नियंत्रणीयता ग्रामियन

नियंत्रण सिद्धांत में, हमें यह पता लगाने की आवश्यकता हो सकती है कि कोई प्रणाली ऐसी है या नहीं

${\begin{array}{c}{\dot {\boldsymbol {x}}}(t){\boldsymbol {=Ax}}(t)+{\boldsymbol {Bu}}(t)\\{\boldsymbol {y}}(t)={\boldsymbol {Cx}}(t)+{\boldsymbol {Du}}(t)\end{array}}$

नियंत्रणीयता है, जहां ${\boldsymbol {A}}$, ${\boldsymbol {B}}$, ${\boldsymbol {C}}$ और ${\boldsymbol {D}}$ हैं, क्रमशः $n\times n$, $n\times p$, $q\times n$ और $q\times p$ एक सिस्टम के लिए आव्यूह $p$ इनपुट, $n$ अवस्था चर और $q$ आउटपुट.

ऐसे लक्ष्य को प्राप्त करने के कई तरीकों में से एक है नियंत्रणीयता ग्रामियन (कंट्रोलेबिलिटी ग्रामियन) का उपयोग है।

एलटीआई सिस्टम में नियंत्रणीयता

लीनियर टाइम इनवेरिएंट (एलटीआई) सिस्टम वे सिस्टम हैं जिनमें पैरामीटर ${\boldsymbol {A}}$, ${\boldsymbol {B}}$, ${\boldsymbol {C}}$ और ${\boldsymbol {D}}$ समय के संबंध में अपरिवर्तनीय हैं।

केवल जोड़ी को देखकर ही कोई यह पता लगा सकता है कि एलटीआई प्रणाली नियंत्रण योग्य है या नहीं $({\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}})$. तब, हम कह सकते हैं कि निम्नलिखित कथन समतुल्य हैं:

1. जोड़ी $({\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}})$ नियंत्रणीय है.

2. $n\times n$ h> आव्यूह

${\boldsymbol {W_{c}}}(t)=\int _{0}^{t}e^{{\boldsymbol {A}}\tau }{\boldsymbol {BB^{T}}}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}\tau }d\tau =\int _{0}^{t}e^{{\boldsymbol {A}}(t-\tau )}{\boldsymbol {BB^{T}}}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}(t-\tau )}d\tau$

किसी के लिए निरर्थक है $t>0$.

3. $n\times np$ h> नियंत्रणीयता आव्यूह

${\mathcal {C}}=[{\begin{array}{ccccc}{\boldsymbol {B}}&{\boldsymbol {AB}}&{\boldsymbol {A^{2}B}}&...&{\boldsymbol {A^{n-1}B}}\end{array}}]$ रैंक n है.

4. $n\times (n+p)$ h> आव्यूह

$[{\begin{array}{cc}{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {-\lambda }}{\boldsymbol {I}}&{\boldsymbol {B}}\end{array}}]$

प्रत्येक इगेनवैल्यू पर पूर्ण रो रैंक है $\lambda$ का ${\boldsymbol {A}}$.

यदि, इसके अतिरिक्त, के सभी इगेनवैल्यू ${\boldsymbol {A}}$ ऋणात्मक वास्तविक भाग हैं (${\boldsymbol {A}}$ स्थिर है), और ल्यपुनोव समीकरण का अनूठा समाधान हैंl

${\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {W}}_{c}+{\boldsymbol {W}}_{c}{\boldsymbol {A^{T}}}=-{\boldsymbol {BB^{T}}}$घनात्मक निश्चित है, सिस्टम नियंत्रणीय है। समाधान को नियंत्रणीयता ग्रामियन कहा जाता है और इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता हैl

${\boldsymbol {W_{c}}}=\int _{0}^{\infty }e^{{\boldsymbol {A}}\tau }{\boldsymbol {BB^{T}}}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}\tau }d\tau$

निम्नलिखित अनुभाग में हम नियंत्रणीयता ग्रामियन पर नज़दीक से देखने जा रहे हैं।

नियंत्रणीयता ग्रामियन

नियंत्रणीयता ग्रामियन को ल्यपुनोव समीकरण द्वारा दिए गए समाधान के रूप में पाया जा सकता है

${\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {W}}_{c}+{\boldsymbol {W}}_{c}{\boldsymbol {A^{T}}}=-{\boldsymbol {BB^{T}}}$

वास्तव में, यदि हम लेते हैं तो हम इसे देख सकते हैं

${\boldsymbol {W_{c}}}=\int _{0}^{\infty }e^{{\boldsymbol {A}}\tau }{\boldsymbol {BB^{T}}}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}\tau }d\tau$

एक समाधान के रूप में, हम इसे ढूंढने जा रहे हैं:

${\begin{array}{ccccc}{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {W}}_{c}+{\boldsymbol {W}}_{c}{\boldsymbol {A^{T}}}&=&\int _{0}^{\infty }{\boldsymbol {A}}e^{{\boldsymbol {A}}\tau }{\boldsymbol {BB^{T}}}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}\tau }d\tau &+&\int _{0}^{\infty }e^{{\boldsymbol {A}}\tau }{\boldsymbol {BB^{T}}}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}\tau }{\boldsymbol {A^{T}}}d\tau \\&=&\int _{0}^{\infty }{\frac {d}{d\tau }}(e^{{\boldsymbol {A}}\tau }{\boldsymbol {B}}{\boldsymbol {B}}^{T}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}\tau })d\tau &=&e^{{\boldsymbol {A}}t}{\boldsymbol {B}}{\boldsymbol {B}}^{T}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}t}|_{t=0}^{\infty }\\&=&{\boldsymbol {0}}-{\boldsymbol {BB^{T}}}\\&=&{\boldsymbol {-BB^{T}}}\end{array}}$

जहाँ हमने इस तथ्य का उपयोग किया $e^{{\boldsymbol {A}}t}=0$ पर $t=\infty$ स्थिर के लिए ${\boldsymbol {A}}$ (इसके सभी इगेनवैल्यू ​​​​में ऋणात्मक वास्तविक भाग है)। यह हमें यह दिखाता है ${\boldsymbol {W}}_{c}$ वास्तव में विश्लेषण के तहत लायपुनोव समीकरण का समाधान है।

गुण

हम देख सकते हैं कि ${\boldsymbol {BB^{T}}}$ एक सममित आव्यूह है, इसलिए, ऐसा है ${\boldsymbol {W}}_{c}$.

हम इस तथ्य का फिर से उपयोग कर सकते हैं कि, यदि ${\boldsymbol {A}}$ यह दिखाने के लिए स्थिर है (इसके सभी इगेनवैल्यू ​​​​में ऋणात्मक वास्तविक भाग है) ${\boldsymbol {W}}_{c}$ एकमात्र है। ऐसा प्रमाण करने के लिए, मान लीजिए कि हमारे पास दो अलग-अलग समाधान हैंl

${\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {W}}_{c}+{\boldsymbol {W}}_{c}{\boldsymbol {A^{T}}}=-{\boldsymbol {BB^{T}}}$

और वे ${\boldsymbol {W}}_{c1}$ और ${\boldsymbol {W}}_{c2}$. द्वारा दिए गए हैं तो हमारे पास हैं:

${\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {(W}}_{c1}-{\boldsymbol {W}}_{c2})+{\boldsymbol {(W}}_{c1}-{\boldsymbol {W}}_{c2}){\boldsymbol {A^{T}}}={\boldsymbol {0}}$

से गुणा करना $e^{{\boldsymbol {A}}t}$ बायीं ओर से और द्वारा $e^{{\boldsymbol {A}}^{T}t}$ दाईं ओर, हमें ले जाएगा

$e^{{\boldsymbol {A}}t}[{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {(W}}_{c1}-{\boldsymbol {W}}_{c2})+{\boldsymbol {(W}}_{c1}-{\boldsymbol {W}}_{c2}){\boldsymbol {A^{T}}}]e^{{\boldsymbol {A^{T}}}t}={\frac {d}{dt}}[e^{{\boldsymbol {A}}t}[({\boldsymbol {W}}_{c1}-{\boldsymbol {W}}_{c2})e^{{\boldsymbol {A^{T}}}t}]={\boldsymbol {0}}$

से एकीकृत किया जा रहा है $0$ को $\infty$:

$[e^{{\boldsymbol {A}}t}[({\boldsymbol {W}}_{c1}-{\boldsymbol {W}}_{c2})e^{{\boldsymbol {A^{T}}}t}]|_{t=0}^{\infty }={\boldsymbol {0}}$

इस तथ्य का उपयोग करते हुए $e^{{\boldsymbol {A}}t}\rightarrow 0$ जैसा $t\rightarrow \infty$:

${\boldsymbol {0}}-({\boldsymbol {W}}_{c1}-{\boldsymbol {W}}_{c2})={\boldsymbol {0}}$

दूसरे शब्दों में, ${\boldsymbol {W}}_{c}$ अद्वितीय होना चाहिए.

साथ ही, हम इसे देख भी सकते हैं

${\boldsymbol {x^{T}W_{c}x}}=\int _{0}^{\infty }{\boldsymbol {x}}^{T}e^{{\boldsymbol {A}}t}{\boldsymbol {BB^{T}}}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}t}{\boldsymbol {x}}dt=\int _{0}^{\infty }\left\Vert {\boldsymbol {B^{T}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}t}{\boldsymbol {x}}}}\right\Vert _{2}^{2}dt$

किसी भी t के लिए घनात्मक है (गैर-अपक्षयी परिस्थिति को मानते हुए)। $\left\Vert {\boldsymbol {B^{T}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}t}{\boldsymbol {x}}}}\right\Vert$ समान रूप से शून्य नहीं है)। यह बनाता है ${\boldsymbol {W}}_{c}$ एक घनात्मक निश्चित आव्यूह है।

नियंत्रणीय प्रणालियों के अधिक गुण यहां पाए जा सकते हैं, साथ ही "जोड़ी" के अन्य समकक्ष कथनों के लिए प्रमाण भी $({\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}})$ नियंत्रणीय है" एलटीआई सिस्टम में नियंत्रणीयता अनुभाग में प्रस्तुत किया गया है।

असतत समय प्रणाली

असतत समय प्रणालियों के लिए

${\begin{array}{c}{\boldsymbol {x}}[k+1]{\boldsymbol {=Ax}}[k]+{\boldsymbol {Bu}}[k]\\{\boldsymbol {y}}[k]={\boldsymbol {Cx}}[k]+{\boldsymbol {Du}}[k]\end{array}}$

कोई यह जांच सकता है कि "जोड़ी" कथन के लिए समतुल्यताएं हैं $({\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}})$ नियंत्रणीय है" (निरंतर समय के परिस्थितिमें समतुल्यताएं काफी हद तक समान हैं)।

हम उस तुल्यता में रुचि रखते हैं जो दावा करती है कि, यदि "जोड़ी।" $({\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}})$ नियंत्रणीय है" और सभी इगेनवैल्यू ${\boldsymbol {A}}$ से कम परिमाण है $1$ (${\boldsymbol {A}}$ स्थिर है), तो का अद्वितीय समाधान

$W_{dc}-{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {W}}_{dc}{\boldsymbol {A^{T}}}={\boldsymbol {BB^{T}}}$

घनात्मक निश्चित है और द्वारा दिया गया है

${\boldsymbol {W}}_{dc}=\sum _{m=0}^{\infty }{\boldsymbol {A}}^{m}{\boldsymbol {BB}}^{T}({\boldsymbol {A}}^{T})^{m}$

इसे असतत नियंत्रणीयता ग्रामियन कहा जाता है। हम असतत समय और सतत समय परिस्थिति के बीच पत्राचार को आसानी से देख सकते हैं, यानी, अगर हम इसकी जांच कर सकें ${\boldsymbol {W}}_{dc}$ घनात्मक निश्चित है, और सभी इगेनवैल्यू ${\boldsymbol {A}}$ से कम परिमाण है $1$, प्रणाली $({\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}})$ नियंत्रणीय हैl अधिक गुण और प्रमाण इसमें पाए जा सकते हैं।

रैखिक समय भिन्न प्रणालियाँ

लीनियर टाइम वैरिएंट (एलटीवी) प्रणालियाँ इस प्रकार हैं:

${\begin{array}{c}{\dot {\boldsymbol {x}}}(t){\boldsymbol {=A}}(t){\boldsymbol {x}}(t)+{\boldsymbol {B}}(t){\boldsymbol {u}}(t)\\{\boldsymbol {y}}(t)={\boldsymbol {C}}(t){\boldsymbol {x}}(t)\end{array}}$

यानी आव्यूह ${\boldsymbol {A}}$, ${\boldsymbol {B}}$ और ${\boldsymbol {C}}$ ऐसी प्रविष्टियाँ हैं जो समय के साथ बदलती रहती हैं। पुनः निरंतर समय के परिस्थिति में और असतत समय के परिस्थिति में, किसी को यह जानने में रुचि हो सकती है कि क्या जोड़ी द्वारा दी गई प्रणाली $({\boldsymbol {A}}(t),{\boldsymbol {B}}(t))$ नियंत्रणीय है या नहींl यह पिछले परिस्थितियों की तरह ही किया जा सकता है।

प्रणाली $({\boldsymbol {A}}(t),{\boldsymbol {B}}(t))$ समय पर नियंत्रणीय है $t_{0}$ यदि और केवल यदि कोई परिमित अस्तित्व है $t_{1}>t_{0}$ ऐसे कि $n\times n$ आव्यूह, जिसे नियंत्रणीयता ग्रामियन भी कहा जाता है, द्वारा दिया गया

${\boldsymbol {W}}_{c}(t_{0},t_{1})=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\boldsymbol {\Phi }}(t_{1},\tau ){\boldsymbol {B}}(\tau ){\boldsymbol {B}}^{T}(\tau ){\boldsymbol {\Phi }}^{T}(t_{1},\tau )d\tau ,$

जहाँ ${\boldsymbol {\Phi }}(t,\tau )$ का अवस्था संक्रमण आव्यूह है ${\boldsymbol {\dot {x}}}={\boldsymbol {A}}(t){\boldsymbol {x}}$, निरर्थक है.

फिर, हमारे पास यह निर्धारित करने के लिए एक समान विधि है कि कोई सिस्टम नियंत्रणीय सिस्टम है या नहीं।

W_c(t₀,t₁) के गुण

हमारे पास वह नियंत्रणीयता ग्रामियन है ${\boldsymbol {W}}_{c}(t_{0},t_{1})$ निम्नलिखित गुण है:

${\boldsymbol {W}}_{c}(t_{0},t_{1})={\boldsymbol {W}}_{c}(t,t_{1})+{\boldsymbol {\Phi }}(t_{1},t){\boldsymbol {W}}_{c}(t_{0},t){\boldsymbol {\Phi }}^{T}(t_{1},t)$

जिसे की परिभाषा से आसानी से देखा जा सकता है ${\boldsymbol {W}}_{c}(t_{0},t_{1})$ और अवस्था संक्रमण आव्यूह की गुण द्वारा जो दावा करता है कि:

${\boldsymbol {\Phi }}(t_{1},\tau )={\boldsymbol {\Phi }}(t_{1},t){\boldsymbol {\Phi }}(t,\tau )$

नियंत्रणीयता ग्रामियन के बारे में अधिक जानकारी यहां पाई जा सकती है।

यह भी देखें

• नियंत्रणीयता
• अवलोकनीयता ग्रामियन
• ग्रामियन आव्यूह
• न्यूनतम ऊर्जा नियंत्रण
• हैंकेल एकवचन मान

बाहरी संबंध

• Mathematica function to compute the controllability Gramian