जनरल डिरिचलेट श्रृंखला: Difference between revisions

Revision as of 08:46, 17 August 2023

गणितीय विश्लेषण के क्षेत्र में एक सामान्य डिरिचलेट श्रृंखला एक अनंत श्रृंखला है जो इसका रूप लेती है

\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s},

जहां $a_{n}$ , $s$ सम्मिश्र संख्याएं हैं और $\{\lambda _{n}\}$ गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं का सख्ती से बढ़ता हुआ क्रम है जो अनंत की ओर जाता है।

एक साधारण अवलोकन से पता चलता है कि एक 'साधारण' डिरिचलेट श्रृंखला है जो

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}},

एक घात श्रृंखला के समय $\lambda _{n}=\ln n$ को प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है

\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(e^{-s})^{n},

जब $\lambda _{n}=n$ प्राप्त होता है .

मौलिक प्रमेय

यदि डिरिचलेट श्रृंखला $s_{0}=\sigma _{0}+t_{0}i$ पर अभिसरण है, तो यह डोमेन में समान रूप से अभिसरण है

|\arg(s-s_{0})|\leq \theta <{\frac {\pi }{2}},

और किसी भी $s=\sigma +ti$ के लिए अभिसरण जहां $\sigma >\sigma _{0}$ है।

डिरिचलेट श्रृंखला के अभिसरण के संबंध में अब तीन संभावनाएं हैं, अथार्त यह सभी के लिए, किसी के लिए या एस के कुछ मानो के लिए अभिसरण हो सकता है। इसके पश्चात् वाले स्थिति में, एक $\sigma _{c}$ उपस्थित है जैसे कि श्रृंखला $\sigma >\sigma _{c}$ के लिए अभिसरण है और $\sigma <\sigma _{c}$ के लिए भिन्न है। परिपाटी के अनुसार, $\sigma _{c}=\infty$ यदि श्रृंखला कहीं भी अभिसरण नहीं करती है और $\sigma _{c}=-\infty$ यदि श्रृंखला सम्मिश्र तल पर हर जगह अभिसरण करती है।

अभिसरण का भुज

डिरिचलेट श्रृंखला के अभिसरण के भुज को उपरोक्त $\sigma _{c}$ के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। एक और समकक्ष परिभाषा है

\sigma _{c}=\inf \left\{\sigma \in \mathbb {R} :\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}{\text{ converges for every }}s{\text{ for which }}\operatorname {Re} (s)>\sigma \right\}.

रेखा $\sigma =\sigma _{c}$ अभिसरण रेखा कहलाती है। अभिसरण के आधे तल को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

\mathbb {C} _{\sigma _{c}}=\{s\in \mathbb {C} :\operatorname {Re} (s)>\sigma _{c}\}.

डिरिचलेट श्रृंखला के अभिसरण का भुज, रेखा (ज्यामिति) और अर्ध-स्थान (ज्यामिति) अर्ध-तल एक शक्ति श्रृंखला के अभिसरण के त्रिज्या, सीमा (टोपोलॉजी) और डिस्क (गणित) के अनुरूप हैं।

अभिसरण की रेखा पर, अभिसरण का प्रश्न विवर्त रहता है जैसा कि शक्ति श्रृंखला के स्थिति में होता है। चूँकि , यदि डिरिचलेट श्रृंखला एक ही ऊर्ध्वाधर रेखा पर विभिन्न बिंदुओं पर अभिसरण और विचलन करती है, तो यह रेखा अभिसरण की रेखा होनी चाहिए। यह प्रमाण अभिसरण के भुज की परिभाषा में निहित है। एक उदाहरण श्रृंखला होगी

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}e^{-ns},

जो $s=-\pi i$ (वैकल्पिक हार्मोनिक श्रृंखला) पर अभिसरण करता है और $s=0$ (हार्मोनिक श्रृंखला) पर विचलन करता है। इस प्रकार, $\sigma =0$ अभिसरण की रेखा है।

मान लीजिए कि डिरिचलेट श्रृंखला $s=0$ पर अभिसरण नहीं करती है, तो यह स्पष्ट है कि $\sigma _{c}\geq 0$ और $\sum a_{n}$ विचलन करते हैं। दूसरी ओर, यदि डिरिचलेट श्रृंखला $s=0$ पर अभिसरण करती है, तो $\sigma _{c}\leq 0$ और $\sum a_{n}$ अभिसरण होते हैं। इस प्रकार, $\sigma _{c}$ की गणना करने के लिए दो सूत्र हैं, जो $\sum a_{n}$ के अभिसरण पर निर्भर करता है जिसे विभिन्न अभिसरण परीक्षणों द्वारा निर्धारित किया जा सकता है। ये सूत्र किसी शक्ति श्रृंखला के अभिसरण की त्रिज्या के लिए कॉची-हैडामर्ड प्रमेय के समान हैं।

यदि $\sum a_{k}$ भिन्न है, अर्थात $\sigma _{c}\geq 0$ , तब $\sigma _{c}$ द्वारा दिया गया है

\sigma _{c}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log |a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}|}{\lambda _{n}}}.

यदि $\sum a_{k}$ अभिसरण है, अर्थात $\sigma _{c}\leq 0$ , तब $\sigma _{c}$ द्वारा दिया गया है

\sigma _{c}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log |a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots |}{\lambda _{n}}}.

पूर्ण अभिसरण का भुज

एक डिरिचलेट श्रृंखला पूर्ण अभिसरण है यदि श्रृंखला

\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}e^{-\lambda _{n}s}|,

अभिसारी है. सदैव की तरह, एक बिल्कुल अभिसरण डिरिचलेट श्रृंखला अभिसरण है, किन्तु इसका विपरीत सदैव सत्य नहीं होता है।

यदि डिरिचलेट श्रृंखला $s_{0}$ पर बिल्कुल अभिसरण है, तो यह सभी s के लिए बिल्कुल अभिसरण है जहां $\operatorname {Re} (s)>\operatorname {Re} (s_{0})$ एक डिरिचलेट श्रृंखला पूरी तरह से सभी के लिए, नहीं के लिए या एस के कुछ मूल्यों के लिए अभिसरण कर सकती है। इसके पश्चात् वाले स्थिति में, एक $\sigma _{a}$ उपस्थित है, जैसे कि श्रृंखला $\sigma >\sigma _{a}$ के लिए पूर्ण रूप से अभिसरण करती है और $\sigma <\sigma _{a}$ के लिए गैर-पूर्ण रूप से अभिसरण करती है।

निरपेक्ष अभिसरण के भुज को उपरोक्त $\sigma _{a}$ के रूप में या समकक्ष के रूप में परिभाषित किया जा सकता है

{\begin{aligned}\sigma _{a}=\inf {\Big \{}\sigma \in \mathbb {R} :\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}&{\text{ converges absolutely for}}\\&{\text{every }}s{\text{ for which}}\operatorname {Re} (s)>\sigma {\Big \}}.\end{aligned}}

पूर्ण अभिसरण की रेखा और अर्ध-तल को समान रूप से परिभाषित किया जा सकता है। जो कि $\sigma _{a}$ की गणना करने के भी दो सूत्र हैं।

यदि $\sum |a_{k}|$ तो फिर, भिन्न है $\sigma _{a}$ द्वारा दिया गया है

\sigma _{a}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log(|a_{1}|+|a_{2}|+\cdots +|a_{n}|)}{\lambda _{n}}}.

यदि $\sum |a_{k}|$ तो, अभिसरण है $\sigma _{a}$ द्वारा दिया गया है

\sigma _{a}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log(|a_{n+1}|+|a_{n+2}|+\cdots )}{\lambda _{n}}}.

सामान्य रूप से, अभिसरण का भुज पूर्ण अभिसरण के भुज से मेल नहीं खाता है। इस प्रकार, अभिसरण और पूर्ण अभिसरण की रेखा के बीच एक पट्टी हो सकती है जहां डिरिचलेट श्रृंखला सशर्त अभिसरण है। इस पट्टी की चौड़ाई दी गई है

0\leq \sigma _{a}-\sigma _{c}\leq L:=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log n}{\lambda _{n}}}.

उस स्थिति में जहां एल = 0, तब

\sigma _{c}=\sigma _{a}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log |a_{n}|}{\lambda _{n}}}.

अब तक प्रदान किए गए सभी सूत्र $\lambda _{n}=\log n$ को प्रतिस्थापित करके 'साधारण' डिरिचलेट श्रृंखला के लिए अभी भी सत्य हैं।

अभिसरण के अन्य भुज

डिरिचलेट श्रृंखला के लिए अभिसरण के अन्य एब्सिस्सा पर विचार करना संभव है। परिबद्ध अभिसरण का भुज $\sigma _{b}$ द्वारा दिया गया है

${\begin{aligned}\sigma _{b}=\inf {\Big \{}\sigma \in \mathbb {R} :\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}&{\text{ is bounded in the half-plane }}\operatorname {Re} (s)\geq \sigma {\Big \}},\end{aligned}}$

जबकि एकसमान अभिसरण का भुज $\sigma _{u}$ द्वारा दिया गया है

${\begin{aligned}\sigma _{u}=\inf {\Big \{}\sigma \in \mathbb {R} :\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}&{\text{ converges uniformly in the half-plane }}\operatorname {Re} (s)\geq \sigma {\Big \}}.\end{aligned}}$

ये भुज अभिसरण $\sigma _{c}$ और निरपेक्ष अभिसरण $\sigma _{a}$ के भुजाओं से सूत्रों द्वारा संबंधित हैं

$\sigma _{c}\leq \sigma _{b}\leq \sigma _{u}\leq \sigma _{a}$ ,

और बोह्र का एक उल्लेखनीय प्रमेय वास्तव में दिखाता है कि किसी भी सामान्य डिरिचलेट श्रृंखला के लिए जहां $\lambda _{n}=\ln(n)$ (अर्थात् फॉर्म $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}$ की डिरिचलेट श्रृंखला,, $\sigma _{u}=\sigma _{b}$ और $\sigma _{a}\leq \sigma _{u}+1/2;$ ^[1] बोह्ननब्लस्ट और हिले ने बाद में दिखाया कि हर संख्या के लिए $d\in [0,0.5]$ डिरिचलेट श्रृंखला $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}$ हैं जिसके लिए $\sigma _{a}-\sigma _{u}=d.$ ^[2] हैं।

सामान्य डिरिचलेट श्रृंखला $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}$ के लिए एकसमान अभिसरण $\sigma _{u}$ के भुज का सूत्र इस प्रकार दिया गया है: किसी भी $N\geq 1$ के लिए, मान लीजिए

$U_{N}=\sup _{t\in \mathbb {R} }\{|\sum _{n=1}^{N}a_{n}e^{it\lambda _{n}}|\}$ , तब $\sigma _{u}=\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {\log U_{N}}{\lambda _{N}}}.$ ^[3]

विश्लेषणात्मक कार्य

डिरिचलेट श्रृंखला द्वारा दर्शाया गया एक फलन (गणित)।

f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s},

अभिसरण के आधे तल पर विश्लेषणात्मक कार्य है। इसके अतिरिक्त , के लिए $k=1,2,3,\ldots$

f^{(k)}(s)=(-1)^{k}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\lambda _{n}^{k}e^{-\lambda _{n}s}.

आगे सामान्यीकरण

एक डिरिचलेट श्रृंखला को बहु-चर स्थिति में और अधिक सामान्यीकृत किया जा सकता है जहां $\lambda _{n}\in \mathbb {R} ^{k}$ , k = 2, 3, 4,..., या सम्मिश्र परिवर्तनीय स्थिति जहाँ $\lambda _{n}\in \mathbb {C} ^{m}$ , m = 1, 2,. है

संदर्भ

↑ McCarthy, John E. (2018). "डिरिचलेट श्रृंखला" (PDF).{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)
↑ Bohnenblust & Hille (1931). "डिरिचलेट श्रृंखला के पूर्ण अभिसरण पर". Annals of Mathematics. 32 (3): 600–622. doi:10.2307/1968255. JSTOR 1968255.
↑ "Dirichlet series - distance between σu and σc". StackExchange. Retrieved 26 June 2020.{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)

G. H. Hardy, and M. Riesz, The general theory of Dirichlet's series, Cambridge University Press, first edition, 1915.
E. C. Titchmarsh, The theory of functions, Oxford University Press, second edition, 1939.
Tom Apostol, Modular functions and Dirichlet series in number theory, Springer, second edition, 1990.
A.F. Leont'ev, Entire functions and series of exponentials (in Russian), Nauka, first edition, 1982.
A.I. Markushevich, Theory of functions of a complex variables (translated from Russian), Chelsea Publishing Company, second edition, 1977.
J.-P. Serre, A Course in Arithmetic, Springer-Verlag, fifth edition, 1973.
John E. McCarthy, Dirichlet Series, 2018.
H. F. Bohnenblust and Einar Hille, On the Absolute Convergence of Dirichlet Series, Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 32, No. 3 (Jul., 1931), pp. 600-622.

बाहरी संबंध

"Dirichlet series". PlanetMath.
"Dirichlet series", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

[1] McCarthy, John E. (2018). "डिरिचलेट श्रृंखला" (PDF).{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)

[2] Bohnenblust & Hille (1931). "डिरिचलेट श्रृंखला के पूर्ण अभिसरण पर". Annals of Mathematics. 32 (3): 600–622. doi:10.2307/1968255. JSTOR 1968255.

[3] "Dirichlet series - distance between σu and σc". StackExchange. Retrieved 26 June 2020.{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)

[1]

[2]

[3]

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-[[गणितीय विश्लेषण]] के क्षेत्र में, एक सामान्य डिरिचलेट श्रृंखला एक [[श्रृंखला (गणित)]] है जो का रूप लेती है
+गणितीय विश्लेषण के क्षेत्र में एक सामान्य डिरिचलेट श्रृंखला एक अनंत श्रृंखला है जो इसका रूप लेती है
 : <math>\sum_{n=1}^\infty a_n e^{-\lambda_n s},</math>
-कहाँ <math>a_n</math>, <math>s</math> सम्मिश्र संख्याएँ हैं और <math>\{\lambda_n\}</math> गैर-ऋणात्मक [[वास्तविक संख्या]]ओं का सख्ती से बढ़ता हुआ क्रम है जो अनंत की ओर बढ़ता है।
+जहां  <math>a_n</math>, <math>s</math> सम्मिश्र संख्याएं हैं और <math>\{\lambda_n\}</math> गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं का सख्ती से बढ़ता हुआ क्रम है जो अनंत की ओर जाता है।
-एक साधारण अवलोकन से पता चलता है कि एक 'साधारण' [[डिरिचलेट श्रृंखला]]
+एक साधारण अवलोकन से पता चलता है कि एक 'साधारण' [[डिरिचलेट श्रृंखला]] है जो
 : <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n^s},</math>
-प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है <math>\lambda_n=\ln n</math> जबकि एक शक्ति श्रृंखला
+एक घात श्रृंखला के समय  <math>\lambda_n=\ln n</math> को प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है
 : <math>\sum_{n=1}^\infty a_n (e^{-s})^n,</math>
-कब प्राप्त होता है <math>\lambda_n=n</math>.
+जब <math>\lambda_n=n</math> प्राप्त होता है .
 == मौलिक प्रमेय ==
-यदि एक डिरिचलेट श्रृंखला अभिसरण है <math>s_0=\sigma_0+t_0i</math>, तो यह किसी फ़ंक्शन के डोमेन में [[एकसमान अभिसरण]] है
+यदि डिरिचलेट श्रृंखला <math>s_0=\sigma_0+t_0i</math> पर अभिसरण है, तो यह डोमेन में समान रूप से अभिसरण है
 : <math>|\arg(s-s_0)| \leq \theta < \frac \pi 2,</math>
-और किसी के लिए [[अभिसरण श्रृंखला]] <math>s=\sigma+ti</math> कहाँ <math>\sigma>\sigma_0</math>.
+और किसी भी <math>s=\sigma+ti</math> के लिए अभिसरण जहां <math>\sigma>\sigma_0</math> है।
-डिरिचलेट श्रृंखला के अभिसरण के संबंध में अब तीन संभावनाएं हैं, यानी यह सभी के लिए, किसी के लिए या एस के कुछ मूल्यों के लिए अभिसरण हो सकता है। बाद वाले मामले में, वहाँ मौजूद हैं <math>\sigma_c</math> इस प्रकार कि श्रृंखला अभिसारी है <math>\sigma>\sigma_c</math> और भिन्न श्रृंखला के लिए <math>\sigma<\sigma_c</math>. रिवाज के सन्दर्भ मे, <math>\sigma_c=\infty</math> यदि श्रृंखला कहीं भी अभिसरण नहीं करती है और <math>\sigma_c=-\infty</math> यदि श्रृंखला जटिल तल पर हर जगह अभिसरित होती है।
+डिरिचलेट श्रृंखला के अभिसरण के संबंध में अब तीन संभावनाएं हैं, अथार्त  यह सभी के लिए, किसी के लिए या एस के कुछ मानो के लिए अभिसरण हो सकता है। इसके पश्चात् वाले स्थिति में, एक <math>\sigma_c</math> उपस्थित है जैसे कि श्रृंखला <math>\sigma>\sigma_c</math> के लिए अभिसरण है और <math>\sigma<\sigma_c</math> के लिए भिन्न है। परिपाटी के अनुसार, <math>\sigma_c=\infty</math> यदि श्रृंखला कहीं भी अभिसरण नहीं करती है और <math>\sigma_c=-\infty</math> यदि श्रृंखला सम्मिश्र तल पर हर जगह अभिसरण करती है।
 == अभिसरण का भुज ==
-डिरिचलेट श्रृंखला के अभिसरण के भुज को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है <math>\sigma_c</math> ऊपर। एक और समकक्ष परिभाषा है
+डिरिचलेट श्रृंखला के अभिसरण के भुज को उपरोक्त <math>\sigma_c</math> के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। एक और समकक्ष परिभाषा है
 : <math>\sigma_c = \inf\left\{\sigma\in\mathbb{R}:\sum_{n=1}^\infty a_n e^{-\lambda_n s} \text{ converges for every } s \text{ for which } \operatorname{Re}(s)>\sigma \right\}.</math>
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 : <math>\mathbb{C}_{\sigma_c}=\{s\in\mathbb{C}: \operatorname{Re}(s)>\sigma_c\}.</math>
-डिरिचलेट श्रृंखला के अभिसरण का भुज, [[रेखा (ज्यामिति)]] और [[अर्ध-स्थान (ज्यामिति)]] | अर्ध-तल एक शक्ति श्रृंखला के अभिसरण के त्रिज्या, [[सीमा (टोपोलॉजी)]] और [[डिस्क (गणित)]] के अनुरूप हैं।
+डिरिचलेट श्रृंखला के अभिसरण का भुज, [[रेखा (ज्यामिति)]] और [[अर्ध-स्थान (ज्यामिति)]]  अर्ध-तल एक शक्ति श्रृंखला के अभिसरण के त्रिज्या, [[सीमा (टोपोलॉजी)]] और [[डिस्क (गणित)]] के अनुरूप हैं।
-अभिसरण की रेखा पर, अभिसरण का प्रश्न खुला रहता है जैसा कि शक्ति श्रृंखला के मामले में होता है। हालाँकि, यदि डिरिचलेट श्रृंखला एक ही ऊर्ध्वाधर रेखा पर विभिन्न बिंदुओं पर अभिसरण और विचलन करती है, तो यह रेखा अभिसरण की रेखा होनी चाहिए। यह प्रमाण अभिसरण के भुज की परिभाषा में निहित है। एक उदाहरण श्रृंखला होगी
+अभिसरण की रेखा पर, अभिसरण का प्रश्न विवर्त रहता है जैसा कि शक्ति श्रृंखला के स्थिति में होता है। चूँकि , यदि डिरिचलेट श्रृंखला एक ही ऊर्ध्वाधर रेखा पर विभिन्न बिंदुओं पर अभिसरण और विचलन करती है, तो यह रेखा अभिसरण की रेखा होनी चाहिए। यह प्रमाण अभिसरण के भुज की परिभाषा में निहित है। एक उदाहरण श्रृंखला होगी
 : <math>\sum_{n=1}^\infty \frac 1 n e^{-ns},</math>
-जो पर एकत्रित होता है <math>s=-\pi i</math> (हार्मोनिक सीरीज (गणित)#अल्टरनेटिंग_हार्मोनिक_सीरीज) और विचलन करता है <math>s=0</math> ([[हार्मोनिक श्रृंखला (गणित)]]). इस प्रकार, <math>\sigma=0</math> अभिसरण की रेखा है.
+जो <math>s=-\pi i</math> (वैकल्पिक हार्मोनिक श्रृंखला) पर अभिसरण करता है और <math>s=0</math> (हार्मोनिक श्रृंखला) पर विचलन करता है। इस प्रकार, <math>\sigma=0</math> अभिसरण की रेखा है।
-मान लीजिए कि एक डिरिचलेट श्रृंखला अभिसरित नहीं होती है <math>s=0</math>, तो यह स्पष्ट है कि <math>\sigma_c\geq0</math> और <math>\sum a_n</math> विचलन दूसरी ओर, यदि डिरिचलेट श्रृंखला अभिसरित होती है <math>s=0</math>, तब <math>\sigma_c\leq0</math> और <math>\sum a_n</math> जुटता है. इस प्रकार, गणना करने के लिए दो सूत्र हैं <math>\sigma_c</math>, के अभिसरण पर निर्भर करता है <math>\sum a_n</math> जिसे विभिन्न [[अभिसरण परीक्षण]]ों द्वारा निर्धारित किया जा सकता है। ये सूत्र किसी शक्ति श्रृंखला के अभिसरण की त्रिज्या के लिए कॉची-हैडामर्ड प्रमेय के समान हैं।
+मान लीजिए कि डिरिचलेट श्रृंखला <math>s=0</math> पर अभिसरण नहीं करती है, तो यह स्पष्ट है कि <math>\sigma_c\geq0</math> और <math>\sum a_n</math> विचलन करते हैं। दूसरी ओर, यदि डिरिचलेट श्रृंखला <math>s=0</math> पर अभिसरण करती है, तो <math>\sigma_c\leq0</math> और <math>\sum a_n</math> अभिसरण होते हैं। इस प्रकार, <math>\sigma_c</math> की गणना करने के लिए दो सूत्र हैं, जो <math>\sum a_n</math> के अभिसरण पर निर्भर करता है जिसे विभिन्न अभिसरण परीक्षणों द्वारा निर्धारित किया जा सकता है। ये सूत्र किसी शक्ति श्रृंखला के अभिसरण की त्रिज्या के लिए कॉची-हैडामर्ड प्रमेय के समान हैं।
-अगर <math>\sum a_k</math> भिन्न है, अर्थात <math>\sigma_c\geq0</math>, तब <math>\sigma_c</math> द्वारा दिया गया है
+यदि <math>\sum a_k</math> भिन्न है, अर्थात <math>\sigma_c\geq0</math>, तब <math>\sigma_c</math> द्वारा दिया गया है
 : <math>\sigma_c=\limsup_{n\to\infty}\frac{\log|a_1+a_2+\cdots+a_n|}{\lambda_n}.</math>
-अगर <math>\sum a_k</math> अभिसरण है, अर्थात <math>\sigma_c\leq0</math>, तब <math>\sigma_c</math> द्वारा दिया गया है
+यदि <math>\sum a_k</math> अभिसरण है, अर्थात <math>\sigma_c\leq0</math>, तब <math>\sigma_c</math> द्वारा दिया गया है
 : <math>\sigma_c=\limsup_{n\to\infty}\frac{\log|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots|}{\lambda_n}.</math>
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 : <math>\sum_{n=1}^\infty |a_n e^{-\lambda_n s}|,</math>
-अभिसारी है. हमेशा की तरह, एक बिल्कुल अभिसरण डिरिचलेट श्रृंखला अभिसरण है, लेकिन प्रमेय#वार्तालाप हमेशा सत्य नहीं होता है।
+अभिसारी है. सदैव की तरह, एक बिल्कुल अभिसरण डिरिचलेट श्रृंखला अभिसरण है, किन्तु इसका विपरीत सदैव सत्य नहीं होता है।
-यदि डिरिचलेट श्रृंखला बिल्कुल अभिसरण है <math>s_0</math>, तो यह सभी जगह के लिए बिल्कुल अभिसरण है <math>\operatorname{Re}(s) > \operatorname{Re}(s_0)</math>. एक डिरिचलेट श्रृंखला पूरी तरह से सभी के लिए, नहीं के लिए या एस के कुछ मूल्यों के लिए अभिसरण कर सकती है। बाद वाले मामले में, वहाँ मौजूद हैं <math>\sigma_a</math> इस प्रकार कि शृंखला बिल्कुल एकाग्र हो जाती है <math>\sigma>\sigma_a</math> और गैर-बिल्कुल के लिए अभिसरण करता है <math>\sigma<\sigma_a</math>.
+यदि डिरिचलेट श्रृंखला <math>s_0</math> पर बिल्कुल अभिसरण है, तो यह सभी s के लिए बिल्कुल अभिसरण है जहां <math>\operatorname{Re}(s) > \operatorname{Re}(s_0)</math> एक डिरिचलेट श्रृंखला पूरी तरह से सभी के लिए, नहीं के लिए या एस के कुछ मूल्यों के लिए अभिसरण कर सकती है। इसके पश्चात् वाले स्थिति में, एक <math>\sigma_a</math> उपस्थित है, जैसे कि श्रृंखला <math>\sigma>\sigma_a</math>के लिए पूर्ण रूप से अभिसरण करती है और <math>\sigma<\sigma_a</math> के लिए गैर-पूर्ण रूप से अभिसरण करती है।
-पूर्ण अभिसरण के भुज को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है <math>\sigma_a</math> ऊपर, या समकक्ष
+निरपेक्ष अभिसरण के भुज को उपरोक्त <math>\sigma_a</math> के रूप में या समकक्ष के रूप में परिभाषित किया जा सकता है
 : <math>
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 \end{align}
 </math>
-पूर्ण अभिसरण की रेखा और अर्ध-तल को समान रूप से परिभाषित किया जा सकता है। गणना करने के भी दो सूत्र हैं <math>\sigma_a</math>.
+पूर्ण अभिसरण की रेखा और अर्ध-तल को समान रूप से परिभाषित किया जा सकता है। जो कि <math>\sigma_a</math> की गणना करने के भी दो सूत्र हैं।
-अगर <math>\sum |a_k|</math> तो फिर, भिन्न है <math>\sigma_a</math> द्वारा दिया गया है
+यदि <math>\sum |a_k|</math> तो फिर, भिन्न है <math>\sigma_a</math> द्वारा दिया गया है
 : <math>\sigma_a=\limsup_{n\to\infty}\frac{\log(|a_1|+|a_2|+\cdots+|a_n|)}{\lambda_n}.</math>
-अगर <math>\sum |a_k|</math> तो, अभिसरण है <math>\sigma_a</math> द्वारा दिया गया है
+यदि <math>\sum |a_k|</math> तो, अभिसरण है <math>\sigma_a</math> द्वारा दिया गया है
 : <math>\sigma_a=\limsup_{n\to\infty}\frac{\log(|a_{n+1}|+|a_{n+2}|+\cdots)}{\lambda_n}.</math>
-सामान्य तौर पर, अभिसरण का भुज पूर्ण अभिसरण के भुज से मेल नहीं खाता है। इस प्रकार, अभिसरण और पूर्ण अभिसरण की रेखा के बीच एक पट्टी हो सकती है जहां डिरिचलेट श्रृंखला [[सशर्त अभिसरण]] है। इस पट्टी की चौड़ाई दी गई है
+सामान्य रूप से, अभिसरण का भुज पूर्ण अभिसरण के भुज से मेल नहीं खाता है। इस प्रकार, अभिसरण और पूर्ण अभिसरण की रेखा के बीच एक पट्टी हो सकती है जहां डिरिचलेट श्रृंखला [[सशर्त अभिसरण]] है। इस पट्टी की चौड़ाई दी गई है
 : <math>0\leq\sigma_a-\sigma_c\leq L:=\limsup_{n\to\infty}\frac{\log n}{\lambda_n}.</math>
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 : <math>\sigma_c=\sigma_a=\limsup_{n\to\infty}\frac{\log |a_n|}{\lambda_n}.</math>
-अब तक प्रदान किए गए सभी सूत्र प्रतिस्थापन द्वारा 'साधारण' डिरिचलेट श्रृंखला के लिए अभी भी सही हैं <math>\lambda_n=\log n</math>.
+अब तक प्रदान किए गए सभी सूत्र <math>\lambda_n=\log n</math> को प्रतिस्थापित करके 'साधारण' डिरिचलेट श्रृंखला के लिए अभी भी सत्य हैं।
 == अभिसरण के अन्य भुज ==
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 \sigma_b =\inf \Big\{\sigma\in\mathbb{R}:\sum_{n=1}^\infty a_n e^{-\lambda_n s} & \text{ is bounded in the half-plane } \operatorname{Re}(s) \geq \sigma\Big\},
 \end{align}</math>
 जबकि एकसमान अभिसरण का भुज <math>\sigma_u</math> द्वारा दिया गया है
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 \sigma_u =\inf \Big\{\sigma\in\mathbb{R}:\sum_{n=1}^\infty a_n e^{-\lambda_n s} & \text{ converges uniformly in the half-plane } \operatorname{Re}(s) \geq \sigma\Big\}.
 \end{align}</math>
-भुज अभिसरण के भुज से संबंधित है <math>\sigma_c</math> और पूर्ण अभिसरण का <math>\sigma_a</math> सूत्रों द्वारा
+ये भुज अभिसरण <math>\sigma_c</math> और निरपेक्ष अभिसरण <math>\sigma_a</math> के भुजाओं से सूत्रों द्वारा संबंधित हैं
 <math>\sigma_c \leq \sigma_b \leq \sigma_u \leq \sigma_a</math>,
-और बोह्र का एक उल्लेखनीय प्रमेय वास्तव में दिखाता है कि किसी भी सामान्य डिरिचलेट श्रृंखला के लिए कहाँ <math>\lambda_n = \ln(n)</math> (अर्थात फॉर्म की डिरिचलेट श्रृंखला <math>\sum_{n=1}^\infty a_n n^{-s}</math>) , <math>\sigma_u = \sigma_b</math> और <math>\sigma_a \leq \sigma_u + 1/2;</math><ref>{{Cite web|last=McCarthy|first=John E.|date=2018|title=डिरिचलेट श्रृंखला|url=https://www.math.wustl.edu/~mccarthy/amaster-ds.pdf|url-status=live|archive-url=|archive-date=|access-date=|website=}}</ref> बोहेनब्लस्ट और हिले ने बाद में इसे प्रत्येक संख्या के लिए दिखाया <math>d \in [0, 0.5]</math> डिरिचलेट श्रृंखला हैं <math>\sum_{n=1}^\infty a_n n^{-s}</math> जिसके लिए <math>\sigma_a - \sigma_u = d.</math><ref>{{Cite journal|last=Bohnenblust & Hille|title=डिरिचलेट श्रृंखला के पूर्ण अभिसरण पर|journal=Annals of Mathematics|year=1931|volume=32|issue=3|pages=600–622|doi=10.2307/1968255|jstor=1968255}}</ref>
-एकसमान अभिसरण के भुज के लिए एक सूत्र <math>\sigma_u</math> सामान्य डिरिचलेट श्रृंखला के लिए <math>\sum_{n=1}^\infty a_n e^{-\lambda_n s}</math> इस प्रकार दिया गया है: किसी के लिए <math>N \geq 1</math>, होने देना <math>U_N = \sup_{t \in \R} \{ |\sum_{n=1}^N a_n e^{it\lambda_n}|  \}</math>, तब <math>\sigma_u = \lim_{N \rightarrow \infty}\frac{\log U_N}{\lambda_N}.</math><ref>{{Cite web|title=Dirichlet series - distance between σu and σc|url=https://math.stackexchange.com/questions/3562366/dirichlet-series-distance-between-sigma-u-and-sigma-c?rq=1|url-status=live|access-date=26 June 2020|website=StackExchange}}</ref>
+और बोह्र का एक उल्लेखनीय प्रमेय वास्तव में दिखाता है कि किसी भी सामान्य डिरिचलेट श्रृंखला के लिए जहां <math>\lambda_n = \ln(n)</math> (अर्थात् फॉर्म <math>\sum_{n=1}^\infty a_n n^{-s}</math> की डिरिचलेट श्रृंखला,,<math>\sigma_u = \sigma_b</math> और <math>\sigma_a \leq \sigma_u + 1/2;</math><ref>{{Cite web|last=McCarthy|first=John E.|date=2018|title=डिरिचलेट श्रृंखला|url=https://www.math.wustl.edu/~mccarthy/amaster-ds.pdf|url-status=live|archive-url=|archive-date=|access-date=|website=}}</ref> बोह्ननब्लस्ट और हिले ने बाद में दिखाया कि हर संख्या के लिए <math>d \in [0, 0.5]</math> डिरिचलेट श्रृंखला <math>\sum_{n=1}^\infty a_n n^{-s}</math> हैं जिसके लिए <math>\sigma_a - \sigma_u = d.</math><ref>{{Cite journal|last=Bohnenblust & Hille|title=डिरिचलेट श्रृंखला के पूर्ण अभिसरण पर|journal=Annals of Mathematics|year=1931|volume=32|issue=3|pages=600–622|doi=10.2307/1968255|jstor=1968255}}</ref> हैं।
+सामान्य डिरिचलेट श्रृंखला <math>\sum_{n=1}^\infty a_n e^{-\lambda_n s}</math> के लिए एकसमान अभिसरण <math>\sigma_u</math> के भुज का सूत्र इस प्रकार दिया गया है: किसी भी <math>N \geq 1</math>के लिए, मान लीजिए
+<math>U_N = \sup_{t \in \R} \{ |\sum_{n=1}^N a_n e^{it\lambda_n}|  \}</math>, तब <math>\sigma_u = \lim_{N \rightarrow \infty}\frac{\log U_N}{\lambda_N}.</math><ref>{{Cite web|title=Dirichlet series - distance between σu and σc|url=https://math.stackexchange.com/questions/3562366/dirichlet-series-distance-between-sigma-u-and-sigma-c?rq=1|url-status=live|access-date=26 June 2020|website=StackExchange}}</ref>
 == विश्लेषणात्मक कार्य ==
-डिरिचलेट श्रृंखला द्वारा दर्शाया गया एक [[फ़ंक्शन (गणित)]]।
+डिरिचलेट श्रृंखला द्वारा दर्शाया गया एक [[फ़ंक्शन (गणित)|फलन (गणित)]]।
 : <math>f(s)=\sum_{n=1}^{\infty}a_n e^{-\lambda_n s},</math>
-अभिसरण के आधे तल पर [[विश्लेषणात्मक कार्य]] है। इसके अलावा, के लिए <math>k=1,2,3,\ldots</math>
+अभिसरण के आधे तल पर [[विश्लेषणात्मक कार्य]] है। इसके अतिरिक्त , के लिए <math>k=1,2,3,\ldots</math>
 : <math>f^{(k)}(s)=(-1)^k\sum_{n=1}^{\infty}a_n\lambda_n^k e^{-\lambda_n s}.</math>
@@ Line 110: / Line 119: @@
 == आगे सामान्यीकरण ==
-एक डिरिचलेट श्रृंखला को वेरिएबल (गणित)|बहु-चर मामले में और अधिक सामान्यीकृत किया जा सकता है <math>\lambda_n\in\mathbb{R}^k</math>, k = 2, 3, 4,..., या [[जटिल विश्लेषण]] मामला जहां <math>\lambda_n\in\mathbb{C}^m</math>, एम = 1, 2, 3,...
+एक डिरिचलेट श्रृंखला को बहु-चर स्थिति में और अधिक सामान्यीकृत किया जा सकता है जहां  <math>\lambda_n\in\mathbb{R}^k</math>, k = 2, 3, 4,...,  या सम्मिश्र परिवर्तनीय स्थिति जहाँ <math>\lambda_n\in\mathbb{C}^m</math> , ''m'' = 1, 2,. है
 == संदर्भ ==

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मौलिक प्रमेय

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अभिसरण के अन्य भुज

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आगे सामान्यीकरण

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