धनात्मक निश्चित फलन

गणित में, एक सकारात्मक-निश्चित फ़ंक्शन, संदर्भ के आधार पर, दो प्रकार के फ़ंक्शन (गणित) में से एक होता है।

परिभाषा 1

होने देना $\mathbb {R}$ वास्तविक संख्याओं का समुच्चय हो और $\mathbb {C}$ सम्मिश्र संख्याओं का समुच्चय बनें।

एक समारोह $f:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$ यदि किसी के लिए हो तो इसे सकारात्मक अर्ध-निश्चित कहा जाता है वास्तविक संख्या x₁, …, एक्स_n n × n मैट्रिक्स (गणित)

$A=\left(a_{ij}\right)_{i,j=1}^{n}~,\quad a_{ij}=f(x_{i}-x_{j})$

एक सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स है | सकारात्मक अर्ध-निश्चित मैट्रिक्स।

परिभाषा के अनुसार, एक सकारात्मक अर्ध-निश्चित मैट्रिक्स, जैसे $A$, हर्मिटियन मैट्रिक्स है; इसलिए f(−x) f(x)) का सम्मिश्र संयुग्म है।

विशेषकर, यह आवश्यक (परन्तु पर्याप्त नहीं) है

$f(0)\geq 0~,\quad |f(x)|\leq f(0)$

(ये असमानताएँ n = 1, 2 की स्थिति का अनुसरण करती हैं।)

यदि असमानता को उलट दिया जाए तो एक फ़ंक्शन नकारात्मक अर्ध-निश्चित होता है। यदि कमजोर असमानता को मजबूत (<, > 0) से बदल दिया जाए तो एक फ़ंक्शन निश्चित होता है।

उदाहरण

अगर $(X,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$ तो फिर, यह एक वास्तविक आंतरिक उत्पाद स्थान है $g_{y}\colon X\to \mathbb {C}$, $x\mapsto \exp(i\langle y,x\rangle )$ प्रत्येक के लिए निश्चित रूप से निश्चित है $y\in X$: सभी के लिए $u\in \mathbb {C} ^{n}$ और सभी $x_{1},\ldots ,x_{n}$ हमारे पास है

$u^{*}A^{(g_{y})}u=\sum _{j,k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}u_{j}e^{i\langle y,x_{k}-x_{j}\rangle }=\sum _{k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}e^{i\langle y,x_{k}\rangle }\sum _{j=1}^{n}u_{j}e^{-i\langle y,x_{j}\rangle }=\left|\sum _{j=1}^{n}{\overline {u_{j}}}e^{i\langle y,x_{j}\rangle }\right|^{2}\geq 0.$

चूंकि सकारात्मक निश्चित कार्यों के गैर-नकारात्मक रैखिक संयोजन फिर से सकारात्मक निश्चित होते हैं, कोसाइन फ़ंक्शन उपरोक्त कार्यों के गैर-नकारात्मक रैखिक संयोजन के रूप में सकारात्मक निश्चित होता है:

$\cos(x)={\frac {1}{2}}(e^{ix}+e^{-ix})={\frac {1}{2}}(g_{1}+g_{-1}).$

कोई एक सकारात्मक निश्चित कार्य बना सकता है $f\colon X\to \mathbb {C}$ सकारात्मक निश्चित कार्य से आसानी से $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C}$ किसी भी सदिश समष्टि के लिए $X$: एक रैखिक फ़ंक्शन चुनें $\phi \colon X\to \mathbb {R}$ और परिभाषित करें $f^{*}:=f\circ \phi$. तब

$u^{*}A^{(f^{*})}u=\sum _{j,k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}u_{j}f^{*}(x_{k}-x_{j})=\sum _{j,k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}u_{j}f(\phi (x_{k})-\phi (x_{j}))=u^{*}{\tilde {A}}^{(f)}u\geq 0,$

कहाँ ${\tilde {A}}^{(f)}={\big (}f(\phi (x_{i})-\phi (x_{j}))=f({\tilde {x}}_{i}-{\tilde {x}}_{j}){\big )}_{i,j}$ कहाँ ${\tilde {x}}_{k}:=\phi (x_{k})$ के रूप में विशिष्ट हैं $\phi$ रैखिक है.

बोचनर का प्रमेय

Main article: Bochner's theorem

फूरियर रूपांतरण के सिद्धांत में सकारात्मक-निश्चितता स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होती है; इसे प्रत्यक्ष रूप से देखा जा सकता है कि सकारात्मक-निश्चित होने के लिए f के लिए g(y) ≥ 0 के साथ वास्तविक रेखा पर फ़ंक्शन g का फूरियर रूपांतरण होना पर्याप्त है।

विपरीत परिणाम बोचनर का प्रमेय है, जिसमें कहा गया है कि वास्तविक रेखा पर कोई भी निरंतर कार्य सकारात्मक-निश्चित फ़ंक्शन एक (सकारात्मक) माप (गणित) का फूरियर रूपांतरण है।

अनुप्रयोग

सांख्यिकी में, और विशेष रूप से बायेसियन सांख्यिकी में, प्रमेय आमतौर पर वास्तविक कार्यों पर लागू होता है। आमतौर पर, बिंदुओं पर कुछ अदिश मान का n अदिश माप $R^{d}$ लिया जाता है और जो बिंदु परस्पर निकट होते हैं, उनके लिए ऐसे माप की आवश्यकता होती है जो अत्यधिक सहसंबद्ध हों। व्यवहार में, किसी को यह सुनिश्चित करने के लिए सावधान रहना चाहिए कि परिणामी सहप्रसरण मैट्रिक्स (ए n × nमैट्रिक्स) हमेशा सकारात्मक-निश्चित होता है। एक रणनीति एक सहसंबंध मैट्रिक्स ए को परिभाषित करना है जिसे सहप्रसरण मैट्रिक्स देने के लिए एक अदिश राशि से गुणा किया जाता है: यह सकारात्मक-निश्चित होना चाहिए। बोचनर के प्रमेय में कहा गया है कि यदि दो बिंदुओं के बीच सहसंबंध केवल उनके बीच की दूरी (फ़ंक्शन एफ के माध्यम से) पर निर्भर है, तो सहप्रसरण मैट्रिक्स ए सकारात्मक-निश्चित है यह सुनिश्चित करने के लिए फ़ंक्शन एफ को सकारात्मक-निश्चित होना चाहिए। युद्ध देखें।

इस संदर्भ में, फूरियर शब्दावली का सामान्य रूप से उपयोग नहीं किया जाता है और इसके बजाय यह कहा जाता है कि f(x) एक सममित संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन | संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन (पीडीएफ) का विशेषता फ़ंक्शन (संभावना सिद्धांत) है।

सामान्यीकरण

Main article: Positive-definite function on a group

कोई भी स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट एबेलियन टोपोलॉजिकल समूह पर सकारात्मक-निश्चित कार्यों को परिभाषित कर सकता है; बोचनर का प्रमेय इस संदर्भ तक विस्तारित है। समूहों पर सकारात्मक-निश्चित कार्य हिल्बर्ट स्थानों पर समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत (यानी एकात्मक प्रतिनिधित्व के सिद्धांत) में स्वाभाविक रूप से होते हैं।

परिभाषा 2

वैकल्पिक रूप से, एक फ़ंक्शन $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ यदि मूल के पड़ोस (गणित) डी पर सकारात्मक-निश्चित कहा जाता है $f(0)=0$ और $f(x)>0$ प्रत्येक गैर-शून्य के लिए $x\in D$. ध्यान दें कि यह परिभाषा ऊपर दी गई परिभाषा 1 से विरोधाभासी है।

भौतिकी में, आवश्यकता है कि $f(0)=0$ कभी-कभी गिरा दिया जाता है (देखें, उदाहरण के लिए, कॉर्नी और ऑलसेन).

यह भी देखें

• सकारात्मक-निश्चित कर्नेल

संदर्भ

• Christian Berg, Christensen, Paul Ressel. Harmonic Analysis on Semigroups, GTM, Springer Verlag.
• Z. Sasvári, Positive Definite and Definitizable Functions, Akademie Verlag, 1994
• Wells, J. H.; Williams, L. R. Embeddings and extensions in analysis. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 84. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1975. vii+108 pp.

बाहरी संबंध

• "Positive-definite function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]