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गणित में, | गणित में, कॉन्वेक्स स्पेस (या बैरीसेंट्रिक बीजगणित) एक ऐसा स्थान है जिसमें बिंदुओं के किसी भी सेट का [[उत्तल संयोजन]] लेना संभव है।<ref>{{cite web |title=उत्तल स्थान|url=https://ncatlab.org/nlab/show/convex+space |website=nLab |access-date=3 April 2023}}</ref><ref>{{cite arXiv |last1=Fritz |first1=Tobias |title=Convex Spaces I: Definition and Examples |year=2009 |class=math.MG |eprint=0903.5522 }}</ref> | ||
== औपचारिक परिभाषा == | == औपचारिक परिभाषा == | ||
कॉन्वेक्स स्पेस को सेट के रूप में परिभाषित किया जा सकता है <math>X</math> बाइनरी उत्तल संयोजन ऑपरेशन से सुसज्जित <math>c_\lambda : X \times X \rightarrow X</math> प्रत्येक के लिए <math>\lambda \in [0,1]</math> संतुष्टि देने वाला: | |||
* <math>c_0(x,y)=x</math> | * <math>c_0(x,y)=x</math> | ||
* <math>c_1(x,y)=y</math> | * <math>c_1(x,y)=y</math> | ||
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* <math>c_\lambda(x,c_\mu(y,z))=c_{\lambda\mu}\left(c_{\frac{\lambda(1-\mu)}{1-\lambda\mu}}(x,y),z\right)</math> (के लिए <math>\lambda\mu\neq 1</math>) | * <math>c_\lambda(x,c_\mu(y,z))=c_{\lambda\mu}\left(c_{\frac{\lambda(1-\mu)}{1-\lambda\mu}}(x,y),z\right)</math> (के लिए <math>\lambda\mu\neq 1</math>) | ||
इससे, | इससे, एन-एरी उत्तल संयोजन ऑपरेशन को परिभाषित करना संभव है, जो एन-टुपल द्वारा पैरामीट्रिज्ड है <math>(\lambda_1, \dots, \lambda_n)</math>, कहाँ <math>\sum_i\lambda_i = 1</math>. | ||
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कोई भी वास्तविक एफ़िन स्थान | कोई भी वास्तविक एफ़िन स्थान कॉन्वेक्स स्पेस होता है। अधिक सामान्यतः, वास्तविक [[एफ़िन स्पेस]] का कोई भी [[उत्तल उपसमुच्चय]] एक कॉन्वेक्स स्पेस होता है। | ||
== इतिहास == | == इतिहास == | ||
Revision as of 23:42, 29 September 2023
गणित में, कॉन्वेक्स स्पेस (या बैरीसेंट्रिक बीजगणित) एक ऐसा स्थान है जिसमें बिंदुओं के किसी भी सेट का उत्तल संयोजन लेना संभव है।[1][2]
औपचारिक परिभाषा
कॉन्वेक्स स्पेस को सेट के रूप में परिभाषित किया जा सकता है बाइनरी उत्तल संयोजन ऑपरेशन से सुसज्जित प्रत्येक के लिए संतुष्टि देने वाला:
- (के लिए )
इससे, एन-एरी उत्तल संयोजन ऑपरेशन को परिभाषित करना संभव है, जो एन-टुपल द्वारा पैरामीट्रिज्ड है , कहाँ .
उदाहरण
कोई भी वास्तविक एफ़िन स्थान कॉन्वेक्स स्पेस होता है। अधिक सामान्यतः, वास्तविक एफ़िन स्पेस का कोई भी उत्तल उपसमुच्चय एक कॉन्वेक्स स्पेस होता है।
इतिहास
उत्तल स्थानों का स्वतंत्र रूप से कई बार आविष्कार किया गया है और उन्हें अलग-अलग नाम दिए गए हैं, कम से कम मार्शल एच. स्टोन (1949) के समय से।[3] इनका अध्ययन वाल्टर न्यूमैन (1970) द्वारा भी किया गया था।[4] और Świrszcz (1974),[5] दूसरों के बीच में।
संदर्भ
- ↑ "उत्तल स्थान". nLab. Retrieved 3 April 2023.
- ↑ Fritz, Tobias (2009). "Convex Spaces I: Definition and Examples". arXiv:0903.5522 [math.MG].
- ↑ Stone, Marshall Harvey (1949). "बैरीसेंट्रिक कैलकुलस के लिए अभिधारणाएँ". Annali di Matematica Pura ed Applicata. 29: 25–30. doi:10.1007/BF02413910. S2CID 122252152.
- ↑ Neumann, Walter David (1970). "एफ़िन रिक्त स्थान के उत्तल उपसमुच्चय की बहुविविधता पर". Archiv der Mathematik. 21: 11–16. doi:10.1007/BF01220869. S2CID 124051153.
- ↑ Świrszcz, Tadeusz (1974). "मोनैडिक फ़ंक्टर और उत्तलता". Bulletin l'Académie Polonaise des Science, Série des Sciences Mathématiques, Astronomiques et Physiques. 22: 39–42.
