वितरित मापदण्ड प्रणाली

नियंत्रण सिद्धांत में, एक वितरित-मापदण्ड प्रणाली (एक लम्प्ड-मापदण्ड प्रणाली के विपरीत) एक प्रणाली है जिसका स्टेट स्पेस (अवस्था समष्टि) अनंत-आयामी है। ऐसी प्रणालियों को इसलिए अनंत-आयामी प्रणालियों के रूप में भी जाना जाता है। विशिष्ट उदाहरण आंशिक अवकल समीकरणों या विलंब अवकल समीकरणों द्वारा वर्णित प्रणालियाँ हैं।

रैखिक समय-अपरिवर्तनीय वितरित-मापदण्ड प्रणाली

सार विकास समीकरण

असतत-समय

U, X और Y हिल्बर्ट स्पेसेस हैं और A∈ L(X), B∈ L(U, X), C∈ L(X, Y) और D∈L(U, Y), तो निम्नलिखित अवकल समीकरण एक असतत-समय रैखिक समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली को निर्धारित करते हैं:

$x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)\,$

$y(k)=Cx(k)+Du(k)\,$

$x\,$ के साथ, (स्टेट) X, $u\,$ में मानों वाला एक अनुक्रम, (इनपुट या नियंत्रण) U और $y\,$में मानों वाला एक अनुक्रम, (आउटपुट) Y में मानों वाला एक अनुक्रम है।

सतत-समय

नियमित समय की अवस्था डिस्क्रीट समय की अवस्था के तरह है, लेकिन अब विभिन्न समीकरणों के स्थान पर अवकल समीकरणों का विचार किया जाता है:

${\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)\,$,

$y(t)=Cx(t)+Du(t)\,$.

एक और समस्या यह है कि इस एब्स्ट्रैक्ट फ्रेमवर्क में आंशिक अवकलन समीकरण और विलंब अवकलन समीकरण जैसे रुचिकर भौतिक उदाहरणों को सम्मिलित करने के लिए, हमें अबोधित ऑपरेटर्स का विचार करना पड़ता है। सामान्यतः, स्टेट स्पेस X पर तय करने के लिए A का मानना है कि यह स्थिति स्थान पर एक प्रबल निरंतर अर्धसमूह उत्पन्न करता है। B, C और D को बाउंडेड ऑपरेटर्स मानने की धारणा करने से पहले ही कई रुचिकर भौतिक उदाहरणों को सम्मिलित किया जा सकता है, लेकिन अन्य कई रुचिकर भौतिक उदाहरणों को सम्मिलित करने से B और C की अबाउंडेड होने की आवश्यकता होती है।

उदाहरण: आंशिक अवकल समीकरण

आंशिक अवकल समीकरण के साथ $t>0$ और $\xi \in [0,1]$ द्वारा दिए गए

${\frac {\partial }{\partial t}}w(t,\xi )=-{\frac {\partial }{\partial \xi }}w(t,\xi )+u(t),$

$w(0,\xi )=w_{0}(\xi ),$

$w(t,0)=0,$

$y(t)=\int _{0}^{1}w(t,\xi )\,d\xi ,$

ऊपर वर्णित अमूर्त विकास समीकरण फ्रेमवर्क में इस प्रकार उपयुक्त बैठता है। इनपुट स्पेस U और आउटपुट स्पेस Y दोनों को सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय के रूप में चुना गया है। स्टेट स्पेस X को L²(0, 1) के रूप में चुना गया है। ऑपरेटर A को इस रूप में परिभाषित किया गया है

$Ax=-x',~~~D(A)=\left\{x\in X:x{\text{ absolutely continuous }},x'\in L^{2}(0,1){\text{ and }}x(0)=0\right\}.$

यह प्रदर्शित किया जा सकता है कि A X पर प्रबल निरंतर अर्धसमूह उत्पन्न करता है। बाउंडेड ऑपरेटर्स B, C और D को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:

$Bu=u,~~~Cx=\int _{0}^{1}x(\xi )\,d\xi ,~~~D=0.$

उदाहरण: विलंब अवकल समीकरण

विलंब अवकल समीकरण

${\dot {w}}(t)=w(t)+w(t-\tau )+u(t),$

$y(t)=w(t),$

ऊपर वर्णित अमूर्त विकास समीकरण फ्रेमवर्क में इस प्रकार उपयुक्त बैठता है। इनपुट स्पेस U और आउटपुट स्पेस Y दोनों को सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय के रूप में चुना गया है। स्टेट स्पेस X को L²(−τ, 0) के रूप में चुना गया है। ऑपरेटर A को इस रूप में परिभाषित किया गया है

$A{\begin{pmatrix}r\\f\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r+f(-\tau )\\f'\end{pmatrix}},~~~D(A)=\left\{{\begin{pmatrix}r\\f\end{pmatrix}}\in X:f{\text{ absolutely continuous }},f'\in L^{2}([-\tau ,0]){\text{ and }}r=f(0)\right\}.$

यह प्रदर्शित किया जा सकता है कि A X पर प्रबल निरंतर अर्धसमूह उत्पन्न करता है। बाउंडेड ऑपरेटर्स B, C और D को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:

$Bu={\begin{pmatrix}u\\0\end{pmatrix}},~~~C{\begin{pmatrix}r\\f\end{pmatrix}}=r,~~~D=0.$

स्थानांतरण फलन

जैसा कि परिमित-आयामी स्थिति में स्थानांतरण फलन को लाप्लास परिवर्तन (निरंतर-समय) या Z-परिवर्तन (असतत-समय) के माध्यम से परिभाषित किया गया है। जबकि परिमित-आयामी स्थिति में स्थानांतरण फलन एक उचित तर्कसंगत फलन है, स्टेट स्पेस की अनंत-आयामीता तर्कहीन फलन की ओर ले जाती है (जो अभी भी होलोमोर्फिक हैं)।

असतत-समय

असतत-समय में, स्थानांतरण फलन $D+\sum _{k=0}^{\infty }CA^{k}Bz^{k}$ द्वारा स्टेट स्पेस मापदंडों के संदर्भ में दिया जाता है और यह मूल पर केंद्रित डिस्क में होलोमोर्फिक है। यदि 1/z A के रिसॉल्वेंट समुच्चय से संबंधित है (जो कि मूल बिंदु पर केंद्रित संभवतः छोटी डिस्क पर स्थिति है) तो स्थानांतरण फलन $D+Cz(I-zA)^{-1}B$ के बराबर होता है। एक रोचक तथ्य यह है कि कोई भी फलन जो शून्य में होलोमोर्फिक है, कुछ असतत-समय प्रणाली का स्थानांतरण फलन है।

सतत-समय

यदि A प्रबल निरंतर अर्धसमूह उत्पन्न करता है और B, C और D बाउंडेड ऑपरेटर्स हैं, तो वास्तविक भाग के साथ s के लिए स्टेट स्पेस मापदण्ड्स के रूप में स्टेट स्पेस मापदण्ड्स के रूप में अनुपात समीकरण का दिया जाता है $D+C(sI-A)^{-1}B$ जब A द्वारा उत्पन्न अर्धसमूह के विस्तारी वृद्धि सीमा से अधिक हो। और अधिक सामान्य स्थितियों में, जैसा कि यह खड़ा है, तो यह सूत्र समय-स्थान मापदण्ड्स के रूप में दिया गया हो सकता है, लेकिन इस सूत्र का उचित विस्तार अभी भी बना होता है। अनुपात समीकरण के लिए एक सरल अभिव्यक्ति प्राप्त करने के लिए यह प्रायः दिए गए उपयुक्त विस्तारी समीकरण में लापलेस परिवर्तन लेना अच्छा होता है, स्थिति स्पेस सूत्रों का उपयोग करने के स्थान पर जैसा कि उपरोक्त उदाहरणों पर प्रक्षिप्त किया गया है।

आंशिक अवकल समीकरण उदाहरण के लिए स्थानांतरण फलन

प्रारंभिक शर्त निर्धारित करना $w_{0}$ शून्य के बराबर और ऊपर दिए गए आंशिक अवकल समीकरण से प्राप्त बड़े अक्षरों द्वारा t के संबंध में लाप्लास परिवर्तनों को निरूपित करना।

$sW(s,\xi )=-{\frac {d}{d\xi }}W(s,\xi )+U(s),$

$W(s,0)=0,$

$Y(s)=\int _{0}^{1}W(s,\xi )\,d\xi .$

यह एक अमानवीय रैखिक अवकल समीकरण $\xi$ है चर के रूप में, s एक मापदण्ड के रूप में और प्रारंभिक स्थिति शून्य। $W(s,\xi )=U(s)(1-e^{-s\xi })/s$ समाधान है। इसे Y के समीकरण में प्रतिस्थापित करना और प्राप्तियों $Y(s)=U(s)(e^{-s}+s-1)/s^{2}$ को एकीकृत करना ताकि स्थानांतरण फलन $(e^{-s}+s-1)/s^{2}$ हो।

विलंब अवकल समीकरण उदाहरण के लिए स्थानांतरण फलन

आंशिक अवकल समीकरण उदाहरण के समान ही आगे बढ़ते हुए, विलंब समीकरण उदाहरण के लिए स्थानांतरण फलन $1/(s-1-e^{-s})$है।

नियंत्रणीयता

अनंत-आयामी स्थिति में नियंत्रणीयता की कई गैर-समतुल्य परिभाषाएँ हैं जो परिमित-आयामी स्थितियों के लिए नियंत्रणीयता की एक सामान्य धारणा में बदल जाता है। नियंत्रणीयता की तीन सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाएँ हैं:

• पूर्ण नियंत्रणीयता,
• अनुमानित नियंत्रणीयता,
• शून्य नियंत्रणीयता.

असतत समय में नियंत्रणीयता

मानचित्रों द्वारा एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाई जाती है $\Phi _{n}$ जो सभी U मूल्यवान अनुक्रमों के समुच्चय को X में मैप करता है और इसके द्वारा दिया जाता है। $\Phi _{n}u=\sum _{k=0}^{n}A^{k}Bu_{k}$ यह है $\Phi _{n}u$ वह स्थिति है जो प्रारंभिक स्थिति शून्य होने पर इनपुट अनुक्रम U प्रयुक्त करने से प्राप्त होती है। निम्न प्रणाली कहा जाता है:

• समय n में बिल्कुल नियंत्रणीय यदि $\Phi _{n}$की सीमा X के बराबर है,
• समय n में लगभग नियंत्रणीय यदि $\Phi _{n}$की सीमा X में सघन है,
• समय n में शून्य नियंत्रणीय यदि $\Phi _{n}$की सीमा A की रेंज Aⁿ सम्मिलित है।

निरंतर-समय में नियंत्रणीयता

निरंतर-समय प्रणालियों की नियंत्रणीयता में $\Phi _{t}$,$\int _{0}^{t}{\rm {e}}^{As}Bu(s)\,ds$ द्वारा दिया गया मानचित्र $\Phi _{n}$वही भूमिका निभाता है जो Φ अलग-अलग समय में निभाता है। हालाँकि, नियंत्रण फलनों का वह स्पेस जिस पर यह ऑपरेटर अब फलन करता है, परिभाषा को प्रभावित करता है। सामान्य विकल्प L²(0, ∞;U) है, अंतराल (0, ∞) पर U-मान वाले वर्ग-अभिन्न फलन का स्थान (समतुल्य वर्ग), लेकिन अन्य विकल्प जैसे L¹(0, ∞;U) संभव हैं. $\Phi _{t}$ का डोमेन चुने जाने के बाद विभिन्न नियंत्रणीयता धारणाओं को परिभाषित किया जा सकता है। प्रणाली को कहा जाता है:

• समय t में बिल्कुल नियंत्रणीय यदि $\Phi _{t}$की सीमा X के बराबर है,
• समय t में लगभग नियंत्रणीय यदि $\Phi _{t}$ की सीमा X में सघन है,
• समय t में शून्य नियंत्रणीय यदि $\Phi _{t}$की सीमा की रेंज ${\rm {e}}^{At}$ सम्मिलित है।

अवलोकनशीलता

परिमित-आयामी स्थिति की तरह, अवलोकनीयता नियंत्रणीयता की दोहरी धारणा है। अनंत-आयामी स्थिति में अवलोकन के बारे में कई अलग-अलग धारणाएं हैं जो परिमित-आयामी स्थिति में मेल खाती हैं। इनमें से तीन सबसे महत्वपूर्ण हैं:

• पूर्ण अवलोकनीयता (जिसे निरंतर अवलोकनशीलता के रूप में भी जाना जाता है),
• अनुमानित अवलोकन क्षमता,
• अंतिम स्थिति का अवलोकन।

अलग-अलग समय में अवलोकनीयता

मानचित्र $\Psi _{n}$ द्वारा एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाई जाती है जो X को सभी Y-मान अनुक्रमों के स्थान में मैप करता है और $(\Psi _{n}x)_{k}=CA^{k}x$ द्वारा दिया जाता है यदि k ≤ n और शून्य यदि k > n है। व्याख्या यह है कि $\Psi _{n}x$ प्रारंभिक स्थिति x और नियंत्रण शून्य के साथ काटा गया आउटपुट है। निम्न प्रणाली कहा जाता है:

• समय n में बिल्कुल देखने योग्य यदि कोई k_n > 0 उपस्थित है जैसे कि सभी $\|\Psi _{n}x\|\geq k_{n}\|x\|$x ∈ X के लिए,
• लगभग समय n यदि $\Psi _{n}$ में अवलोकनीय इंजेक्टिव है,
• समय n में बिल्कुल देखने योग्य यदि कोई k_n > 0 उपस्थित है जैसे कि सभी $\|\Psi _{n}x\|\geq k_{n}\|A^{n}x\|$ x ∈ X के लिए,

सतत-समय में अवलोकनीयता

निरंतर-समय प्रणालियों के अवलोकन में s∈[0,t] के लिए $(\Psi _{t})(s)=C{\rm {e}}^{As}x$ द्वारा दिया गया मानचित्र $\Psi _{t}$ और s>t के लिए शून्य वह भूमिका निभाता है जो $\Psi _{n}$अलग समय में निभाता है। हालाँकि, यह ऑपरेटर अब जिन फ़ंक्शंस को मैप करता है उनका स्थान परिभाषा को प्रभावित करता है। सामान्य विकल्प L²(0, ∞, Y) है, अंतराल (0,∞) पर Y-मूल्यवान वर्ग-अभिन्न फलन का स्थान (समतुल्य वर्ग), लेकिन अन्य विकल्प जैसे L¹(0, ∞, Y) संभव हैं. $\Psi _{t}$का सह-डोमेन चुने जाने के बाद विभिन्न अवलोकन संबंधी धारणाओं को परिभाषित किया जा सकता है। निम्न प्रणाली कहा जाता है:

• समय t में पूर्ण रूप से देखने योग्य यदि k_t > 0 उपस्थित है जैसे कि सभी x ∈ X के लिए $\|\Psi _{t}x\|\geq k_{t}\|x\|$,
• यदि $\Psi _{t}$ इंजेक्टिव है, तो समय t में लगभग अवलोकन योग्य है,
• समय t में पूर्ण रूप से देखने योग्य यदि k_t > 0 उपस्थित है जैसे कि सभी x ∈ X के लिए $\|\Psi _{t}x\|\geq k_{t}\|{\rm {e}}^{At}x\|$,

नियंत्रणीयता और अवलोकनीयता के बीच द्वैत

जैसा कि परिमित-आयामी स्थिति में, नियंत्रणीयता और अवलोकनीयता दोहरी अवधारणाएं हैं (कम से कम तब जब $\Phi$ के डोमेन और $\Psi$ के सह-डोमेन के लिए सामान्य L² विकल्प बनाया जाता है)। विभिन्न अवधारणाओं के द्वैत के अंतर्गत पत्राचार है:

• पूर्ण नियंत्रणीयता ↔ पूर्ण अवलोकन क्षमता,
• अनुमानित नियंत्रणीयता ↔ अनुमानित अवलोकन क्षमता,
• अशक्त नियंत्रणीयता ↔ अंतिम स्थिति का अवलोकन।

यह भी देखें

• नियंत्रण सिद्धांत
• स्टेट स्पेस (नियंत्रण)

संदर्भ

• Curtain, Ruth; Zwart, Hans (1995), An Introduction to Infinite-Dimensional Linear Systems theory, Springer
• Tucsnak, Marius; Weiss, George (2009), Observation and Control for Operator Semigroups, Birkhauser
• Staffans, Olof (2005), Well-posed linear systems, Cambridge University Press
• Luo, Zheng-Hua; Guo, Bao-Zhu; Morgul, Omer (1999), Stability and Stabilization of Infinite Dimensional Systems with Applications, Springer
• Lasiecka, Irena; Triggiani, Roberto (2000), Control Theory for Partial Differential Equations, Cambridge University Press
• Bensoussan, Alain; Da Prato, Giuseppe; Delfour, Michel; Mitter, Sanjoy (2007), Representation and Control of Infinite Dimensional Systems (second ed.), Birkhauser