परासांख्यिकी

क्वांटम यांत्रिकी और सांख्यिकीय यांत्रिकी में, परासांख्यिकी बेहतर ज्ञात कण सांख्यिकी मॉडल (बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी, फर्मी-डिराक सांख्यिकी और मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन सांख्यिकी) के कई विकल्पों में से एक है। अन्य विकल्पों में एनीओनिक सांख्यिकी और ब्रैड सांख्यिकी शामिल हैं, इन दोनों में कम स्पेसटाइम आयाम शामिल हैं। हर्बर्ट एस. ग्रीन को 1953 में परासांख्यिकी के निर्माण का श्रेय दिया जाता है।

औपचारिकता

N समरूप कणों की एक प्रणाली के संचालिका बीजगणित पर विचार करें। यह *-बीजगणित है। एक S_N समूह (ऑर्डर N का सममित समूह) है जो N कणों को क्रमपरिवर्तित करने की इच्छित व्याख्या के साथ ऑपरेटर बीजगणित पर कार्य करता है। क्वांटम यांत्रिकी के लिए भौतिक अर्थ वाले वेधशालाओं पर ध्यान केंद्रित करने की आवश्यकता होती है, और वेधशालाओं को N कणों के सभी संभावित क्रमपरिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय होना होगा। उदाहरण के लिए, N = 2 के मामले में, R₂ − R₁ अवलोकनीय नहीं हो सकता क्योंकि यदि हम दो कणों को बदलते हैं तो यह संकेत बदल देता है, लेकिन दो कणों के बीच की दूरी: |R₂ − R₁| वैध अवलोकन योग्य है।

दूसरे शब्दों में, अवलोकन योग्य बीजगणित को S_N की कार्रवाई के तहत एक *-उप-बीजगणित अपरिवर्तनीय होना होगा (ध्यान दें कि इसका अर्थ यह नहीं है कि एसएन के तहत ऑपरेटर बीजगणित अपरिवर्तनीय का प्रत्येक अवयव एक अवलोकन योग्य है)। यह अलग-अलग अतिचयन सेक्टरों की अनुमति देता है, प्रत्येक को S_N के यंग आरेख द्वारा पैरामीटराइज़ किया जाता है।

विशेष रूप से:

• क्रम p (जहाँ p एक धनात्मक पूर्णांक है) के N समरूप पैराबोसॉन के लिए, अनुमेय यंग आरेख वे सभी हैं जिनमें p या कम पंक्तियाँ हैं।
• क्रम p के N समान पैराफर्मियन के लिए, स्वीकार्य यंग आरेख वे सभी p या कम कॉलम वाले हैं।
• यदि p 1 है, तो यह क्रमशः बोस-आइंस्टीन और फर्मी-डिराक सांख्यिकी तक कम हो जाता है।
• यदि p अव्यवस्थित रूप से बड़ा (अनंत) है, तो यह मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन सांख्यिकी तक कम हो जाता है।

त्रिरेखीय संबंध

त्रिरेखीय रूपान्तरण संबंधों को संतुष्ट करने वाले सृजन और विनाश संचालक हैं

$\left[a_{k},\left[a_{l}^{\dagger },a_{m}\right]_{\pm }\right]_{-}=[a_{k},a_{l}^{\dagger }]_{\mp }a_{m}\pm a_{l}^{\dagger }\left[a_{k},a_{m}\right]_{\mp }\pm [a_{k},a_{m}]_{\mp }a_{l}^{\dagger }+a_{m}\left[a_{k},a_{l}^{\dagger }\right]_{\mp }=2\delta _{kl}a_{m}$

$\left[a_{k},\left[a_{l}^{\dagger },a_{m}^{\dagger }\right]_{\pm }\right]_{-}=\left[a_{k},a_{l}^{\dagger }\right]_{\mp }a_{m}^{\dagger }\pm a_{l}^{\dagger }\left[a_{k},a_{m}^{\dagger }\right]_{\mp }\pm \left[a_{k},a_{m}^{\dagger }\right]_{\mp }a_{l}^{\dagger }+a_{m}^{\dagger }\left[a_{k},a_{l}^{\dagger }\right]_{\mp }=2\delta _{kl}a_{m}^{\dagger }\pm 2\delta _{km}a_{l}^{\dagger }$

$\left[a_{k},\left[a_{l},a_{m}\right]_{\pm }\right]_{-}=[a_{k},a_{l}]_{\mp }a_{m}\pm a_{l}\left[a_{k},a_{m}\right]_{\mp }\pm [a_{k},a_{m}]_{\mp }a_{l}+a_{m}\left[a_{k},a_{l}\right]_{\mp }=0$

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत

ऑर्डर p का एक पैराबोसॉन क्षेत्र, ${\textstyle \phi (x)=\sum _{i=1}^{p}\phi ^{(i)}(x)}$ जहां यदि x और y अंतरिक्ष की तरह अलग-अलग बिंदु हैं, $[\phi ^{(i)}(x),\phi ^{(i)}(y)]=0$ और $\{\phi ^{(i)}(x),\phi ^{(j)}(y)\}=0$ अगर $i\neq j$ जहां [,] कम्यूटेटर है और {,} एंटीकम्यूटेटर है। ध्यान दें कि यह स्पिन-सांख्यिकी प्रमेय से असहमत है, जो बोसॉन के लिए है न कि पैराबोसन के लिए। सममित समूह एस जैसा कोई समूह हो सकता है_pφ पर कार्य करना⁽ⁱ⁾s. वेधशालाओं को संचालिका होना चाहिए जो विचाराधीन समूह के अंतर्गत अपरिवर्तनीय (गणित) हों। हालाँकि, ऐसी समरूपता का अस्तित्व आवश्यक नहीं है।

एक पैराफर्मियन क्षेत्र ${\textstyle \psi (x)=\sum _{i=1}^{p}\psi ^{(i)}(x)}$ क्रम p का, जहाँ यदि x और y स्थानिक-पृथक बिंदु हैं, $\{\psi ^{(i)}(x),\psi ^{(i)}(y)\}=0$ और $[\psi ^{(i)}(x),\psi ^{(j)}(y)]=0$ अगर $i\neq j$. अवलोकन योग्य वस्तुओं के बारे में वही टिप्पणी इस आवश्यकता के साथ लागू होगी कि उनके पास ग्रेडिंग के तहत बीजगणित को भी वर्गीकृत किया गया है जहां ψs में विषम ग्रेडिंग है।

पैराफर्मियोनिक और पैराबोसोनिक बीजगणित उन तत्वों द्वारा उत्पन्न होते हैं जो कम्यूटेशन और एंटीकम्यूटेशन संबंधों का पालन करते हैं। वे क्वांटम यांत्रिकी के सामान्य फर्मिओनिक बीजगणित और बोसोनिक बीजगणित का सामान्यीकरण करते हैं। डिराक बीजगणित और डफिन-केमर-पेटियाउ बीजगणित क्रमशः क्रम p = 1 और p = 2 के लिए पैराफर्मियोनिक बीजगणित के विशेष मामलों के रूप में दिखाई देते हैं।

स्पष्टीकरण

ध्यान दें कि यदि x और y अंतरिक्ष-समान-पृथक बिंदु हैं, तो φ(x) और φ(y) न तो यात्रा करते हैं और न ही एंटीकम्यूट करते हैं जब तक कि p=1 न हो। यही टिप्पणी ψ(x) और ψ(y) पर भी लागू होती है। इसलिए, यदि हमारे पास n स्थानिक रूप से अलग किए गए बिंदु x हैं₁, ..., एक्स_n,

$\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})|\Omega \rangle$

x पर n समान पैराबोसन बनाने के अनुरूप है₁,..., एक्स_n. इसी प्रकार,

$\psi (x_{1})\cdots \psi (x_{n})|\Omega \rangle$

n समरूप पैराफर्मियन बनाने के अनुरूप है। क्योंकि ये क्षेत्र न तो आवागमन करते हैं और न ही प्रतिगमन करते हैं

$\phi (x_{\pi (1)})\cdots \phi (x_{\pi (n)})|\Omega \rangle$

और

$\psi (x_{\pi (1)})\cdots \psi (x_{\pi (n)})|\Omega \rangle$

सममित समूह|एस में प्रत्येक क्रमपरिवर्तन π के लिए अलग-अलग स्थिति देता है_n.

हम एक क्रमपरिवर्तन ऑपरेटर को परिभाषित कर सकते हैं ${\mathcal {E}}(\pi )$ द्वारा

${\mathcal {E}}(\pi )\left[\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})|\Omega \rangle \right]=\phi (x_{\pi ^{-1}(1)})\cdots \phi (x_{\pi ^{-1}(n)})|\Omega \rangle$

और

${\mathcal {E}}(\pi )\left[\psi (x_{1})\cdots \psi (x_{n})|\Omega \rangle \right]=\psi (x_{\pi ^{-1}(1)})\cdots \psi (x_{\pi ^{-1}(n)})|\Omega \rangle$

क्रमश। इसे तब तक अच्छी तरह से परिभाषित दिखाया जा सकता है ${\mathcal {E}}(\pi )$ केवल ऊपर दिए गए वैक्टर द्वारा फैली हुई अवस्थाओं तक ही सीमित है (अनिवार्य रूप से n समान कणों वाली अवस्थाएँ)। यह एकात्मक संचालक भी है। इसके अतिरिक्त, ${\mathcal {E}}$ सममित समूह एस का एक ऑपरेटर-मूल्यवान समूह प्रतिनिधित्व है_nऔर इस प्रकार, हम इसकी व्याख्या एस की कार्रवाई के रूप में कर सकते हैं_nएन-कण हिल्बर्ट स्पेस पर ही, इसे एकात्मक प्रतिनिधित्व में बदल दिया गया।

क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स को परासांख्यिकी का उपयोग करके पुन: तैयार किया जा सकता है, जिसमें क्वार्क ऑर्डर 3 के पैराफर्मियन होते हैं और ग्लूऑन ऑर्डर 8 के पैराबोसन होते हैं। ध्यान दें कि यह पारंपरिक दृष्टिकोण से अलग है जहां क्वार्क हमेशा एंटीकम्यूटेशन संबंधों और ग्लूऑन कम्यूटेशन संबंधों का पालन करते हैं।

यह भी देखें

• परासांख्यिकी और अधिक परंपरागत आंकड़ों के बीच रूपांतरण कैसे करें, इस पर परिवर्तन।