प्रतिच्छेदन प्रमेय

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प्रक्षेपी ज्यामिति में, प्रतिच्छेदन प्रमेय या आपतन प्रमेय घटना संरचना से संबंधित एक कथन है। जिसमें बिंदु, रेखाएँ, और संभवतः उच्च-आयामी वस्तुएं और उनकी घटनाएं सम्मिलित हैं - साथ में वस्तुओं A और B की जोड़ी (उदाहरण के लिए, बिंदु और रेखा)। "प्रमेय" कहता है कि, जब भी वस्तुओं का एक सेट घटनाओं को संतुष्ट करता है (अर्थात घटना संरचना की वस्तुओं के साथ इस तरह से पहचाना जा सकता है कि घटनाओं को संरक्षित किया जाता है), तो वस्तुओं A और B को भी घटना होना चाहिए। प्रतिच्छेदन प्रमेय अनिवार्य रूप से सभी प्रक्षेपी ज्यामिति में सत्य नहीं है; यह एक ऐसा गुण है जो कुछ ज्यामितियों को संतुष्ट, लेकिन अन्य को नहीं करता है।

उदाहरण के लिए, डेसार्गेस के प्रमेय को निम्नलिखित परिघटना संबंधी संरचना का उपयोग करते हुए कहा जा सकता है:

• अंक: $\{A,B,C,a,b,c,P,Q,R,O\}$
• रेखायें: $\{AB,AC,BC,ab,ac,bc,Aa,Bb,Cc,PQ\}$
• घटनाएँ (स्पष्ट घटनाओं के अलावा $(A,AB)$): $\{(O,Aa),(O,Bb),(O,Cc),(P,BC),(P,bc),(Q,AC),(Q,ac),(R,AB),(R,ab)\}$

निहितार्थ तब $(R,PQ)$ है - कि बिंदु R लाइन PQ के साथ घटना है।

प्रसिद्ध उदाहरण

डेसार्गेस प्रमेय प्रक्षेपी प्लेन P में रखता है अगर और केवल अगर P किसी डिवीजन रिंग (तिरछा क्षेत्र} D — $P=\mathbb {P} _{2}D$ पर प्रक्षेपीय प्लेन है, प्रक्षेपी तल को तब डेसर्गेसियन कहा जाता है। अमित्सुर और बर्गमैन के प्रमेय में कहा गया है कि, प्रत्येक प्रतिच्छेदन के प्रमेय के लिए डिसार्ग्यूसियन प्रक्षेपी सतहों के संदर्भ में तर्कसंगत पहचान है जैसे कि प्लेन P प्रतिच्छेदन प्रमेय को संतुष्ट करता है अगर और केवल अगर विभाजन की रिंग D तर्कसंगत पहचान को संतुष्ट करता है।

• पप्पस का षट्भुज प्रमेय डेसार्गेसियन प्रक्षेपी तल $\mathbb {P} _{2}D$ में धारण करता है यदि और केवल यदि D क्षेत्र है; यह $\forall a,b\in D,\quad a\cdot b=b\cdot a$ की पहचान से मेल खाता है।
• फैनो का स्वयंसिद्ध (जो बताता है कि एक निश्चित प्रतिच्छेदन नहीं होता है) $\mathbb {P} _{2}D$ में होता है अगर और केवल अगर D की विशेषता $\neq 2$ है; यह पहचान a + a = 0 से मेल खाता है।

संदर्भ

• Rowen, Louis Halle, ed. (1980). Polynomial Identities in Ring Theory. Pure and Applied Mathematics. Vol. 84. Academic Press. doi:10.1016/s0079-8169(08)x6032-5. ISBN 9780125998505.
• Amitsur, S. A. (1966). "Rational Identities and Applications to Algebra and Geometry". Journal of Algebra. 3 (3): 304–359. doi:10.1016/0021-8693(66)90004-4.