएँ निश्चित वेग वाले कण होते हैं। अनुकरण का विकास भिन्न-भिन्न समय चरणों में किया जाता है। प्रत्येक समय चरण के पश्चात, किसी दिए गए साइट की स्थिति समय चरण से पूर्व, साइट एवं पड़ोसी साइटों की स्थिति से निर्धारित की जा सकती है।

प्रत्येक साइट पर स्थिति विशुद्ध रूप से बूलियन है। किसी दिए गए समष्टि पर, प्रत्येक दिशा में गति करने वाला कण या तो है या नहीं है।

प्रत्येक समय चरण में, दो प्रक्रियाएँ प्रसार एवं टकराव क्रियान्वित होती हैं।प्रसार चरण में, प्रत्येक कण उस कण के वेग से निर्धारित पड़ोसी स्थल पर चला जाता है। किसी भी टकराव को छोड़कर, ऊपर की ओर वेग वाला कण समय चरण के पश्चात उस वेग को बनाए रखता है, किन्तु मूल साइट के ऊपर पड़ोसी साइट पर ले जाया जाता है। तथाकथित बहिष्करण सिद्धांत दो या दो से अधिक कणों को लिंक पर समान दिशा में जाने से रोकता है।

टकराव चरण में, टकराव नियमों का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जाता है कि यदि कई कण एक ही साइट पर पहुंचते हैं तो क्या होता है। बड़े स्तर पर संरक्षण बनाए रखने एवं गति को संरक्षित करने के लिए इन टकराव नियमों की आवश्यकता होती है; इन संरक्षण विधियों को प्राप्त करने के लिए ब्लॉक सेलुलर ऑटोमेटन प्रारूप का उपयोग किया जा सकता है। ध्यान दें कि बहिष्करण सिद्धांत दो कणों को समान लिंक पर विपरीत दिशाओं में यात्रा करने से नहीं रोकता है; जब ऐसा होता है, तो दोनों कण बिना टकराए आगे निकल जाते हैं।

वर्गाकार लैटिस के साथ प्रारंभिक प्रयास

वर्गाकार लैटिस एचपीपी प्रारूप का छोटे स्तर पर प्रदर्शन है।

1973 एवं 1976 में प्रकाशित पत्रों में, जीन हार्डी, यवेस पोमेउ एवं ओलिवियर डी पाज़िस ने प्रथम लैटिस बोल्ट्ज़मैन प्रारूप प्रस्तुत किया, जिसे लेखकों के पश्चात एचपीपी प्रारूप कहा जाता है। एचपीपी प्रारूप द्रव कण अंतःक्रिया का द्वि-आयामी प्रारूप है। इस प्रारूप में, लैटिस वर्गाकार है, एवं कण इकाई गति से भिन्न समय तक स्वतंत्र रूप से यात्रा करते हैं। कण उन चार समष्टिों में से किसी भी समष्टि पर जा सकते हैं जिनकी कोशिकाएँ साझा किनारा साझा करती हैं। कण तिरछे नहीं चल सकते।

यदि दो कण आमने-सामने टकराते हैं, उदाहरण के लिए बाईं ओर जाने वाला कण दाईं ओर जाने वाले कण से मिलता है, तो परिणाम यह होगा कि दो कण साइट को उस दिशा में समकोण पर छोड़ दिया जाता है, जिस दिशा में वे आए थे।एचपीपी प्रारूप में घूर्णी अपरिवर्तनीयता का अभाव था, जिसने प्रारूप को अत्यधिक एनिसोट्रॉपिक बना दिया है। उदाहरण के लिए, इसका तात्पर्य यह है कि एचपीपी प्रारूप द्वारा उत्पादित भंवर चौकोर आकार के होते हैं।

हेक्सागोनल ग्रिड

हेक्सागोनल ग्रिड प्रारूप प्रथम बार 1986 में उरीएल फ्रिस्क, ब्रॉसल हस्लाचर एवं पोमेउ द्वारा पेपर में प्रस्तुत किया गया था, एवं इसे इसके आविष्कारकों के पश्चात एफएचपी प्रारूप के रूप में जाना जाता है। प्रारूप में छह या सात वेग होते हैं, जो इस पर निर्भर करता है कि किस भिन्नता का उपयोग किया जाता है। किसी भी स्थिति में, छह वेग प्रत्येक पड़ोसी स्थल पर गति का प्रतिनिधित्व करते हैं। कुछ प्रारूपों में (जिन्हें एफएचपी-II एवं एफएचपी-III कहा जाता है), विश्राम अवस्था में कणों का प्रतिनिधित्व करने वाला सातवां वेग प्रस्तुत किया गया है। विश्राम की स्थिति में कण पड़ोसी समष्टिों पर नहीं विस्तृत होते हैं, किन्तु वे अन्य कणों से टकराने में सक्षम होते हैं। एफएचपी-III प्रारूप सभी संभावित टकरावों की अनुमति देता है जो घनत्व एवं गति को संरक्षित करते हैं। टकरावों की संख्या वृद्धि से रेनॉल्ड्स संख्या में वृद्धि होती है, इसलिए एफएचपी-II एवं एफएचपी-III प्रारूप छह-स्पीड एफएचपी-I प्रारूप की अपेक्षा में कम चिपचिपा प्रवाह अनुकरण कर सकते हैं।एफएचपी प्रारूप का सरल अद्यतन नियम दो चरणों में आगे बढ़ता है, जिसका चयन कण संख्या एवं गति को संरक्षित करने के लिए किया जाता है। प्रथम, टकराव से निपटना है। एफएचपी प्रारूप में टकराव के नियम नियतात्मक नहीं हैं, कुछ इनपुट स्थितियां दो संभावित परिणाम उत्पन्न करती हैं, एवं जब ऐसा होता है, तो उनमें से एक का यादृच्छिक रूप से चयन होता है। चूंकि पूर्ण रूप से कम्प्यूटेशनल माध्यमों से यादृच्छिक संख्या उत्पन्न करना संभव नहीं है, इसलिए सामान्यतः छद्म यादृच्छिकता प्रक्रिया का चयन होता है।टकराव के चरण के पश्चात लिंक पर कण को ​​साइट छोड़ने के लिए माना जाता है। यदि किसी साइट पर दो कण आमने-सामने आते हैं, तो वे बिखर जाते हैं। गति को संरक्षित करने वाली दो संभावित आउटगोइंग दिशाओं के मध्य यादृच्छिक विकल्प बनाया जाता है।

हेक्सागोनल ग्रिड उतनी अधिक अनिसोट्रॉपी समस्याओं से ग्रस्त नहीं है जितनी एचपीपी वर्ग ग्रिड प्रारूप को चिंतित करने वाली समस्याओं से ग्रस्त हैं, भाग्यशाली तथ्य जो पूर्ण रूप से स्पष्ट नहीं है, एवं जिसने फ्रिस्क को यह टिप्पणी करने के लिए प्रेरित किया कि "समरूपता देवता परोपकारी हैं"।

तीन आयाम

त्रि-आयामी ग्रिड के लिए, पूर्ण समष्टि को भरने वाला मात्र नियमित पॉलीटोप क्यूब है, जबकि पर्याप्त रूप से बड़े समरूपता समूह के साथ मात्र नियमित पॉलीटोप डोडेकाहेड्रोन एवं इकोसाहेड्रोन हैं (दूसरे अवरोध के अभाव में प्रारूप को समान कमियों का सामना करना पड़ेगा जैसे एचपीपी प्रारूप)। ऐसा प्रारूप बनाने के लिए जो तीन आयामों का समाधान करता है, इसलिए आयामों की संख्या में वृद्धि की आवश्यकता होती है, जैसे कि 1986 में डी'हुमिएरेस, लेलेमैंड एवं फ्रिस्क द्वारा प्रारूप, जिसमें चेहरा-केंद्रित हाइपरक्यूब प्रारूप नियोजित किया गया था।

स्थूल मात्राएँ प्राप्त करना

किसी स्थल पर घनत्व, प्रत्येक स्थल पर कणों की संख्या की गणना करके प्राप्त किया जा सकता है। यदि कणों को सारांशित करने से पूर्व इकाई वेग से गुणा किया जाता है, तो कोई भी साइट पर गति प्राप्त कर सकता है।चूँकि, भिन्न-भिन्न साइटों के लिए घनत्व, गति एवं वेग की गणना अधिक मात्रा में शोर के अधीन है, एवं व्यवहार में, अधिक उचित परिणाम प्राप्त करने के लिए बड़े क्षेत्र का औसत निकाला जाता है। सांख्यिकीय शोर को कम करने के लिए प्रायः एन्सेम्बल एवरेजिंग का उपयोग किया जाता है।

लाभ एवं हानि

लैटिस गैस प्रारूप द्वारा रखी गई मुख्य संपत्ति यह है कि बूलियन अवस्था का तात्पर्य है कि फ्लोटिंग-पॉइंट परिशुद्धता के कारण किसी भी राउंड-ऑफ त्रुटि के अभाव में त्रुटिहीन कंप्यूटिंग होगी, एवं सेलुलर ऑटोमेटा सिस्टम समानांतर कंप्यूटिंग के साथ लैटिस गैस ऑटोमेटन सिमुलेशन चलाना संभव बनाता है।लैटिस गैस विधि के हानि में गैलीलियन अपरिवर्तनशीलता की कमी एवं सांख्यिकीय शोर सम्मिलित हैं।अन्य समस्या त्रि-आयामी समस्याओं को संभालने के लिए प्रारूप का विस्तार करने में कठिनाई है, ऐसे विषयों के सुधार के लिए पर्याप्त सममित ग्रिड बनाए रखने के लिए अधिक आयामों के उपयोग की आवश्यकता होती है।

जीव विज्ञान में प्रारूप के रूप में

Main article: बायो-एलजीसीए

लैटिस-गैस सेलुलर ऑटोमेटा को अनुकूलित किया गया है एवं वर्तमान में भी जीव विज्ञान में सामूहिक प्रवासन के प्रारूपिंग के लिए व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। जैविक अभिकर्ताओं की सक्रिय प्रकृति के साथ-साथ कोशिकाओं के चिपचिपे वातावरण के कारण, संवेग संरक्षण की आवश्यकता नहीं है। इसके अतिरिक्त, एजेंट का अंत हो सकता है या वे प्रजनन कर सकते हैं, इसलिए बड़े स्तर पर संरक्षण भी अनुपस्थित हो सकता है। टकराव के चरण के दौरान, कण व्यक्तियों के मध्य स्थानीय संपर्क का अनुकरण करते हुए, बोल्ट्ज़मैन वितरण के पश्चात स्टोकेस्टिक रूप से पुन: व्यवस्थित होते हैं।

संदर्भ

• Sauro Succi (2001). The Lattice Boltzmann Equation, for fluid dynamics and beyond. Oxford Science Publications. ISBN 0-19-850398-9. (Chapter 2 is about lattice gas Cellular Automata)
• James Maxwell Buick (1997). Lattice Boltzmann Methods in Interfacial Wave Modelling. PhD Thesis, University of Edinburgh. (Chapter 3 is about the lattice gas model.) (archive.org) 2008-11-13
• Dieter A. Wolf-Gladrow (2000). Lattice-Gas Cellular Automata and Lattice Boltzmann Models. Springer. ISBN 3-540-66973-6.

बाहरी संबंध

• (in French) Master thesis (2000) – Details on programming and optimising the simulation of the एफएचपी LGA
• (in Polish and English) Master thesis (2010) - Implementation of एफएचपी model in Nvidia CUDA technology.