अवमुख समष्टि

गणित में, उत्तल समष्टि (या बैरीसेंट्रिक बीजगणित) एक ऐसा समष्टि है जिसमें बिंदुओं के किसी भी समुच्चय का उत्तल संयोजन लेना संभव है।

औपचारिक परिभाषा

उत्तल समष्टि को समुच्चय $X$ के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो प्रत्येक $c_{\lambda }:X\times X\rightarrow X$ संतोषजनक के लिए बाइनरी उत्तल संयोजन संचालन $\lambda \in [0,1]$ से सुसज्जित है:

• $c_{0}(x,y)=x$
• $c_{1}(x,y)=y$
• $c_{\lambda }(x,x)=x$
• $c_{\lambda }(x,y)=c_{1-\lambda }(y,x)$
• $c_{\lambda }(x,c_{\mu }(y,z))=c_{\lambda \mu }\left(c_{\frac {\lambda (1-\mu )}{1-\lambda \mu }}(x,y),z\right)$ (के लिए $\lambda \mu \neq 1$)

इससे, n-एरी उत्तल संयोजन संचालन को परिभाषित करना संभव है, जो n-टुपल $(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})$ द्वारा पैरामीट्रिज्ड है, जहां

$\sum _{i}\lambda _{i}=1$.

उदाहरण

कोई भी वास्तविक एफ़िन समष्टि एक उत्तल समष्टि होता है। अधिक सामान्यतः, वास्तविक एफ़िन समष्टि का कोई भी उत्तल उपसमुच्चय एक उत्तल समष्टि होता है।

इतिहास

उत्तल समष्टि का स्वतंत्र रूप से अनेक बार आविष्कार किया गया है और उन्हें कम से कम स्टोन (1949) से भिन्न-भिन्न नाम दिए गए हैं। इनका अध्ययन वाल्टर न्यूमैन (1970) और स्विर्ज़कज़ (1974) द्वारा भी किया गया था।