उचित अंतरण फलन

नियंत्रण सिद्धांत में, एक उचित स्थानांतरण कार्य एक स्थानांतरण कार्य होता है जिसमें अंश के बहुपद की डिग्री हर की डिग्री से अधिक नहीं होती है। एक सख्ती से उचित स्थानांतरण कार्य एक स्थानांतरण कार्य है जहां अंश की डिग्री हर की डिग्री से कम होती है।

हर की डिग्री (ध्रुवों की संख्या) और अंश की डिग्री (शून्य की संख्या) के बीच का अंतर स्थानांतरण कार्य की सापेक्ष डिग्री है।

उदाहरण

निम्नलिखित स्थानांतरण कार्य :

${\textbf {G}}(s)={\frac {{\textbf {N}}(s)}{{\textbf {D}}(s)}}={\frac {s^{4}+n_{1}s^{3}+n_{2}s^{2}+n_{3}s+n_{4}}{s^{4}+d_{1}s^{3}+d_{2}s^{2}+d_{3}s+d_{4}}}$

उचित है, क्योंकि

$\deg({\textbf {N}}(s))=4\leq \deg({\textbf {D}}(s))=4$.

द्विगुणित है, क्योंकि

$\deg({\textbf {N}}(s))=4=\deg({\textbf {D}}(s))=4$.

किंतु पूरी तरह से उचित नहीं है, क्योंकि

$\deg({\textbf {N}}(s))=4\nless \deg({\textbf {D}}(s))=4$.

निम्नलिखित स्थानांतरण कार्य उचित नहीं है (या पूरी तरह से उचित है)

${\textbf {G}}(s)={\frac {{\textbf {N}}(s)}{{\textbf {D}}(s)}}={\frac {s^{4}+n_{1}s^{3}+n_{2}s^{2}+n_{3}s+n_{4}}{d_{1}s^{3}+d_{2}s^{2}+d_{3}s+d_{4}}}$

क्योंकि

$\deg({\textbf {N}}(s))=4\nleq \deg({\textbf {D}}(s))=3$.

लंबे विभाजन की विधि का उपयोग करके एक अनुचित स्थानांतरण कार्य को उचित बनाया जा सकता है।

निम्नलिखित स्थानांतरण कार्य पूरी तरह से उचित है

${\textbf {G}}(s)={\frac {{\textbf {N}}(s)}{{\textbf {D}}(s)}}={\frac {n_{1}s^{3}+n_{2}s^{2}+n_{3}s+n_{4}}{s^{4}+d_{1}s^{3}+d_{2}s^{2}+d_{3}s+d_{4}}}$

क्योंकि

$\deg({\textbf {N}}(s))=3<\deg({\textbf {D}}(s))=4$.

निहितार्थ

जैसे-जैसे आवृत्ति अनंत तक पहुंचती है, एक उचित स्थानांतरण कार्य कभी भी असीमित नहीं होगा:

$|{\textbf {G}}(\pm j\infty )|<\infty$

जैसे-जैसे आवृत्ति अनंत तक पहुंचती है, एक सख्ती से उचित स्थानांतरण कार्य शून्य तक पहुंच जाएगा (जो सभी भौतिक प्रक्रियाओं के लिए सच है):

${\textbf {G}}(\pm j\infty )=0$

इसी के साथ ही, सख्ती से उचित स्थानांतरण कार्य के वास्तविक भाग का अभिन्न अंग शून्य होता है।

संदर्भ

• Transfer functions - ECE 486: Control Systems Spring 2015, University of Illinois
• ELEC ENG 4CL4: Control System Design Notes for Lecture #9, 2004, Dr. Ian C. Bruce, McMaster University