बोरेल उपसमूह

बीजगणितीय समूहों के सिद्धांत में, बीजगणितीय समूह G का एक बोरेल उपसमूह एक अधिकतम ज़ारिस्की बंद और संयोजन हल करने योग्य बीजगणितीय उपसमूह है। उदाहरण के लिए, सामान्य रैखिक समूह GLn (n x n उलटा ) में, उलटा ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स का उपसमूह एक बोरेल उपसमूह है।

बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्रों में समूहों के लिए, बोरेल उपसमूहों का एक एकल संयुग्मन वर्ग है।

जैक्स टिट्स के (B,N) जोड़ी वाले समूहों के सिद्धांत में, बोरेल उपसमूह सरल (अधिक सामान्यतः,अपचायक) बीजगणितीय समूहों की संरचना को समझने में दो प्रमुख सामग्रियों में से एक हैं। यहां समूह B एक बोरेल उपसमूह है और N B में निहित अधिकतम टोरस का सामान्यीकरणकर्ता है।

यह धारणा आर्मंड बोरेल द्वारा प्रस्तुत की गई थी, जिन्होंने बीजगणितीय समूहों के सिद्धांत के विकास में अग्रणी भूमिका निभाई थी।

परवलयिक उपसमूह

बोरेल उपसमूह B और परिवेश समूह G के बीच के उपसमूहों को परवलयिक उपसमूह कहा जाता है। बीजगणितीय उपसमूहों के बीच, परवलयिक उपसमूहों P की भी विशेषता इस शर्त से होती है कि G/P एक पूर्ण विविधता है। बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्रों पर काम करते हुए, बोरेल उपसमूह इस अर्थ में न्यूनतम परवलयिक उपसमूह बन जाते हैं। इस प्रकार B एक बोरेल उपसमूह है जब सजातीय स्थान G/B एक पूर्ण विविधता है जो "जितना संभव हो उतना बड़ा" है।

एक साधारण बीजगणितीय समूह G के लिए, परवलयिक उपसमूहों के संयुग्मी वर्गों का सेट संबंधित डायनकिन आरेख के नोड् के सभी उपसमुच्चय के सेट के साथ आक्षेप में है; बोरेल उपसमूह खाली सेट से मेल खाता है और G स्वयं सभी नोड् के सेट से मेल खाता है। (प्रायः डायनकिन आरेख का प्रत्येक नोड एक सरल नकारात्मक मार्ग निर्धारित करता है और इस प्रकार G का एक आयामी 'मार्ग समूह' होता है - नोड् का एक उपसमूह इस प्रकार एक परवलयिक उपसमूह उत्पन्न करता है, जो B और संबंधित नकारात्मक R द्वारा उत्पन्न होता है।इसके अतिरिक्त, कोई भी परवलयिक उपसमूह ऐसे परवलयिक उपसमूह से संयुग्मित होता है।)

उदाहरण

$G=GL_{4}(\mathbb {C} )$. एक बोरेल उपसमूह $B$ का $G$ ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूहों का समुच्चय है$\left\{A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\0&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\0&0&a_{33}&a_{34}\\0&0&0&a_{44}\end{bmatrix}}:\det(A)\neq 0\right\}$और अधिकतम उचित परवलयिक उपसमूह $G$ युक्त $B$ हैं$\left\{{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\0&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\0&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\0&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{bmatrix}}\right\},{\text{ }}\left\{{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\0&0&a_{33}&a_{34}\\0&0&a_{43}&a_{44}\end{bmatrix}}\right\},{\text{ }}\left\{{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\0&0&0&a_{44}\end{bmatrix}}\right\}$इसके अलावा, एक अधिकतम टोरस $B$ है$\left\{{\begin{bmatrix}a_{11}&0&0&0\\0&a_{22}&0&0\\0&0&a_{33}&0\\0&0&0&a_{44}\end{bmatrix}}:a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}\cdot a_{44}\neq 0\right\}$यह बीजगणितीय टोरस के समरूपी है $(\mathbb {C} ^{*})^{4}={\text{Spec}}(\mathbb {C} [x^{\pm 1},y^{\pm 1},z^{\pm 1},w^{\pm 1}])$.

असत्य बीजगणित

Main article: बोरेल उपबीजगणित

लाई बीजगणित के विशेष मामले के लिए ${\mathfrak {g}}$ कार्टन उपबीजगणित के साथ ${\mathfrak {h}}$,और भार स्थान (प्रतिनिधित्व सिद्धांत) का एक आदेश सिद्धांत दिया गया बोरेल उपबीजगणित का प्रत्यक्ष योग है। ${\mathfrak {g}}$ सकारात्मक वजन के साथ.एक असत्य उपबीजगणित ${\mathfrak {g}}$ बोरेल उपबीजगणित को परवलयिक असत्य बीजगणित कहा जाता है।

यह भी देखें

• अतिशयोक्तिपूर्ण समूह
• कार्टन उपसमूह
• मिराबोलिक उपसमूह

संदर्भ

• A. Borel (2001). Essays in the History of Lie Groups and Algebraic Groups. Providence RI: AMS. ISBN 0-8218-0288-7.
• J. Humphreys (1972). Linear Algebraic Groups. New York: Springer. ISBN 0-387-90108-6.
• Milne, J. S. (2017), Algebraic Groups: The Theory of Group Schemes of Finite Type over a Field, Cambridge University Press, doi:10.1017/9781316711736, ISBN 978-1107167483, MR 3729270
• Gary Seitz (1991). "Algebraic Groups". In B. Hartley; et al. (eds.). Finite and Locally Finite Groups. pp. 45–70.

Specific

बाहरी संबंध

• Popov, V.L. (2001) [1994], "Parabolic subgroup", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Platonov, V.P. (2001) [1994], "Borel subgroup", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press