शूटिंग विधि

संख्यात्मक विश्लेषण में, शूटिंग विधि एक सीमा मूल्य समस्या को प्रारंभिक मूल्य समस्या में कम करके हल करने की एक विधि है। इसमें विभिन्न प्रारंभिक स्थितियों के लिए प्रारंभिक मूल्य समस्या का समाधान ढूंढना शामिल है जब तक कि कोई ऐसा समाधान न मिल जाए जो सीमा मूल्य समस्या की सीमा शर्तों को भी पूरा करता हो। आम आदमी के शब्दों में, कोई एक सीमा से अलग-अलग दिशाओं में प्रक्षेप पथ चलाता है जब तक कि उसे वह प्रक्षेप पथ नहीं मिल जाता जो दूसरी सीमा की स्थिति से टकराता है।

गणितीय विवरण

मान लीजिए कोई सीमा-मूल्य समस्या को हल करना चाहता है

$$y''(t)=f(t,y(t),y'(t)),\quad y(t_{0})=y_{0},\quad y(t_{1})=y_{1}.$$

होने देना $y(t;a)$ प्रारंभिक-मूल्य समस्या को हल करें

$$y''(t)=f(t,y(t),y'(t)),\quad y(t_{0})=y_{0},\quad y'(t_{0})=a.$$

अगर $y(t_{1};a)=y_{1}$, तब $y(t;a)$ सीमा-मूल्य समस्या का भी समाधान है।

शूटिंग विधि कई अलग-अलग मूल्यों के लिए प्रारंभिक मूल्य समस्या को हल करने की प्रक्रिया है $a$ जब तक कोई समाधान नहीं मिल जाता $y(t;a)$ जो वांछित सीमा शर्तों को पूरा करता है। आमतौर पर, कोई साधारण अंतर समीकरणों के लिए संख्यात्मक तरीकों से ऐसा करता है। समाधान(ओं) की जड़(ओं) से मेल खाते हैं

$$F(a)=y(t_{1};a)-y_{1}.$$

शूटिंग पैरामीटर को व्यवस्थित रूप से बदलने के लिए $a$ और जड़ ढूंढने के लिए, कोई मानक जड़-खोज एल्गोरिदम जैसे द्विभाजन विधि या न्यूटन की विधि को नियोजित कर सकता है।

की जड़ें $F$ और सीमा मूल्य समस्या का समाधान समतुल्य है। अगर $a$ की जड़ है $F$, तब $y(t;a)$ सीमा मूल्य समस्या का समाधान है। इसके विपरीत, यदि सीमा मूल्य समस्या का कोई समाधान है $y(t)$, यह अनोखा समाधान भी है $y(t;a)$ प्रारंभिक मूल्य समस्या का कहाँ $a=y'(t_{0})$, इसलिए $a$ की जड़ है $F$.

व्युत्पत्ति और अंतर्ज्ञान

शूटिंग पद्धति शब्द की उत्पत्ति तोपखाने से हुई है। शूटिंग विधि के लिए एक सादृश्य है

• स्थान पर एक तोप रखें $y(t_{0})=y_{0}$, तब
• कोण भिन्न करें $a=y'(t_{0})$ तोप का, फिर
• तोप को तब तक फायर करें जब तक वह सीमा मान तक न पहुंच जाए $y(t_{1})=y_{1}$.

प्रत्येक शॉट के बीच, तोप की दिशा को पिछले शॉट के आधार पर समायोजित किया जाता है, इसलिए प्रत्येक शॉट पिछले शॉट की तुलना में अधिक करीब लगता है। वांछित सीमा मान तक पहुंचने वाला प्रक्षेपवक्र सीमा मान समस्या का समाधान है - इसलिए इसे शूटिंग विधि नाम दिया गया है।

रेखीय शूटिंग विधि

यदि f का रूप है तो सीमा मान समस्या रैखिक है

$$f(t,y(t),y'(t))=p(t)y'(t)+q(t)y(t)+r(t).$$

इस मामले में, सीमा मूल्य समस्या का समाधान आमतौर पर इस प्रकार दिया जाता है:

$$y(t)=y_{(1)}(t)+{\frac {y_{1}-y_{(1)}(t_{1})}{y_{(2)}(t_{1})}}y_{(2)}(t)$$

कहाँ $y_{(1)}(t)$ प्रारंभिक मूल्य समस्या का समाधान है:

$$y_{(1)}''(t)=p(t)y_{(1)}'(t)+q(t)y_{(1)}(t)+r(t),\quad y_{(1)}(t_{0})=y_{0},\quad y_{(1)}'(t_{0})=0,$$

और $y_{(2)}(t)$ प्रारंभिक मूल्य समस्या का समाधान है:

$$y_{(2)}''(t)=p(t)y_{(2)}'(t)+q(t)y_{(2)}(t),\quad y_{(2)}(t_{0})=0,\quad y_{(2)}'(t_{0})=1.$$

उस सटीक स्थिति के लिए प्रमाण देखें जिसके तहत यह परिणाम मान्य है।

उदाहरण

मानक सीमा मान समस्या

चित्र 1. s = w'(0) के लिए प्रक्षेपवक्र w(t;s) −7, −8, −10, −36, और −40 के बराबर है। बिंदु (1,1) को एक वृत्त से चिह्नित किया गया है।

चित्र 2. फलन F(s) = w(1;s) - 1.

स्टोअर और बुलिर्श द्वारा एक सीमा मान समस्या इस प्रकार दी गई है (धारा 7.3.1).

$$w''(t)={\frac {3}{2}}w^{2},\quad w(0)=4,\quad w(1)=1$$

प्रारंभिक मूल्य समस्या

$$w''(t)={\frac {3}{2}}w^{2},\quad w(0)=4,\quad w'(0)=s$$

चित्र 2 में प्लॉट किए गए s = −1, −2, −3, ..., −100, और F(s) = w(1;s) − 1 के लिए हल किया गया था। F के प्लॉट का निरीक्षण करने पर, हम देखते हैं कि -8 और -36 के पास जड़ें हैं। w(t;s) के कुछ प्रक्षेप पथ चित्र 1 में दिखाए गए हैं।

स्टोअर और बुलिर्शबताएं कि दो समाधान हैं, जिसे बीजगणितीय तरीकों से पाया जा सकता है।

ये प्रारंभिक स्थितियों w′(0) = −8 और w′(0) = −35.9 (लगभग) के अनुरूप हैं।

आइगेनवेल्यू समस्या

ऊर्जा के साथ हार्मोनिक ऑसिलेटर की जमीनी स्थिति की खोज करते समय $E_{0}=1/2$, शूटिंग विधि वेवफ़ंक्शन उत्पन्न करती है जो अनंत तक विसरित होती है। यहां, सही तरंग फ़ंक्शन की जड़ें शून्य होनी चाहिए और अनंत पर शून्य तक जाना चाहिए, इसलिए यह नारंगी और हरी रेखाओं के बीच कहीं स्थित है। इसलिए ऊर्जा बीच में है $0.495$ और $0.500$ (संख्यात्मक सटीकता के साथ)।

शूटिंग पद्धति का उपयोग आइजेनवैल्यू समस्याओं को हल करने के लिए भी किया जा सकता है। क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर के लिए समय-स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण पर विचार करें

$$-{\frac {1}{2}}\psi _{n}''(x)+{\frac {1}{2}}x^{2}\psi _{n}(x)=E_{n}\psi _{n}(x).$$

क्वांटम यांत्रिकी में, व्यक्ति सामान्यीकरण योग्य तरंग कार्यों की तलाश करता है $\psi _{n}(x)$ और उनकी संगत ऊर्जाएं सीमा स्थितियों के अधीन हैं

$$\psi _{n}(x\rightarrow +\infty )=\psi _{n}(x\rightarrow -\infty )=0.$$

ऊर्जाओं को खोजने के लिए समस्या को विश्लेषणात्मक रूप से हल किया जा सकता है $E_{n}=n+1/2$ के लिए $n=0,1,2,\dots$, बल्कि शूटिंग पद्धति के उत्कृष्ट चित्रण के रूप में भी कार्य करता है। इसे लागू करने के लिए, पहले श्रोडिंगर समीकरण के कुछ सामान्य गुणों पर ध्यान दें:

• अगर $\psi _{n}(x)$ एक eigenfunction है, इसलिए है $C\psi _{n}(x)$ किसी भी शून्येतर स्थिरांक के लिए $C$.
• $n$वें>-वें उत्तेजित अवस्था $\psi _{n}(x)$ है $n$ जड़ें कहां $\psi _{n}(x)=0$.
• एक जैसे के लिए $n$, द $n$-वें उत्तेजित अवस्था $\psi _{n}(x)=\psi _{n}(-x)$ मूल में सममित और शून्येतर है।
• विषम के लिए $n$, द $n$-वें उत्तेजित अवस्था $\psi _{n}(x)=-\psi _{n}(-x)$ एंटीसिमेट्रिक है और इस प्रकार मूल में शून्य है।

खोजने के लिए $n$-वें उत्तेजित अवस्था $\psi _{n}(x)$ और इसकी ऊर्जा $E_{n}$, शूटिंग विधि तब है:

1. कुछ ऊर्जा का अनुमान लगाएं $E_{n}$.
2. श्रोडिंगर समीकरण को एकीकृत करें। उदाहरण के लिए, केंद्रीय परिमित अंतर विधि का उपयोग करें
   $$-{\frac {1}{2}}{\frac {\psi _{n}^{i+1}-2\psi _{n}^{i}+\psi _{n}^{i-1}}{{\Delta x}^{2}}}+{\frac {1}{2}}(x^{i})^{2}\psi _{n}^{i}=E_{n}\psi _{n}^{i}.$$
   • अगर $n$ सम है, सेट है $\psi _{0}$ किसी मनमानी संख्या के लिए (कहें) $\psi _{n}^{0}=1$ - वैसे भी एकीकरण के बाद तरंग फ़ंक्शन को सामान्य किया जा सकता है) और शेष सभी को खोजने के लिए सममित संपत्ति का उपयोग करें $\psi _{n}^{i}$.
   • अगर $n$ विषम है, सेट है $\psi _{n}^{0}=0$ और $\psi _{n}^{1}$ किसी मनमानी संख्या के लिए (कहें) $\psi _{n}^{1}=1$ - वैसे भी एकीकरण के बाद वेवफंक्शन को सामान्य किया जा सकता है) और शेष सभी को ढूंढें $\psi _{n}^{i}$.
3. की जड़ें गिनें $\psi _{n}$ और ऊर्जा के अनुमान को परिष्कृत करें $E_{n}$.
   • अगर वहाँ $n$ या कम जड़ें, अनुमानित ऊर्जा बहुत कम है, इसलिए इसे बढ़ाएं और प्रक्रिया को दोहराएं।
   • यदि इससे अधिक हैं $n$ जड़ों में, अनुमानित ऊर्जा बहुत अधिक है, इसलिए इसे कम करें और प्रक्रिया को दोहराएं।

ऊर्जा-अनुमान द्विभाजन विधि से किया जा सकता है, और जब ऊर्जा अंतर पर्याप्त रूप से छोटा हो तो प्रक्रिया को समाप्त किया जा सकता है। तब कोई अंतराल में किसी भी ऊर्जा को सही ऊर्जा मान सकता है।

यह भी देखें

प्रत्यक्ष एकाधिक शूटिंग विधि विधि

• वायुमंडल में रेडियो तरंग क्षीणन की गणना

संदर्भ

• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Section 18.1. The Shooting Method". Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.

बाहरी संबंध

• Brief Description of ODEPACK (at Netlib; contains LSODE)
• Shooting method of solving boundary value problems – Notes, PPT, Maple, Mathcad, Matlab, Mathematica at Holistic Numerical Methods Institute [1]