परिणामी: Difference between revisions

Revision as of 05:36, 16 February 2023

गणित में, दो बहुपदों का परिणाम उनके गुणांकों की बहुपद व्यंजक है, जो शून्य के बराबर है अगर और केवल अगर बहुपदों में फलन की सामान्य मूल (संभवतः क्षेत्र विस्तार में), या, समतुल्य, सामान्य कारक ( उनके गुणांक के क्षेत्र में) है। कुछ प्राचीन ग्रन्थों में परिणामी को निर्मूलक भी कहा गया है।^[1]

परिणामी का व्यापक रूप से संख्या सिद्धांत में उपयोग किया जाता है, या तो सीधे या विवेचक के माध्यम से, जो अनिवार्य रूप से बहुपद और उसके व्युत्पन्न का परिणाम है। परिमेय संख्या या बहुपद गुणांक वाले दो बहुपदों के परिणाम की कंप्यूटर पर कुशलता से गणना की जा सकती है। यह कंप्यूटर बीजगणित का आधारभूत उपकरण है, और अधिकांश कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियों का अंतर्निहित कार्य है। इसका उपयोग, दूसरों के बीच, बेलनाकार बीजगणितीय अपघटन, तर्कसंगत कार्यों के प्रतीकात्मक एकीकरण और बहुपद चर बहुपद समीकरणों की संख्या द्वारा परिभाषित वक्रों के चित्रण के लिए किया जाता है।

एन वेरिएबल्स में एन सजातीय बहुपदों का परिणाम (सामान्य परिणाम से इसे अलग करने के लिए 'बहुभिन्नरूपी परिणाम' या 'मैकाले का परिणाम' भी कहा जाता है) सामान्यीकरण है, जो सामान्य परिणाम के फ्रांसिस सोवर मैकाले द्वारा द्वारा पेश किया गया है।^[2] यह ग्रोबनेर के साथ उन्मूलन सिद्धांत के मुख्य उपकरणों में से एक है।

नोटेशन

दो अविभाज्य बहुपदों का परिणाम $A$ और $B$ सामान्य रूप से $\operatorname {res} (A,B)$ या $\operatorname {Res} (A,B)$ द्वारा निरूपित किया जाता है

परिणामी के कई अनुप्रयोगों में, बहुपद कई अनिश्चितताओं पर निर्भर करते हैं और गुणांक के रूप में अन्य अनिश्चितताओं में बहुपदों के साथ उनके अनिश्चित में से एक में अविभाजित बहुपद के रूप में माना जा सकता है। इस मामले में, परिणामी को परिभाषित करने और गणना करने के लिए चुने गए अनिश्चित को सबस्क्रिप्ट: $\operatorname {res} _{x}(A,B)$ या $\operatorname {Res} _{x}(A,B)$ के रूप में दर्शाया गया है

परिणामी की परिभाषा में बहुपदों की डिग्री का उपयोग किया जाता है। हालांकि, डिग्री का बहुपद $d$ उच्च डिग्री के बहुपद के रूप में भी माना जा सकता है जहां प्रमुख गुणांक शून्य हैं। यदि परिणामी के लिए ऐसी उच्च डिग्री का उपयोग किया जाता है, तो इसे आमतौर पर सबस्क्रिप्ट या सुपरस्क्रिप्ट के रूप में दर्शाया जाता है, जैसे $\operatorname {res} _{d,e}(A,B)$ या $\operatorname {res} _{x}^{d,e}(A,B).$

परिभाषा

क्षेत्र (गणित) या क्रमविनिमेय वलय पर दो अविभाजित बहुपदों के परिणाम को आमतौर पर उनके सिल्वेस्टर मैट्रिक्स के निर्धारक के रूप में परिभाषित किया जाता है। अधिक त्रुटिहीन, मान लीजिये

A=a_{0}x^{d}+a_{1}x^{d-1}+\cdots +a_{d}

और

B=b_{0}x^{e}+b_{1}x^{e-1}+\cdots +b_{e}

क्रमशः घात $d$ और $e$ वाले शून्येतर बहुपद हों। आइए हम ${\mathcal {P}}_{i}$ आयाम का सदिश स्थान (या मुक्त मॉड्यूल यदि गुणांक क्रमविनिमेय वलय से संबंधित हैं) $i$ द्वारा निरूपित करते हैं। जिनके तत्व $i$ सख्ती से कम डिग्री के बहुपद हैं। वो मैप

\varphi :{\mathcal {P}}_{e}\times {\mathcal {P}}_{d}\rightarrow {\mathcal {P}}_{d+e}

ऐसा है कि

\varphi (P,Q)=AP+BQ

ही आयाम के दो स्थानों के बीच रेखीय नक्शा है। $x$ की शक्तियों के आधार पर (अवरोही क्रम में सूचीबद्ध), यह नक्शा आयाम $d + e$ के वर्ग मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया गया है,जिसे $A$ और $B$ के सिल्वेस्टर मैट्रिक्स कहा जाता है (कई लेखकों के लिए और लेख सिल्वेस्टर मैट्रिक्स में, सिल्वेस्टर मैट्रिक्स को इस मैट्रिक्स के स्थानान्तरण के रूप में परिभाषित किया गया है; इस सम्मेलन का उपयोग यहां नहीं किया गया है, क्योंकि यह एक रेखीय मानचित्र के मैट्रिक्स को लिखने के लिए सामान्य सम्मेलन को तोड़ता है)।

इस प्रकार $A$ और $B$ का परिणाम निर्धारक है

{\begin{vmatrix}a_{0}&0&\cdots &0&b_{0}&0&\cdots &0\\a_{1}&a_{0}&\cdots &0&b_{1}&b_{0}&\cdots &0\\a_{2}&a_{1}&\ddots &0&b_{2}&b_{1}&\ddots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &a_{0}&\vdots &\vdots &\ddots &b_{0}\\a_{d}&a_{d-1}&\cdots &\vdots &b_{e}&b_{e-1}&\cdots &\vdots \\0&a_{d}&\ddots &\vdots &0&b_{e}&\ddots &\vdots \\\vdots &\vdots &\ddots &a_{d-1}&\vdots &\vdots &\ddots &b_{e-1}\\0&0&\cdots &a_{d}&0&0&\cdots &b_{e}\end{vmatrix}},

जिसमें $b j$ के $a i$ और $d$ कॉलम के $e$ कॉलम हैं (तथ्य यह है कि $a$ के पहले कॉलम और $b$ के पहले कॉलम की लंबाई समान है, अर्थात $d = e$ , यहाँ केवल निर्धारक के प्रदर्शन को सरल बनाने के लिए है)। उदाहरण के लिए, $d = 3$ और $e = 2$ लेने पर हमें प्राप्त होता है

{\begin{vmatrix}a_{0}&0&b_{0}&0&0\\a_{1}&a_{0}&b_{1}&b_{0}&0\\a_{2}&a_{1}&b_{2}&b_{1}&b_{0}\\a_{3}&a_{2}&0&b_{2}&b_{1}\\0&a_{3}&0&0&b_{2}\end{vmatrix}}.

यदि बहुपदों के गुणांक अभिन्न डोमेन से संबंधित हैं, तो

\operatorname {res} (A,B)=a_{0}^{e}b_{0}^{d}\prod _{\begin{array}{c}1\leq i\leq d\\1\leq j\leq e\end{array}}(\lambda _{i}-\mu _{j})=a_{0}^{e}\prod _{i=1}^{d}B(\lambda _{i})=(-1)^{de}b_{0}^{d}\prod _{j=1}^{e}A(\mu _{j}),

जहाँ $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{d}$ और $\mu _{1},\dots ,\mu _{e}$ क्रमशः मूलें हैं, उनकी बहुलताओं के साथ गिना जाता है $A$ और $B$ किसी भी बीजगणितीय रूप से बंद फ़ील्ड में अभिन्न डोमेन शामिल है। यह नीचे दिखाई देने वाले परिणामी के लक्षण वर्णन गुणों का सीधा परिणाम है। पूर्णांक गुणांक के सामान्य मामले में, बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र को आम तौर पर जटिल संख्याओं के क्षेत्र के रूप में चुना जाता है।

गुण

इस खंड और इसके उपखंडों में, $A$ और $B$ में दो बहुपद हैं $x$ संबंधित डिग्री के $d$ और $e$ , और उनके परिणामी को निरूपित किया जाता है

 $\operatorname {res} (A,B).$

गुणों की विशेषता

गुणांक वाले दो बहुपदों के परिणाम के लिए निम्नलिखित गुण मान्य हैं

क्रमविनिमेय रिंग $R$ में गुणांक वाले दो बहुपदों के परिणाम के लिए निम्नलिखित गुण हैं। यदि $R$ एक क्षेत्र या अधिक आम तौर पर एक अभिन्न डोमेन है, परिणामी दो बहुपदों के गुणांकों का अनूठा कार्य है जो इन गुणों को संतुष्ट करता है।

अगर $R$ और रिंग का सबरिंग है $S$ , तब $\operatorname {res} _{R}(A,B)=\operatorname {res} _{S}(A,B).$ अर्थात् $A$ और $B$ का परिणाम समान होता है जब $R$ या $S$ बहुपदों पर विचार किया जाता है
अगर $d = 0$ (यानी अगर $A=a_{0}$ अशून्य स्थिरांक है) तब $\operatorname {res} (A,B)=a_{0}^{e}.$ इसी प्रकार यदि $e = 0$ , तब $\operatorname {res} (A,B)=b_{0}^{d}.$
$\operatorname {res} (x+a_{1},x+b_{1})=b_{1}-a_{1}$
$\operatorname {res} (B,A)=(-1)^{de}\operatorname {res} (A,B)$ * $\operatorname {res} (AB,C)=\operatorname {res} (A,C)\operatorname {res} (B,C)$

शून्य

अभिन्न डोमेन में गुणांक वाले दो बहुपदों का परिणाम शून्य होता है यदि और केवल यदि उनके पास सकारात्मक डिग्री के दो बहुपदों का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक हो।
पूर्णांकीय प्रांत में गुणांक वाले दो बहुपदों का परिणाम शून्य होता है यदि और केवल यदि उनके गुणांक वाले बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र में सामान्य मूल हो।
$e$ से कम डिग्री का एक बहुपद $P$ और $d$ से कम डिग्री का एक बहुपद $Q$ मौजूद है जैसे कि $\operatorname {res} (A,B)=AP+BQ.$ यह मनमाना क्रमविनिमेय वलय पर बहुपदों के लिए बेज़ाउट की पहचान का सामान्यीकरण है। दूसरे शब्दों में, दो बहुपदों का परिणाम इन बहुपदों द्वारा उत्पन्न आदर्श (रिंग थ्योरी) से संबंधित है।

रिंग होमोमोर्फिज्म द्वारा इनवेरियन

मान लीजिये $A$ और $B$ संबंधित डिग्री के दो बहुपद बनें $d$ और $e$ कम्यूटेटिव रिंग में गुणांक के साथ $R$ , और $\varphi \colon R\to S$ की रिंग समरूपता $R$ दूसरे क्रमविनिमेय रिंग में $S$ को लागू करने $\varphi$ बहुपद के गुणांकों का विस्तार होता है $\varphi$ बहुपद के छल्ले के समरूपता के लिए $R[x]\to S[x]$ , जिसे निरूपित भी किया जाता है $\varphi .$ इस अंकन के साथ, हमारे पास है:

अगर $\varphi$ की उपाधियाँ सुरक्षित रखता है $A$ और $B$ (यानी अगर $\deg(\varphi (A))=d$ और $\deg(\varphi (B))=e$ ), तब

\varphi (\operatorname {res} (A,B))=\operatorname {res} (\varphi (A),\varphi (B)).

अगर $\deg(\varphi (A))<d$ और $\deg(\varphi (B))<e,$ तब

\varphi (\operatorname {res} (A,B))=0.

अगर $\deg(\varphi (A))=d$ और $\deg(\varphi (B))=f<e,$ और $A$ के अग्रणी गुणांक $a_{0}$ है तब

\varphi (\operatorname {res} (A,B))=\varphi (a_{0})^{e-f}\operatorname {res} (\varphi (A),\varphi (B)).

अगर $\deg(\varphi (A))=f<d$ और $\deg(\varphi (B))=e,$ और $B$ के अग्रणी गुणांक $b_{0}$ है तब

\varphi (\operatorname {res} (A,B))=(-1)^{e(d-f)}\varphi (b_{0})^{d-f}\operatorname {res} (\varphi (A),\varphi (B)).

निर्धारक के रूप में परिणामी की परिभाषा से इन गुणों को आसानी से घटाया जा सकता है। वे मुख्य रूप से दो स्थितियों में उपयोग किए जाते हैं। पूर्णांक गुणांक वाले बहुपदों के परिणाम की गणना करने के लिए, यह आम तौर पर मॉड्यूलर अंकगणितीय कई प्राइम्स की गणना करने और चीनी शेष प्रमेय के साथ वांछित परिणाम प्राप्त करने के लिए तेज़ होता है। कब $R$ अन्य अनिश्चित में बहुपद की रिंग है, और $S$ कुछ या सभी अनिश्चित संख्यात्मक मानों की विशेषज्ञता के द्वारा प्राप्त की गई रिंग $R$ है, इन गुणों को इस तरह से बहाल किया जा सकता है जैसे कि विशेषज्ञता द्वारा डिग्री को संरक्षित किया जाता है, दो बहुपदों के विशेषज्ञता का परिणाम परिणामी का विशेषज्ञता है। यह संपत्तिगुण मौलिक है, उदाहरण के लिए, बेलनाकार बीजगणितीय अपघटन के लिए।

चर के परिवर्तन के तहत व्युत्क्रम

$\operatorname {res} (A(x+a),B(x+a))=\operatorname {res} (A(x),B(x))$
$\operatorname {res} (A(ax),B(ax))=a^{de}\operatorname {res} (A(x),B(x))$
अगर $A_{r}(x)=x^{d}A(1/x)$ और $B_{r}(x)=x^{e}B(1/x)$ के पारस्परिक बहुपद हैं $A$ और $B$ , क्रमशः, फिर

\operatorname {res} (A_{r},B_{r})=(-1)^{de}\operatorname {res} (A,B)

इसका मतलब यह है कि परिणामी शून्य होने का गुण चर के रैखिक और प्रक्षेपी परिवर्तनों के तहत अपरिवर्तनीय है।

बहुपदों के परिवर्तन के तहत व्युत्क्रम

अगर $a$ और $b$ अशून्य स्थिरांक हैं (अर्थात वे अनिश्चित से स्वतंत्र हैं $x$ ), और $A$ और $B$ ऊपर के रूप में हैं, तो

\operatorname {res} (aA,bB)=a^{e}b^{d}\operatorname {res} (A,B).

अगर $A$ और $B$ ऊपर के रूप में हैं, और $C$ और बहुपद है जैसे कि $A - CB$ की डिग्री $δ$ है, तब

\operatorname {res} (A-CB,B)=b_{0}^{\delta -d}\operatorname {res} (A,B).

विशेष रूप से, यदि कोई हो

B

या

deg C < deg A - deg B

मोनिक बहुपद है, तब

\operatorname {res} (A-CB,B)=\operatorname {res} (A,B),

और अगर

f = deg C > deg A - deg B = d - e

, तब

\operatorname {res} (A-CB,B)=b_{0}^{e+f-d}\operatorname {res} (A,B).

इन गुणों का अर्थ है कि बहुपदों के लिए यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म में, और इसके सभी प्रकार (छद्म-शेष अनुक्रम), दो लगातार शेष (या छद्म-शेष) के परिणाम प्रारंभिक बहुपदों के परिणामी से भिन्न होते हैं, जो कि गणना करना आसान है. इसके विपरीत, यह किसी को प्रारंभिक बहुपदों के परिणाम को अंतिम शेष या छद्म शेष के मान से निकालने की अनुमति देता है। यह बहुपद महानतम सामान्य विभाजक का प्रारंभिक विचार है, जो उपरोक्त फॉर्मूलों का उपयोग छद्म-शेष के रूप में सब-रिजल्टेंट बहुपदों को प्राप्त करने के लिए, और परिणामी को अंतिम गैर-शून्य छद्म-शेष के रूप में (बशर्ते कि परिणामी शून्य न हो) करता है। यह एल्गोरिथम पूर्णांकों पर बहुपदों के लिए काम करता है या आम तौर पर सटीक विभाजनों के अलावा किसी भी विभाजन के बिना एक अभिन्न डोमेन पर काम करता है (अर्थात, अंशों को शामिल किए बिना)। इसमें $O(de)$ अंकगणितीय संक्रियाएँ शामिल हैं, जबकि मानक एल्गोरिदम के साथ सिल्वेस्टर मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना के लिए $O((d+e)^{3})$ अंकगणितीय संक्रियाओं की आवश्यकता होती है।

सामान्य गुण

इस भाग में, हम दो बहुपदों पर विचार करते हैं

A=a_{0}x^{d}+a_{1}x^{d-1}+\cdots +a_{d}

और

B=b_{0}x^{e}+b_{1}x^{e-1}+\cdots +b_{e}

किसका $d + e + 2$ गुणांक विशिष्ट अनिश्चित (चर) हैं। मान लीजिये

R=\mathbb {Z} [a_{0},\ldots ,a_{d},b_{0},\ldots ,b_{e}]

इन निर्धारकों द्वारा परिभाषित पूर्णांकों पर बहुपद वलय हो।

परिणामी $\operatorname {res} (A,B)$ डिग्री के लिए $d$ और $e$ अक्सर सामान्य परिणामी कहा जाता है. इसके निम्नलिखित गुण हैं।

$\operatorname {res} (A,B)$ बिल्कुल अलघुकरणीय बहुपद है।
अगर $I$ का आदर्श (रिंग थ्योरी) है $R[x]$ द्वारा उत्पन्न $A$ और $B$ , तब $I\cap R$ द्वारा उत्पन्न $\operatorname {res} (A,B)$ प्रमुख आदर्श है .

एकरूपता

डिग्री के लिए सामान्य परिणाम $d$ और $e$ विभिन्न तरीकों से सजातीय बहुपद है। ज्यादा ठीक:

यह $a_{0},\ldots ,a_{d}.$ में डिग्री $e$ का सजातीय है
यह $b_{0},\ldots ,b_{e}.$ में डिग्री $d$ का सजातीय है
यह सभी चर $a_{i}$ और $b_{j}.$ में डिग्री $d + e$ का सजातीय है
अगर $a_{i}$ और $b_{i}$ को परिणामी $i$ दिया जाता है (यानी, प्रत्येक गुणांक का परिणामी प्राथमिक सममित बहुपद के रूप में इसकी डिग्री है), तो यह कुल परिणामी का $de$ का अर्ध-सजातीय बहुपद है |
अगर $P$ और $Q$ संबंधित डिग्री $d$ और $e$ के सजातीय बहुभिन्नरूपी बहुपद हैं , तो उनका परिणाम डिग्री $d$ और $e$ में अनिश्चित $x$ के संबंध में , निरूपित $\operatorname {res} _{x}^{d,e}(P,Q)$ में § अंकन, अन्य अनिश्चित में डिग्री $de$ का सजातीय है।

उन्मूलन संपत्तिगुण

मन लीजिये $I=\langle A,B\rangle$ एक बहुपद वलय (रिंग थ्योरी) $R[x],$ में दो बहुपद रिंग $A$ और $B$ द्वारा उत्पन्न आदर्श है, जहां $R=k[y_{1},\ldots ,y_{n}]$ क्षेत्र पर स्वयं बहुपद वलय है। यदि कम से कम $A$ और $B$ में $x$ मोनिक बहुपद है, तब:

$\operatorname {res} _{x}(A,B)\in I\cap R$
आदर्श $I\cap R$ और $R\operatorname {res} _{x}(A,B)$ ही बीजगणितीय सेट को परिभाषित करें। वह $n$ बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र के तत्वों का टपल तत्वों का सामान्य शून्य है $I\cap R$ अगर और केवल $\operatorname {res} _{x}(A,B).$ यह शून्य है
आदर्श $I\cap R$ मुख्य आदर्श के समान आदर्श $R\operatorname {res} _{x}(A,B).$ का मूलांक है अर्थात्, प्रत्येक $\operatorname {res} _{x}(A,B).$ तत्व $I\cap R$ का गुणज है
के सभी अलघुकरणीय बहुपद $\operatorname {res} _{x}(A,B)$ के हर तत्व को $I\cap R.$ में विभाजित करें

पहला अभिकथन परिणामी का मूल गुण है। अन्य अभिकथन दूसरे के तत्काल परिणाम हैं, जिन्हें निम्नानुसार सिद्ध किया जा सकता है।

जैसा की $A$ और $B$ में से कम से कम एक मोनिक है, एक $n$ टपल $(\beta _{1},\ldots ,\beta _{n})$ का $\operatorname {res} _{x}(A,B)$ शून्य है अगर और केवल अगर $\alpha$ मौजूद है जैसे कि $(\beta _{1},\ldots ,\beta _{n},\alpha )$ का $A$ और $B$ सामान्य शून्य है. ऐसा उभयनिष्ठ शून्य $I\cap R.$ भी के सभी अवयवों का शून्य होता है इसके विपरीत यदि $(\beta _{1},\ldots ,\beta _{n})$ के तत्वों का सामान्य $I\cap R,$ शून्य है यह परिणामी का शून्य है, और मौजूद है $\alpha$ ऐसा है कि $(\beta _{1},\ldots ,\beta _{n},\alpha )$ का सामान्य शून्य है $A$ और $B$ . इसलिए $I\cap R$ और $R\operatorname {res} _{x}(A,B)$ बिल्कुल वही शून्य हैं।

संगणना

सैद्धांतिक रूप से, परिणामी को मूलों के अंतर के उत्पाद के रूप में व्यक्त करने वाले सूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है। हालांकि, जैसा कि मूलों की आम तौर पर गणना नहीं की जा सकती है, ऐसा एल्गोरिदम अक्षम और संख्यात्मक रूप से अस्थिर होगा। चूंकि परिणामी प्रत्येक बहुपद की मूलों का सममित बहुपद है, इसकी गणना सममित बहुपद के मौलिक प्रमेय का उपयोग करके भी की जा सकती है, लेकिन यह अत्यधिक अक्षम होगा।

जैसा कि परिणामी सिल्वेस्टर मैट्रिक्स (और बेज़ाउट मैट्रिक्स) का निर्धारक है, इसकी गणना निर्धारकों की गणना के लिए किसी भी एल्गोरिथ्म का उपयोग करके की जा सकती है। इसके लिये $O(n^{3})$ अंकगणितीय संक्रियाओं की आवश्यकता है। जैसा कि एल्गोरिदम बेहतर जटिलता के साथ जाना जाता है (नीचे देखें), इस पद्धति का व्यवहार में उपयोग नहीं किया जाता है।

यह § बहुपदों के परिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीयता से आता है कि परिणामी की गणना बहुपदों के लिए यूक्लिडियन एल्गोरिदम से दृढ़ता से संबंधित है। इससे पता चलता है कि डिग्री $d$ और $e$ के दो बहुपदों के परिणाम की गणना गुणांक के क्षेत्र में अंकगणितीय संचालन $O(de)$ में की जा सकती है।

हालाँकि, जब गुणांक पूर्णांक, परिमेय संख्या या बहुपद होते हैं, तो ये अंकगणितीय संचालन गुणांक के कई GCD संगणनाओं को लागू करते हैं जो समान क्रम के होते हैं और एल्गोरिथ्म को अक्षम बनाते हैं। इस समस्या को हल करने और गुणांक के किसी भी अंश और किसी भी GCD संगणना से बचने के लिए उपपरिणामस्वरूप छद्म-शेष अनुक्रम पेश किए गए थे। पूर्णांक गुणांक वाले दो बहुपदों के परिणाम की गणना करने के लिए गुणांकों पर रिंग समरूपता के तहत परिणामी के अच्छे व्यवहार का उपयोग करके एक अधिक कुशल एल्गोरिथ्म प्राप्त किया जाता है, एक उनके परिणामी मॉडुलो की पर्याप्त रूप से कई अभाज्य संख्याओं की गणना करता है और फिर चीनी शेष प्रमेय के साथ परिणाम का पुनर्निर्माण करता है।

पूर्णांकों और बहुपदों के तेजी से गुणन का उपयोग परिणामी और सबसे बड़े सामान्य विभाजक के लिए एल्गोरिदम की अनुमति देता है जिसमें बेहतर समय जटिलता होती है, जो गुणन की जटिलता के क्रम का होता है, इनपुट के आकार के लघुगणक ( $\log(s(d+e)),$ से गुणा किया जाता है जहाँ $s$ इनपुट बहुपदों के अंकों की संख्या की ऊपरी सीमा है)।

बहुपद प्रणालियों के लिए आवेदन

परिणामी बहुपद समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए पेश किए गए थे और सबसे पुराना प्रमाण प्रदान करते हैं कि ऐसी प्रणालियों को हल करने के लिए कलन विधि मौजूद हैं। ये मुख्य रूप से दो अज्ञात में दो समीकरणों की प्रणालियों के लिए अभिप्रेत हैं, लेकिन सामान्य प्रणालियों को हल करने की भी अनुमति देते हैं।

दो अज्ञात में दो समीकरणों का मामला

दो बहुपद समीकरणों की प्रणाली पर विचार करें

{\begin{aligned}P(x,y)&=0\\Q(x,y)&=0,\end{aligned}}

जहाँ $P$ और $Q$ संबंधित $d$ और $e$ कुल डिग्री के बहुपद हैं. तब $R=\operatorname {res} _{y}^{d,e}(P,Q)$ में $x$ बहुपद है, जो $de$ डिग्री की सामान्य संपत्तिगुण है (गुणों द्वारा § एकरूपता). मान $\alpha$ का $x$ की $R$ मूल है अगर और केवल अगर या तो $\beta$ मौजूद हैं बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र में जिसमें गुणांक होते हैं, जैसे कि $P(\alpha ,\beta )=Q(\alpha ,\beta )=0$ , या $\deg(P(\alpha ,y))<d$ और $\deg(Q(\alpha ,y))<e$ (इस मामले में, कोई ऐसा कहता है $P$ और $Q$ के लिए अनंत पर उभयनिष्ठ मूल $x=\alpha$ है ).

इसलिए, सिस्टम के समाधान की मूलों की गणना करके प्राप्त किए जाते हैं $R$ , और प्रत्येक मूल के लिए $\alpha ,$ की सामान्य मूल (ओं) $P(\alpha ,y),$ $Q(\alpha ,y),$ और $\operatorname {res} _{x}(P,Q).$ की गणना करना हैं

बेज़ाउट प्रमेय का परिणाम $\deg \left(\operatorname {res} _{y}(P,Q)\right)\leq de$ , के मान से होता है की $P$ और $Q$ डिग्री का उत्पाद . वास्तव में, चरों के रैखिक परिवर्तन के बाद, कोई यह मान सकता है कि, प्रत्येक रूट के लिए $x$ परिणामी का, $y$ का बिल्कुल मान है जैसे कि $(x, y)$ का सामान्य शून्य $P$ और $Q$ है. इससे पता चलता है कि उभयनिष्ठ शून्यों की संख्या अधिक से अधिक परिणामी की डिग्री है, जो कि $P$ और $Q$ अधिक से अधिक डिग्री का गुणनफल है. कुछ तकनीकीताओं के साथ, इस प्रमाण को यह दिखाने के लिए बढ़ाया जा सकता है कि अनंत पर गुणा और शून्य की गिनती, शून्य की संख्या वास्तव में डिग्री का उत्पाद है।

सामान्य मामला

पहली नज़र में, ऐसा लगता है कि परिणामी समीकरणों की सामान्य बहुपद प्रणाली पर लागू हो सकते हैं

P_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})=0

\vdots

P_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})=0

हर जोड़ी के परिणाम की गणना करके $(P_{i},P_{j})$ इसके संबंध में $x_{n}$ अज्ञात को खत्म करने के लिए, और प्रक्रिया को दोहराते हुए जब तक कि एकतरफा बहुपद न मिल जाए। दुर्भाग्य से, यह कई नकली समाधान पेश करता है, जिन्हें हटाना मुश्किल है।

19वीं शताब्दी के अंत में शुरू की गई विधि इस प्रकार काम करती है: परिचय $k - 1$ नए अनिश्चित $U_{2},\ldots ,U_{k}$ और गणना करें

\operatorname {res} _{x_{n}}(P_{1},U_{2}P_{2}+\cdots +U_{k}P_{k}).

यह बहुपद है

U_{2},\ldots ,U_{k}

जिनके गुणांक बहुपद हैं

x_{1},\ldots ,x_{n-1},

जिसके पास वह संपत्तिगुण है

\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n-1}

इन बहुपद गुणांकों का सामान्य शून्य है, यदि और केवल यदि अविभाज्य बहुपद

P_{i}(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n-1},x_{n})

सामान्य शून्य है, संभवतः अनंत पर इंगित करता है। इस प्रक्रिया को तब तक दोहराया जा सकता है जब तक कि अविभाजित बहुपद नहीं मिलते।

सही एल्गोरिथम प्राप्त करने के लिए विधि में दो पूरक जोड़े जाने चाहिए। सबसे पहले, प्रत्येक चरण में, चर के रैखिक परिवर्तन की आवश्यकता हो सकती है ताकि अंतिम चर में बहुपदों की डिग्री उनकी कुल डिग्री के समान हो। दूसरे, यदि किसी भी चरण पर, परिणामी शून्य है, तो इसका अर्थ है कि बहुपदों का उभयनिष्ठ गुणनखंड है और समाधान दो घटकों में विभाजित हो जाता है: जहां उभयनिष्ठ गुणनखंड शून्य है, और दूसरा जो इस उभयनिष्ठ गुणनखंड को निकालकर प्राप्त किया जाता है जारी रखने से पहले कारक।

यह एल्गोरिथम बहुत जटिल है और इसमें समय की जटिलता है। इसलिए, इसकी रुचि मुख्य रूप से ऐतिहासिक है।

अन्य अनुप्रयोग

संख्या सिद्धांत

बहुपद का विभेदक, जो संख्या सिद्धांत में मौलिक उपकरण है, बहुपद के परिणामी और उसके व्युत्पन्न के प्रमुख गुणांक द्वारा भागफल है।

अगर $\alpha$ और $\beta$ बीजगणितीय संख्याएँ हैं जैसे कि $P(\alpha )=Q(\beta )=0$ , तब $\gamma =\alpha +\beta$ परिणामी की मूल है $\operatorname {res} _{x}(P(x),Q(z-x)),$ और $\tau =\alpha \beta$ की मूल है $\operatorname {res} _{x}(P(x),x^{n}Q(z/x))$ , जहाँ $n$ के बहुपद की घात है $Q(y)$ . इस तथ्य के साथ संयुक्त $1/\beta$ की मूल है $y^{n}Q(1/y)=0$ , यह दर्शाता है कि बीजगणितीय संख्याओं का समुच्चय क्षेत्र (गणित) है।

मान लीजिये $K(\alpha )$ तत्व द्वारा उत्पन्न बीजगणितीय क्षेत्र विस्तार हो $\alpha ,$ जो है $P(x)$ न्यूनतम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत) के रूप में। का हर तत्व $\beta \in K(\alpha )$ रूप में लिखा जा सकता है $\beta =Q(\alpha ),$ जहाँ $Q$ बहुपद है। तब $\beta$ की मूल है $\operatorname {res} _{x}(P(x),z-Q(x)),$ और यह परिणामी $\beta .$ के न्यूनतम बहुपद की घात है

बीजगणितीय ज्यामिति

बहुपदों के शून्य के रूप में परिभाषित दो समतल बीजगणितीय वक्र दिए गए हैं $P (x, y)$ और $Q (x, y)$ परिणामी उनके प्रतिच्छेदन की गणना की अनुमति देता है। अधिक त्रुटिहीन, की मूलें $\operatorname {res} _{y}(P,Q)$ प्रतिच्छेदन बिंदु और सामान्य ऊर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख के एक्स-निर्देशांक हैं, और की मूलें $\operatorname {res} _{x}(P,Q)$ प्रतिच्छेदन बिंदु और सामान्य क्षैतिज स्पर्शोन्मुख के y-निर्देशांक हैं।

परिमेय वक्र को पैरामीट्रिक समीकरण द्वारा परिभाषित किया जा सकता है

x={\frac {P(t)}{R(t)}},\qquad y={\frac {Q(t)}{R(t)}},

जहाँ $P$ , $Q$ और $R$ बहुपद हैं। वक्र का अन्तर्निहित समीकरण किसके द्वारा दिया जाता है

\operatorname {res} _{t}(xR-P,yR-Q).

इस वक्र की डिग्री उच्चतम डिग्री है $P$ , $Q$ और $R$ , जो परिणामी की कुल डिग्री के बराबर है।

प्रतीकात्मक एकीकरण

प्रतीकात्मक एकीकरण में, तर्कसंगत अंश के प्रतिपक्षी की गणना करने के लिए, आंशिक अंश अपघटन का उपयोग तर्कसंगत भाग में अभिन्न को विघटित करने के लिए किया जाता है, जो तर्कसंगत अंशों का योग होता है, जिनके प्रतिपक्षी तर्कसंगत अंश होते हैं, और लघुगणकीय भाग जो तर्कसंगत अंश का योग होता है रूप के अंश

{\frac {P(x)}{Q(x)}},

जहाँ $Q$ वर्ग मुक्त बहुपद है और $P$ से कम कोटि $Q$ का बहुपद है. इस तरह के फलन के प्रतिपक्षी में आवश्यक रूप से लघुगणक और आम तौर पर बीजगणितीय संख्याएं(की मूलें $Q$ ) शामिल होती हैं. वास्तव में, प्रतिपक्षी है

\int {\frac {P(x)}{Q(x)}}dx=\sum _{Q(\alpha )=0}{\frac {P(\alpha )}{Q'(\alpha )}}\log(x-\alpha ),

जहां योग की सभी जटिल मूलों पर चलता है $Q$ .

इस व्यंजक में शामिल बीजगणितीय संख्याओं की संख्या आम तौर पर $Q$ की डिग्री के बराबर होती है, लेकिन यह अक्सर होता है कि कम बीजगणितीय संख्याओं वाले व्यंजक की गणना की जा सकती है। डैनियल लाजार्ड-रिओबू-बैरी ट्रैगर विधि एक अभिव्यक्ति उत्पन्न करती है, जहां बीजगणितीय संख्याओं की संख्या बीजगणितीय संख्याओं के साथ किसी भी गणना के बिना न्यूनतम होती है।

मान लीजिये

S_{1}(r)S_{2}(r)^{2}\cdots S_{k}(r)^{k}=\operatorname {res} _{r}(rQ'(x)-P(x),Q(x))

परिणामी का वर्ग-मुक्त गुणनखंड हो जो दाईं ओर दिखाई देता है। ट्रैगर ने साबित कर दिया कि प्रतिपक्षी है

\int {\frac {P(x)}{Q(x)}}dx=\sum _{i=1}^{k}\sum _{S_{i}(\alpha )=0}\alpha \log(T_{i}(\alpha ,x)),

जहां आंतरिक योग की मूलों पर चलते हैं $S_{i}$ (अगर $S_{i}=1$ योग शून्य है, खाली योग होने के नाते), और $T_{i}(r,x)$ डिग्री का बहुपद है $i$ में $x$ . Lazard-Rioboo योगदान इसका प्रमाण है $T_{i}(r,x)$ डिग्री का बहुपद सबसे बड़ा सामान्य विभाजक#उपपरिणाम है $i$ का $rQ'(x)-P(x)$ और $Q(x).$ इस प्रकार यह मुफ्त में प्राप्त किया जाता है यदि परिणामी की गणना बहुपद महानतम सामान्य विभाजक#उपपरिणाम छद्म-शेष अनुक्रम|उपपरिणाम छद्म-शेष अनुक्रम द्वारा की जाती है।

कंप्यूटर बीजगणित

सभी पूर्ववर्ती अनुप्रयोग, और कई अन्य, दिखाते हैं कि परिणामी कंप्यूटर बीजगणित में मौलिक उपकरण है। वास्तव में अधिकांश कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियों में परिणामकों की गणना का कुशल कार्यान्वयन शामिल है।

सजातीय परिणाम

परिणामी को दो अनिश्चित बहुपदों में दो सजातीय बहुपदों के लिए भी परिभाषित किया गया है। दो सजातीय बहुपद दिए गए हैं $P (x, y)$ और $Q (x, y)$ संबंधित कुल डिग्रियों का $p$ और $q$ , उनका सजातीय परिणाम रैखिक मानचित्र के मोनोमियल आधार पर मैट्रिक्स का निर्धारक है

(A,B)\mapsto AP+BQ,

जहाँ $A$ डिग्री के द्विभाजित सजातीय बहुपदों पर चलता है $q - 1$ , और $B$ डिग्री के सजातीय बहुपदों पर चलता है $p - 1$ . दूसरे शब्दों में, का सजातीय परिणाम $P$ और $Q$ का परिणाम है

 $P (x, 1)$  और  $Q (x, 1)$  जब उन्हें डिग्री के बहुपद के रूप में माना जाता है  $p$  और  $q$  (उनकी डिग्री  $x$  उनकी कुल डिग्री से कम हो सकता है):

\operatorname {Res} (P(x,y),Q(x,y))=\operatorname {res} _{p,q}(P(x,1),Q(x,1)).

(Res के कैपिटलाइज़ेशन का उपयोग यहाँ दो परिणामों को अलग करने के लिए किया गया है, हालाँकि संक्षिप्त नाम के कैपिटलाइज़ेशन के लिए कोई मानक नियम नहीं है)।

सजातीय परिणामी में अनिवार्य रूप से सामान्य परिणाम के समान गुण होते हैं, अनिवार्य रूप से दो अंतरों के साथ: बहुपद मूलों के बजाय, प्रक्षेपी रेखा में शून्य पर विचार किया जाता है, और बहुपद की डिग्री रिंग होमोमोर्फिज्म के तहत नहीं बदल सकती है। वह है:

अभिन्न डोमेन पर दो सजातीय बहुपदों का परिणाम शून्य होता है यदि और केवल यदि उनके गुणांक वाले बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर गैर-शून्य सामान्य शून्य होता है।
अगर $P$ और $Q$ क्रमविनिमेय वलय में गुणांक वाले दो द्विभाजित सजातीय बहुपद हैं $R$ , और $\varphi \colon R\to S$ की रिंग समरूपता $R$ दूसरे क्रमविनिमेय रिंग में $S$ , फिर बढ़ा रहा है $\varphi$ बहुपदों पर $R$ , वाले हैं

\operatorname {Res} (\varphi (P),\varphi (Q))=\varphi (\operatorname {Res} (P,Q)).

चर के किसी भी अनुमानित परिवर्तन के तहत शून्य होने के लिए सजातीय परिणामी की संपत्तिगुण अपरिवर्तनीय है।

सामान्य परिणामी की कोई भी संपत्तिगुण समान रूप से सजातीय परिणामी तक विस्तारित हो सकती है, और परिणामी संपत्तिगुण सामान्य परिणामी की संबंधित संपत्तिगुण की तुलना में या तो बहुत समान या सरल होती है।

मैकाले का परिणाम

मैकाले का परिणामी, जिसका नाम फ्रांसिस सॉवरबी मैकाले के नाम पर रखा गया है, जिसे बहुभिन्नरूपी परिणामी, या बहुपद परिणामी भी कहा जाता है,^[3] सजातीय परिणाम का सामान्यीकरण है $n$ सजातीय बहुपद में $n$ अनिश्चित (चर)। इनके गुणांकों में मैकाले का परिणामी बहुपद है $n$ सजातीय बहुपद जो लुप्त हो जाते हैं यदि और केवल यदि बहुपदों का बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र में सामान्य गैर-शून्य समाधान होता है जिसमें गुणांक होते हैं, या, समकक्ष, यदि $n$ बहुपदों द्वारा परिभाषित हाइपर सतहों में सामान्य शून्य होता है $n -1$ आयामी प्रक्षेपण स्थान। ग्रोबनर आधार के साथ बहुभिन्नरूपी परिणामी | ग्रोबनर आधार, प्रभावी उन्मूलन सिद्धांत (कंप्यूटर पर उन्मूलन सिद्धांत) के मुख्य उपकरणों में से है।

सजातीय परिणामी की तरह, मैकाले को निर्धारकों के साथ परिभाषित किया जा सकता है, और इस प्रकार रिंग होमोमोर्फिज़्म के तहत अच्छा व्यवहार करता है। हालाँकि, इसे निर्धारक द्वारा परिभाषित नहीं किया जा सकता है। यह इस प्रकार है कि पहले इसे सामान्य बहुपदों पर परिभाषित करना आसान है।

सामान्य सजातीय बहुपदों का परिणाम

डिग्री का सजातीय बहुपद $d$ में $n$ चर तक हो सकते हैं

{\binom {n+d-1}{n-1}}={\frac {(n+d-1)!}{(n-1)!\,d!}}

गुणांक; इसे सामान्य कहा जाता है, यदि ये गुणांक अलग-अलग अनिश्चित हैं।

मान लीजिये $P_{1},\ldots ,P_{n}$ होना $n$ में सामान्य सजातीय बहुपद $n$ संबंधित कुल डिग्री के अनिश्चित $d_{1},\dots ,d_{n}.$ साथ में, वे शामिल होते हैं

\sum _{i=1}^{n}{\binom {n+d_{i}-1}{n-1}}

अनिश्चित गुणांक। मान लीजिये $C$ इन सभी में पूर्णांकों पर बहुपद वलय हो अनिश्चित गुणांक। बहुपद $P_{1},\ldots ,P_{n}$ इस प्रकार से हैं $C[x_{1},\ldots ,x_{n}],$ और उनका परिणामी (अभी भी परिभाषित किया जाना है) संबंधित है $C$ .

मैकाले की डिग्री पूर्णांक है $D=d_{1}+\cdots +d_{n}-n+1,$ जो मैकाले के सिद्धांत में मौलिक है। परिणामी को परिभाषित करने के लिए, कोई मैकाले मैट्रिक्स पर विचार करता है, जो कि के मोनोमियल आधार पर मैट्रिक्स है $C$ -रैखिक नक्शा

(Q_{1},\ldots ,Q_{n})\mapsto Q_{1}P_{1}+\cdots +Q_{n}P_{n},

जिसमें प्रत्येक $Q_{i}$ डिग्री के सजातीय बहुपदों पर चलता है $D-d_{i},$ और कोडोमेन है $C$ डिग्री के सजातीय बहुपदों का मॉड्यूल $D$ .

अगर $n = 2$ , मैकाले मैट्रिक्स स्क्वायर मैट्रिक्स है, और वर्ग मैट्रिक्स है, लेकिन यह अब सत्य नहीं है $n > 2$ . इस प्रकार, निर्धारक पर विचार करने के बजाय, सभी अधिकतम लघु (रैखिक बीजगणित) पर विचार किया जाता है, जो वर्ग उपमात्रियों के निर्धारक होते हैं जिनकी मैकाले मैट्रिक्स के रूप में कई पंक्तियाँ होती हैं। मैकाले ने सिद्ध किया कि $C$ -आदर्श इन प्रमुख नाबालिगों द्वारा उत्पन्न प्रमुख आदर्श है, जो इन नाबालिगों के सबसे बड़े सामान्य विभाजक द्वारा उत्पन्न होता है। जैसा कि पूर्णांक गुणांक वाले बहुपदों के साथ काम कर रहा है, यह सबसे बड़ा सामान्य विभाजक इसके चिह्न तक परिभाषित किया गया है। सामान्य मैकाले का परिणाम सबसे बड़ा सामान्य विभाजक है जो बन जाता है $1$ , कब, प्रत्येक के लिए $i$ , शून्य के सभी गुणांकों के लिए प्रतिस्थापित किया जाता है $P_{i},$ के गुणांक को छोड़कर $x_{i}^{d_{i}},$ जिसके लिए प्रतिस्थापित किया गया है।

जेनेरिक मैकाले परिणामी के गुण

जेनेरिक मैकाले परिणामी अलघुकरणीय बहुपद है।
यह डिग्री का सजातीय है $B/d_{i}$ के गुणांक में $P_{i},$ जहाँ $B=d_{1}\cdots d_{n}$ बेज़ाउट प्रमेय है|बेज़ाउट बाउंड।
डिग्री के प्रत्येक एकपदी के परिणाम के साथ उत्पाद $D$ में $x_{1},\dots ,x_{n}$ के आदर्श के अंतर्गत आता है $C[x_{1},\dots ,x_{n}]$ द्वारा उत्पन्न $P_{1},\dots ,P_{n}.$

क्षेत्र पर बहुपदों का परिणाम

अब से, हम मानते हैं कि सजातीय बहुपद $P_{1},\ldots ,P_{n}$ डिग्रियों का $d_{1},\ldots ,d_{n}$ क्षेत्र में उनके गुणांक हैं (गणित) $k$ , अर्थात् वे इससे संबंधित हैं $k[x_{1},\dots ,x_{n}].$ उनके परिणामी को के तत्व के रूप में परिभाषित किया गया है $k$ के वास्तविक गुणांकों द्वारा अनिश्चित गुणांकों को सामान्य परिणामी में प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है $P_{i}.$ परिणामी की मुख्य संपत्तिगुण यह है कि यह शून्य है अगर और केवल अगर $P_{1},\ldots ,P_{n}$ के बीजगणितीय रूप से बंद विस्तार में शून्येतर सामान्य शून्य है $k$ .

केवल अगर इस प्रमेय का हिस्सा पूर्ववर्ती पैराग्राफ की अंतिम संपत्तिगुण से निकलता है, और हिल्बर्ट के नलस्टेलेंसैट्ज#प्रोजेक्टिव नलस्टेलेंसैट्ज का प्रभावी संस्करण है: यदि परिणामी गैर-शून्य है, तो

\langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle ^{D}\subseteq \langle P_{1},\ldots ,P_{n}\rangle ,

जहाँ $D=d_{1}+\cdots +d_{n}-n+1$ मैकाले डिग्री है, और $\langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle$ अधिकतम सजातीय आदर्श है। इसका अर्थ यह है कि $P_{1},\ldots ,P_{n}$ अद्वितीय सामान्य शून्य के अलावा कोई अन्य सामान्य शून्य नहीं है, $(0, ..., 0)$ , का $x_{1},\ldots ,x_{n}.$

संगणनीयता

चूंकि परिणामी की गणना निर्धारकों और बहुपद महानतम सामान्य विभाजकों की गणना करने के लिए कम हो सकती है, परिणामों की गणना के लिए चरणों की सीमित संख्या में एल्गोरिदम हैं।

हालाँकि, सामान्य परिणामी बहुत उच्च डिग्री का बहुपद है (घातांक में $n$ ) बड़ी संख्या में अनिश्चितताओं पर निर्भर करता है। यह इस प्रकार है, बहुत छोटे को छोड़कर $n$ और इनपुट बहुपदों की बहुत छोटी डिग्री, सामान्य परिणाम व्यवहार में, आधुनिक कंप्यूटरों के साथ भी गणना करना असंभव है। इसके अलावा, सामान्य परिणामी के एकपद्स की संख्या इतनी अधिक है, कि, यदि यह गणना योग्य होगा, तो परिणाम को उपलब्ध स्मृति उपकरणों पर संग्रहीत नहीं किया जा सकता है, यहां तक कि छोटे मूल्यों के लिए भी $n$ और इनपुट बहुपदों की डिग्री।

इसलिए, परिणामी की गणना करना केवल उन बहुपदों के लिए समझ में आता है जिनके गुणांक क्षेत्र से संबंधित हैं या क्षेत्र में कुछ अनिश्चित में बहुपद हैं।

क्षेत्र में गुणांक वाले इनपुट बहुपदों के मामले में, परिणामी का त्रुटिहीन मूल्य शायद ही कभी महत्वपूर्ण होता है, केवल इसकी समानता (या नहीं) शून्य मायने रखती है। जैसा कि परिणामी शून्य है यदि और केवल यदि मैकाले मैट्रिक्स की रैंक इसकी पंक्तियों की संख्या से कम है, तो यह समानता शून्य हो सकती है, जिसे मैकाले मैट्रिक्स में गॉसियन विलोपन लागू करके परीक्षण किया जा सकता है। यह समय जटिलता प्रदान करता है $d^{O(n)},$ जहाँ $d$ इनपुट बहुपद की अधिकतम डिग्री है।

और मामला जहां परिणामी की गणना उपयोगी जानकारी प्रदान कर सकती है, जब इनपुट बहुपद के गुणांक कम संख्या में बहुपद होते हैं, जिन्हें अक्सर पैरामीटर कहा जाता है। इस मामले में, परिणामी, यदि शून्य नहीं है, तो पैरामीटर स्थान में ऊनविम पृष्ठ को परिभाषित करता है। बिंदु इस हाइपर सतह से संबंधित है, अगर और केवल अगर के मान हैं $x_{1},\ldots ,x_{n}$ जो, बिंदु के निर्देशांक के साथ इनपुट बहुपदों का शून्य है। दूसरे शब्दों में, परिणामी के उन्मूलन सिद्धांत का परिणाम है $x_{1},\ldots ,x_{n}$ इनपुट बहुपदों से।

यू-परिणामस्वरूप

मैकाले का परिणामी विधि प्रदान करता है, जिसे मैकाले द्वारा यू-परिणाम कहा जाता है, बहुपद समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए।

दिया गया $n - 1$ सजातीय बहुपद $P_{1},\ldots ,P_{n-1},$ डिग्रियों का $d_{1},\ldots ,d_{n-1},$ में $n$ अनिश्चित $x_{1},\ldots ,x_{n},$ मैदान के ऊपर $k$ , उनका 'यू'-परिणाम का परिणाम है $n$ बहुआयामी पद $P_{1},\ldots ,P_{n-1},P_{n},$ जहाँ

P_{n}=u_{1}x_{1}+\cdots +u_{n}x_{n}

सामान्य रेखीय रूप है जिसके गुणांक नए अनिश्चित हैं $u_{1},\ldots ,u_{n}.$ नोटेशन $u_{i}$ या $U_{i}$ इन सामान्य गुणांकों के लिए पारंपरिक है, और यू-परिणामी शब्द का मूल है।

यू-परिणामी में सजातीय बहुपद है $k[u_{1},\ldots ,u_{n}].$ यह शून्य है अगर और केवल अगर सामान्य शून्य $P_{1},\ldots ,P_{n-1}$ बीजगणितीय विविधता के सकारात्मक आयाम का प्रक्षेपी बीजगणितीय सेट बनाएं (अर्थात, बीजगणितीय रूप से बंद विस्तार पर असीम रूप से कई प्रक्षेपी शून्य हैं $k$ ). यदि U-परिणामी शून्य नहीं है, तो इसकी डिग्री बेज़ाउट प्रमेय है|बेज़ाउट बाउंड $d_{1}\cdots d_{n-1}.$ U-परिणामस्वरूप बीजगणितीय रूप से बंद विस्तार पर गुणनखण्ड करता है $k$ रैखिक रूपों के उत्पाद में। अगर $\alpha _{1}u_{1}+\ldots +\alpha _{n}u_{n}$ ऐसा रैखिक कारक है, तब $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$ के सामान्य शून्य के सजातीय निर्देशांक हैं $P_{1},\ldots ,P_{n-1}.$ इसके अलावा, प्रत्येक सामान्य शून्य इन रैखिक कारकों में से से प्राप्त किया जा सकता है, और कारक के रूप में बहुलता, प्रतिच्छेदन बहुलता के बराबर है $P_{i}$ इस शून्य पर। दूसरे शब्दों में, यू-परिणामस्वरूप बेज़ाउट प्रमेय का पूर्णतः स्पष्ट संस्करण प्रदान करता है।

अधिक बहुपदों और अभिकलन का विस्तार

मैकाले द्वारा परिभाषित यू-परिणाम को समीकरणों की प्रणाली में सजातीय बहुपदों की संख्या की आवश्यकता होती है $n-1$ , जहाँ $n$ अनिश्चित की संख्या है। 1981 में, डैनियल लाजार्ड ने इस धारणा को उस मामले तक बढ़ाया जहां बहुपदों की संख्या भिन्न हो सकती है $n-1$ , और परिणामी गणना विशेष गॉसियन उन्मूलन प्रक्रिया के माध्यम से प्रतीकात्मक निर्धारक संगणना के बाद की जा सकती है।

मान लीजिये $P_{1},\ldots ,P_{k}$ सजातीय बहुपद हो $x_{1},\ldots ,x_{n},$ डिग्रियों का $d_{1},\ldots ,d_{k},$ मैदान के ऊपर $k$ . सामान्यता के नुकसान के बिना, कोई ऐसा मान सकता है $d_{1}\geq d_{2}\geq \cdots \geq d_{k}.$ सेटिंग $d_{i}=1$ के लिए $i > k$ , मैकाले बाध्य है $D=d_{1}+\cdots +d_{n}-n+1.$ मान लीजिये $u_{1},\ldots ,u_{n}$ नए अनिश्चित बनें और परिभाषित करें $P_{k+1}=u_{1}x_{1}+\cdots +u_{n}x_{n}.$ इस मामले में, मैकॉले मैट्रिक्स को मोनोमियल्स के आधार पर मैट्रिक्स के रूप में परिभाषित किया गया है $x_{1},\ldots ,x_{n},$ रैखिक मानचित्र का

(Q_{1},\ldots ,Q_{k+1})\mapsto P_{1}Q_{1}+\cdots +P_{k+1}Q_{k+1},

जहाँ, प्रत्येक के लिए $i$ , $Q_{i}$ शून्य और डिग्री के सजातीय बहुपदों से मिलकर रैखिक स्थान पर चलता है $D-d_{i}$ .

गाऊसी विलोपन के प्रकार द्वारा मैकाले मैट्रिक्स को कम करने पर, रैखिक रूपों का वर्ग मैट्रिक्स प्राप्त होता है $u_{1},\ldots ,u_{n}.$ इस मैट्रिक्स का निर्धारक U- परिणामी है। मूल यू-परिणाम के साथ, यह शून्य है अगर और केवल अगर $P_{1},\ldots ,P_{k}$ असीमित रूप से कई आम प्रोजेक्टिव शून्य हैं (यानी प्रोजेक्टिव बीजगणितीय सेट द्वारा परिभाषित किया गया है $P_{1},\ldots ,P_{k}$ के बीजगणितीय समापन पर अपरिमित रूप से कई बिंदु हैं $k$ ). फिर से मूल यू-परिणाम के साथ, जब यह यू-परिणाम शून्य नहीं होता है, तो यह किसी भी बीजगणितीय रूप से बंद विस्तार पर रैखिक कारकों में कारक होता है $k$ . इन रैखिक कारकों के गुणांक सामान्य शून्य के सजातीय निर्देशांक हैं $P_{1},\ldots ,P_{k},$ और सामान्य शून्य की बहुलता संगत रैखिक कारक की बहुलता के बराबर होती है।

मैकाले मैट्रिक्स की पंक्तियों की संख्या से कम है $(ed)^{n},$ जहाँ $e ~ 2.7182$ सामान्य ई (गणितीय स्थिरांक) है, और $d$ की डिग्री का अंकगणितीय माध्य है $P_{i}.$ यह इस प्रकार है कि प्रोजेक्टिव शून्य की सीमित संख्या के साथ बहुपद समीकरणों की प्रणाली के सभी समाधान समय जटिलता में निर्धारित किए जा सकते हैं $d^{O(n)}.$ हालांकि यह सीमा बड़ी है, यह निम्नलिखित अर्थों में लगभग इष्टतम है: यदि सभी इनपुट डिग्री समान हैं, तो प्रक्रिया की समय जटिलता समाधान की अपेक्षित संख्या (बेज़ाउट प्रमेय) में बहुपद है। यह गणना व्यावहारिक रूप से व्यवहार्य हो सकती है जब $n$ , $k$ और $d$ बड़े नहीं हैं।

यह भी देखें

उन्मूलन सिद्धांत
सब्रेसल्टेंट
अरैखिक बीजगणित

संदर्भ

Gelfand, I. M.; Kapranov, M.M.; Zelevinsky, A.V. (1994), Discriminants, resultants, and multidimensional determinants, Boston: Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-3660-9
Macaulay, F. S. (1902), "Some Formulæ in Elimination", Proc. London Math. Soc., 35: 3–27, doi:10.1112/plms/s1-35.1.3
Macaulay, F. S. (1916), The Algebraic Theory of Modular Systems, The Cornell Library of Historical Mathematical Monographs, Cambridge University Press, ISBN 978-1275570412
Salmon, George (1885) [1859], Lessons introductory to the modern higher algebra (4th ed.), Dublin, Hodges, Figgis, and Co., ISBN 978-0-8284-0150-0

बाहरी संबंध

Weisstein, Eric W. "Resultant". MathWorld.

[FOOTNOTESalmon1885lesson_VIII,_p._66-1] Salmon 1885, lesson VIII, p. 66.

[FOOTNOTEMacaulay1902-2] Macaulay 1902.

[3] Cox, David; Little, John; O'Shea, Donal (2005), Using Algebraic Geometry, Springer Science+Business Media, ISBN 978-0387207339, Chapter 3. Resultants

[1]

[2]

[3]

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 * अगर <math>\deg(\varphi(A)) = f<d</math> और <math>\deg(\varphi(B)) = e,</math> और {{math|''B''}} के अग्रणी गुणांक <math>b_0</math> है तब
 ::<math>\varphi(\operatorname{res}(A,B)) = (-1)^{e(d-f)}\varphi(b_0)^{d-f}\operatorname{res}(\varphi(A), \varphi(B)).</math>
-निर्धारक के रूप में परिणामी की परिभाषा से इन गुणों को आसानी से घटाया जा सकता है। वे मुख्य रूप से दो स्थितियों में उपयोग किए जाते हैं। पूर्णांक गुणांक वाले बहुपदों के परिणाम की गणना करने के लिए, यह आम तौर पर [[मॉड्यूलर अंकगणित|मॉड्यूलर अंकगणितीय]] कई प्राइम्स की गणना करने और [[चीनी शेष प्रमेय]] के साथ वांछित परिणाम प्राप्त करने के लिए तेज़ होता है। कब {{math|''R''}} अन्य अनिश्चित में बहुपद की रिंग है, और {{math|''S''}} कुछ या सभी अनिश्चित संख्यात्मक मानों की विशेषज्ञता के द्वारा प्राप्त की गई रिंग {{math|''R''}} है, इन गुणों को इस तरह से बहाल किया जा सकता है जैसे कि विशेषज्ञता द्वारा डिग्री को संरक्षित किया जाता है, दो बहुपदों के विशेषज्ञता का परिणाम परिणामी का विशेषज्ञता है। यह संपत्ति मौलिक है, उदाहरण के लिए, बेलनाकार बीजगणितीय अपघटन के लिए।
+निर्धारक के रूप में परिणामी की परिभाषा से इन गुणों को आसानी से घटाया जा सकता है। वे मुख्य रूप से दो स्थितियों में उपयोग किए जाते हैं। पूर्णांक गुणांक वाले बहुपदों के परिणाम की गणना करने के लिए, यह आम तौर पर [[मॉड्यूलर अंकगणित|मॉड्यूलर अंकगणितीय]] कई प्राइम्स की गणना करने और [[चीनी शेष प्रमेय]] के साथ वांछित परिणाम प्राप्त करने के लिए तेज़ होता है। कब {{math|''R''}} अन्य अनिश्चित में बहुपद की रिंग है, और {{math|''S''}} कुछ या सभी अनिश्चित संख्यात्मक मानों की विशेषज्ञता के द्वारा प्राप्त की गई रिंग {{math|''R''}} है, इन गुणों को इस तरह से बहाल किया जा सकता है जैसे कि विशेषज्ञता द्वारा डिग्री को संरक्षित किया जाता है, दो बहुपदों के विशेषज्ञता का परिणाम परिणामी का विशेषज्ञता है। यह संपत्तिगुण मौलिक है, उदाहरण के लिए, बेलनाकार बीजगणितीय अपघटन के लिए।
 === चर के परिवर्तन के तहत व्युत्क्रम ===
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 *अगर {{math|''P''}} और {{math|''Q''}} संबंधित डिग्री {{math|''d''}} और {{math|''e''}} के सजातीय बहुभिन्नरूपी बहुपद हैं , तो उनका परिणाम डिग्री {{math|''d''}} और {{math|''e''}}  में अनिश्चित {{math|''x''}} के संबंध में , निरूपित <math>\operatorname{res}_x^{d,e}(P,Q)</math> में {{slink||अंकन}}, अन्य अनिश्चित में डिग्री {{math|''de''}} का सजातीय है।
-=== उन्मूलन संपत्ति ===
+=== उन्मूलन संपत्तिगुण ===
 मन लीजिये <math>I=\langle A, B\rangle </math> एक बहुपद वलय (रिंग थ्योरी) <math>R[x],</math> में दो बहुपद रिंग {{math|''A''}} और {{math|''B''}}  द्वारा उत्पन्न आदर्श है, जहां <math>R=k[y_1,\ldots,y_n]</math> क्षेत्र पर स्वयं बहुपद वलय है। यदि कम से कम {{math|''A''}} और {{math|''B''}} में {{mvar|x}} मोनिक बहुपद है, तब:
 * <math>\operatorname{res}_x(A,B)\in I \cap R</math>
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 Q(x,y)&=0,
 \end{align}</math>
-जहाँ {{math|''P''}} और {{math|''Q''}} संबंधित {{math|''d''}} और {{math|''e''}} [[कुल डिग्री]] के बहुपद हैं. तब <math>R=\operatorname{res}_y^{d,e}(P,Q)</math> में {{math|''x''}} बहुपद है, जो {{math|''de''}} डिग्री की [[सामान्य संपत्ति]] है (गुणों द्वारा {{slink||एकरूपता}}). मान <math>\alpha</math> का {{math|''x''}} की {{math|''R''}} मूल है  अगर और केवल अगर या तो <math>\beta</math> मौजूद हैं  बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र में जिसमें गुणांक होते हैं, जैसे कि <math>P(\alpha,\beta)=Q(\alpha,\beta)=0</math>, या <math>\deg(P(\alpha,y)) <d </math> और <math>\deg(Q(\alpha,y)) <e </math> (इस मामले में, कोई ऐसा कहता है {{math|''P''}} और {{math|''Q''}} के लिए अनंत पर उभयनिष्ठ मूल <math>x=\alpha</math> है ).
+जहाँ {{math|''P''}} और {{math|''Q''}} संबंधित {{math|''d''}} और {{math|''e''}} [[कुल डिग्री]] के बहुपद हैं. तब <math>R=\operatorname{res}_y^{d,e}(P,Q)</math> में {{math|''x''}} बहुपद है, जो {{math|''de''}} डिग्री की [[सामान्य संपत्ति|सामान्य संपत्तिगुण]] है (गुणों द्वारा {{slink||एकरूपता}}). मान <math>\alpha</math> का {{math|''x''}} की {{math|''R''}} मूल है  अगर और केवल अगर या तो <math>\beta</math> मौजूद हैं  बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र में जिसमें गुणांक होते हैं, जैसे कि <math>P(\alpha,\beta)=Q(\alpha,\beta)=0</math>, या <math>\deg(P(\alpha,y)) <d </math> और <math>\deg(Q(\alpha,y)) <e </math> (इस मामले में, कोई ऐसा कहता है {{math|''P''}} और {{math|''Q''}} के लिए अनंत पर उभयनिष्ठ मूल <math>x=\alpha</math> है ).
 इसलिए, सिस्टम के समाधान की मूलों की गणना करके प्राप्त किए जाते हैं {{math|''R''}}, और प्रत्येक मूल के लिए <math>\alpha,</math> की सामान्य मूल (ओं) <math>P(\alpha,y),</math> <math>Q(\alpha,y),</math> और <math>\operatorname{res}_x(P,Q).</math> की गणना करना हैं
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 वीं शताब्दी के अंत में शुरू की गई विधि इस प्रकार काम करती है: परिचय {{math|''k'' − 1}} नए अनिश्चित <math>U_2, \ldots, U_k</math> और गणना करें
-:<math>\operatorname{res}_{x_n}(P_1, U_2P_2 +\cdots +U_kP_k).</math> यह बहुपद है <math>U_2, \ldots, U_k</math> जिनके गुणांक बहुपद हैं <math>x_1, \ldots, x_{n-1},</math> जिसके पास वह संपत्ति है <math>\alpha_1, \ldots, \alpha_{n-1}</math> इन बहुपद गुणांकों का सामान्य शून्य है, यदि और केवल यदि अविभाज्य बहुपद <math>P_i(\alpha_1, \ldots, \alpha_{n-1}, x_n)</math> सामान्य शून्य है, संभवतः अनंत पर इंगित करता है। इस प्रक्रिया को तब तक दोहराया जा सकता है जब तक कि अविभाजित बहुपद नहीं मिलते।
+:<math>\operatorname{res}_{x_n}(P_1, U_2P_2 +\cdots +U_kP_k).</math> यह बहुपद है <math>U_2, \ldots, U_k</math> जिनके गुणांक बहुपद हैं <math>x_1, \ldots, x_{n-1},</math> जिसके पास वह संपत्तिगुण है <math>\alpha_1, \ldots, \alpha_{n-1}</math> इन बहुपद गुणांकों का सामान्य शून्य है, यदि और केवल यदि अविभाज्य बहुपद <math>P_i(\alpha_1, \ldots, \alpha_{n-1}, x_n)</math> सामान्य शून्य है, संभवतः अनंत पर इंगित करता है। इस प्रक्रिया को तब तक दोहराया जा सकता है जब तक कि अविभाजित बहुपद नहीं मिलते।
 सही एल्गोरिथम प्राप्त करने के लिए विधि में दो पूरक जोड़े जाने चाहिए। सबसे पहले, प्रत्येक चरण में, चर के रैखिक परिवर्तन की आवश्यकता हो सकती है ताकि अंतिम चर में बहुपदों की डिग्री उनकी कुल डिग्री के समान हो। दूसरे, यदि किसी भी चरण पर, परिणामी शून्य है, तो इसका अर्थ है कि बहुपदों का उभयनिष्ठ गुणनखंड है और समाधान दो घटकों में विभाजित हो जाता है: जहां उभयनिष्ठ गुणनखंड शून्य है, और दूसरा जो इस उभयनिष्ठ गुणनखंड को निकालकर प्राप्त किया जाता है जारी रखने से पहले कारक।
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 अगर <math>\alpha</math> और <math>\beta</math> [[बीजगणितीय संख्या]]एँ हैं जैसे कि <math>P(\alpha)=Q(\beta)=0</math>, तब <math>\gamma=\alpha+\beta</math> परिणामी की मूल है <math>\operatorname{res}_x(P(x),Q(z-x)),</math> और <math>\tau = \alpha\beta</math> की मूल है <math>\operatorname{res}_x(P(x),x^nQ(z/x))</math>, जहाँ <math>n</math> के बहुपद की घात है <math>Q(y)</math>. इस तथ्य के साथ संयुक्त <math>1/\beta</math> की मूल है <math>y^nQ(1/y) = 0</math>, यह दर्शाता है कि बीजगणितीय संख्याओं का समुच्चय क्षेत्र (गणित) है।
-मान लीजिये <math>K(\alpha)</math> तत्व द्वारा उत्पन्न बीजगणितीय क्षेत्र विस्तार हो <math>\alpha,</math> जो है <math>P(x)</math> [[न्यूनतम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत)]] के रूप में। का हर तत्व <math>\beta \in K(\alpha)</math> रूप में लिखा जा सकता है <math>\beta=Q(\alpha),</math> जहाँ <math>Q</math> बहुपद है। तब <math>\beta</math> की मूल है <math>\operatorname{res}_x(P(x),z-Q(x)),</math> और यह परिणामी <math>\beta.</math> के न्यूनतम बहुपद की शक्ति है
+मान लीजिये <math>K(\alpha)</math> तत्व द्वारा उत्पन्न बीजगणितीय क्षेत्र विस्तार हो <math>\alpha,</math> जो है <math>P(x)</math> [[न्यूनतम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत)]] के रूप में। का हर तत्व <math>\beta \in K(\alpha)</math> रूप में लिखा जा सकता है <math>\beta=Q(\alpha),</math> जहाँ <math>Q</math> बहुपद है। तब <math>\beta</math> की मूल है <math>\operatorname{res}_x(P(x),z-Q(x)),</math> और यह परिणामी <math>\beta.</math> के न्यूनतम बहुपद की घात है
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 * अगर {{math|''P''}} और {{math|''Q''}} क्रमविनिमेय वलय में गुणांक वाले दो द्विभाजित सजातीय बहुपद हैं {{math|''R''}}, और <math>\varphi\colon R\to S</math> की रिंग समरूपता {{math|''R''}} दूसरे क्रमविनिमेय रिंग में {{math|''S''}}, फिर बढ़ा रहा है <math>\varphi</math> बहुपदों पर {{math|''R''}}, वाले हैं
 ::<math>\operatorname{Res}(\varphi(P), \varphi(Q)) = \varphi(\operatorname{Res}(P,Q)).</math>
-* चर के किसी भी अनुमानित परिवर्तन के तहत शून्य होने के लिए सजातीय परिणामी की संपत्ति अपरिवर्तनीय है।
+* चर के किसी भी अनुमानित परिवर्तन के तहत शून्य होने के लिए सजातीय परिणामी की संपत्तिगुण अपरिवर्तनीय है।
-सामान्य परिणामी की कोई भी संपत्ति समान रूप से सजातीय परिणामी तक विस्तारित हो सकती है, और परिणामी संपत्ति सामान्य परिणामी की संबंधित संपत्ति की तुलना में या तो बहुत समान या सरल होती है।
+सामान्य परिणामी की कोई भी संपत्तिगुण समान रूप से सजातीय परिणामी तक विस्तारित हो सकती है, और परिणामी संपत्तिगुण सामान्य परिणामी की संबंधित संपत्तिगुण की तुलना में या तो बहुत समान या सरल होती है।
 ==मैकाले का परिणाम ==
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 === क्षेत्र पर बहुपदों का परिणाम ===
 अब से, हम मानते हैं कि सजातीय बहुपद <math>P_1,\ldots,P_n</math> डिग्रियों का <math>d_1,\ldots,d_n</math> क्षेत्र में उनके गुणांक हैं (गणित) {{math|''k''}}, अर्थात् वे इससे संबंधित हैं <math>k[x_1,\dots,x_n].</math> उनके परिणामी को के तत्व के रूप में परिभाषित किया गया है {{math|''k''}} के वास्तविक गुणांकों द्वारा अनिश्चित गुणांकों को सामान्य परिणामी में प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है <math>P_i.</math>
-परिणामी की मुख्य संपत्ति यह है कि यह शून्य है अगर और केवल अगर <math>P_1,\ldots,P_n</math> के [[बीजगणितीय रूप से बंद विस्तार]] में शून्येतर सामान्य शून्य है {{math|''k''}}.
+परिणामी की मुख्य संपत्तिगुण यह है कि यह शून्य है अगर और केवल अगर <math>P_1,\ldots,P_n</math> के [[बीजगणितीय रूप से बंद विस्तार]] में शून्येतर सामान्य शून्य है {{math|''k''}}.
-केवल अगर इस प्रमेय का हिस्सा पूर्ववर्ती पैराग्राफ की अंतिम संपत्ति से निकलता है, और हिल्बर्ट के नलस्टेलेंसैट्ज#प्रोजेक्टिव नलस्टेलेंसैट्ज का प्रभावी संस्करण है: यदि परिणामी गैर-शून्य है, तो
+केवल अगर इस प्रमेय का हिस्सा पूर्ववर्ती पैराग्राफ की अंतिम संपत्तिगुण से निकलता है, और हिल्बर्ट के नलस्टेलेंसैट्ज#प्रोजेक्टिव नलस्टेलेंसैट्ज का प्रभावी संस्करण है: यदि परिणामी गैर-शून्य है, तो
 :<math>\langle x_1,\ldots, x_n\rangle^D \subseteq \langle P_1,\ldots,P_n\rangle,</math>
 जहाँ <math>D=d_1+\cdots +d_n-n+1</math> मैकाले डिग्री है, और <math>\langle x_1,\ldots, x_n\rangle</math> अधिकतम सजातीय आदर्श है। इसका अर्थ यह है कि <math>P_1,\ldots,P_n</math> अद्वितीय सामान्य शून्य के अलावा कोई अन्य सामान्य शून्य नहीं है, {{math|(0, ..., 0)}}, का <math>x_1,\ldots,x_n.</math>

v t e बहुपद और बहुपद कार्य
डिग्री	शून्य बहुपद (डिग्री अपरिभाषित या −1 या and) निरंतर कार्य (0) रैखिक फ़ंक्शन (1) रेखीय समीकरण द्विघात कार्य (2) द्विघात समीकरण क्यूबिक फंक्शन (3) घन समीकरण चतुर्थक कार्य (4) चतुर्थक समीकरण क्विंटिक फंक्शन (5) सेक्स्टिक समीकरण (6) सेप्टिक समीकरण (7)
गुणों से	Univariate bivariate बहुभिन्नरूपी मोनोमियल बिनोमियल ट्रिनोमियल irreducible वर्ग-मुक्त सजातीय quasi-homogenous
औजार और एल्गोरिदम	कारक सबसे बड़ा आम भाजक डिवीजन हॉर्नर की मूल्यांकन की विधि परिणामी भेदभावपूर्ण Gröbner आधार

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