अनसेंटेड ट्रांसफॉर्म: Difference between revisions

Revision as of 20:14, 28 November 2023

असंतुलित परिवर्तन (यूटी) गणितीय फलन है जिसका उपयोग प्रायिकता वितरण में दिए गए अरेखीय परिवर्तन को क्रियान्वित करने के परिणाम का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है जो केवल आंकड़ों के सीमित समूह के संदर्भ में होता है। असंतुलित परिवर्तन का सबसे साधारण उपयोग कलमन फ़िल्टर के अरेखीय विस्तार के संदर्भ में माध्य और सहप्रसरण अनुमान के अरेखीय प्रक्षेपण में होता है। इसके निर्माता जेफरी उहलमैन ने बताया कि "असंतुलित" एक यादृच्छिक नाम था जिसे उन्होंने "उहलमैन फ़िल्टर" के रूप में संदर्भित होने से बचने के लिए अपनाया था।^[1] यद्यपि की दूसरों ने संकेत दिया है कि "असंतुलित", "संतुलित" के विपरीत है जिसका उद्देश्य "बेकार" के लिए व्यंजना है ^[2]

पृष्ठभूमि

कई निस्यंदन और नियंत्रण विधियाँ माध्य सदिश और संबंधित त्रुटि सहप्रसरण आव्यूह के रूप में प्रणाली की स्थिति के अनुमान का प्रतिनिधित्व करती हैं। उदाहरण के लिए, सम्बन्ध की वस्तु की अनुमानित 2-विमीय स्थिति को माध्य स्थिति सदिश, $[x,y]$ , द्वारा दर्शाया जा सकता है, एक 2x2 सहप्रसरण आव्यूह के रूप में दी गई अनिश्चितता के साथ, जिसमें दोनों प्रसरण $x$ , में भिन्नता $y$ , और दोनों के बीच तीर्यक सहप्रसरण दिया गया है। एक सहप्रसरण जो शून्य है, इसका तात्पर्य है कि कोई अनिश्चितता या त्रुटि नहीं है और वस्तु की स्थिति यथेष्ट वही है जो माध्य सदिश द्वारा निर्दिष्ट है।

माध्य और सहप्रसरण प्रतिनिधित्व केवल अंतर्निहित, लेकिन अन्यथा अज्ञात, प्रायिकता वितरण के पहले दो आघूर्ण देता है। किसी गतिशील वस्तु की स्थिति में, अज्ञात प्रायिकता वितरण किसी निश्चित समय पर वस्तु की स्थिति की अनिश्चितता का प्रतिनिधित्व कर सकता है। अनिश्चितता का माध्य और सहप्रसरण प्रतिनिधित्व गणितीय रूप से सुविधाजनक है क्योंकि कोई भी रैखिक परिवर्तन $T$ माध्य सदिश $m$ और सहप्रसरण आव्यूह $M$ जैसा $Tm$ और $TMT^{\mathrm {T} }$ पर क्रियान्वित किया जा सकता है। यह रैखिकता गुण पहले अधूरे आघूर्ण (माध्य) और दूसरे केंद्रीय आघूर्ण (सहप्रसरण) से दुर आघुर्णो के लिए धारण नहीं करता है, इसलिए अरेखीय परिवर्तन से उत्पन्न माध्य और सहप्रसरण को निर्धारित करना साधारण तौर पर संभव नहीं है क्योंकि परिणाम सभी आघुर्णो पर निर्भर करता है, और केवल पहले दो ही दिए गए हैं।

यद्यपि सहप्रसरण आव्यूह को प्रायः माध्य से जुड़ी अपेक्षित वर्ग त्रुटि के रूप में माना जाता है, प्रयोग में आव्यूह को वास्तविक वर्ग त्रुटि पर ऊपरी सीमा के रूप में बनाए रखा जाता है। विशेष रूप से, एक माध्य और सहप्रसरण अनुमान $(m,M)$ प्राचीन रूप से सहप्रसरण आव्यूह $M$ से जुड़ी वास्तविक वर्ग त्रुटि से अधिक या उसके $m$ बराबर बनाए रखा जाता है। गणितीय रूप से इसका अर्थ है कि अपेक्षित वर्ग त्रुटि (जो साधारण तौर पर ज्ञात नहीं है) को घटाने से प्राप्त परिणाम $M$ एक अर्ध-निश्चित या धनात्मक-निश्चित आव्यूह है। एक प्राचीन सहप्रसरण अनुमान को बनाए रखने का कारण यह है कि यदि सहप्रसरण को कम करके अंकित किया गया है तो अधिकांश निस्यंदन और नियंत्रण एल्गोरिदम विचलन (विफल) हो जाते हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि एक नकली छोटा सहप्रसरण कम अनिश्चितता का संकेत देता है और निस्यंदन को माध्य की सटीकता में उचित से अधिक वजन (विश्वास्यता) रखने की तरफ ले जाता है।

ऊपर दिए गए उदाहरण पर लौटते हुए, जब सहप्रसरण शून्य होता है तो यादृच्छिक अरेखीय फलन $f(x,y)$ के अनुसार चलने के बाद वस्तु का स्थान निर्धारित करना निम्न होता है : बस फलन को माध्य सदिश पर क्रियान्वित किया जाता हैं। जब सहप्रसरण शून्य नहीं है तो रूपांतरित माध्य $f(x,y)$ साधारण तौर पर बराबर नहीं होगा और परिवर्तित प्रायिकता वितरण का माध्य केवल उसके पूर्व माध्य और सहप्रसरण से निर्धारित करना भी संभव नहीं है। इस अनिश्चितता को देखते हुए, अरैखिक रूप से रूपांतरित माध्य और सहप्रसरण का केवल अनुमान लगाया जा सकता है। सबसे पहला सन्निकटन अरेखीय फलन को रैखिक बनाना और परिणामी जैकोबियन आव्यूह को दिए गए माध्य और सहप्रसरण पर क्रियान्वित करना था। यह विस्तारित कलमैन फ़िल्टर (ईकेएफ) का आधार है, और यद्यपि की यह कई परिस्थितियों में बेकार परिणाम देने के लिए जाना जाता था, कई दशकों तक इसका कोई व्यावहारिक विकल्प नहीं था।

असंतुलित परिवर्तन के लिए प्रेरण

1994 में जेफरी उहलमैन ने ज्ञात किया कि ईकेएफ एक प्रणाली की स्थिति के एक अरेखीय फलन और आंशिक वितरण सुचना (माध्य और सहप्रसरण अनुमान के रूप में) लेता है, लेकिन अस्पष्ट रूप से ज्ञात प्रायिकता वितरण के स्थान पर ज्ञात फलन पर एक अनुमान क्रियान्वित करता है। उन्होंने सुझाव दिया कि एक अच्छी विधि अनुमानित प्रायिकता वितरण पर क्रियान्वित निश्चित अरेखीय फलन का उपयोग करना होता हैं। इस दृष्टिकोण की प्रेरणा उनके डॉक्टरेट शोध प्रबंध में दी गई है, जहां असंतुलित परिवर्तन शब्द को पहली बार परिभाषित किया गया था:^[3]

निम्नलिखित अंतर्ज्ञान पर विचार करें: मापदंडों की एक निश्चित संख्या के साथ किसी दिए गए वितरण का अनुमान लगाना किसी यादृच्छिक अरेखीय फलन/परिवर्तन का अनुमान लगाने की तुलना में आसान होता हैं। इस अंतर्ज्ञान का अनुसरण करते हुए, लक्ष्य एक ऐसा मापदंड ढूंढना है जो माध्य और सहप्रसरण सुचना को अधिकृत करता है और साथ ही अरेखीय समीकरणों के एक यादृच्छिक समूह के माध्यम से सुचना के सीधे प्रसार की अनुमति देता है। इसे समान पहले और दूसरे (और संभवतः उच्चतर) आघुर्णो वाले एक अलग वितरण को उत्पन्न करके पूरा किया जा सकता है, जहां अलग-अलग सन्निकटन में प्रत्येक बिंदु को सीधे रूपांतरित किया जा सकता है। तब रूपांतरित समूह के माध्य और सहप्रसरण की गणना मूल वितरण के अरेखीय परिवर्तन के अनुमान के रूप में की जा सकती है। अधिक साधारण तौर पर, किसी अज्ञात वितरण के ज्ञात आँकड़ों के एक समूह को अधिकृत के लिए अंकों के असतत वितरण के लिए किसी दिए गएअरेखीय परिवर्तन के अनुप्रयोग को असंतुलित परिवर्तन के रूप में जाना जाता है।

दूसरे शब्दों में, दी गई माध्य और सहप्रसरण सुचना को बिंदुओं के समूह में निश्चित रूप से संकेतिकरण किया जा सकता है, जिसे सिग्मा बिंदु कहा जाता है, जिसे यदि असतत प्रायिकता वितरण के अवयवों के रूप में माना जाता है तो माध्य और सहप्रसरण दिए गए माध्य और सहप्रसरण के बराबर होता है। इस वितरण को प्रत्येक बिंदु पर अरेखीय फलन क्रियान्वित करके निश्चित रूप से प्रचारित किया जा सकता है। तब बिंदुओं के रूपांतरित समूह का माध्य और सहप्रसरण वांछित रूपांतरित अनुमान का प्रतिनिधित्व करता है। दृष्टिकोण का मुख्य लाभ यह है कि अरेखीय फलन का पूरी तरह से उपयोग किया जाता है, ईकेएफ के विपरीत जो इसे रैखिक के साथ परिवर्तित देता है। रैखिककरण की आवश्यकता को समाप्त करने से अनुमान गुणवत्ता में किसी भी सुधार से स्वतंत्र लाभ भी मिलते हैं। एक तात्कालिक लाभ यह है कि यूटी को किसी भी दिए गए फलन के साथ क्रियान्वित किया जा सकता है जबकि उन कार्यों के लिए रैखिककरण संभव नहीं हो सकता है जो भिन्न नहीं हैं। एक प्रयोगात्मक लाभ यह है कि यूटी को क्रियान्वित करना आसान हो सकता है क्योंकि यह एक रैखिक जैकोबियन आव्यूह को प्राप्त करने और क्रियान्वित करने की आवश्यकता से बचाता है।

सिग्मा बिंदु

असंतुलित परिवर्तन की गणना करने के लिए, सबसे पहले सिग्मा बिंदुओं का एक समूह चुनना होता हैं। उहल्मन के मौलिक कार्य के बाद से, साहित्य में सिग्मा बिंदुओं के कई अलग-अलग समूह प्रस्तावित किए गए हैं। इन परिवर्तो की गहन समीक्षा मेनेगाज़ एट अल के कार्य में पाई जा सकती है।^[4] सामान्य रूप में, $n+1$ किसी दिए गए $n$ आयाम के माध्य और सहप्रसरण वाले असतत वितरण को परिभाषित करने के लिए सिग्मा बिंदु आवश्यक और पर्याप्त हैं।^[3]

सिग्मा बिंदुओं का एक विहित समूह मूल रूप से उहल्मन द्वारा प्रस्तावित सममित समूह है। दो आयामों में मूल बिंदु पर केन्द्रित एक समबाहु त्रिभुज के शीर्षों पर विचार करें:

s_{1}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[0,2\right]^{\mathrm {T} },\quad s_{2}=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[{\sqrt {3}},1\right]^{\mathrm {T} },\quad s_{3}=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[-{\sqrt {3}},1\right]^{\mathrm {T} }

यह सत्यापित किया जा सकता है कि उपरोक्त बिंदुओं का समूह माध्य $s=\left[0,0\right]^{\mathrm {T} },\quad$ और सहप्रसरण $S=I$ (तत्समक आव्यूह) है। किसी भी 2-विमीय माध्य और सहप्रसरण को देखते हुए, $(x,X)$ , अभीष्ट सिग्मा बिंदु प्रत्येक बिंदु को $X$ आव्यूह के वर्गमूल से गुणा और $x$ से जोड़ करके प्राप्त किया जा सकता है। सिग्मा बिंदुओं का एक समान विहित समूह किसी भी $n$ संख्या में आयाम में उत्पन्न किया जा सकता है शून्य सदिश और तत्समक आव्यूह की पंक्तियों वाले बिंदुओं को लेकर, बिंदुओं के समूह के माध्य की गणना करके, प्रत्येक बिंदु से माध्य घटाकर जिससे की परिणामी समुह का माध्य शून्य हो, फिर शून्य के सहप्रसरण की गणना करें- बिंदुओं का माध्य समुच्चय और प्रत्येक बिंदु पर इसका व्युत्क्रम लगाना जिससे की समुच्चय का सहप्रसरण तत्समक के बराबर हो जाता हैं।

उहलमैन ने दिखाया कि $2n+1$ के पंक्ति से सिग्मा बिंदु $\pm {\sqrt {nX}}$ और शून्य सदिश से आसानी से सममित समूह उत्पन्न करना संभव है, जहाँ $X$ व्युत्क्रम आव्यूह की गणना किए बिना, दिया गया सहप्रसरण आव्यूह है। यह अभिकलनात्मक रूप से कुशल है और, क्योंकि बिंदु सममित वितरण बनाते हैं, जब भी अवस्था अनुमान का अंतर्निहित वितरण ज्ञात होता है या सममित माना जा सकता है, तो तीसरे केंद्रीय आघूर्ण (तीर्यक) को पकड़ लेता है।^[3]उन्होंने यह भी दिखाया कि ऋणात्मक भार सहित वजन का उपयोग समूह के आंकड़ों को प्रभावित करने के लिए किया जा सकता है। जूलियर ने एक यादृच्छिक वितरण के तीसरे आघूर्ण (तीर्यक) और एक सममित वितरण के चौथे आघूर्ण (वक्रता मात्रा) को पकड़ने के लिए सिग्मा बिंदु उत्पन्न करने के लिए तकनीकों का भी विकास और परीक्षण किया था।^[5]^[6]

उदाहरण

किसी अन्यथा अज्ञात वितरण के किसी आंशिक लक्षण वर्णन के लिए दिए गए फलन के अनुप्रयोग के लिए असंतुलित परिवर्तन को परिभाषित किया गया है, लेकिन इसका सबसे साधारण उपयोग उस स्थिति के लिए है जिसमें केवल माध्य और सहप्रसरण दिया गया है। एक सामान्य उदाहरण समन्वय प्रणाली से दूसरे में रूपांतरण है, जैसे कार्तीय समन्वय तल से ध्रुवीय निर्देशांक में।^[5]

मान लीजिए कि एक 2-विमीय माध्य और सहप्रसरण अनुमान, $(m,M)$ , कार्तीय निर्देशांक में दिया गया है:

m=[12.3,7.6]^{\mathrm {T} },\quad M={\begin{bmatrix}1.44&0\\0&2.89\end{bmatrix}}

और ध्रुवीय निर्देशांक में परिवर्तन कार्य, $f(x,y)\rightarrow [r,\theta ]$ , है:

r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\quad \theta =\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)

प्रत्येक विहित सिम्प्लेक्स सिग्मा बिंदु (ऊपर दिए गए) को गुणा करना $M^{\frac {1}{2}}={\begin{bmatrix}1.2&0\\0&1.7\end{bmatrix}}$ और माध्य जोड़ने पर, $m$ , देता है:

{\begin{aligned}m_{1}&=[0,2.40]+[12.3,7.6]=[12.3,10.0]\\m_{2}&=[-1.47,-1.20]+[12.3,7.6]=[10.8,6.40]\\m_{3}&=[1.47,-1.20]+[12.3,7.6]=[13.8,6.40]\end{aligned}}

परिवर्तन फलन $f()$ क्रियान्वित करना उपरोक्त प्रत्येक बिंदु देता है:

{\begin{aligned}{m^{+}}_{1}&=f(12.3,10.0)=[15.85,0.68]\\{m^{+}}_{2}&=f(10.8,6.40)=[12.58,0.53]\\{m^{+}}_{3}&=f(13.8,6.40)=[15.18,0.44]\end{aligned}}

इन तीन परिवर्तित बिंदुओं का माध्य, $m_{UT}={\frac {1}{3}}\Sigma _{i=1}^{3}{m^{+}}_{i}$ , ध्रुवीय निर्देशांक में माध्य का यूटी अनुमान है:

m_{UT}=[14.539,0.551]

सहप्रसरण का यूटी अनुमान है:

M_{UT}={\frac {1}{3}}\Sigma _{i=1}^{3}\left({m^{+}}_{i}-m_{UT}\right)^{2}

जहां योग में प्रत्येक वर्ग पद एक सदिश बाहरी उत्पाद है। यह देता है:

M_{UT}={\begin{bmatrix}2.00&0.0443\\0.0443&0.0104\end{bmatrix}}

इसकी तुलना रैखिकीकृत माध्य और सहप्रसरण से की जा सकती है:

{\begin{aligned}m_{\text{linear}}&=f(12.3,7.6)=[14.46,0.554]^{\mathrm {T} }\\M_{\text{linear}}&=\nabla _{f}M\nabla _{f}^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}1.927&0.047\\0.047&0.011\end{bmatrix}}\end{aligned}}

इस स्थिति में यूटी और रैखिक अनुमानों के बीच पूर्ण अंतर अपेक्षाकृत छोटा है, लेकिन स्यंदन अनुप्रयोगों में छोटी त्रुटियों के संचयी प्रभाव से अनुमान में अप्राप्य विचलन हो सकता है। त्रुटियों का प्रभाव तब और बढ़ जाता है जब सहप्रसरण को कम करके अंकित किया जाता है क्योंकि इससे स्यंदन को माध्य की निश्चितता पर अति विश्वास हो जाता है। उपरोक्त उदाहरण में यह देखा जा सकता है कि रेखीयकृत सहप्रसरण अनुमान यूटी अनुमान से छोटा है, यह सुझाव देता है कि रेखीयकरण ने संभवतः इसके माध्य में वास्तविक त्रुटि का कम अनुमान उत्पन्न किया है।

इस उदाहरण में मूल अनुमान से जुड़े वास्तविक संभाव्यता वितरण और अरेखीय परिवर्तन (उदाहरण के लिए) के आवेदन के बाद उस वितरण के माध्य और सहप्रसरण के रूप में भौम सत्य के बिना यूटी और रैखिक अनुमानों की पूर्ण निश्चितता निर्धारित करने की कोई विधि नहीं है (जैसा कि विश्लेषणात्मक रूप से या संख्यात्मक एकीकरण के माध्यम से निर्धारित किया गया है)। ऐसे विश्लेषण अंतर्निहित वितरणों के लिए गॉसियन की धारणा के अंतर्गत समन्वय परिवर्तनों के लिए किए गए हैं, और यूटी अनुमान रैखिककरण से प्राप्त अनुमानों की तुलना में बहुत अधिक निश्चित होते हैं।^[7]^[8]

अनुभवजन्य विश्लेषण से पता चला है कि न्यूनतम सरल समूह का उपयोग $n+1$ सिग्मा बिंदु सममित समूह के उपयोग की तुलना में बहुत कम निश्चित है $2n$ बिंदु जब अंतर्निहित वितरण गाऊसी है।^[8]इससे पता चलता है कि उपरोक्त उदाहरण में सरल समूह का उपयोग सबसे अच्छा विकल्प नहीं होगा यदि अंतर्निहित वितरण $(m,M)$ सममित जुड़ा हुआ है। भले ही अंतर्निहित वितरण सममित नहीं है, सरल समूह अभी भी सममित समूह की तुलना में कम निश्चित होने की संभावना है क्योंकि सरल समूह की विषमता वास्तविक वितरण की विषमता से मिलती नहीं हैं।

उदाहरण पर लौटते हुए, सहप्रसरण आव्यूह से सिग्मा बिंदुओं का न्यूनतम सममित समूह प्राप्त किया जा सकता है $M={\begin{bmatrix}1.44&0\\0&2.89\end{bmatrix}}$ बस माध्य सदिश के रूप में, $m=[12.3,7.6]$ धन और ऋण के पंक्ति $(2M)^{1/2}={\sqrt {2}}*{\begin{bmatrix}1.2&0\\0&1.7\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1.697&0\\0&2.404\end{bmatrix}}$ :

{\begin{aligned}m_{1}&=[12.3,7.6]+[1.697,0]=[13.997,7.6]\\m_{2}&=[12.3,7.6]-[1.697,0]=[10.603,7.6]\\m_{3}&=[12.3,7.6]+[0,2.404]=[12.3,10.004]\\m_{4}&=[12.3,7.6]-[0,2.404]=[12.3,5.196]\end{aligned}}

यह निर्माण निश्चितता देता है कि उपरोक्त चार सिग्मा बिंदुओं का $(m,M)$ माध्य और सहप्रसरण है, जो सीधे सत्यापन योग्य है। प्रत्येक अरेखीय फलन $f()$ क्रियान्वित करना सिग्मा बिंदु देता है:

{\begin{aligned}{m^{+}}_{1}&=[15.927,0.497]\\{m^{+}}_{2}&=[13.045,0.622]\\{m^{+}}_{3}&=[15.854,0.683]\\{m^{+}}_{4}&=[13.352,0.400]\end{aligned}}

इन चार परिवर्तित सिग्मा बिंदुओं का माध्य, $m_{UT}={\frac {1}{4}}\Sigma _{i=1}^{4}{m'}_{i}$ , ध्रुवीय निर्देशांक में माध्य का यूटी अनुमान है:

m_{UT}=[14.545,0.550]

सहप्रसरण का यूटी अनुमान है:

M_{UT}={\frac {1}{4}}\Sigma _{i=1}^{4}({m^{+}}_{i}-m_{UT})^{2}

जहां योग में प्रत्येक वर्ग पद एक सदिश बाह्य उत्पाद है। यह देता है:

M_{UT}={\begin{bmatrix}1.823&0.043\\0.043&0.012\end{bmatrix}}

यूटी और रैखिकीकृत माध्य अनुमानों के बीच का अंतर परिवर्तन की अरैखिकता के प्रभाव का माप देता है। उदाहरण के लिए, जब परिवर्तन रैखिक होता है, तो यूटी और रैखिक अनुमान समान होते हैं। यह माध्य में वास्तविक त्रुटि को कम आंकने से बचाने के लिए इस अंतर के वर्ग को यूटी सहप्रसरण में जोड़ने के लिए प्रेरित करता है। यह दृष्टिकोण माध्य की सटीकता में सुधार नहीं करता है, लेकिन सहप्रसरण को कम करके अंकित किये जाने की संभावना को कम करके समय के साथ स्यंदन की निश्चितता में उल्लेखनीय सुधार कर सकता है।^[3]

असुगंधित परिवर्तन की इष्टतमता

उहलमैन ने कहा कि अन्यथा अज्ञात संभाव्यता वितरण के केवल माध्य और सहप्रसरण को देखते हुए, परिवर्तन समस्या को गलत तरीके से परिभाषित किया गया है क्योंकि समान पहले दो क्षणों के साथ संभावित अंतर्निहित वितरण की अनंत संख्या है। अंतर्निहित वितरण की विशेषताओं के बारे में किसी पूर्व सूचना या धारणा के बिना, रूपांतरित माध्य और सहप्रसरण की गणना करने के लिए उपयोग किया जाने वाला वितरण का कोई भी विकल्प उतना ही उचित है जितना कि कोई अन्य विकल्प। दूसरे शब्दों में, किसी दिए गए माध्य और सहप्रसरण के साथ वितरण का कोई विकल्प नहीं है जो सिग्मा बिंदुओं के सेट द्वारा प्रदान किए गए से बेहतर है, इसलिए असंतुलित परिवर्तन तुच्छ रूप से इष्टतम है।

यूटी के प्रदर्शन के बारे में कोई भी मात्रात्मक बयान देने के लिए इष्टतमता का यह सामान्य बयान निश्चित रूप से बेकार है, उदाहरण के लिए, रैखिककरण की तुलना में; परिणामस्वरूप, उन्होंने, जूलियर और अन्य लोगों ने वितरण की विशेषताओं और/या गैर-रेखीय परिवर्तन फ़ंक्शन के रूप के बारे में विभिन्न मान्यताओं के तहत विश्लेषण किया है। उदाहरण के लिए, यदि फ़ंक्शन विभेदित है, जो रैखिककरण के लिए आवश्यक है, तो ये विश्लेषण असंतुलित परिवर्तन की अपेक्षित और अनुभवजन्य रूप से पुष्टि की गई श्रेष्ठता को मान्य करते हैं।^[7]^[8]

अनुप्रयोग

अनसेंटेड ट्रांसफॉर्म का उपयोग कलमन फिल्टर के गैर-रेखीय सामान्यीकरण को विकसित करने के लिए किया जा सकता है, जिसे कलमन फिल्टर#अनसेंटेड कलमन फिल्टर|अनसेंटेड कलमन फिल्टर (यूकेएफ) के रूप में जाना जाता है। इस फ़िल्टर ने पानी के नीचे सहित कई गैर-रेखीय फ़िल्टरिंग और नियंत्रण अनुप्रयोगों में विस्तारित कलमैन फ़िल्टर को बड़े पैमाने पर प्रतिस्थापित कर दिया है।^[9] ज़मीन और हवाई नेविगेशन,^[10] और अंतरिक्ष यान.^[11] रीमैन-स्टिल्टजेस इष्टतम नियंत्रण के लिए एक कम्प्यूटेशनल ढांचे के रूप में असंतुलित परिवर्तन का भी उपयोग किया गया है।^[12] इस कम्प्यूटेशनल दृष्टिकोण को असुगंधित इष्टतम नियंत्रण के रूप में जाना जाता है।^[13] ^[14]

असुगंधित कलमैन फ़िल्टर

उहलमैन और साइमन जूलियर ने कई पेपर प्रकाशित किए, जिसमें दिखाया गया कि कलमैन फिल्टर में अनसेंटेड ट्रांसफॉर्मेशन का उपयोग, जिसे कलमैन फिल्टर#अनसेंटेड कलमैन फिल्टर (यूकेएफ) कहा जाता है, विभिन्न अनुप्रयोगों में ईकेएफ पर महत्वपूर्ण प्रदर्शन सुधार प्रदान करता है।^[15]^[5]^[7]जूलियर और उहलमैन ने यूकेएफ के संदर्भ में असुगंधित परिवर्तन के एक विशेष पैरामीटरयुक्त रूप का उपयोग करते हुए पत्र प्रकाशित किए, जिसमें अनुमानित वितरण जानकारी को पकड़ने के लिए नकारात्मक भार का उपयोग किया गया था।^[15]^[7]यूटी का वह रूप विभिन्न प्रकार की संख्यात्मक त्रुटियों के लिए अतिसंवेदनशील है जो कि मूल फॉर्मूलेशन (मूल रूप से उहल्मन द्वारा प्रस्तावित सममित सेट) से ग्रस्त नहीं है। जूलियर ने बाद में पैरामीटरयुक्त रूपों का वर्णन किया है जो नकारात्मक भार का उपयोग नहीं करते हैं और उन मुद्दों के अधीन भी नहीं हैं।^[16]

यह भी देखें

कलमन फ़िल्टर
सहप्रसरण प्रतिच्छेदन
कलमन फ़िल्टर को इकट्ठा करें
विस्तारित कलमैन फ़िल्टर
गैर-रैखिक फ़िल्टर
असुगंधित इष्टतम नियंत्रण

संदर्भ

↑ "First-Hand:The Unscented Transform - Engineering and Technology History Wiki".
↑ "What is a Kalman filter and why is there an unscented version?".
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↑ Menegaz, Henrique M. T.; João, Y. Ishihara; Borges, Geovany A.; Vargas, Alessandro N. (16 February 2015). "अनसेंटेड कलमैन फ़िल्टर थ्योरी का एक व्यवस्थितकरण". IEEE Transactions on Automatic Control. 60 (10): 2583–2598. doi:10.1109/TAC.2015.2404511. hdl:20.500.11824/251. S2CID 12606055.
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[2] "What is a Kalman filter and why is there an unscented version?".

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[menegaz-4] Menegaz, Henrique M. T.; João, Y. Ishihara; Borges, Geovany A.; Vargas, Alessandro N. (16 February 2015). "अनसेंटेड कलमैन फ़िल्टर थ्योरी का एक व्यवस्थितकरण". IEEE Transactions on Automatic Control. 60 (10): 2583–2598. doi:10.1109/TAC.2015.2404511. hdl:20.500.11824/251. S2CID 12606055.

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 में जेफरी उहलमैन ने ज्ञात किया कि ईकेएफ एक प्रणाली की स्थिति के एक अरेखीय फलन और आंशिक वितरण सुचना (माध्य और सहप्रसरण अनुमान के रूप में) लेता है, लेकिन अस्पष्ट रूप से ज्ञात प्रायिकता  वितरण के स्थान पर ज्ञात फलन पर एक अनुमान क्रियान्वित करता है। उन्होंने सुझाव दिया कि एक अच्छी विधि अनुमानित प्रायिकता वितरण पर क्रियान्वित निश्चित अरेखीय फलन का उपयोग करना होता हैं। इस दृष्टिकोण की प्रेरणा उनके डॉक्टरेट शोध प्रबंध में दी गई है, जहां असंतुलित परिवर्तन शब्द को पहली बार परिभाषित किया गया था:<ref name="uthesis">{{cite thesis |degree=Ph.D. |first=Jeffrey |last=Uhlmann |title=Dynamic Map Building and Localization: New Theoretical Foundations |publisher=University of Oxford |date=1995}}</ref>
-निम्नलिखित अंतर्ज्ञान पर विचार करें: मापदंडों की एक निश्चित संख्या के साथ किसी दिए गए वितरण का अनुमान लगाना किसी यादृच्छिक अरेखीय फलन/परिवर्तन का अनुमान लगाने की तुलना में आसान होता हैं। इस अंतर्ज्ञान का अनुसरण करते हुए, लक्ष्य एक ऐसा मापदंड ढूंढना है जो माध्य और सहप्रसरण सुचना को अधिकृत करता है और साथ ही अरेखीय समीकरणों के एक यादृच्छिक समूह के माध्यम से सुचना के सीधे प्रसार की अनुमति देता है। इसे समान पहले और दूसरे (और संभवतः उच्चतर) आघुर्णो वाले एक अलग वितरण को उत्पन्न करके पूरा किया जा सकता है, जहां अलग-अलग सन्निकटन में प्रत्येक बिंदु को सीधे रूपांतरित किया जा सकता है। तब रूपांतरित समूह के माध्य और सहप्रसरण की गणना मूल वितरण के अरेखीय परिवर्तन के अनुमान के रूप में की जा सकती है। अधिक साधारण तौर पर, किसी अज्ञात वितरण के ज्ञात आँकड़ों के एक समूह को अधिकृत के लिए अंकों के असतत वितरण के लिए किसी दिए गएअरेखीय परिवर्तन के अनुप्रयोग को एक असंतुलित परिवर्तन के रूप में जाना जाता है।
+''निम्नलिखित अंतर्ज्ञान पर विचार करें: मापदंडों की एक निश्चित संख्या के साथ किसी दिए गए वितरण का अनुमान लगाना किसी यादृच्छिक अरेखीय फलन/परिवर्तन का अनुमान लगाने की तुलना में आसान होता हैं। इस अंतर्ज्ञान का अनुसरण करते हुए, लक्ष्य एक ऐसा मापदंड ढूंढना है जो माध्य और सहप्रसरण सुचना को अधिकृत करता है और साथ ही अरेखीय समीकरणों के एक यादृच्छिक समूह के माध्यम से सुचना के सीधे प्रसार की अनुमति देता है। इसे समान पहले और दूसरे (और संभवतः उच्चतर) आघुर्णो वाले एक अलग वितरण को उत्पन्न करके पूरा किया जा सकता है, जहां अलग-अलग सन्निकटन में प्रत्येक बिंदु को सीधे रूपांतरित किया जा सकता है। तब रूपांतरित समूह के माध्य और सहप्रसरण की गणना मूल वितरण के अरेखीय परिवर्तन के अनुमान के रूप में की जा सकती है। अधिक साधारण तौर पर, किसी अज्ञात वितरण के ज्ञात आँकड़ों के एक समूह को अधिकृत के लिए अंकों के असतत वितरण के लिए किसी दिए गएअरेखीय परिवर्तन के अनुप्रयोग को असंतुलित परिवर्तन के रूप में जाना जाता है।''
 दूसरे शब्दों में, दी गई माध्य और सहप्रसरण सुचना को बिंदुओं के समूह में निश्चित रूप से संकेतिकरण किया जा सकता है, जिसे सिग्मा बिंदु कहा जाता है, जिसे यदि असतत प्रायिकता वितरण के अवयवों के रूप में माना जाता है तो माध्य और सहप्रसरण दिए गए माध्य और सहप्रसरण के बराबर होता है। इस वितरण को प्रत्येक बिंदु पर अरेखीय फलन क्रियान्वित करके निश्चित रूप से प्रचारित किया जा सकता है। तब बिंदुओं के रूपांतरित समूह का माध्य और सहप्रसरण वांछित रूपांतरित अनुमान का प्रतिनिधित्व करता है। दृष्टिकोण का मुख्य लाभ यह है कि अरेखीय फलन का पूरी तरह से उपयोग किया जाता है, ईकेएफ के विपरीत जो इसे  रैखिक के साथ परिवर्तित देता है। रैखिककरण की आवश्यकता को समाप्त करने से अनुमान गुणवत्ता में किसी भी सुधार से स्वतंत्र लाभ भी मिलते हैं। एक तात्कालिक लाभ यह है कि यूटी को किसी भी दिए गए फलन के साथ क्रियान्वित किया जा सकता है जबकि उन कार्यों के लिए रैखिककरण संभव नहीं हो सकता है जो भिन्न नहीं हैं। एक प्रयोगात्मक लाभ यह है कि यूटी को क्रियान्वित करना आसान हो सकता है क्योंकि यह एक रैखिक जैकोबियन आव्यूह को प्राप्त करने और क्रियान्वित करने की आवश्यकता से बचाता है।
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 ==उदाहरण==
-किसी अन्यथा अज्ञात वितरण के किसी आंशिक लक्षण वर्णन के लिए दिए गए फ़ंक्शन के अनुप्रयोग के लिए असंतुलित परिवर्तन को परिभाषित किया गया है, लेकिन इसका सबसे आम उपयोग उस मामले के लिए है जिसमें केवल माध्य और सहप्रसरण दिया गया है। एक सामान्य उदाहरण एक समन्वय प्रणाली से दूसरे में रूपांतरण है, जैसे कार्टेशियन समन्वय फ्रेम से ध्रुवीय निर्देशांक में।<ref name="debiased"/>
+किसी अन्यथा अज्ञात वितरण के किसी आंशिक लक्षण वर्णन के लिए दिए गए फलन के अनुप्रयोग के लिए असंतुलित परिवर्तन को परिभाषित किया गया है, लेकिन इसका सबसे साधारण उपयोग उस स्थिति के लिए है जिसमें केवल माध्य और सहप्रसरण दिया गया है। एक सामान्य उदाहरण समन्वय प्रणाली से दूसरे में रूपांतरण है, जैसे कार्तीय समन्वय तल से ध्रुवीय निर्देशांक में।<ref name="debiased"/>
-मान लीजिए कि एक 2-आयामी माध्य और सहप्रसरण अनुमान, <math>(m, M)</math>, कार्तीय निर्देशांक में दिया गया है:
+मान लीजिए कि एक 2-विमीय माध्य और सहप्रसरण अनुमान, <math>(m, M)</math>, कार्तीय निर्देशांक में दिया गया है:
 :<math>m = [12.3, 7.6]^\mathrm{T}, \quad M = \begin{bmatrix}1.44 & 0 \\0 & 2.89\end{bmatrix}</math>
@@ Line 51: / Line 51: @@
    m_3 &= [1.47, -1.20] + [12.3, 7.6] = [13.8, 6.40]
 \end{align}</math>
-परिवर्तन फ़ंक्शन लागू करना <math>f()</math> उपरोक्त प्रत्येक बिंदु देता है:
+परिवर्तन फलन <math>f()</math> क्रियान्वित करना उपरोक्त प्रत्येक बिंदु देता है:
 :<math>\begin{align}
@@ Line 58: / Line 58: @@
    {m^+}_3 &= f(13.8, 6.40) = [15.18, 0.44]
 \end{align}</math>
-इन तीन परिवर्तित बिंदुओं का माध्य, <math>m_{UT} = \frac{1}{3}\Sigma^3_{i=1}{m^+}_i</math>, ध्रुवीय निर्देशांक में माध्य का UT अनुमान है:
+इन तीन परिवर्तित बिंदुओं का माध्य, <math>m_{UT} = \frac{1}{3}\Sigma^3_{i=1}{m^+}_i</math>, ध्रुवीय निर्देशांक में माध्य का यूटी अनुमान है:
 :<math>m_{UT} = [14.539, 0.551]</math>
 सहप्रसरण का यूटी अनुमान है:
 :<math>M_{UT} = \frac{1}{3}\Sigma^3_{i=1}\left({m^+}_i - m_{UT}\right)^2</math>
-जहां योग में प्रत्येक वर्ग पद एक वेक्टर बाहरी उत्पाद है। यह देता है:
+जहां योग में प्रत्येक वर्ग पद एक सदिश बाहरी उत्पाद है। यह देता है:
 :<math>M_{UT} = \begin{bmatrix}2.00 & 0.0443 \\0.0443 & 0.0104\end{bmatrix} </math>
 इसकी तुलना रैखिकीकृत माध्य और सहप्रसरण से की जा सकती है:
@@ Line 69: / Line 69: @@
    M_\text{linear} &= \nabla_f M \nabla_f^\mathrm{T} = \begin{bmatrix}1.927 & 0.047 \\0.047 & 0.011\end{bmatrix}
 \end{align}</math>
-इस मामले में यूटी और रैखिक अनुमानों के बीच पूर्ण अंतर अपेक्षाकृत छोटा है, लेकिन फ़िल्टरिंग अनुप्रयोगों में छोटी त्रुटियों के संचयी प्रभाव से अनुमान में अप्राप्य विचलन हो सकता है। त्रुटियों का प्रभाव तब और बढ़ जाता है जब सहप्रसरण को कम करके आंका जाता है क्योंकि इससे फ़िल्टर को माध्य की सटीकता पर अति आत्मविश्वास हो जाता है। उपरोक्त उदाहरण में यह देखा जा सकता है कि रेखीयकृत सहप्रसरण अनुमान यूटी अनुमान से छोटा है, यह सुझाव देता है कि रेखीयकरण ने संभवतः इसके माध्य में वास्तविक त्रुटि का कम अनुमान उत्पन्न किया है।
+इस स्थिति में यूटी और रैखिक अनुमानों के बीच पूर्ण अंतर अपेक्षाकृत छोटा है, लेकिन स्यंदन अनुप्रयोगों में छोटी त्रुटियों के संचयी प्रभाव से अनुमान में अप्राप्य विचलन हो सकता है। त्रुटियों का प्रभाव तब और बढ़ जाता है जब सहप्रसरण को कम करके अंकित किया जाता है क्योंकि इससे स्यंदन को माध्य की निश्चितता पर अति विश्वास हो जाता है। उपरोक्त उदाहरण में यह देखा जा सकता है कि रेखीयकृत सहप्रसरण अनुमान यूटी अनुमान से छोटा है, यह सुझाव देता है कि रेखीयकरण ने संभवतः इसके माध्य में वास्तविक त्रुटि का कम अनुमान उत्पन्न किया है।
-इस उदाहरण में मूल अनुमान से जुड़े वास्तविक संभाव्यता वितरण और गैर-रेखीय परिवर्तन (उदाहरण के लिए) के आवेदन के बाद उस वितरण के माध्य और सहप्रसरण के रूप में जमीनी सच्चाई के बिना यूटी और रैखिक अनुमानों की पूर्ण सटीकता निर्धारित करने का कोई तरीका नहीं है। , जैसा कि विश्लेषणात्मक रूप से या संख्यात्मक एकीकरण के माध्यम से निर्धारित किया गया है)। ऐसे विश्लेषण अंतर्निहित वितरणों के लिए गौसियनिटी की धारणा के तहत समन्वय परिवर्तनों के लिए किए गए हैं, और यूटी अनुमान रैखिककरण से प्राप्त अनुमानों की तुलना में काफी अधिक सटीक होते हैं।<ref name="tac">{{cite journal|last1=Julier|first1=Simon|last2=Uhlmann|first2=Jeffrey|year=2000|title=नॉनलीनियर फिल्टर्स में मीन्स और कोवरियन्स के नॉनलीनियर ट्रांसफॉर्मेशन के लिए एक नई विधि|journal=IEEE Transactions on Automatic Control|volume=45|issue=3|pages=477–482|doi=10.1109/9.847726}}</ref><ref name="acis">{{cite conference |last=Zhang |first=W. |author2=M. Liu |author3=Z. Zhao |title=कई नमूनाकरण रणनीतियों के असुगंधित परिवर्तन का सटीकता विश्लेषण|book-title=Proc. of the 10th Intl. Conf. on Software Engineering, Artificial Intelligence, Networking and Parallel/Distributed Computing |publisher=ACIS |year=2009}}</ref>
+इस उदाहरण में मूल अनुमान से जुड़े वास्तविक संभाव्यता वितरण और अरेखीय परिवर्तन (उदाहरण के लिए) के आवेदन के बाद उस वितरण के माध्य और सहप्रसरण के रूप में भौम सत्य के बिना यूटी और रैखिक अनुमानों की पूर्ण निश्चितता निर्धारित करने की कोई विधि नहीं है (जैसा कि विश्लेषणात्मक रूप से या संख्यात्मक एकीकरण के माध्यम से निर्धारित किया गया है)। ऐसे विश्लेषण अंतर्निहित वितरणों के लिए गॉसियन की धारणा के अंतर्गत समन्वय परिवर्तनों के लिए किए गए हैं, और यूटी अनुमान रैखिककरण से प्राप्त अनुमानों की तुलना में बहुत अधिक निश्चित होते हैं।<ref name="tac">{{cite journal|last1=Julier|first1=Simon|last2=Uhlmann|first2=Jeffrey|year=2000|title=नॉनलीनियर फिल्टर्स में मीन्स और कोवरियन्स के नॉनलीनियर ट्रांसफॉर्मेशन के लिए एक नई विधि|journal=IEEE Transactions on Automatic Control|volume=45|issue=3|pages=477–482|doi=10.1109/9.847726}}</ref><ref name="acis">{{cite conference |last=Zhang |first=W. |author2=M. Liu |author3=Z. Zhao |title=कई नमूनाकरण रणनीतियों के असुगंधित परिवर्तन का सटीकता विश्लेषण|book-title=Proc. of the 10th Intl. Conf. on Software Engineering, Artificial Intelligence, Networking and Parallel/Distributed Computing |publisher=ACIS |year=2009}}</ref>
-अनुभवजन्य विश्लेषण से पता चला है कि न्यूनतम सिम्प्लेक्स सेट का उपयोग <math>n+1</math> सिग्मा अंक सममित सेट के उपयोग की तुलना में काफी कम सटीक है <math>2n</math> बिंदु जब अंतर्निहित वितरण गाऊसी है।<ref name="acis"/>इससे पता चलता है कि उपरोक्त उदाहरण में सिंप्लेक्स सेट का उपयोग सबसे अच्छा विकल्प नहीं होगा यदि अंतर्निहित वितरण जुड़ा हुआ है <math>(m,M)</math> सममित है. भले ही अंतर्निहित वितरण सममित नहीं है, सिंप्लेक्स सेट अभी भी सममित सेट की तुलना में कम सटीक होने की संभावना है क्योंकि सिंप्लेक्स सेट की विषमता वास्तविक वितरण की विषमता से मेल नहीं खाती है।
-उदाहरण पर लौटते हुए, सहप्रसरण मैट्रिक्स से सिग्मा बिंदुओं का न्यूनतम सममित सेट प्राप्त किया जा सकता है <math>M=\begin{bmatrix}1.44 & 0 \\0 & 2.89\end{bmatrix}</math> बस माध्य वेक्टर के रूप में, <math>m=[12.3, 7.6]</math> प्लस और माइनस के कॉलम <math>(2M)^{1/2}=\sqrt{2}*\begin{bmatrix}1.2 & 0 \\0 & 1.7\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1.697 & 0 \\0 &2.404\end{bmatrix}</math>:
+अनुभवजन्य विश्लेषण से पता चला है कि न्यूनतम सरल समूह का उपयोग <math>n+1</math> सिग्मा बिंदु सममित समूह के उपयोग की तुलना में बहुत कम निश्चित है <math>2n</math> बिंदु जब अंतर्निहित वितरण गाऊसी है।<ref name="acis" />इससे पता चलता है कि उपरोक्त उदाहरण में सरल समूह का उपयोग सबसे अच्छा विकल्प नहीं होगा यदि अंतर्निहित वितरण <math>(m,M)</math> सममित जुड़ा हुआ है। भले ही अंतर्निहित वितरण सममित नहीं है, सरल समूह अभी भी सममित समूह की तुलना में कम निश्चित होने की संभावना है क्योंकि सरल समूह की विषमता वास्तविक वितरण की विषमता से मिलती नहीं हैं।
+उदाहरण पर लौटते हुए, सहप्रसरण आव्यूह से सिग्मा बिंदुओं का न्यूनतम सममित समूह प्राप्त किया जा सकता है <math>M=\begin{bmatrix}1.44 & 0 \\0 & 2.89\end{bmatrix}</math> बस माध्य सदिश के रूप में, <math>m=[12.3, 7.6]</math> धन और ऋण के पंक्ति <math>(2M)^{1/2}=\sqrt{2}*\begin{bmatrix}1.2 & 0 \\0 & 1.7\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1.697 & 0 \\0 &2.404\end{bmatrix}</math>:
 :<math>\begin{align}
@@ Line 82: / Line 83: @@
    m_4 &= [12.3, 7.6] - [0, 2.404] = [12.3, 5.196]
 \end{align}</math>
-यह निर्माण गारंटी देता है कि उपरोक्त चार सिग्मा बिंदुओं का माध्य और सहप्रसरण है <math>(m,M)</math>, जो सीधे सत्यापन योग्य है। अरेखीय फ़ंक्शन लागू करना <math>f()</math> प्रत्येक सिग्मा बिंदु देता है:
+यह निर्माण निश्चितता देता है कि उपरोक्त चार सिग्मा बिंदुओं का <math>(m,M)</math> माध्य और सहप्रसरण है, जो सीधे सत्यापन योग्य है। प्रत्येक अरेखीय फलन <math>f()</math> क्रियान्वित करना सिग्मा बिंदु देता है:
 :<math>\begin{align}
@@ Line 90: / Line 91: @@
    {m^+}_4 &= [13.352, 0.400]
 \end{align}</math>
-इन चार परिवर्तित सिग्मा बिंदुओं का माध्य, <math>m_{UT} = \frac{1}{4}\Sigma^4_{i=1}{m'}_i</math>, ध्रुवीय निर्देशांक में माध्य का UT अनुमान है:
+इन चार परिवर्तित सिग्मा बिंदुओं का माध्य, <math>m_{UT} = \frac{1}{4}\Sigma^4_{i=1}{m'}_i</math>, ध्रुवीय निर्देशांक में माध्य का यूटी अनुमान है:
 :<math>m_{UT} = [14.545, 0.550]</math>
 सहप्रसरण का यूटी अनुमान है:
 :<math>M_{UT} = \frac{1}{4}\Sigma^4_{i=1}({m^+}_i - m_{UT})^2</math>
-जहां योग में प्रत्येक वर्ग पद एक वेक्टर बाहरी उत्पाद है। यह देता है:
+जहां योग में प्रत्येक वर्ग पद एक सदिश बाह्य उत्पाद है। यह देता है:
 :<math>M_{UT} = \begin{bmatrix}1.823 & 0.043 \\0.043 & 0.012\end{bmatrix}</math>
-यूटी और रैखिकीकृत माध्य अनुमानों के बीच का अंतर परिवर्तन की गैर-रैखिकता के प्रभाव का एक माप देता है। उदाहरण के लिए, जब परिवर्तन रैखिक होता है, तो यूटी और रैखिक अनुमान समान होंगे। यह माध्य में वास्तविक त्रुटि को कम आंकने से बचाने के लिए इस अंतर के वर्ग को यूटी सहप्रसरण में जोड़ने के लिए प्रेरित करता है। यह दृष्टिकोण माध्य की सटीकता में सुधार नहीं करता है, लेकिन सहप्रसरण को कम करके आंका जाने की संभावना को कम करके समय के साथ फ़िल्टर की सटीकता में उल्लेखनीय सुधार कर सकता है।<ref name="uthesis"/>
+यूटी और रैखिकीकृत माध्य अनुमानों के बीच का अंतर परिवर्तन की अरैखिकता के प्रभाव का माप देता है। उदाहरण के लिए, जब परिवर्तन रैखिक होता है, तो यूटी और रैखिक अनुमान समान होते हैं। यह माध्य में वास्तविक त्रुटि को कम आंकने से बचाने के लिए इस अंतर के वर्ग को यूटी सहप्रसरण में जोड़ने के लिए प्रेरित करता है। यह दृष्टिकोण माध्य की सटीकता में सुधार नहीं करता है, लेकिन सहप्रसरण को कम करके अंकित किये जाने की संभावना को कम करके समय के साथ स्यंदन की निश्चितता में उल्लेखनीय सुधार कर सकता है।<ref name="uthesis"/>

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