रैखिक मल्टीस्टेप विधि

"एडम्स की विधि" redirects here. For चुनावी विभाजन विधि, see सबसे छोटे भाजक की विधि.

संख्यात्मक साधारण अंतर समीकरण के लिए रैखिक बहुपदीय विधियों का उपयोग किया जाता है। वैचारिक रूप से, एक संख्यात्मक विधि एक प्रारंभिक बिंदु से प्रारम्भ होती है और फिर अगले समाधान बिंदु को खोजने के लिए समय में एक छोटा कदम आगे बढ़ाती है। समाधान निकालने के लिए प्रक्रिया बाद के चरणों के साथ जारी रहती है। एकल-चरण विधियाँ (जैसे यूलर की विधि) वर्तमान मूल्य निर्धारित करने के लिए केवल एक पिछले बिंदु और उसके व्युत्पन्न को संदर्भित करती हैं। रंज-कुट्टा जैसी विधियां उच्च क्रम विधि प्राप्त करने के लिए कुछ मध्यवर्ती कदम (उदाहरण के लिए, आधा कदम) लेती हैं, लेकिन फिर दूसरा कदम उठाने से पहले सभी पिछली जानकारी को त्याग देती हैं। बहुपदीय विधियाँ पिछले चरणों की जानकारी को त्यागने के स्थान पर उसे बनाए रखने और उसका उपयोग करके दक्षता प्राप्त करने का प्रयास करती हैं। नतीजतन, बहुपदीय विधियां कई पिछले बिंदुओं और व्युत्पन्न मूल्यों को संदर्भित करती हैं। रैखिक बहुपदीय विधियों की स्तिथि में, पिछले बिंदुओं और व्युत्पन्न मूल्यों के एक रैखिक संयोजन का उपयोग किया जाता है।

परिभाषाएँ

साधारण अंतर समीकरणों के लिए संख्यात्मक विधियाँ विधि की प्रारंभिक मान समस्या का अनुमानित समाधान करती हैं

$$y'=f(t,y),\quad y(t_{0})=y_{0}.$$

परिणाम के मूल्य के लिए अनुमान $y(t)$ अलग-अलग समय पर $t_{i}$ है:

$$y_{i}\approx y(t_{i})\quad {\text{where}}\quad t_{i}=t_{0}+ih,$$

जहाँ $h$ समय चरण है (कभी-कभी इसे $\Delta t$ कहा जाता है) और $i$ एक पूर्णांक है।

बहुपदीय विधियाँ अगले मान की गणना करने के लिए पिछले चरणों $s$ की जानकारी का उपयोग करती हैं। विशेष रूप से, एक रैखिक बहुपदीय विधि वांछित वर्तमान चरण के लिए $y$ के मान की गणना करने के लिए $y_{i}$ और $f(t_{i},y_{i})$ के रैखिक संयोजन का उपयोग करती है। इस प्रकार, एक रैखिक बहुपदीय विधि रूप की एक विधि है

$${\begin{aligned}&y_{n+s}+a_{s-1}\cdot y_{n+s-1}+a_{s-2}\cdot y_{n+s-2}+\cdots +a_{0}\cdot y_{n}\\&\qquad {}=h\cdot \left(b_{s}\cdot f(t_{n+s},y_{n+s})+b_{s-1}\cdot f(t_{n+s-1},y_{n+s-1})+\cdots +b_{0}\cdot f(t_{n},y_{n})\right)\\&\Leftrightarrow \sum _{j=0}^{s}a_{j}y_{n+j}=h\sum _{j=0}^{s}b_{j}f(t_{n+j},y_{n+j}),\end{aligned}}$$

$a_{s}=1$ के साथ है। गुणांक $a_{0},\dotsc ,a_{s-1}$ और $b_{0},\dotsc ,b_{s}$ विधि निर्धारित करें। विधि का अभिकल्पक लागू करने में आसान विधि प्राप्त करने की इच्छा के विरुद्ध सही समाधान के लिए एक अच्छा अनुमान प्राप्त करने की आवश्यकता को संतुलित करते हुए, गुणांक का चयन करता है। विधि को सरल बनाने के लिए प्रायः कई गुणांक शून्य होते हैं।

कोई भी स्पष्ट और अंतर्निहित तरीकों के बीच अंतर कर सकता है। अगर $b_{s}=0$, तो विधि को स्पष्ट कहा जाता है, क्योंकि सूत्र $y_{n+s}$ सीधे गणना कर सकता है। अगर $b_{s}\neq 0$ तो विधि को अंतर्निहित कहा जाता है, क्योंकि इसका मान $y_{n+s}$ के मूल्य $f(t_{n+s},y_{n+s})$ पर निर्भर करता है, और समीकरण को हल $y_{n+s}$ किया जाना चाहिए। अंतर्निहित सूत्र को हल करने के लिए प्रायः न्यूटन की विधि जैसी पुनरावृत्तीय विधियों का उपयोग किया जाता है।

कभी-कभी मूल्य की भविष्यवाणी करने के लिए एक स्पष्ट बहुपदीय विधि $y_{n+s}$ का उपयोग किया जाता है। फिर उस मान को सही करने के लिए एक अंतर्निहित सूत्र में उपयोग किया जाता है। परिणाम एक भविष्यवक्ता-सुधारक विधि है।

उदाहरण

उदाहरण के लिए समस्या पर विचार करें

$$y'=f(t,y)=y,\quad y(0)=1.$$

सटीक समाधान $y(t)=e^{t}$ है।

वन-चरण यूलर

एक सरल संख्यात्मक विधि यूलर की विधि है:

$$y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n}).$$

यूलर की विधि को एक चरण के विकृत स्तिथि के लिए एक स्पष्ट बहुपदीय विधि के रूप में देखा जा सकता है।

समस्या $y'=y$ पर चरण आकार $h={\tfrac {1}{2}}$ के साथ लागू की गई यह विधि निम्नलिखित परिणाम देती है:

$${\begin{aligned}y_{1}&=y_{0}+hf(t_{0},y_{0})=1+{\tfrac {1}{2}}\cdot 1=1.5,\\y_{2}&=y_{1}+hf(t_{1},y_{1})=1.5+{\tfrac {1}{2}}\cdot 1.5=2.25,\\y_{3}&=y_{2}+hf(t_{2},y_{2})=2.25+{\tfrac {1}{2}}\cdot 2.25=3.375,\\y_{4}&=y_{3}+hf(t_{3},y_{3})=3.375+{\tfrac {1}{2}}\cdot 3.375=5.0625.\end{aligned}}$$

दो-चरणीय एडम्स-बैशफोर्थ

यूलर की विधि एक चरणीय विधि है। एक सरल बहुचरणीय विधि दो-चरणीय एडम्स-बैशफोर्थ विधि है

$$y_{n+2}=y_{n+1}+{\tfrac {3}{2}}hf(t_{n+1},y_{n+1})-{\tfrac {1}{2}}hf(t_{n},y_{n}).$$

इस विधि के लिए दो मानों $y_{n+1}$ और $y_{n}$ अगले मान $y_{n+2}$ की गणना करने की आवश्यकता है, हालाँकि, प्रारंभिक मूल्य समस्या केवल एक मान $y_{0}=1$ प्रदान करती है। इस समस्या को हल करने की एक संभावना यूलर की विधि द्वारा गणना किए गए $y_{1}$ को दूसरे मान के रूप में उपयोग करना है। इस विकल्प के साथ, एडम्स-बैशफोर्थ विधि उत्पन्न होती है (चार अंकों तक पूर्णांकित):

$${\begin{aligned}y_{2}&=y_{1}+{\tfrac {3}{2}}hf(t_{1},y_{1})-{\tfrac {1}{2}}hf(t_{0},y_{0})=1.5+{\tfrac {3}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\cdot 1.5-{\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\cdot 1=2.375,\\y_{3}&=y_{2}+{\tfrac {3}{2}}hf(t_{2},y_{2})-{\tfrac {1}{2}}hf(t_{1},y_{1})=2.375+{\tfrac {3}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\cdot 2.375-{\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\cdot 1.5=3.7812,\\y_{4}&=y_{3}+{\tfrac {3}{2}}hf(t_{3},y_{3})-{\tfrac {1}{2}}hf(t_{2},y_{2})=3.7812+{\tfrac {3}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\cdot 3.7812-{\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\cdot 2.375=6.0234.\end{aligned}}$$

$t=t_{4}=2$ पर सटीक समाधान $e^{2}=7.3891\ldots$ है, इसलिए दो-चरणीय एडम्स-बैशफोर्थ विधि यूलर की विधि से अधिक सटीक है। यदि चरण का आकार काफी छोटा है तो यह हमेशा स्तिथि होती है।

बहुपदीय विधियों के समूह

रैखिक बहुपदीय विधियों के तीन समूह सामान्यतः उपयोग किए जाते हैं: एडम्स-बैशफोर्थ विधियां, एडम्स-मौल्टन विधियां, और पिछड़े भेदभाव सूत्र (बीडीएफ)।

एडम्स-बैशफोर्थ विधियाँ

एडम्स-बैशफोर्थ विधियाँ स्पष्ट विधियाँ हैं। $a_{s-1}=-1$ और $a_{s-2}=\cdots =a_{0}=0$ गुणांक हैं, जब $b_{j}$ ऐसे चुना जाता है कि विधियों का क्रम s हो (यह विधियों को विशिष्ट रूप से निर्धारित करता है)।

एडम्स-बैशफोर्थ विधियाँ s = 1, 2, 3, 4, 5 के साथ हैं (हेयरर, नॉरसेट & वानर 1993, §III.1; बुचर 2003, p. 103):

$$b_{j}$$