सीमा बिंदु सघन: Difference between revisions

Revision as of 06:02, 11 August 2023

गणित में, सांस्थितिक समष्टि $X$ सीमा बिंदु सघन या अल्प रूप से गणनीय सघन कहा जाता है यदि $X$ के प्रत्येक अनंत उपसमुच्चय में $X$ में एक सीमा बिंदु होता है।^[1]^[2]^[3] यह गुण संहतसमष्टिओं के गुण को सामान्यीकृत करता है। एक मात्रिक समष्टि में, सीमा बिंदु सघनता, सघनता, और अनुक्रमिक सघनता सभी समतुल्य हैं। एक मीटरी समष्टि में, सीमा बिंदु सघनता, सघनता, और अनुक्रमिक सघनता सभी तुल्यमान हैं। हालाँकि, सामान्य सांस्थितिक समष्टिओं के लिए, सघनता की ये तीन धारणाएँ समतुल्य नहीं हैं।

गुण और उदाहरण

सांस्थितिक समष्टि में, सीमा बिंदु के बिना उपसमुच्चय बिल्कुल वही होते हैं जो उपसमष्टि सांस्थिति में संवृत्त और विविक्त होते हैं। तो एक समष्टि सीमा बिंदु सघन है यदि इसके सभी संवृत्त विविक्त उपसमुच्चय परिमित हों।
एक समष्टि $X$ सीमा बिंदु सघन नही है यदि इसमें एक अपरिमित संवृत्त विविक्त उपसमष्टि हों। चूँकि $X$ के एक संवृत्त विविक्त उपसमुच्चय का कोई उपसमुच्चय स्वयं $X$ में संवृत्त और विविक्त है, यह इस आवश्यकता है के बराबर है कि $X$ के पास एक गणनीय अपरिमित संवृत्त विविक्त उपसमष्टि है।
समष्टिओं के कुछ उदाहरण जो सीमा बिंदु सघन नहीं हैं: (1) $\mathbb {R}$ अपनी साधारण सांस्थिति के साथ सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है, चूंकि पूर्णांक एक अपरिमित समुच्चय है लेकिन $\mathbb {R}$ में कोई सीमा बिंदु नहीं है; (2) विविक्त सांस्थिति के साथ एक अपरिमित समुच्चय; (3) एक अगणनीय समुच्चय पर गणनीय पूरक सांस्थिति।
प्रत्येक गणनीय संहतसमष्टि (और इसलिए प्रत्येक सघन समष्टि) सीमा बिंदु सघन है।
T1 समष्टिओं के लिए, सीमा बिंदु सघनता गणनीय सघनता के तुल्यमान है।
सीमा बिंदु संहतसमष्टि का एक उदाहरण जो गणनीय सघन नहीं है, पूर्णांकों का द्विगुणन करके प्राप्त किया जाता है, अर्थात्, गुणनफल लेते हुए $X=\mathbb {Z} \times Y$ जहां $\mathbb {Z}$ , विविक्त सांस्थिति के साथ सभी पूर्णांकों का समुच्चय है और $Y=\{0,1\}$ में अविविक्त सांस्थिति है। समष्टि $X$ विषम-सम सांस्थिति के समसंरेखीय है।^[4] यह समष्टि T₀ समष्टि नहीं है। यह सीमा बिंदु सघन है क्योंकि प्रत्येक अरिक्त उपसमुच्चय का एक सीमा बिंदु होता है।
T₀ समष्टि का एक उदाहरण जो सीमा बिंदु सघन है और $X=\mathbb {R}$ गणनीय सघन नहीं है, दाएं क्रम सांस्थिति के साथ सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय, यानि, सांस्थिति सभी अंतरालों $(x,\infty )$ द्वारा उत्पन्न हुई।^[5] समष्टि सीमा बिंदु सघन है क्योंकि किसी भी बिंदु $a\in X$ के लिए, प्रत्येक $x<a$ , $\{a\}$ का एक सीमा बिंदु है।
मापनीय समष्टि के लिए, सघनता, गणनीय सघनता, सीमा बिंदु सघनता और अनुक्रमिक सघनता सभी तुल्यमान हैं।
एक सीमा बिंदु संहतसमष्टि के संवृत्त उपसमष्टियाँ सीमा बिंदु सघन होते हैं।
एक सीमा बिंदु संहतसमष्टि के सतत प्रतिबिम्ब को सीमा बिंदु सघन होने की आवश्यकता नहीं है। उदाहरण के लिए, यदि $X=\mathbb {Z} \times Y$ के साथ $\mathbb {Z}$ विविक्त और $Y$ अविविक्त हैं, जैसा कि ऊपर उदाहरण में है, प्रक्षेपण द्वारा दिए गए मानचित्र $f=\pi _{\mathbb {Z} }$ पर प्रथम निर्देशांक सतत है, लेकिन $f(X)=\mathbb {Z}$ सीमा बिंदु सघन नहीं है।
एक सीमा बिंदु संहतसमष्टि को अवास्तविक-सघन होने की आवश्यकता नहीं है। वैसा ही एक उदाहरण दिया गया है $X=\mathbb {Z} \times Y$ के साथ $Y$ अविविक्त द्वि-बिंदु समष्टि और मानचित्र $f=\pi _{\mathbb {Z} }$ हैं; जिसका प्रतिबिम्ब $\mathbb {R}$ में परिबद्ध नहीं है।
एक अवास्तविक-संहतसमष्टि को सीमा बिंदु सघन होने की आवश्यकता नहीं है। एक उदाहरण सहगणनीय सांस्थिति के साथ एक अगणनीय समुच्चय द्वारा दिया गया है।
प्रत्येक अभिलंब अवास्तविक-संहतसमष्टि सीमा बिंदु सघन है।^[6]
प्रमाण : मान लीजिए $X$ एक अभिलंब समष्टि है जो सीमा बिंदु सघन नहीं है। वहाँ $X$ का एक गणनीय अपरिमित संवृत्त विविक्त उपसमुच्चय $A=\{x_{1},x_{2},x_{3},\ldots \}$ सम्बद्ध है। टिट्ज़ विस्तार सिद्धांत के अनुसार $A$ पर सतत फलन $f$ जिसे $f(x_{n})=n$ द्वारा परिभाषित किया गया है, सभी $X$ पर एक (अपरिबद्ध) वास्तविक मान वाले सतत फलन तक बढ़ाया जा सकता है। इसलिए $X$ अवास्तविक-सघन नहीं है।
सीमा बिंदु संहतसमष्टि में गणनीय विस्तार होता है।
यदि $(X,\tau )$ और $(X,\sigma )$ , $\sigma$ के साथ सांस्थितिक समष्टि हैं जो $\tau$ से अधिक विस्तारित है, और $(X,\sigma )$ सीमा बिंदु सघन है, तो $(X,\tau )$ भी सीमा बिंदु सघन है।

यह भी देखें

संहतसमष्‍टि – गणितीय समष्टि के प्रकार
गणनीय संहतसमष्‍टि – सांस्थितिक समष्टि जिसमें समष्टि के प्रत्येक गणनीय खुले संचयन से एक परिमित संचयन निकाला जा सकता है
अनुक्रमिक संहतसमष्‍टि – सांस्थितिक समष्टि जिसमें प्रत्येक अनुक्रम का एक अभिसारी उपानुक्रम होता है।

↑ The terminology "limit point compact" appears in a topology textbook by James Munkres where he says that historically such spaces had been called just "compact" and what we now call compact spaces were called "bicompact". There was then a shift in terminology with bicompact spaces being called just "compact" and no generally accepted name for the first concept, some calling it "Fréchet compactness", others the "Bolzano-Weierstrass property". He says he invented the term "limit point compact" to have something at least descriptive of the property. Munkres, p. 178-179.
↑ Steen & Seebach, p. 19
↑ Steen & Seebach, p. 19
↑ Steen & Seebach, Example 6
↑ Steen & Seebach, Example 50
↑ Steen & Seebach, p. 20. What they call "normal" is T₄ in wikipedia's terminology, but it's essentially the same proof as here.

संदर्भ

Munkres, James R. (2000). Topology (Second ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC 42683260.
Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur (1995) [First published 1978 by Springer-Verlag, New York]. Counterexamples in topology. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-68735-X. OCLC 32311847.
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[1] The terminology "limit point compact" appears in a topology textbook by James Munkres where he says that historically such spaces had been called just "compact" and what we now call compact spaces were called "bicompact". There was then a shift in terminology with bicompact spaces being called just "compact" and no generally accepted name for the first concept, some calling it "Fréchet compactness", others the "Bolzano-Weierstrass property". He says he invented the term "limit point compact" to have something at least descriptive of the property. Munkres, p. 178-179.

[2] Steen & Seebach, p. 19

[3] Steen & Seebach, p. 19

[4] Steen & Seebach, Example 6

[5] Steen & Seebach, Example 50

[6] Steen & Seebach, p. 20. What they call "normal" is T₄ in wikipedia's terminology, but it's essentially the same proof as here.

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-गणित में, [[टोपोलॉजिकल स्पेस|सांस्थितिक समष्टि]] <math>X</math> '''सीमा बिंदु सघन''' या अल्प रूप से '''गणनीय सघन''' कहा जाता है यदि <math>X </math> के प्रत्येक अनंत उपसमुच्चय में <math>X</math> में एक सीमा बिंदु होता है।<ref>The terminology "limit point compact" appears in a topology textbook by [[James Munkres]] where he says that historically such spaces had been called just "compact" and what we now call compact spaces were called "bicompact".  There was then a shift in terminology with bicompact spaces being called just "compact" and no generally accepted name for the first concept, some calling it "[[Fréchet]] compactness", others the "Bolzano-Weierstrass property".  He says he invented the term "limit point compact" to have something at least descriptive of the property.  Munkres, p. 178-179.</ref><ref>Steen & Seebach, p. 19</ref><ref>Steen & Seebach, p. 19</ref> यह गुण [[ सघन स्थान |संहतसमष्टिओं]] के गुण को सामान्य बनाता है। एक [[मीट्रिक स्थान|मीटरी]] [[टोपोलॉजिकल स्पेस|समष्टि]] में, सीमा बिंदु सघनता, सघनता, और [[अनुक्रमिक सघनता]] सभी तुल्यमान हैं। हालाँकि, सामान्य सांस्थितिक समष्टिओं के लिए, सघनता की ये तीन धारणाएँ तुल्यमान नहीं हैं।
+गणित में, [[टोपोलॉजिकल स्पेस|सांस्थितिक समष्टि]] <math>X</math> '''सीमा बिंदु सघन''' या अल्प रूप से '''गणनीय सघन''' कहा जाता है यदि <math>X </math> के प्रत्येक अनंत उपसमुच्चय में <math>X</math> में एक सीमा बिंदु होता है।<ref>The terminology "limit point compact" appears in a topology textbook by [[James Munkres]] where he says that historically such spaces had been called just "compact" and what we now call compact spaces were called "bicompact".  There was then a shift in terminology with bicompact spaces being called just "compact" and no generally accepted name for the first concept, some calling it "[[Fréchet]] compactness", others the "Bolzano-Weierstrass property".  He says he invented the term "limit point compact" to have something at least descriptive of the property.  Munkres, p. 178-179.</ref><ref>Steen & Seebach, p. 19</ref><ref>Steen & Seebach, p. 19</ref> यह गुण [[ सघन स्थान |संहतसमष्टिओं]] के गुण को सामान्यीकृत करता है। एक मात्रिक समष्टि में, सीमा बिंदु सघनता, सघनता, और अनुक्रमिक सघनता सभी समतुल्य हैं। एक [[मीट्रिक स्थान|मीटरी]] [[टोपोलॉजिकल स्पेस|समष्टि]] में, सीमा बिंदु सघनता, सघनता, और [[अनुक्रमिक सघनता]] सभी तुल्यमान हैं। हालाँकि, सामान्य सांस्थितिक समष्टिओं के लिए, सघनता की ये तीन धारणाएँ समतुल्य नहीं हैं।
-==गुण और उदाहरण==
+===गुण और उदाहरण===
-* सांस्थितिक समष्टि में, सीमा बिंदु के बिना उपसमुच्चय बिल्कुल वही होते हैं जो उपसमष्टि सांस्थिति में संवृत्त और विविक्त होते हैं। तो एक समष्टि सीमा बिंदु सघन है यदि और केवल यदि इसके सभी संवृत्त विविक्त उपसमुच्चय परिमित हों।
+* सांस्थितिक समष्टि में, सीमा बिंदु के बिना उपसमुच्चय बिल्कुल वही होते हैं जो उपसमष्टि सांस्थिति में संवृत्त और विविक्त होते हैं। तो एक समष्टि सीमा बिंदु सघन है यदि इसके सभी संवृत्त विविक्त उपसमुच्चय परिमित हों।
-* एक समष्टि <math>X</math> सीमा बिंदु सघन नही है यदि और केवल यदि इसमें एक अपरिमित संवृत्त विविक्त उपसमष्टि हों। चूँकि <math>X</math> के एक संवृत्त विविक्त उपसमुच्चय का कोई उपसमुच्चय स्वयं <math>X</math> में संवृत्त और विविक्त है, यह आवश्यकता है के तुल्यमान है कि <math>X</math> के पास एक गणनीय अपरिमित संवृत्त विविक्त उपसमष्टि हों।
+* एक समष्टि <math>X</math> सीमा बिंदु सघन नही है यदि इसमें एक अपरिमित संवृत्त विविक्त उपसमष्टि हों। चूँकि <math>X</math> के एक संवृत्त विविक्त उपसमुच्चय का कोई उपसमुच्चय स्वयं <math>X</math> में संवृत्त और विविक्त है, यह इस आवश्यकता है के बराबर है कि <math>X</math> के पास एक गणनीय अपरिमित संवृत्त विविक्त उपसमष्टि है।
-* समष्टिओं के कुछ उदाहरण जो सीमा बिंदु सघन नहीं हैं: (1) <math>\Reals</math> अपनी साधारण सांस्थिति के साथ सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है, चूंकि पूर्णांक एक अपरिमित समुच्चय है लेकिन <math>\Reals</math> में कोई सीमा बिंदु नहीं है; (2) विविक्त सांस्थिति के साथ एक अपरिमित समुच्चय; (3) एक अगणनीय समुच्चय पर [[गणनीय पूरक सांस्थिति]]।
+* '''समष्टिओं के कुछ उदाहरण जो सीमा बिंदु सघन''' नहीं हैं: (1) <math>\Reals</math> अपनी साधारण सांस्थिति के साथ सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है, चूंकि पूर्णांक एक अपरिमित समुच्चय है लेकिन <math>\Reals</math> में कोई सीमा बिंदु नहीं है; (2) विविक्त सांस्थिति के साथ एक अपरिमित समुच्चय; (3) एक अगणनीय समुच्चय पर [[गणनीय पूरक सांस्थिति]]।
 * प्रत्येक [[गणनीय संहतसमष्टि]] (और इसलिए प्रत्येक सघन समष्टि) सीमा बिंदु सघन है।
 * [[T1 समष्टि|T1 समष्टिओं]] के लिए, सीमा बिंदु सघनता गणनीय सघनता के तुल्यमान है।
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 * एक सीमा बिंदु संहतसमष्टि के संवृत्त उपसमष्टियाँ सीमा बिंदु सघन होते हैं।
 * एक सीमा बिंदु संहतसमष्टि के सतत प्रतिबिम्ब को सीमा बिंदु सघन होने की आवश्यकता नहीं है। उदाहरण के लिए, यदि <math>X = \Z \times Y</math> के साथ <math>\Z</math> विविक्त और <math>Y</math> अविविक्त हैं, जैसा कि ऊपर उदाहरण में है, प्रक्षेपण द्वारा दिए गए मानचित्र <math>f = \pi_{\Z}</math> पर प्रथम निर्देशांक सतत है, लेकिन <math>f(X) = \Z</math> सीमा बिंदु सघन नहीं है।
 * एक सीमा बिंदु संहतसमष्टि को [[छद्मकॉम्पैक्ट|अवास्तविक-सघन]] होने की आवश्यकता नहीं है। वैसा ही एक उदाहरण दिया गया है <math>X = \Z \times Y</math> के साथ <math>Y</math> अविविक्त द्वि-बिंदु समष्टि और मानचित्र <math>f = \pi_{\Z}</math> हैं; जिसका प्रतिबिम्ब <math>\Reals</math> में परिबद्ध नहीं है।
 * एक अवास्तविक-संहतसमष्टि को सीमा बिंदु सघन होने की आवश्यकता नहीं है। एक उदाहरण [[सहगणनीय टोपोलॉजी|सहगणनीय सांस्थिति]] के साथ एक अगणनीय समुच्चय द्वारा दिया गया है।
 * प्रत्येक अभिलंब अवास्तविक-संहतसमष्टि सीमा बिंदु सघन है।<ref>Steen & Seebach, p. 20.  What they call "normal" is T<sub>4</sub> in wikipedia's terminology, but it's essentially the same proof as here.</ref><br>प्रमाण : मान लीजिए <math>X</math> एक अभिलंब समष्टि है जो सीमा बिंदु सघन नहीं है। वहाँ <math>X</math> का एक गणनीय अपरिमित संवृत्त विविक्त उपसमुच्चय <math>A = \{x_1, x_2, x_3, \ldots\}</math> सम्बद्ध है। [[टिट्ज़ विस्तार सिद्धांत]] के अनुसार <math>A</math> पर सतत फलन <math>f</math> जिसे <math>f(x_n) = n</math> द्वारा परिभाषित किया गया है, सभी <math>X</math> पर एक (अपरिबद्ध) वास्तविक मान वाले सतत फलन तक बढ़ाया जा सकता है। इसलिए <math>X</math> अवास्तविक-सघन नहीं है।
 * सीमा बिंदु संहतसमष्टि में गणनीय [[परिधि|विस्तार]] होता है।
 * यदि <math>(X, \tau)</math> और <math>(X, \sigma)</math>, <math>\sigma</math> के साथ सांस्थितिक समष्टि हैं जो <math>\tau</math> से अधिक विस्तारित है, और <math>(X, \sigma)</math> सीमा बिंदु सघन है, तो <math>(X, \tau)</math> भी सीमा बिंदु सघन है।
 ==यह भी देखें==

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