मिलान Z-रूपांतरण विधि: Difference between revisions
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चूंकि मैपिंग S-समतल के <math>j\omega</math> अक्ष को जेड-समतल के इकाई वृत्त के चारों ओर अधिकांशतः लपेटती है, नाइक्विस्ट आवृत्ति से अधिक किसी भी शून्य (या ध्रुव) को एक अलियास्ड समष्टि पर माप किया जाता है।<ref name=":0">{{Cite book|url=https://archive.org/details/theoryapplicatio00rabi/page/224|title=डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग का सिद्धांत और अनुप्रयोग|last1=Rabiner|first1=Lawrence R|last2=Gold|first2=Bernard|date=1975|publisher=Prentice-Hall|isbn=0139141014|location=Englewood Cliffs, New Jersey|pages=[https://archive.org/details/theoryapplicatio00rabi/page/224 224–226]|language=en|quote=The expediency of artificially adding zeros at z = —1 to the digital system has been suggested ... but this ad hoc technique is at best only a stopgap measure. ... In general, use of impulse invariant or bilinear transformation is to be preferred over the matched z transformation.|url-access=registration}}</ref> | चूंकि मैपिंग S-समतल के <math>j\omega</math> अक्ष को जेड-समतल के इकाई वृत्त के चारों ओर अधिकांशतः लपेटती है, नाइक्विस्ट आवृत्ति से अधिक किसी भी शून्य (या ध्रुव) को एक अलियास्ड समष्टि पर माप किया जाता है।<ref name=":0">{{Cite book|url=https://archive.org/details/theoryapplicatio00rabi/page/224|title=डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग का सिद्धांत और अनुप्रयोग|last1=Rabiner|first1=Lawrence R|last2=Gold|first2=Bernard|date=1975|publisher=Prentice-Hall|isbn=0139141014|location=Englewood Cliffs, New Jersey|pages=[https://archive.org/details/theoryapplicatio00rabi/page/224 224–226]|language=en|quote=The expediency of artificially adding zeros at z = —1 to the digital system has been suggested ... but this ad hoc technique is at best only a stopgap measure. ... In general, use of impulse invariant or bilinear transformation is to be preferred over the matched z transformation.|url-access=registration}}</ref> | ||
सामान्य स्थिति में कि एनालॉग रूपांतरण फलन में शून्य से अधिक ध्रुव होते हैं, <math>s=\infty</math> पर शून्य को वैकल्पिक रूप से <math>z=-1</math> पर रखकर नाइक्विस्ट आवृत्ति में स्थानांतरित किया जा सकता है, जिससे रूपांतरण फलन <math>z \rightarrow -1</math> के रूप में संवृत हो जाता है। [[ द्विरेखीय परिवर्तन |द्विरेखीय परिवर्तन]] (बीएलटी) के समान ही उपयोग किया जाता है।<ref name=":3" /><ref name=":1" /><ref name=":2" /><ref name=":0" /> | सामान्य स्थिति में कि एनालॉग रूपांतरण फलन में शून्य से अधिक ध्रुव होते हैं, <math>s=\infty</math> पर शून्य को वैकल्पिक रूप से <math>z=-1</math> पर रखकर नाइक्विस्ट आवृत्ति में स्थानांतरित किया जा सकता है, जिससे रूपांतरण फलन <math>z \rightarrow -1</math> के रूप में संवृत हो जाता है। [[ द्विरेखीय परिवर्तन |द्विरेखीय परिवर्तन]] (बीएलटी) के समान ही उपयोग किया जाता है।<ref name=":3" /><ref name=":1" /><ref name=":2" /><ref name=":0" /> | ||
चूँकि यह परिवर्तन बीआईबीओ स्थिरता और [[न्यूनतम चरण]] को संरक्षित करता है, यह न तो समय को संरक्षित करता है और न ही आवृत्ति-डोमेन प्रतिक्रिया को और इसलिए इसका व्यापक रूप से उपयोग नहीं किया जाता है।<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=VZ8uabI1pNMC&pg=PA262|title=डिजिटल फिल्टर और सिग्नल प्रोसेसिंग|last=Jackson|first=Leland B.|date=1996|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=9780792395591|pages=262|language=en|quote=although perfectly usable filters can be designed in this way, no special time- or frequency-domain properties are preserved by this transformation, and it is not widely used.}}</ref><ref name=":0" /> अधिक सामान्य विधियों में बीएलटी और आवेग इनवेरिएंस विधियां सम्मिलित हैं।<ref name=":4" /> एमजेडटी बीएलटी की तुलना में कम उच्च आवृत्ति प्रतिक्रिया त्रुटि प्रदान करता है, चूँकि, अतिरिक्त शून्य जोड़कर इसे सही करना सरल बनाता है, जिसे एमजेडटीआई उत्तम के लिए कहा जाता है।<ref>{{Cite journal|last1=Ojas|first1=Chauhan|last2=David|first2=Gunness|date=2007-09-01|title=लाउडस्पीकर समकरण के लिए मिलान किए गए जेड-ट्रांसफॉर्म फिल्टर ("एमजेडटीआई") की परिमाण प्रतिक्रिया का अनुकूलन|url=http://www.aes.org/e-lib/browse.cfm?elib=14198|journal=Audio Engineering Society|language=en|archive-url=https://web.archive.org/web/20190727193622/http://www.aes.org/e-lib/browse.cfm?elib=14198|archive-date=July 27, 2019}} [http://www.khabdha.org/wp-content/uploads/2008/03/optimizing-the-magnitude-response-of-mzt-filters-mzti-2007.pdf Alt URL]</ref> डिजिटल नियंत्रण क्षेत्र में मिलान किए गए जेड-ट्रांसफॉर्म विधि का विशिष्ट अनुप्रयोग एकरमैन के सूत्र के साथ है, जो सामान्य रूप से नियंत्रणीय प्रणाली के ध्रुवों को एक अस्थिर या निकट समष्टि से एक स्थिर समष्टि में परिवर्तित होता है। | |||
चूँकि यह परिवर्तन बीआईबीओ स्थिरता और [[न्यूनतम चरण]] को संरक्षित करता है, यह न तो समय को संरक्षित करता है और न ही आवृत्ति-डोमेन प्रतिक्रिया को और इसलिए इसका व्यापक रूप से उपयोग नहीं किया जाता है।<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=VZ8uabI1pNMC&pg=PA262|title=डिजिटल फिल्टर और सिग्नल प्रोसेसिंग|last=Jackson|first=Leland B.|date=1996|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=9780792395591|pages=262|language=en|quote=although perfectly usable filters can be designed in this way, no special time- or frequency-domain properties are preserved by this transformation, and it is not widely used.}}</ref><ref name=":0" /> अधिक सामान्य | |||
[[File:Chebyshev responses.svg|thumb|350px|फ़िल्टर की प्रतिक्रियाएँ (धराशायी), और इसका असतत-समय सन्निकटन (ठोस), 1 हर्ट्ज की नाममात्र कटऑफ आवृत्ति के लिए, लाप्लास दर 1/T = 10 हर्ट्ज। प्रतिक्रिया की चक्रीय प्रतियों के हस्तक्षेप के कारण असतत-समय फ़िल्टर स्टॉपबैंड में चेबीशेव इक्विरिपल प्रोपर्टी को पुन: उत्पन्न नहीं करता है।]] | [[File:Chebyshev responses.svg|thumb|350px|फ़िल्टर की प्रतिक्रियाएँ (धराशायी), और इसका असतत-समय सन्निकटन (ठोस), 1 हर्ट्ज की नाममात्र कटऑफ आवृत्ति के लिए, लाप्लास दर 1/T = 10 हर्ट्ज। प्रतिक्रिया की चक्रीय प्रतियों के हस्तक्षेप के कारण असतत-समय फ़िल्टर स्टॉपबैंड में चेबीशेव इक्विरिपल प्रोपर्टी को पुन: उत्पन्न नहीं करता है।]] | ||
Revision as of 09:37, 17 August 2023
असतत-समय चेबीशेव फ़िल्टर के z-समतल ध्रुव और शून्य, जैसा कि T = 1/10 सेकंड के साथ मिलान किए गए Z-रूपांतरण विधि का उपयोग करके z-समतल में माप किया गया है। लेबल किए गए आवृत्ति बिंदु और बैंड-एज बिंदीदार रेखाएं भी फलन z=eiωT के माध्यम से माप की गई हैं, यह दिखाने के लिए कि s-समतल माप में iω अक्ष के साथ आवृत्तियाँ z-समतल में इकाई वृत्त पर कैसे आती हैं।
मिलान Z-रूपांतरण विधि, जिसे पोल-ज़ीरो मैपिंग भी कहा जाता है[1][2] या ध्रुव-शून्य मिलान विधि,[3] और संक्षिप्त रूप में एमपीजेड या एमजेडटी,[4] निरंतर-समय फ़िल्टर डिज़ाइन को असतत-समय फ़िल्टर (डिजिटल फ़िल्टर) डिज़ाइन में परिवर्तित करने की तकनीक है।
यह विधि लाप्लास अंतराल के लिए S-समतल डिज़ाइन के सभी ध्रुवों और शून्यों को Z-समतल समष्टि पर माप करके कार्य करती है। [5] तो स्थानांतरण फलन के साथ एक एनालॉग फ़िल्टर:
डिजिटल रूपांतरण फलन में परिवर्तित कर दिया गया है
वांछित लाभ को सामान्य करने के लिए लाभ को समायोजित किया जाना चाहिए, सामान्यतः इसे और सेट करके और हल करके डीसी पर एनालॉग फ़िल्टर के लाभ से मेल खाने के लिए सेट किया जाता है।[3][6]
चूंकि मैपिंग S-समतल के अक्ष को जेड-समतल के इकाई वृत्त के चारों ओर अधिकांशतः लपेटती है, नाइक्विस्ट आवृत्ति से अधिक किसी भी शून्य (या ध्रुव) को एक अलियास्ड समष्टि पर माप किया जाता है।[7]
सामान्य स्थिति में कि एनालॉग रूपांतरण फलन में शून्य से अधिक ध्रुव होते हैं, पर शून्य को वैकल्पिक रूप से पर रखकर नाइक्विस्ट आवृत्ति में स्थानांतरित किया जा सकता है, जिससे रूपांतरण फलन के रूप में संवृत हो जाता है। द्विरेखीय परिवर्तन (बीएलटी) के समान ही उपयोग किया जाता है।[1][3][6][7]
चूँकि यह परिवर्तन बीआईबीओ स्थिरता और न्यूनतम चरण को संरक्षित करता है, यह न तो समय को संरक्षित करता है और न ही आवृत्ति-डोमेन प्रतिक्रिया को और इसलिए इसका व्यापक रूप से उपयोग नहीं किया जाता है।[8][7] अधिक सामान्य विधियों में बीएलटी और आवेग इनवेरिएंस विधियां सम्मिलित हैं।[4] एमजेडटी बीएलटी की तुलना में कम उच्च आवृत्ति प्रतिक्रिया त्रुटि प्रदान करता है, चूँकि, अतिरिक्त शून्य जोड़कर इसे सही करना सरल बनाता है, जिसे एमजेडटीआई उत्तम के लिए कहा जाता है।[9] डिजिटल नियंत्रण क्षेत्र में मिलान किए गए जेड-ट्रांसफॉर्म विधि का विशिष्ट अनुप्रयोग एकरमैन के सूत्र के साथ है, जो सामान्य रूप से नियंत्रणीय प्रणाली के ध्रुवों को एक अस्थिर या निकट समष्टि से एक स्थिर समष्टि में परिवर्तित होता है।
संदर्भ
- ↑ 1.0 1.1 Won Young Yang (2009). Signals and Systems with MATLAB. Springer. p. 292. ISBN 978-3-540-92953-6.
- ↑ Bong Wie (1998). Space vehicle dynamics and control. AIAA. p. 151. ISBN 978-1-56347-261-9.
- ↑ 3.0 3.1 3.2 Arthur G. O. Mutambara (1999). Design and analysis of control systems. CRC Press. p. 652. ISBN 978-0-8493-1898-6.
- ↑ 4.0 4.1 Al-Alaoui, M. A. (February 2007). "एनालॉग-टू-डिजिटल ट्रांसफ़ॉर्म के लिए नवीन दृष्टिकोण". IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Regular Papers. 54 (2): 338–350. doi:10.1109/tcsi.2006.885982. ISSN 1549-8328. S2CID 9049852.
- ↑ S. V. Narasimhan and S. Veena (2005). Signal processing: principles and implementation. Alpha Science Int'l Ltd. p. 260. ISBN 978-1-84265-199-5.
- ↑ 6.0 6.1 Franklin, Gene F. (2015). गतिशील प्रणालियों का फीडबैक नियंत्रण. Powell, J. David, Emami-Naeini, Abbas (Seventh ed.). Boston: Pearson. pp. 607–611. ISBN 978-0133496598. OCLC 869825370.
Because physical systems often have more poles than zeros, it is useful to arbitrarily add zeros at z = -1.
- ↑ 7.0 7.1 7.2 Rabiner, Lawrence R; Gold, Bernard (1975). डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग का सिद्धांत और अनुप्रयोग (in English). Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall. pp. 224–226. ISBN 0139141014.
The expediency of artificially adding zeros at z = —1 to the digital system has been suggested ... but this ad hoc technique is at best only a stopgap measure. ... In general, use of impulse invariant or bilinear transformation is to be preferred over the matched z transformation.
- ↑ Jackson, Leland B. (1996). डिजिटल फिल्टर और सिग्नल प्रोसेसिंग (in English). Springer Science & Business Media. p. 262. ISBN 9780792395591.
although perfectly usable filters can be designed in this way, no special time- or frequency-domain properties are preserved by this transformation, and it is not widely used.
- ↑ Ojas, Chauhan; David, Gunness (2007-09-01). "लाउडस्पीकर समकरण के लिए मिलान किए गए जेड-ट्रांसफॉर्म फिल्टर ("एमजेडटीआई") की परिमाण प्रतिक्रिया का अनुकूलन". Audio Engineering Society (in English). Archived from the original on July 27, 2019. Alt URL
