क्लोज्ड मैनिफोल्ड: Difference between revisions

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गणित में, एक बंद [[ कई गुना |मैनिफोल्ड]] बिना सीमा वाला एक मैनिफोल्ड है, जो [[ सघन स्थान |कॉम्पैक्ट]] होता है। इसकी तुलना में, एक ओपन मैनिफोल्ड बिना सीमा वाला एक मैनिफोल्ड है, जिसमें केवल गैर-कॉम्पैक्ट घटक होते हैं।
गणित में, क्लोज्ड [[ कई गुना |मैनिफोल्ड]] बिना सीमा वाला मैनिफोल्ड है, जो [[ सघन स्थान |कॉम्पैक्ट]] होता है। इसकी तुलना में, ओपन मैनिफोल्ड बिना सीमा वाला मैनिफोल्ड है, जिसमें केवल गैर-कॉम्पैक्ट घटक होते हैं।


== उदाहरण ==
== उदाहरण ==


एकमात्र [[ जुड़ा हुआ स्थान |जुड़ा हुआ]] एक-आयामी उदाहरण एक [[वृत्त]] है। गोला, [[ टोरस्र्स |टोरस]] और [[क्लेन बोतल]] सभी बंद द्वि-आयामी मैनिफोल्ड हैं। [[वास्तविक प्रक्षेप्य स्थान]] '''RP'''<sup>n</sup> एक बंद 2n-आयामी मैनिफोल्ड है। [[जटिल प्रक्षेप्य स्थान]] '''CP'''<sup>n</sup> एक बंद 2एन-आयामी मैनिफोल्ड है।<ref>See Hatcher 2002, p.231</ref> एक [[ असली लाइन |लाइन]] बंद नहीं होती क्योंकि वह सघन नहीं है। एक [[बंद डिस्क]] एक कॉम्पैक्ट द्वि-आयामी मैनिफोल्ड है, लेकिन यह बंद नहीं है क्योंकि इसकी एक सीमा होती है।
एकमात्र [[ जुड़ा हुआ स्थान |जुड़ा हुआ]] एक-आयामी उदाहरण [[वृत्त]] है। वृत्त, [[ टोरस्र्स |टोरस]] और [[क्लेन बोतल]] सभी क्लोज्ड द्वि-आयामी मैनिफोल्ड हैं। [[वास्तविक प्रक्षेप्य स्थान]] '''RP'''<sup>n</sup> क्लोज्ड 2n-आयामी मैनिफोल्ड है। [[जटिल प्रक्षेप्य स्थान]] '''CP'''<sup>n</sup> क्लोज्ड 2एन-आयामी मैनिफोल्ड है।<ref>See Hatcher 2002, p.231</ref> [[ असली लाइन |लाइन]] क्लोज्ड नहीं होती क्योंकि वह सघन नहीं है। [[बंद डिस्क|क्लोज्ड डिस्क]] कॉम्पैक्ट द्वि-आयामी मैनिफोल्ड है, लेकिन यह क्लोज्ड नहीं है क्योंकि इसकी सीमा होती है।
 
एकमात्र [[ जुड़ा हुआ स्थान |  स्थान]] एक-आयामी उदाहरण एक  है। गोला,  और  सभी बंद द्वि-आयामी मैनिफोल्ड हैं।  आरपी<sup>n</sup> एक बंद n-आयामी मैनिफोल्ड है।  सी.पी<sup>n</sup> एक बंद -आयामी मैनिफोल्ड है। एक [[ असली लाइन | असली]] बंद नहीं है क्योंकि यह सघन नहीं है। एक  एक सघन द्वि-आयामी मैनिफोल्ड है, लेकिन यह बंद नहीं है क्योंकि इसकी एक सीमा होती है।


== गुण ==
== गुण ==


प्रत्येक बंद मैनिफ़ोल्ड एक यूक्लिडियन निकट का प्रतिगमन है और इस प्रकार इसमें परिमित रूप से समरूपता समूह उत्पन्न होते हैं।<ref>See Hatcher 2002, p.536</ref>
प्रत्येक क्लोज्ड मैनिफ़ोल्ड यूक्लिडियन निकट का प्रतिगमन है और इस प्रकार इसमें परिमित रूप से समरूपता समूह उत्पन्न होते हैं।<ref>See Hatcher 2002, p.536</ref>  
 
यदि <math>M</math> एक बंद जुड़ा हुआ एन-मैनिफोल्ड है, तो एन-वें होमोलॉजी समूह <math>H_{n}(M;\mathbb{Z})</math>, <math>\mathbb{Z}</math> या 0 है, यह इस पर निर्भर करता है कि <math>M</math> उन्मुख है या नहीं है।<ref>See Hatcher 2002, p.236</ref> इसके अतिरिक्त, (n-1)-वें होमोलॉजी समूह <math>H_{n-1}(M;\mathbb{Z}) </math> का टोशन उपसमूह 0 या  <math>\mathbb{Z}_2</math> है, जो इस पर निर्भर करताहै कि <math>M</math> उन्मुख है या नहीं है। यह सार्वत्रिक गुणांक प्रमेय के अनुप्रयोग से अनुसरण करता है।<ref>See Hatcher 2002, p.238</ref>  


माना <math>R</math> एक क्रमविनिमेय वलय है। मौलिक वर्ग <math>[M]\in H_{n}(M;R) </math> के साथ <math>R</math>-ओरिएंटेबल <math>M</math> के लिए, <math>D(\alpha)=[M]\cap\alpha</math> द्वारा परिभाषित मानचित्र <math>D: H^k(M;R) \to H_{n-k}(M;R)</math> सभी k के लिए एक समरूपता है। यह पोंकारे द्वैत है।<ref>See Hatcher 2002, p.250</ref> विशेष रूप से, प्रत्येक बंद मैनिफोल्ड <math>\mathbb{Z}_2</math> ओरिएंटेबल है। अतः सदैव एक समरूपता <math>H^k(M;\mathbb{Z}_2) \cong H_{n-k}(M;\mathbb{Z}_2)</math> होती है।
यदि <math>M</math> क्लोज्ड जुड़ा हुआ एन-मैनिफोल्ड है, तो एन-वें होमोलॉजी समूह <math>H_{n}(M;\mathbb{Z})</math>, <math>\mathbb{Z}</math> या 0 है, यह इस पर निर्भर करता है कि <math>M</math> उन्मुख है या नहीं है।<ref>See Hatcher 2002, p.236</ref> इसके अतिरिक्त, (n-1)-वें होमोलॉजी समूह <math>H_{n-1}(M;\mathbb{Z}) </math> का टोशन उपसमूह 0 या <math>\mathbb{Z}_2</math> है, जो इस पर निर्भर करता है कि <math>M</math> उन्मुख है या नहीं है। यह सार्वत्रिक गुणांक प्रमेय के अनुप्रयोग से अनुसरण करता है।<ref>See Hatcher 2002, p.238</ref>


मान लीजिये  एक क्रमविनिमेय वलय बनें। के लिए समायोज्य  साथ मौलिक वर्ग , वो मानचित्र  द्वारा परिभाषित सभी k के लिए एक समरूपता है। यह पोंकारे द्वैत है. विशेष रूप से, प्रत्येक बंद मैनिफोल्ड है -ओरिएंटेबल. अतः सदैव एक समरूपता होती है  .
माना <math>R</math> क्रमविनिमेय वलय है। मौलिक वर्ग <math>[M]\in H_{n}(M;R) </math> के साथ <math>R</math>-ओरिएंटेबल <math>M</math> के लिए, <math>D(\alpha)=[M]\cap\alpha</math> द्वारा परिभाषित मानचित्र <math>D: H^k(M;R) \to H_{n-k}(M;R)</math> सभी k के लिए समरूपता है। यह पोंकारे द्वैत है।<ref>See Hatcher 2002, p.250</ref> विशेष रूप से, प्रत्येक क्लोज्ड मैनिफोल्ड <math>\mathbb{Z}_2</math> ओरिएंटेबल है। अतः सदैव समरूपता <math>H^k(M;\mathbb{Z}_2) \cong H_{n-k}(M;\mathbb{Z}_2)</math> होती है।


== मैनिफोल्ड खोलें ==
== मैनिफोल्ड खोलें ==


कनेक्टेड मैनिफोल्ड के लिए, "ओपन" "बिना सीमा और गैर-कॉम्पैक्ट" के बराबर है, लेकिन डिस्कनेक्ट किए गए मैनिफोल्ड के लिए, ओपन अधिक कठोर है। उदाहरण के लिए, एक वृत्त और एक रेखा का असंबद्ध मिलन गैर-संहत होता है क्योंकि एक रेखा गैर-संहत होती है, लेकिन यह एक ओपन मैनिफोल्ड नहीं है, क्योंकि वृत्त (इसके घटकों में से एक) संहत होता है।
कनेक्टेड मैनिफोल्ड के लिए, "ओपन" "बिना सीमा और गैर-कॉम्पैक्ट" के बराबर है, लेकिन डिस्कनेक्ट किए गए मैनिफोल्ड के लिए, ओपन अधिक कठोर है। उदाहरण के लिए, वृत्त और रेखा का असंबद्ध मिलन गैर-संहत होता है क्योंकि रेखा गैर-संहत होती है, लेकिन यह ओपन मैनिफोल्ड नहीं है, क्योंकि वृत्त (इसके घटकों में से एक) संहत होता है।


== भाषा का दुरुपयोग ==
== भाषा का दुरुपयोग ==


अधिकांश पुस्तकें सामान्यतः मैनिफोल्ड को एक ऐसे स्थान के रूप में परिभाषित करती हैं, जो स्थानीय रूप से, [[ यूक्लिडियन स्थान ]] (कुछ अन्य तकनीकी स्थितियों के साथ) के लिए [[ होम्योमॉर्फिक ]] है, इस प्रकार इस परिभाषा के अनुसार एक मैनिफोल्ड में इसकी सीमा सम्मिलित नहीं होती है, जब यह एक बड़े स्थान में एम्बेडेड होता है। चूँकि, यह परिभाषा बंद डिस्क जैसी कुछ मूलभूत वस्तुओं को कवर नहीं करती है, इसलिए लेखक कभी-कभी सीमा के साथ मैनिफोल्ड को परिभाषित करते हैं और सीमा के संदर्भ के बिना अपमानजनक रूप से मैनिफोल्ड कहते हैं। लेकिन सामान्यतः, यदि मैनिफोल्ड के लिए सामान्य परिभाषा का उपयोग किया जाता है, तो 'सघन मैनिफोल्ड' (इसकी अंतर्निहित टोपोलॉजी के संबंध में सघन) को समानार्थी रूप से 'क्लोज्ड मैनिफोल्ड' के लिए उपयोग किया जा सकता है।
अधिकांश पुस्तकें सामान्यतः मैनिफोल्ड को ऐसे स्थान के रूप में परिभाषित करती हैं, जो स्थानीय रूप से, [[ यूक्लिडियन स्थान |यूक्लिडियन स्थान]] (कुछ अन्य तकनीकी स्थितियों के साथ) के लिए [[ होम्योमॉर्फिक |होम्योमॉर्फिक]] है, इस प्रकार इस परिभाषा के अनुसार मैनिफोल्ड में इसकी सीमा सम्मिलित नहीं होती है, जब यह बड़े स्थान में एम्बेडेड होता है। चूँकि, यह परिभाषा क्लोज्ड डिस्क जैसी कुछ मूलभूत वस्तुओं को कवर नहीं करती है, इसलिए लेखक कभी-कभी सीमा के साथ मैनिफोल्ड को परिभाषित करते हैं और सीमा के संदर्भ के बिना अपमानजनक रूप से मैनिफोल्ड कहते हैं। लेकिन सामान्यतः, यदि मैनिफोल्ड के लिए सामान्य परिभाषा का उपयोग किया जाता है, तो 'सघन मैनिफोल्ड' (इसकी अंतर्निहित टोपोलॉजी के संबंध में सघन) को समानार्थी रूप से 'क्लोज्ड मैनिफोल्ड' के लिए उपयोग किया जा सकता है।


एक बंद मैनिफोल्ड की धारणा एक [[बंद सेट|बंद समुच्चय]] से असंबंधित है। एक रेखा समतल और मैनिफोल्ड का एक बंद उपसमुच्चय है, लेकिन बंद मैनिफोल्ड नहीं है।
क्लोज्ड मैनिफोल्ड की धारणा [[बंद सेट|क्लोज्ड समुच्चय]] से असंबंधित है। रेखा समतल और मैनिफोल्ड का क्लोज्ड उपसमुच्चय है, लेकिन क्लोज्ड मैनिफोल्ड नहीं है।


==भौतिकी में उपयोग ==
==भौतिकी में उपयोग ==


ब्रह्मांड के आकार की धारणा ब्रह्मांड को एक बंद मैनिफोल्ड के रूप में संदर्भित कर सकती है, लेकिन अधिक संभावना यह है कि ब्रह्मांड निरंतर सकारात्मक रिक्की वक्रता के मैनिफोल्ड है।
ब्रह्मांड के आकार की धारणा ब्रह्मांड को क्लोज्ड मैनिफोल्ड के रूप में संदर्भित कर सकती है, लेकिन अधिक संभावना यह है कि ब्रह्मांड निरंतर धनात्मक रिक्की वक्रता के मैनिफोल्ड है।


== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==

Revision as of 20:48, 7 August 2023

For broader coverage of this topic, see मैनिफोल्ड्स का वर्गीकरण § प्वाइंट-सेट.

गणित में, क्लोज्ड मैनिफोल्ड बिना सीमा वाला मैनिफोल्ड है, जो कॉम्पैक्ट होता है। इसकी तुलना में, ओपन मैनिफोल्ड बिना सीमा वाला मैनिफोल्ड है, जिसमें केवल गैर-कॉम्पैक्ट घटक होते हैं।

उदाहरण

एकमात्र जुड़ा हुआ एक-आयामी उदाहरण वृत्त है। वृत्त, टोरस और क्लेन बोतल सभी क्लोज्ड द्वि-आयामी मैनिफोल्ड हैं। वास्तविक प्रक्षेप्य स्थान RPn क्लोज्ड 2n-आयामी मैनिफोल्ड है। जटिल प्रक्षेप्य स्थान CPn क्लोज्ड 2एन-आयामी मैनिफोल्ड है।[1] लाइन क्लोज्ड नहीं होती क्योंकि वह सघन नहीं है। क्लोज्ड डिस्क कॉम्पैक्ट द्वि-आयामी मैनिफोल्ड है, लेकिन यह क्लोज्ड नहीं है क्योंकि इसकी सीमा होती है।

गुण

प्रत्येक क्लोज्ड मैनिफ़ोल्ड यूक्लिडियन निकट का प्रतिगमन है और इस प्रकार इसमें परिमित रूप से समरूपता समूह उत्पन्न होते हैं।[2]

यदि क्लोज्ड जुड़ा हुआ एन-मैनिफोल्ड है, तो एन-वें होमोलॉजी समूह , या 0 है, यह इस पर निर्भर करता है कि उन्मुख है या नहीं है।[3] इसके अतिरिक्त, (n-1)-वें होमोलॉजी समूह का टोशन उपसमूह 0 या है, जो इस पर निर्भर करता है कि उन्मुख है या नहीं है। यह सार्वत्रिक गुणांक प्रमेय के अनुप्रयोग से अनुसरण करता है।[4]

माना क्रमविनिमेय वलय है। मौलिक वर्ग के साथ -ओरिएंटेबल के लिए, द्वारा परिभाषित मानचित्र सभी k के लिए समरूपता है। यह पोंकारे द्वैत है।[5] विशेष रूप से, प्रत्येक क्लोज्ड मैनिफोल्ड ओरिएंटेबल है। अतः सदैव समरूपता होती है।

मैनिफोल्ड खोलें

कनेक्टेड मैनिफोल्ड के लिए, "ओपन" "बिना सीमा और गैर-कॉम्पैक्ट" के बराबर है, लेकिन डिस्कनेक्ट किए गए मैनिफोल्ड के लिए, ओपन अधिक कठोर है। उदाहरण के लिए, वृत्त और रेखा का असंबद्ध मिलन गैर-संहत होता है क्योंकि रेखा गैर-संहत होती है, लेकिन यह ओपन मैनिफोल्ड नहीं है, क्योंकि वृत्त (इसके घटकों में से एक) संहत होता है।

भाषा का दुरुपयोग

अधिकांश पुस्तकें सामान्यतः मैनिफोल्ड को ऐसे स्थान के रूप में परिभाषित करती हैं, जो स्थानीय रूप से, यूक्लिडियन स्थान (कुछ अन्य तकनीकी स्थितियों के साथ) के लिए होम्योमॉर्फिक है, इस प्रकार इस परिभाषा के अनुसार मैनिफोल्ड में इसकी सीमा सम्मिलित नहीं होती है, जब यह बड़े स्थान में एम्बेडेड होता है। चूँकि, यह परिभाषा क्लोज्ड डिस्क जैसी कुछ मूलभूत वस्तुओं को कवर नहीं करती है, इसलिए लेखक कभी-कभी सीमा के साथ मैनिफोल्ड को परिभाषित करते हैं और सीमा के संदर्भ के बिना अपमानजनक रूप से मैनिफोल्ड कहते हैं। लेकिन सामान्यतः, यदि मैनिफोल्ड के लिए सामान्य परिभाषा का उपयोग किया जाता है, तो 'सघन मैनिफोल्ड' (इसकी अंतर्निहित टोपोलॉजी के संबंध में सघन) को समानार्थी रूप से 'क्लोज्ड मैनिफोल्ड' के लिए उपयोग किया जा सकता है।

क्लोज्ड मैनिफोल्ड की धारणा क्लोज्ड समुच्चय से असंबंधित है। रेखा समतल और मैनिफोल्ड का क्लोज्ड उपसमुच्चय है, लेकिन क्लोज्ड मैनिफोल्ड नहीं है।

भौतिकी में उपयोग

ब्रह्मांड के आकार की धारणा ब्रह्मांड को क्लोज्ड मैनिफोल्ड के रूप में संदर्भित कर सकती है, लेकिन अधिक संभावना यह है कि ब्रह्मांड निरंतर धनात्मक रिक्की वक्रता के मैनिफोल्ड है।

यह भी देखें

संदर्भ

  1. ↑ See Hatcher 2002, p.231
  2. ↑ See Hatcher 2002, p.536
  3. ↑ See Hatcher 2002, p.236
  4. ↑ See Hatcher 2002, p.238
  5. ↑ See Hatcher 2002, p.250
  • Michael Spivak: A Comprehensive Introduction to Differential Geometry. Volume 1. 3rd edition with corrections. Publish or Perish, Houston TX 2005, ISBN 0-914098-70-5.
  • Allen Hatcher, Algebraic Topology. Cambridge University Press, Cambridge, 2002.
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